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第 06 讲 拓展一：平面向量的拓展应用(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析..............................................1
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题.....................1
角度1：两个向量所成角为锐角...................................1
角度2：两个向量所成角为钝角...................................4
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题.......................7
方法一：定义法................................................7
方法二：几何法...............................................10
方法三：三角不等式法.........................................17
方法四：坐标法...............................................19
方法五：转化法...............................................24
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题....................29
方法一：定义法...............................................29
方法二：向量数量积几何意义法.................................35
方法三：坐标法（自主建系法）.................................41
方法四：积化恒等式法.........................................47第一部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
角度1：两个向量所成角为锐角
典型例题
例题1．（多选）（2023春·河南·高一河南省实验中学校考阶段练习）设向量 若 与
的夹角为锐角，则实数 的值可能是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】BC
【详解】 ，则 .
当 与 同向时， ，由于 与 的夹角为锐角，则 且
故选：BC
例题2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知平面向量 ，
， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 与 的夹角为锐角，求 的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【详解】（1） ， ，解得： 或 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
综上所述： 或10
（2）若 共线，则 ，解得： 或 ，
当 时， ， ，此时 同向；当 时， ， ，此时 反向；
若 与 的夹角为锐角，则 ，解得： 且 ，
的取值范围为 .
例题3．（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）已知： ､ 是同一平面内的两个向量，其中
=（1，2），
(1)若 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围；
(2)求 在 上投影向量.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1） ，
又 与 的夹角为锐角， 且 与 不平行，
，
解得 且 ，
实数 的取值范围是
（2）由题得 ， ，
在 上的投影向量为 .
练透核心考点
1．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）若向量 与 的夹角为锐角，则 的取值范围
为__．
【答案】
【详解】根据题意，向量 与 的夹角为锐角，则 且 、 不共线，即 ，解可得 且 ，
则 的取值范围为 ．
故答案为：
2．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）已知向量 ， （ ）．
(1)若 ，求t的值；
(2)若 ， 与 的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知 ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
（2）若 ，则 ， ，
∵ 与 的夹角为锐角，
∴ ，且 与 不共线，
∴ ，解得 且 ，
∴m的取值范围是 ．
3．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）（1）已知 ， ，求向量 在 上的投影向
量的坐标．
（2）已知 ， 若 的夹角为锐角，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由题意可得： ，向量 在 方向上的投影向量为： ；
（2）因为 的夹角为锐角，所以 ，解得： ，
又当 与 共线时，可得： ，解得： ，
此时 ，此时 与 同向，需排除，
所以 的取值范围是： .
角度2：两个向量所成角为钝角
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若 ， ，且 与 的夹角
为钝角，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，
令 与 共线，则 ，即 ，即 ，解得 ，
此时 ， ，即 ， 与 反向，
又 与 的夹角为钝角，
所以 且 与 不反向共线，
即 且 ，
解得 且 ，
故选：C
例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）已知 ，则向量 与向量
的夹角为钝角时 的取值范围是__________．
【答案】 且【详解】因为 ，向量 与向量 的夹角为钝角
则 ，所以 ，且向量 与向量 不共线，即 ，
解得 且 .
故答案为： 且 .
例题3．（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知 ， ，且 与
的夹角为钝角，则 的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为 与 的夹角为钝角，
所以 ，
当 与 的夹角为平角时，则有 ，
则有 ，因为 ，
所以 ，
所以x的取值范围是 ，
故答案为：
练透核心考点
1．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）已知 ， ，若 的夹角为钝角，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 夹角为钝角， 且 不共线，即 且 ，解得： 且 ，
的取值范围为 .
故选：B.
2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）已知 ，若 与 的夹角 为钝角，则实数λ
的取值范围为___________.
【答案】 且
【详解】若 与 的夹角 为钝角,
则 ，且 与 不共线，
即 ，得 且 .
故答案为： 且 .
3．（2023春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知向量 ， ，若向量 与向量 的
夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．
【答案】 且
【详解】由题意得 ，
向量 与向量 的夹角为钝角，即 ，且向量 与向量 不共线，
则 ，且 ，
故 ，且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题
方法一：定义法
典型例题
例题1．（2023·浙江·模拟预测）已知在三角形 中， ，点 ， 分别
为边 ， 上的动点， ，其中 ，点 ， 分别为 ， 的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，
则 ，
而 ，
，
而 的对称轴为 ，
故当 时， ，
故选：B
例题2．（2023春·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）在 中， ， ，
点 满足 ， ，则 的最小值为______.
【答案】3
【详解】∵ ，
∴
，
则当 时， ，∴ .
故答案为：3
例题3．（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知向量 ， 满足： ， ， ，
则 ______；若 为非零实数，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】 ， ，
两式作差可得 ，所以 ，，
所以 ，所以 ．
，
当 ，即 时不等式等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
例题4．（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校联考阶段练习）已知平面向量 ，其中
， 的夹角是 ，则 ____________；若 为任意实数，则 的最小值为
____________．
【答案】
【详解】由题意，平面向量 ，其中 ， 的夹角是 ，
可得 ，
则 ，所以 ，
又由 ，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为： ； .
练透核心考点
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设向量 ， 的夹角为 ，则 ，
易知 ，即所以 ，所以 ，即 .
故选：D.
2．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，
， ，其中 ，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】 ，
，
当 时， 有最小值为 ，故 的最小值为 .
故答案为：
3．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）设向量 满足 . 与 的夹角
为60°，则 的取值范围是____.
【答案】
【详解】由题意可得： ，
则 ，
当 时，等号成立，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
方法二：几何法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 满足 ， ，，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在平面内一点 ，作 ， ， ，则 ，则 ，
因为 ，则 ，故 为等腰直角三角形，则 ，
取 的中点 ，则 ，
所以， ，所以， ，
因为 ，
所以， ，则 ，
所以， .
当且仅当 、 同向时，等号成立，故 的最大值为 .
故选：B.
例题2．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量 均为单位向量，
且 ．向量 与向量 的夹角为 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】 向量 ,向量 均为单位向量，, .
如图，设 .则 是等边三角形.
向量 满足 与 的夹角为 , .
因为点 在 外且 为定值,
所以 的轨迹是两段圆弧, 是弦AB所对的圆周角.
因此：当AC是 所在圆(上述圆弧)的直径时, 取得最大值|AC|,
在 中,由正弦定理可得:
.
取得最大值2.
故选：D
例题3．（多选）（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）若 均为单位向量，且
， ，则 的值可能为（ ）
A． －1 B．1 C． D．2
【答案】AB
【详解】由 ，即 ，而 ，
又 ，即 ，由上图， ， ，则 在劣弧 上，易知： ，当 共线时等号成立，
所以 ，即 ，故只有A、B符合.
故选：AB
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点，向量 ， ， ，满足
， ，若 ，则 的取值范围是
_____________
【答案】[11，13]
【详解】解：因为 ，
所以 、 、 三点在以 为圆心，1为半径的圆上，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以 是圆 的直径，
所以 ，
所以 ，
设 、 的夹角为 ，
则
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 为平面向量， ，且 使得 与
所成夹角为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
如图所示：在平面直角坐标系中， ， ，
不妨设 ， ，延长 到 使得 ，则 ，
点 为平面直角坐标系中的点， ，则 ， ，
则满足题意时， ，结合点 ， 为定点，且 ，
由正弦定理可得： ，可得 ，
则点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的优弧上，
当 三点共线，即点 位于图中点 位置时， 取得最大值，
其最大值为 ，故选：A.
2．（多选）（2023秋·广东·高三校联考期末）向量 满足 ， ， ，
则 的值可以是（ ）
A．3 B．6 C．4 D．
【答案】AC
【详解】解：设 ， ， ，
由向量 满足 ， ， ，
所以 ，
所以 .
① 当 时， ，
即 ,
即 四点共圆，
由余弦定理可得： ，
设四边形 的外接圆的半径为 ，由正弦定理可得 ，
又点 在优弧 上（不含端点），
则 ，
则有 ，
则 ；
②当 时， ，
则 在以 为圆心的圆上运动，其中点 在优弧 上（不含端点），
则 ，
综合①②可得 ，
故选：AC.
3．（多选）（2023·辽宁·高二校联考开学考试）向量 满足 ， ，
，则 的值可以是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】BC
【详解】设 ， ， ，
因为 ， ，所以 ，又因为 ，则 ①，
②，
第①种情况，可得点 ， ， ， 四点共圆，如图所示：因为 ， ，所以圆的半径为1，那么 ；
第②种情况，点 在以 为圆心，1为半径的圆上，如图所示：
此时， ；
综上所述： .
故选：BC.
4．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考）已知向量 ， 满足 ，且 ，若向量
满足 ，则 的最大值为________.
【答案】 ##
【详解】因为 ，所以 ，
又 ， ，
如图，向量 的终点在以A点为圆心1为半径的圆上，又 ，
所以 的最大值为 ，即 的最大值为 .
故答案为： .
方法三：三角不等式法
向量模的三角不等式来求解： .
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知 为等边三角形， ， 所在平面内的点 满
足 ， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
所以， ，
由平面向量模的三角不等式可得 .
当且仅当 与 方向相反时，等号成立.
因此， 的最小值为 .
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三对口高考）设 为单位向量，若向量 满足 ，则 的最
大值是____________．
【答案】
【详解】试题分析：因为向量 满足 ，所以 ，当所以
＋ ≤ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 时等
号成立，所以 的最大值 ．
练透核心考点
1．（2023·安徽安庆·高一安庆一中校考）已知向量 ， ， ，满足 ， ， ， ，若
，则 的最小值为______.【答案】 ##
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
，
由二次函数性质可得， ，即：
所以 ，
所以 的最小值为
故答案为：
2．（2023·辽宁大连·高一大连二十四中校考）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最
小值是______，最大值是______．
【答案】 6
【详解】解： ，
且 ，
，当且仅当 与 反向时取等号. 此时 的最小值为6.
，
，当且仅当 时取到等号，
所以 的最大值为2 .
故答案为：6；2 .
3．（2023·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，若
，则 的最小值为__________，最大值为____________．
【答案】 ##1.4 5．【详解】设 ，则 ，
所以 ，
，
由二次函数性质可得， ，即：
所以 ,
且 ，
所以 的最小值为 ，最大值为 .
故答案为： ；
方法四：坐标法
典型例题
例题1．（2023·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）已知边长为1的正方形
位于第一象限，且顶点 ， 分别在 ， 的正半轴上（含原点 ）滑动，则 的最大值是
（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【详解】解：当 与 重合时， ，此时 ， ；
当 与 不重合时，设 ， ，
因为 ，所以 ，
， ，
，
，
，所以当 ，即 时， 取得最大值3.
综上可知 的最大值为3.
故选：C.
例题2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量 ， ， 满足 ， ，
，则 的最大值是______________.
【答案】
【详解】设 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
整理得： ，所以 ，
则 ，解得： ，
所以 ，
故答案为： .
例题3．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 的坐标为 ，点
为动点，且满足 ，记 ，若 的最小值为 ，则 的最大值为
________．
【答案】 ##
【详解】设点 ，由已知可得 ，则 ，
化简可得 ，,
，
因为点 在以点 为圆心，半径为 的圆上，
由 可得 ，即 ，
不妨设 ，其中 ， ，
则 ，故 ，当且仅当 时， 取最小值，
令 ，其中 ，则 ， ，
所以， ，
因为函数 的最小值为 ，则 ，所以， 的最大值为 .
故答案为： .
例题4．（2023·贵州铜仁·高一校考阶段练习）已知向量 ， ，其中 ，
.
(1)当 时，求 的取值范围；
(2)当 时，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
即 的取值范围为 .
（2）当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2023·安徽合肥·高三安徽省肥东县第二中学校考阶段练习）已知平面向量 ， ，满足 ，
，则 的取值范围是___________
【答案】
【详解】因 ，则 ，设 ， 的夹角为 ，
于是得 ，而 ，
因此， ，即 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
2．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考）已知平面直角坐标系中，向量 ， .
(1)若 ，求x；
(2)当 时，求 的最小值
【答案】(1) 或
(2)最小值为3
(1)
， ，即 ，解得 或 ；
(2)
，则当且仅当 即 ， 时取等号，故最小值为3.
3．（2023·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考）已知 ，向量 ， ，
是坐标平面上的三点，使得 ， .
(1)若 ， 的坐标为 ，求 ；
(2)若 ， ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)12
(1)
由题意， ，
∴
，
，
∴由 ，则 ､ ，故 ；
(2)
由题意， ，
∴ ，
，
∴由 ，则 ､ ，即 ，
∴当 时， 的最大值为12；
4．（2023·安徽宣城·高一校考阶段练习）已知向量 ， ．
（1）求 的坐标以及 与 之间的夹角；
（2）当 时，求 的取值范围．【答案】（1） ， ；（2） .
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
设 与 之间的夹角为 ，
则 ，
因为 ，所以 与 之间的夹角为 .
（2） ，
因为 ，所以 ，
故 的取值范围是 .
方法五：转化法
典型例题
例题1．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考）已知向量 满足 ， ， ，
若向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解： ， ， ，
以 为y轴， 为x轴，建立直角坐标系
设 ， ， ，
所以 ，
由 ，
可得 ，
化简可得 ，所以 点的轨迹为以 为圆心，以 为半径的圆，
原点 到 的距离为 ，
所以 的取值范围是 ，即
故选：C．
例题2．（2023·陕西西安·高一陕西师大附中校考）已知向量 ， ， ，满足 ， 与 的夹角为
， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
设 ，点 在 轴上，
设点 在第一象限， ，
设 ，则 ，
则 ，
整理得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，设圆心为 ，
又 ，
当直线 过点 且垂直于 轴时， 取得最小值，最小值为 ，
即 的最小值为 .
故选：D.例题3．（2023·湖南永州·高一永州市第一中学校考）已知平面向量 满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ， ，
，因为 ，所以 ，
设 ， ， ，
， ，
所以 ，
即 ，
所以点 在以 为圆心，半径 的圆上，
表示圆 上的点 与定点 的距离，
所以 的最小值为 ，
故选：D.
例题4．（2023·广东·高三统考阶段练习）若向量 ， ， ，且
，则 的最小值为_________．
【答案】
【详解】由题设， ， ，又 ，
∴ ，则 ，又 ，则 ，
∴要求 的最小值，即求定点 到直线 的距离，
∴ .
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·浙江杭州·高一校联考）已知平面向量 ， ，且 ， ，向量 满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意设 ， ， ，
， ， ，所以 ， ，
，
设 ， ，
由 得 ，即点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，
，点 在直线 上，
所以 的最小值是圆心 到直线 的距离减去圆的半径2，
即 ．
故选：B．2．（2023秋·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知 ， ， 是平面向量， 与 是单位向量，
且 ，向量 满足 ，则 的最大值与最小值之和是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】解：不妨设 ，设 ，向量 满足 ，
， ，
所以 ，所以 的终点在以 为圆心，以 为半径的圆上.
，设 ， ，则 ， ．
又 是单位向量，所以 ，
所以 ，所以 或
，所以 ，
如图所示， 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 的最大值与最小值之和是 .
故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知平面向量 ， 满足 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，令 ， ，
则 ，即 ，
因此 在 为圆心，4为半径的圆上，易知 ，
故 ，即 .
故选：C.
4．（2023·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）已知平面向量 ， ， ，满足 ， 与 的夹角
为 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【详解】由题意知， ，则 ，
由 可得 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 表示以 ，半径为1的圆，
表示圆C上的点 到定点B(-2，0)的距离，
而 的最小值即为圆心到定点B(-2，0)的距离减去半径，如图所示，
又 ，所以 .
故选：D
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
方法一：定义法
典型例题
例题1．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）如图，正方形 的边长为2，圆 半径为1，点 在
圆 上运动，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】设 与 的夹角为 ，则 ，
，
因为 ，
所以 ，
故选：C
例题2．（2023春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）如图， 中， 为 中点，
为圆心为 、半径为1的圆的动直径，则 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】
，且 .
即
设 与 的夹角为 ，则 .
因为 ，所以 .
故答案为：
例题3．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）如图，在四边形 中， ，且
，若 ，则 的最大值为_____________．【答案】
【详解】设 ，则 ，
作 ，交 的延长线于点 ，
由余弦定理得： ， ，
即 ， ，
， ，即 ， ，
，
，
， ，则当 ，即 时， ，
.
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在 中，已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】D
【详解】设三角形 外接圆半径为 ，则 ，
所以 的外接圆半径为1， 为钝角时， 取到负值；如图， 为 的中点， 在 上的投影向量为 ；
由 可知当 在 上的投影长最长时，
即 与圆 相切时， 可取到最小值；
，
当 时， ，所以 的最小值为 .
故选：D
2．（2023·全国·高一专题练习）四边形ABCD中， ， ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【详解】延长 交于 ，因为 ， ，
∴ ， 为等边三角形，
设 ，则 ，
∴ ，
所以当 时， 的最小值为 .
故选：D.
3．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）如图所示，扇形 的弧的中点为 ，动点 分
别在 上（包括端点），且 ， ， ，则 的取值范围______．【答案】
【详解】如图所示，连接 、 和 ，因为 且 为 的中点，
可得 为平行四边形，所以 ，
设 ，其中 ，
因为 ，可得 ， ，
在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
又因为 且 ，所以 ，
所以
，
设 ，
根据二次函数的性质，可得函数 的对称轴为 ，
且在 在 上单调递减，在 在 上单调增，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
又由 ，即函数 的最大值为 ，
所以 的取值范围 .
故答案为： .
4．（2023春·江苏宿迁·高一校考阶段练习）在 中， ，点 是 边上的一点（包括端点），点 是 的中点，则 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】依题意，过点 作 交 的延长线于点 ，
因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 ，又因为点 是 的中点，所以 是 的中位线，
则 ， ，所以 ，
因为点 是 边上的一点（包括端点），
过点 作 于 ，
则 ，
结合图形可知：当点 在 点位置时， 最小，最小为0，
此时 ；
当点 在 点位置时， 最大，最大值与 相等，
此时 ；
综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2023·全国·高一专题练习）在如图所示的平面图形中， ， ，求：(1)设 ，求 的值；
(2)若 且 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ，即
（2）解：因为 ，所以记
因为 ，所以 ，
设 ，
则
所以， ，
所以
所以，当 时， 取得最小值，最小值为 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 的最小值为
方法二：向量数量积几何意义法
典型例题
例题1．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十一中学校联考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的
古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表
阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形 的边长为 ，点 是正
八边形 边上的一点，则 的最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过点 作直线 的垂线 ，垂足为点 ，
观察图形可知，当点 在线段 上时， 在 方向上的射影取最大值，
且 ，则 ，所以， ，
故 的最大值为 .
故选：C.
例题2．（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）如图， 为 外接圆 上一个动点，若
， ， ，则 的最大值______.
【答案】
【详解】解：由余弦定理得 ，所以 ，由正弦定理得外接圆半径 ，
解法1：设d是 在 上的投影，即 ，
则 ，
过点O作 交圆于点P，且作 于 ， 于 ，如图所示，此时 在 上的投影最
大，即 最大
易得四边形 是矩形，所以
则 ，所以 的最大值为 ；
解法2：
连接 ， ，
所以 ，
，
因为 ，所以所以 的最大值为 ，
故答案为：
例题3．（2023·湖南衡阳·高一统考）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，
已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看
了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”
参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中， 为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形
为正六边形， ， ， 为等边三角形，则 的最大值为________．
【答案】 ##
【详解】 可以是 与 在 上投影向量的数量积．如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转
，设正六边形 的中心为 ，
连接 ， ，连接 ，交 于点 ，易得 ， 在 上， ．
过 作 ，垂足为点 ，过 作 ，垂足为点 ．
由题意得 ， ，所以 ，
，
所以 ，所以 ．易证四边形 为矩形，
所以 ．易得 ，
所以 ．
所以当 与 重合时， ．
故答案为：练透核心考点
1．（2023·海南·高一统考）在直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ，动点P满足
，则 的取值范围是__________．
【答案】
【详解】解：由 ，可知点P在以AB为直径的圆O上运动，
设线段CO与圆O交于点D，延长CO与圆O交于点E，则 ， ， ．
则当点P与D重合时， 在 上的投影向量的模最小，此时
；
当点P与E重合时， 在 方向上的投影向量的模最大，此时
．
所以 的取值范围是 ．
故答案为：
2．（2023·上海浦东新·高一上海市建平中学校考）已知平面上两定点A、B满足 ，动点P、Q分别满足 ，则 的取值范围是___．
【答案】[－6,6]
【详解】若 ，
由题意知： 在以 为圆心，1为半径的圆上； 在以 为圆心，2为半径的圆上.
又 ， ，则：
最大时， 同向，此时 ，
最小时， 反向，此时 ，
综上， 的范围为[－6,6].
故答案为：[－6,6]
3．（2023·广东深圳·高一福田外国语高中校考）如图，边长为2的正三角形ABC的边AC落在直线l上，
AC中点与定点O重合，顶点B与定点P重合.将正三角形ABC沿直线l顺时针滚动，即先以顶点C为旋转
中心顺时针旋转，当顶点B落在l上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当 滚动到
时，顶点B运动轨迹的长度为___________；在滚动过程中， 的取值范围为___________.
【答案】 ##
【详解】由题设， 到 过程中，B运动轨迹为两段半径为2，圆心角为 的圆弧，
所以B运动轨迹的长度为 ，轨迹如下图示：所以当 在 轴上时 最小，当 与对应圆弧的圆心连线垂直于 轴时 最大，
故 的范围为 .
故答案为： ， .
方法三：坐标法（自主建系法）
典型例题
例题1．（2023·天津·校联考一模）如图所示，梯形 中， ，点 为 的中点，
， ，若向量 在向量 上的投影向量的模为4，设 、 分别为线段
、 上的动点，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，
梯形 为直角梯形，
，
，即 ，
由 ，同理可得 ，
又向量 在向量 上的投影向量的模为4，所以 ，
以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则 ，
，
所以 ，
由 且 可得 ，
令 ，则由对勾函数单调性知，
当 时单调递减， 时单调递增，
故 ，由 知， ，
故 ，
故选：D
例题2．（2023·河南新乡·统考二模）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条
对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正
方形 的边长为 ，点 在四段圆弧上运动，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，设点 ，易知，以 为半径的左半圆的方程为 ，
以 为半径的右半圆的方程为 ，
所以点 的横坐标 的取值范围是 ，
又因为 ， ，所以， .
故选：B.
例题3．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）如图，在平面四边形 中，
， ， ，若点 为 边上的动点，则 的最小值为
______．
【答案】
【详解】以 点为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图平面直角坐标系，
则 ， ， ，设点 坐标为 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
例题4．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传
统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图
2，正八边形 中，若 ，则 的值为________ ；若正八边形
的边长为2， 是正八边形 八条边上的动点，则 的最小值为______.
【答案】
【详解】
，以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
正八边形内角和为 ，则 ，
所以， ,
,
因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；设 ，则 ，
，则 ，
所以，当点 在线段 上时， 取最小值 .
故答案为： ， .
练透核心考点
1．（2023·北京东城·统考一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动
点，且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以 中点为原点建立如下直角坐标系；
则 ， ， ，
设 ，则 ， ，
则 ，
即 ，则 ，其中 ， ，
则 ，
则 ，
故选：D.
2．（2023·河南开封·统考二模）已知等边 的边长为 ，P为 所在平面内的动点，且 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图构建平面直角坐标系，且 ， ， ，所以 在以 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为 ，
而 ，故 ，
综上，只需求出定点 与圆 上点距离平方的范围即可，
而圆心 与 的距离 ，故定点 与圆上点的距离范围为 ，
所以 .
故选：B
3．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）如图，在四边形 中，
，且 .
(1)求实数 的值；
(2)若 是线段 上的动点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由于 ，所以 ，所以 ，
，所以 ，
所以 .（2）以 为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，
设 ， ，
，
由于 ，
所以 的取值范围是 .
方法四：积化恒等式法
典型例题
例题1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）在 中， ， ，
， ， 是平面上的动点， ， 是边 上的一点，则 的最小值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】取 的中点 ，则 ，
可得 ，
∵ ，当且仅当 在线段 上时，等号成立，
故 ，
显然当 时， 取到最小值 ，
∴ ，
故 .故选：B.
例题2．（2023·全国·模拟预测）如图所示， 是边长为8的等边三角形，点 为 边上的一个
动点，长度为6的线段 的中点为点 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由线段EF的中点为点B，得出 .
.当点P位于点A或点C
时， 取最大值8.
当点P位于 的中点时， 取最小值，即 ，
∴ 的取值范围为 ，∴ 的取值范围为 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023·全国·模拟预测）在边长为2的等边三角形 中， 为边 上的动点，则 的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取 的中点为 ，连接 ，则
，因为当 时， 取得最小值，
此时 ，所以 .
故选：C
2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在三角形 中， 是 的
中点．
(1)求 在 上的投影向量；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【详解】（1） 在 上的投影向量的模长即 ，
故 在 上的投影向量为 ．
（2） ，
因为 ， ，
所以 ，即 ， ，
故 的取值范围为 .
