文档文本内容
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................5
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................7
高频考点一：直线与圆的位置关系...................................................................7
高频考点二：圆的切线问题............................................................................10
高频考点三：圆弦长问题................................................................................11
高频考点四：圆与圆的位置关系.....................................................................19
高频考点五：圆与圆的公共弦问题.................................................................22
第四部分：新定义题.............................................................................................25
第一部分：基础知识
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
直线与圆
的位置关
系的图象 C l C C
l
l
直线与圆的 相交 相切 相离
位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法几何法（优先推荐）
图象
C l C C
d
d
l d
r r r l
位置 相交 相切 相离
关系
判定
方法 ； ； ；
。 。 。
圆心 到直线 的距 圆心 到直线 的距 圆心 到直线 的距
离： 。 离： 。 离： 。
圆与直线相交。 圆与直线相切。 圆与直线相离。
代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
① 直线 与圆 相交
② 直线 与圆 相切
③ 直线 与圆 相离
知识点二：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 外
C C 离 C C 切
1 2 1 2相 内
C C 交 C C 切
1 2 1 2
内
C 含
C
2
1
2、圆与圆的位置关系的判定
几何法
设 的半径为 ， 的半径为 ，两圆的圆心距为 .
①当 时，两圆相交；
r
C 2 C
1
2
r
1
②当 时，两圆外切；
C C
1 r r 2
1 2
③当 时，两圆外离；
C C
1 2
r r
1 2
④当 时，两圆内切；
r
C
2
C
2
1
r
1⑤当 时，两圆内含.
C r
C 2 2
1
r
1
代数法
设 :
:
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次方程 ，求出其
① 与设设 相交
② 与设设 相切（内切或外切）
③ 与设设 相离（内含或外离）
知识点三：直线与圆相交
记直线 被圆 截得的弦长为 的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
弦长公式：
知识点四：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程
设 :
:
联立作差得到： 即为两圆共线方程
知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知直线 与圆 交于 两
点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点 ，从而可得当 时， 的最小，结合勾股定
理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线 ，即 ，令 ，
则 ，所以直线过定点 ，设 ，
将圆 化为标准式为 ，
所以圆心 ，半径 ，
当 时， 的最小，
此时 .
故选：C
2．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅱ卷））抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作
的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】ABD
【知识点】切线长、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题
【分析】A选项，抛物线准线为 ，根据圆心到准线的距离来判断；B选项， 三点共线时，先
求出 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 先算出 的坐标，然后验证 是否成立；
D选项，根据抛物线的定义， ，于是问题转化成 的 点的存在性问题，此时考察
的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设 点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线 的准线为 ，
的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，
故准线 和 相切，A选项正确；
B选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，
由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B选项正确；
C选项，当 时， ，此时 ，故 或 ，
当 时， ， ， ，
不满足 ；
当 时， ， ， ，
不满足 ；
于是 不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， ，这里 ，
于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题，
， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，
于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个 点，使得 ，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，
，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D选项正确.
故选：ABD
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：直线与圆的位置关系
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）已知圆 ，则直线 与圆C
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【答案】A
【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系
【分析】由直线与圆的方程可知，该直线有定点在圆内，即可得其位置关系.
【详解】 可化为 ，
即该圆圆心为 ，半径为 ，由 可得该直线过定点 ，
有 ，即该定点必在圆内，
故两者位置关系为相交.
故选：A.
例题2．（2024·四川南充·二模）已知圆 ，直线 与圆C（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】D
【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系
【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线过定点 ，结合圆的方程分析可得 在圆上，据此由直
线与圆的位置关系分析可得直线与圆一定相交或相切，即可得答案．
【详解】根据题意，直线 的方程为 ，恒过定点 ，
设 为 ，又由圆 ，即 ，
其圆心为 ，半径 ，
由 ，则 在圆 上，
则直线 与圆 相交或相切.
故选：D．
例题3．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线 与圆 的位置关系为
（ ）
A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心
C．相切 D．相离
【答案】C
【知识点】判断直线与圆的位置关系
【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论.
【详解】圆 ，即 ，
其圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
直线与圆的位置关系为相切.
故选：C
练透核心考点
1．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知直线 ，圆 ，点 在圆内，
则（ ）
A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切C．直线l与圆C相离 D．不确定
【答案】C
【知识点】判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离
【分析】由题意结合点到直线的距离公式，判断圆心 到直线 的距离与半径的大小关
系，即得答案.
【详解】由题意知点 在圆 内，故 ，
故圆心 到直线 的距离 ，
故直线l与圆C相离，
故选：C
2．（22-23高二上·北京·期中） 轴与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】C
【知识点】判断直线与圆的位置关系
【分析】 是以 为圆心 为半径的圆，根据圆心到 轴的距离可判断.
【详解】因为 是以 为圆心 为半径的圆，
圆心 到 轴为 ，
所以 与 轴关系是相离.
故选：C
3．（23-24高二下·上海·期中）已知直线 与圆 ，点 ，则下列
说法错误的是（ ）
A．若点 在圆 上，则直线 与圆 相切
B．若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
C．若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
D．若点 在直线 上，则直线 与圆 相切
【答案】C
【知识点】判断直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系求参数
【分析】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解.
【详解】圆心 到直线 的距离 ，
若点 在圆 上， 则 ，所以 ， 则直线 与圆 相切，故A正确;若点 在圆 内， 则 ，所以 ， 则直线 与圆 相离，故B正确；
若点 在圆 外， 则 ，所以 ， 则直线 与圆 相交， 故C错误；
若点 在直线 上， 则 ，即 ，所以 直线 与圆 相切，
故D正确，
故选：C．
高频考点二：圆的切线问题
典型例题
例题1．（2024高二·全国·专题练习）过点 引圆 的切线，则切线方程为
（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】D
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程
【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论；当斜率不存在时，直线与x轴垂直，只需判断圆心到直
线的距离是否等于半径即可；当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即
可.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，
此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，
即 ，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，
即 ，解得 ，
∴所求切线方程为 .
综上，切线方程为 或 .故选：D.
例题2．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线l过点 ，且与圆 相切，求直线l的
方程.
【答案】 或
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程
【分析】按直线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，求直线的方程.
【详解】 ，所以点P在圆 外，
当l斜率存在时，设l的方程为 ，即 ，
由 ，得 ，所以切线方程l： ，
当l斜率不存在时，l的方程为 ，与圆 相切，合题意，
综上，直线l的方程为 或 ．
练透核心考点
1．（23-24高二上·福建漳州·期末）圆 在点 处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】过圆上一点的圆的切线方程
【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.
【详解】由题意可知：圆 的圆心为 ，
因为点 在圆 上，故切线必垂直于切点与圆心连线，
而切点与圆心连线的斜率为 ，故切线的斜率为 ，
故切线方程为： ，即 .
故答案为：
2．（23-24高二上·山西大同·阶段练习）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线
的方程．
【答案】24x－7y－20＝0或x＝2．
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程
【分析】可判断点M在圆外，分切线斜率是否存在两种情况可求切线的方程.
【详解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外．
当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，
由于直线与圆相切，故 ，解得 ．所以切线方程为24x－7y－20＝0．
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切．
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2．
高频考点三：圆弦长问题
典型例题
例题1．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）若圆C经过点 和 ，且圆心在x轴上，则：
(1)求圆C的方程．
(2)直线 与圆C交于E、F两点，求线段 的长度．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、求直线交点坐标、求点到直线的距离
【分析】（1）由圆心既在线段 的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与
圆的方程；
（2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得.
【详解】（1）因为 和 ，线段 的中点为 ，且 ，
则 的垂直平分线方程为 ，由圆的性质可知，圆心在该直线上，
又已知圆心在 轴上，令 ，得 ，
故圆心为 ，半径 ，
则圆圆C的方程为 .
（2）由圆心 到直线 的距离 ， .
故线段 的长度为 .
例题2．（23-24高二下·山东菏泽·开学考试）已知点 ，圆 .(1)求过点 的圆的切线方程；
(2)若直线 与圆相交与A，B两点，且弦 的长为 ，求 的值.
【答案】(1) 或
(2)
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、圆的弦长与中点弦、过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的
位置关系求参数
【分析】（1）由圆的标准方程得到圆心和半径，再分别讨论直线斜率存在与不存在的情况，不存在时由
圆心到直线的距离公式等于半径特殊情况判断；存在时代入点到直线的距离公式求出斜率；
（2）由点到直线的距离公式和弦长公式计算即可.
【详解】（1）
由圆的方程得到圆心 ，半径 ，
当直线斜率不存在时，方程为 ，圆心 到直线 的距离为2，此时直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设方程为 ，即 ，
由题意得： ，解得 ，
∴方程为 ，
则过点 的切线方程为 或 .
（2）∵圆心到直线 的距离为 ，
又弦 的长为 ，∴ ，解得： .
故 的值为 .
例题3．（2024高二上·新疆·学业考试）已知圆 的圆心在直线 上，与x轴相切于点 ．
(1)求圆 的方程；
(2)过坐标原点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程．
【答案】(1)(2) 或
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】（1）设圆 的圆心为 ，半径为 ，根据条件得到 ，即可求解；
（2） ，先求出圆心到直线的距离 ，再根据条件得到 ，即可求解.
【详解】（1）设圆 的圆心为 ，半径为 ，
又圆 的圆心在直线 上，与x轴相切于点 ，所以 ，
故圆 的方程为 .
（2）由题知直线 的斜率存在，设 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，又直线 被圆 截得的弦长为 ，
所以 ，化简得到 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
例题4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆 的圆心在直线 上且圆 与 轴相切于点
.
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 与圆 相交于 两点，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积
【分析】（1）设圆心坐标为 ，由题意 ，解方程组得圆心，进一步求得半径即可；
（2）求出圆心到直线 的距离，结合圆的弦长公式求得 即可得解.
【详解】（1）设圆心坐标为 ，
由于圆 的圆心在直线 上且圆 与 轴相切于点 ，
可得 ，解得 ，即圆心坐标为 ，
由于圆 与 轴相切于点 ，则半径 .所以圆 的方程为 .
（2）依题意，圆心 到直线 的距离 ，
因为直线 与圆 相交于 两点，
所以弦长 ，
所以 .
例题5．（23-24高二上·河南·期中）设 为坐标原点，已知 与直线 相
交于 两点．
(1)若 ，求 的值；
(2)过点 的直线 与 相互垂直，直线 与圆 相交于 两点，求四边形 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)7
【知识点】圆内接三角形的面积、由直线与圆的位置关系求参数、基本不等式求和的最小值、平面向量线
性运算的坐标表示
【分析】（1）联立直线 与圆 的方程，由 并利用韦达定理构造方程即可解得 ；
（2）利用弦长公式可分别求得 ， ，得出四边形 面积的表达式，利
用基本不等式和函数单调性即可求得四边形面积的最大值为7.
【详解】（1）不妨设 ，且 ，
由 ，可知 ，
联立 与 ，可得 ，
则 ，
即 ；
可得 ，
因为 ，解得 ；（2）如下图所示：
由（1）可知， ，
由 可得 ；
同理可得 ，
设四边形 的面积为 ，
则
易知 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以四边形 的面积的最大值为7．
练透核心考点
1．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知直线 与圆 相交于 两
点，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦
【分析】先求出动直线所过的定点，再根据垂径定理可求弦长的最小值.
【详解】由题设可得圆的圆心坐标为 ，半径为 ，
动直线 可化为： ，
故该直线恒过定点 ，因为 ，故定点在圆的内部，故圆心到动直线的距离的最大值为 ，
故 的最小值为 ，
故选：B.
2．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）圆 的圆心为 ，且过点 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)直线 ： 与圆 交 ， 两点，且 ，求 .
【答案】(1)
(2)1或
【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】(1)利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；
(2)求出圆心 到直线 的距离，利用垂径定理列出方程，求出 .
【详解】（1）因为圆的半径 ，
所以圆的标准方程为： .
（2）设圆心 到直线 ： 的距离为 ，
则 ，
由垂径定理可得 ，
即 ，解得 或 .
3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆 ： ， .
(1)过点 作圆 的切线 ，求直线 的方程
(2)过点 作直线 与圆 相交，所得弦长不小于 ，求直线 的斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、过圆上一点的圆的切线方程、求点到直线的距离
【分析】（1）运用直线与圆相切的条件 构造方程求解即可；（2）运用垂径定理和勾股定理，结合点到直线距离求解即可.
【详解】（1）点 在圆上，设直线 方程为 ，
因为相切，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
（2）由（1）的 ，设直线与圆交于 ， 两点，
所以 ，即 ，即 ，即 ，
即 ，即 ，两边平方得到 ，
即 ，解得 或者 .
则求直线 的斜率的取值范围为 或者 .
4．（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知直线 与圆 相切.
(1)求 的值及圆 的方程；
(2)已知直线 与圆 相交于 ， 两点，若 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆内接三角形的面积
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系列式求得 ，进而可得圆的方程；
（2）根据面积关系可得 ，分 和 ，结合点到直线的距离公式运算求
解.
【详解】（1）因为圆 ，可知圆心 ，半径 ，且 ，
由题意可得： ，解得 ，此时圆 .
（2）由（1）可知：圆心 ，半径 ，
由题意可知： ，
可得 ，且 ，
若 ，则圆心 到直线 的距离 ，
可得 ，解得 或 ，
此时直线 的方程为 或 ；
若 ，则圆心 到直线 的距离 ，
可得 ，解得 或 ，
此时直线 的方程为 或 ；
综上所述：直线 的方程为 或 或 或 .
5．（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆 ．
(1)过点 作圆 的切线，求切线的斜率
(2)直线 与圆 交于 两点， 是 上的动点，求三角形 面积的最大值
【答案】(1)
(2)
【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆内接三角形的面积、圆的弦长与中点弦、过圆外一点的
圆的切线方程
【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线的距离列方程求解；
（2）求出圆心到直线距离即可得 以 为底边时，高的最大值，然后求出 ，进而可得面积最大
值.
【详解】（1）显然当切线的斜率不存在时，此时直线方程为 ，圆心 到该直线的距离为7，不等
于半径，则此时不相切，
则切线的斜率存在，设切线方程为 ，即 ，则圆心 到直线 的距离 ，
解得 ；
（2）圆心 到直线 的距离 ，
，
∴三角形 面积的最大值为： ．
高频考点四：圆与圆的位置关系
典型例题
例题1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆 和圆 的位置关系是
（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含
【答案】C
【知识点】判断圆与圆的位置关系
【分析】计算两圆的圆心之间的距离和半径比较，即得答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为3，
圆 的圆心为 ，半径为2，
两圆的圆心距为 ，所以两圆外切.
故选：C
例题2．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知圆 与圆 ，则圆 与圆
的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】D
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系
【分析】求出两圆的圆心和半径，得到 ，得到两圆外切.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 ，故圆心 ，半径为 ，则 ，
所以圆 与圆 的位置关系是外切.
故选：D
例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 ，圆 ，则圆
的位置关系为（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．外离
【答案】C
【知识点】判断圆与圆的位置关系
【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置
关系即可.
【详解】圆 ，化为 ，圆心为 ，半径为 ；
圆 ，化为 ，圆心为 ，半径为 ．
则两圆心距离为 ，
因为 ，所以圆 与圆 相交．
故选：C．
练透核心考点
1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆 的面积被直线
平分，圆 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】D
【知识点】判断圆与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径
【分析】由直线平分圆求出 ，再判断两圆的位置关系即得.
【详解】由圆 的面积被直线 平分，
得圆 的圆心 在直线 上，即 ，解得 ，
因此圆 的圆心 ，半径 ，
而圆 的圆心 ，半径 ，
显然 ，所以圆 与圆 外切.
故选：D
2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆 ： ，圆 ： ，则两圆的
位置关系为（ ）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】B
【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径
【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断.
【详解】由题意圆 ： 即圆 ： 的圆心，半径分别为 ，
圆 ： 即圆 ： 的圆心，半径分别为 ，
所以两圆的圆心距满足 ，
所以两圆的位置关系为相交.
故选：B.
3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆 ： （ ， ）与圆 ：
，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关
【答案】C
【知识点】判断圆与圆的位置关系
【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案.
【详解】圆 ： ，
即 ，圆心 ，半径 ，
圆 ： ，
即 ，圆心 ，半径 ，
所以当 时，
所以圆 与圆 的位置关系是外离.
故选：C.
高频考点五：圆与圆的公共弦问题
典型例题
例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 与圆 交于 两
点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两圆的公共弦长【分析】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，利用垂径定理可求得结果.
【详解】两圆方程作差可得直线 的方程为： ，即 ；
由圆 方程可得其圆心 ，半径 ，
到直线 的距离 ， .
故选：B.
例题2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）圆 ： 与圆 ： 相交于
、 两点，则 ．
【答案】4
【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程
【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可.
【详解】由圆 ： 与圆 ： ，
两圆相减得公共弦 所在直线方程为： ，
有圆 ： ，可得圆心 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以 .
故答案为：4.
例题3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知圆 是以点 和点 为直径端点的圆，圆 是
以点 和点 为直径端点的圆．
(1)求圆 ， 的方程；
(2)已知两圆相交于 ， 两点，求直线 的方程及公共弦 的长.
【答案】(1) ： ， ：
(2) ，
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】（1）求出圆心及半径即可得圆的方程；
（2）联立两圆方程，即可求出两圆交点坐标，即可得直线 的方程及公共弦 的长.
【详解】（1） 的圆心为 ，半径 ，故 ： ，
的圆心为 ，半径 ，故 ： ；（2）联立 ，解得 或 ，
则 ，则 ， .
练透核心考点
1．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点 向圆C： 作两条切线，切点分别为A，B，
则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程
【分析】求出以 为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦 所在直线的方程.
【详解】过点 向圆 作两条切线，切点分别为 、 ，则 ，
于是点 、 在以 为直径的圆上，而 ，则 的中点为 ， ，
因此以 为直径的圆 方程为 ，
圆 与圆 方程相减，得公共弦 所在直线的方程为 ，
所以直线AB的方程为 .
故选：A
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 与圆 相交，则相
交弦的长为 .
【答案】
【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】运用两圆相交得到相交弦直线方程，再借助垂径定理和勾股定理计算即可.
【详解】设两圆相交弦所在直线为 ，则直线 的方程为 ，即 到直线 的距离 ，则相交弦的长为 .
故答案为：
3．（2024高三下·全国·专题练习）过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，则
直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相交圆的公共弦方程
【分析】根据题意，求得以 为直径的圆的方程，结合两圆的公共弦方程的求法，即可求解.
【详解】由曲线 ，可化为 ，可得圆心 ，半径为 ，
因为 分别切圆 于 ，所以 四点在以 为直径的圆 ，半径为 ，
故圆的方程为： ，即 上，
两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程为 ，
即直线 的方程为 .
故选：A.
第四部分：新定义题
1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设点 分别为函数 图象上一点，
定义 为 两点间欧几里得距离， 为 两点
间曼哈顿距离.
(1)证明 ；
(2)设函数 ，求 的最小值；
(3)设 为正实数，函数 ，对于函数图象上的点 有 的最小值
为4，求 的取值.
【答案】(1)证明见解析
(2)(3)
【知识点】解含参数的绝对值不等式、由导数求函数的最值（含参）、由函数在区间上的单调性求参数、
圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】（1）对 进行平方后作差比较大小，即可得到 的大小关系；
（2）设与 平行与 有公共点的直线为 ，结合 与
的图象求出 的最小值.
（3）由 过定点 ，当 时， 为 图象上的点，此时
，且 ， 时满足 .因此只需满足图象上的其他点的曼哈顿距离不小于
4即可，故利用取绝对值分类讨论进行解答.
【详解】（1）由 ，
，
，
，
.
（2）
由 的图象是以 为圆心，1为半径在 轴上方的半圆，
设与 平行与 有公共点的直线为 ，
直线 与 的公共点 到 上的点 的曼哈顿距离：
结合图形知 ， ，
，即 取最大值时， 取得最小值.
当原点 到直线 的距离为： ，即直线 与 相切时，取最大值 ， 的最小值.
联立 与
此时切点 ，即 与 任意一点 的曼哈顿距离为 .
.
（3） 过定点 ，当 时， 为 图象上的点，
此时 ，即 ， 时满足
.
函数 ，对于函数图象上的点 有 的最小值为4，
只需 ，求 的值即可.
当 时，
, 此时没有 能使 恒成立；
当 时，
要使 ，则 ，即
构造函数 ，等价于求 取何值时 恒成立.
， 时， ，
时， ， 在 上单调递减；
时， ， 在 上单调递增.,
构造函数 ,
， ， ,
时， ， 在 上单调递增；
时， ， 在 上单调递减.
,
因此要使 ，则 .
结合图象当 时，也满足 .
因此， .
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问
题，特别是第三问的解答，要注意分情况讨论，判断函数的单调性，求解最值，最后求出参数 的值.
