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1.1 集合的概念（讲义）
目录
1
知识点01 集合的概念................................................................................2
2
知识点02 集合的分类................................................................................2
3
知识点03 集合的五种表示方法...............................................................2
4
知识点04 元素与集合关系.......................................................................4
5
知识点05 集合中元素的特征...................................................................4
6
知识点06 常见数集与符号.......................................................................4
7
题型一、元素和集合的关系.....................................................................5
8
题型二、元素的互异性.............................................................................9
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1
知识点01 集合的概念
(1)
集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合
(2)
集合与元素的表示
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，
c，…表示集合中的元素
2
知识点02 集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集
（1）有限集：
①含有有限个元素的集合是有限集.
②集合A ={1,2,3,4,5}，其中元素的个数为有限个，故为有限集.
③有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在
图中
来表示.
（2）无限集：
①含有无限个元素的集合是无限集.
②集合B ={x|0< x<5}，其中元素的个数为无限个，故为无限集.
③无限集通常用描述法表示.
（3）空集：不含任何元素的集合，记作∅.
【特别提醒】
空集可以看成包含0 个元素的集合，所以空集是有限集.
3
知识点03 集合的五种表示方法
（1） 自然语言表示法：
用文字语言形式来表示集合的方法．
例如：小于3 的实数组成的集合．
（2） 列举法：
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的
方法叫做列举法。注用列举法表示集合时注意：
①
元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素不能重复．
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（3） 描述法：
一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P(x)的元素
x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或
变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4） 区间表示法：
在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．
为了方便起见，我们引入区间的概念．
①一般区间的表示．
设a，b∈R，且a<b，规定如下：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
②特殊区间的表示.
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x<a}
符号
( －∞，＋
∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
【特别提醒】
用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示
不包括在区间内的端点．
（5） venn（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为
图.
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4
知识点04 元素与集合关系
①属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A，记作a∈A
②不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A，记作
a∉A
5
知识点05 集合中元素的特征
①确定性：集合的元素必须是确定的
②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的
③无序性：集合中的元素可以任意排列，所以元素相同且元素的个数相
同的集合是同一个集合，即两个集合相等
6
知识点06 常见数集与符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
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7
题型一、元素和集合的关系
1.给出下列6 个关系：①√2
2 ∈R，②√3∈Z，③0∉N
∗，④√4∈N，
⑤π ∉Q，⑥|−2|∉Z．其中正确命题的个数为（ ）
A．4
B．2
C．3
D．5
【答案】A
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据
，Z，N
∗，N，Q，这几个常用数集的含义判断即可．
【详解】对于①，因为√2
2 为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以
√2
2 ∈R，所以①正确；
对于②，因为
是无理数，所以√3∉Z，所以②错误；
对于③，因为0不是正整数，所以0∉N
∗，所以③正确；
对于④，因为√4 =2∈N，所以④正确；
对于⑤，因为π是无理数，所以π ∉Q，所以⑤正确；
对于⑥，因为|−2|=2∈Z，所以⑥错误．
故选：A．
2.已知集合A 中元素x满足−√5≤x ≤√5，且x∈N
∗，则必有
（ ）
A．－1∈A B．0∈A C．√3∈A D．1∈A
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】利用列举法求解即可.
【详解】因为−√5≤x ≤√5，
又x∈N
∗，
所以x的可能取值1,2.
故选：D.
3.下列关系正确的是（ ）
A．0∈N
∗B．π ∈Q
C．0∈∅
D．√2∈R
【答案】D
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【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】由元素与集合的关系逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为0 不是正整数，所以0∉N
∗，所以A 错误，
对于B，因为π是无理数，所以
，所以B 错误，
对于C，因为空集是不含任何元素的集合，所以0∉∅，所以C 错误，
对于D，因为√2是实数，所以√2∈R，所以D 正确，
故选：D
4.下列结论不正确的是（ ）
A．0∈N
B．2∉Q
C．0∈Q
D．
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为0∈N，2∈Q，0∈Q，
，ACD 对，B 错.
故选：B.
5.下列关系中①1
2 ∈Q，②√2∈R，③0∈N
∗④π ∈Z，正确的个
数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系进行判断.
【详解】解：对于①：1
2是一个有理数，Q是有理数集，∴1
2 ∈Q；故①正
确．
对于②：√3是实数， R是实数集；∴√2∈R；故②正确．
对③：0是一个自然数，但不是正整数，N
∗是正整数集，∴0∉N
∗；故③错
误．
对于④：π是实数但不是整数，
是整数集，∴π ∉Z； 故④错误；
故正确的有2 个
故选：B．
6.关于集合下列正确的是
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A．0∉N
B．∅∈R C．0∉N
∗D．1
2 ∈Z
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系
【详解】0∉N 错误，∅∈R错误，0∉N*正确，1
2∈Z 错误，故选C.
7.下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）
①−1∈N*；②√2∉Z；③3
2∈Q；④π∈Q
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据相关概念直接判断元素与集合关系.
【详解】①−1不是正整数，∴−1∈N*错误；
②√2是无理数，∴√2∉Z正确；
③3
2是有理数，∴3
2 ∈Q正确；
④π 是无理数，∴π∈Q 错误；
∴表示正确的为②③．
故选：B
8.下列元素与集合的关系判断正确的是（ ）
A．0∈N
B．π ∈Q
C．√2∉R
D．−1∉Z
【答案】A
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素和集合的关系逐一判断即可.
【详解】因为0 属于自然数，所以0∈N，A 正确，
因为π为无理数不是有理数，所以π ∉Q，B 错误，
因为√2为实数，所以√2∈R，C 错误，
因为−1为整数，所以−1∈Z，D 错误，
故选：A
9.设集合A = {x| x<2}，则（ ）
A．2∈A B．0∉A
C．√3∉A
D．√3∈A
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【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系
【解析】根据集合的定义判断．
【详解】集合A是由小于2 的实数组成，0 和
都小于，应该属于A，2 不
小于2，不属于A．
故选：D.
10.
下列关系中正确的个数为（ ）
①2∈R，②√2∈Z， ③0∈N，④ |−√3|∈Q．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据R，Z，N，Q，这几个常用数集的含义判断即可.
【详解】对于①，因为2为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以
2∈R，所以①正确；
对于②，因为√2是无理数，所以√2∉Z，所以②错误；
对于③，因为0是自然数，所以0∈N，所以③正确；
对于④，因为|−√3|=√3是无理数，所以|−√3|∉Q，所以④错误.
故选：B.
11.
下列关系正确的是（ ）
A．0∈N
∗B．5
2 ∈Z
C．−√2∈Q
D．−7.8∈R
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用
【分析】N
∗,Z ,Q , R分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，得
到答案.
【详解】N
∗,Z ,Q , R分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，
由0∉N
∗，5
2 ∉Z，−√2∉Q，−7.8∈R，可得ABC 错误，D 正确.
故选：D.
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12.
下列关系中正确的是（ ）
A．π ∉R
B．−√3∈Q
C．−3∈Z
D．0∉N
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用
【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可.
【详解】选项A：R表示实数集，所以π ∈R，说法错误；
选项B：Q表示有理数集，所以−√3∉Q，说法错误；
选项C：Z表示整数集，所以−3∈Z，说法正确；
选项D：N表示自然数集，所以0∈N，说法错误；
故选：C
8
题型二、元素的互异性
1.集合
中的x不能取的值是（ ）
A．0 B．1
C．2
D．3
【答案】C
【知识点】利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据集合的互异性，即可求解.
【详解】由集合的互异性可知，x≠x
2−1，或x≠2，或x
2−1≠2，
得x≠1±√5
2
，或x≠2，或
，
故选：C
2.已知集合A ={a−2,a
2+ 4 a,10}，若−3∈A，则实数a的值为
（ ）
A．−3
B．1
C．−3或−1
D．无解
【答案】A
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】由题意得a−2=−3或a
2+ 4 a=−3，解方程，由集合元素的互异性
即可求.
【详解】因为−3∈A，
所以a−2=−3或a
2+ 4 a=−3，
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当a−2=−3即a=−1时，A = {−3,−3,10}，不符合集合元素的互异性，
故a=−1不符合题意，舍；
当a
2+ 4 a=−3即a=−1（舍）或a=−3时，A = {−5,−3,10}，符合题意，
故a的值为−3.
故选：A
3.已知集合A ={0,1,a
2}， B = {0,1,2a+3}，若A = B，则a等于
（ ）
A．−1或3
B．0或1 C．3 D．−1
【答案】C
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数
【分析】根据集合相等即元素相同解出a，再根据集合元素互异性求出a值.
【详解】由A = B有a
2=2a+3，解得a=−1或3，
当a=−1时，A = {0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，舍去.
当a=3时，A = {0,1,9}= B，满足题意.
故选：C.
4.已知集合A ={0,4 ,a
2}，B = {0,4,3a−2}，若A = B，则a 的值是
（ ）
A．1 或2
B．−1或0 C．1
D．−1
【答案】C
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数
【分析】根据集合相等有a
2=3a−2求参数，结合集合元素的互异性确定参
数值.
【详解】由题设a
2=3a−2⇒(a−1)(a−2)=0，可得a=1或a=2，
当a=1时，a
2=3a−2=1，满足题设；
当a=2时，a
2=3a−2= 4，不符合集合元素的互异性；
所以a=1.
故选：C
5.（多选题）已知集合A 中三个元素分别为2，
，
，若
0
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，则x 的取值可能为（ ）
A．−1 B．0
C．1
D．2
【答案】AD
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性求解.
【详解】由1∈A，则x
2−3 x +3=1或x
2=1，
若x
2−3 x +3=1，解得x =1或2，代回集合检验可得x =2合题意，x =1（舍
去），
若x
2=1，解得x =±1，代回集合检验可得x =−1合题意，x =1（舍去），
综上，x的可能取值为−1或2.
故选：AD.
6.若
，则实数a= ．
【答案】−2
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证．
【详解】当a= 4时，
，不满足元素的互异性，舍去.
当
时，解得a=−2或4，
当a= 4时，不符合题意，
当a=−2时，集合为{−1,−2,4 }，符合题意,
所以a=−2．
故答案为：−2．
7.已知集合
，
，且A = B，则实数y的值为 .
【答案】1
【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据元素的互异性，确定x , y的范围，根据集合相等列方程求x , y即可.
【详解】因为A = {x , y}，B ={2 x ,2 x
2}，
所以x≠y，且2 x≠2 x
2，
所以
，且x≠1，x≠y，
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因为A = B，
所以{
x =2 x
y =2 x
2
或{
x =2 x
2
y =2 x
，
由{
x =2 x
y =2 x
2
，可得{
& x =0
& y =0
（舍去），
由{
x =2 x
2
y =2 x
，可得{
& x =0
& y =0
（舍去）或{
x = 1
2
y =1
，
所以y =1.
故答案为：1.
8.已知集合A ={a,a
2−a}，且2∈A，则a= .
【答案】-1
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】分a
2−a=2和a=2两种情况，利用元素互异性排除不合要求的解，
得到答案.
【详解】集合A ={a,a
2−a},2∈A，
当a
2−a=2时，解得a=−1或a=2，
当a=−1时，A = {−1,2}，满足要求，
当a=2时，不满足元素互异性，舍去，
当a=2时，a
2−a=2，不符合题意，所以a=−1.
故答案为：-1
9.已知
，则实数a= .
【答案】−3
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据元素与集合的关系，9 必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当
3a=9和a
2=9两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可.
【详解】由题意得，
，
2
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若3a=9，则a=3，此时a
2=9=3a，
不满足集合元素的互异性，
若a
2=9，则a=3（舍去）或a=−3，
此时
，满足题意.
故答案为：−3.
10.
已知集合A = {1,2,3}，B = {1,m,m+2}，若2−m∈A，则实数m=
.
【答案】0
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】由已知集合A的元素，分类讨论求参数m值，再根据集合的性质确定m的值.
【详解】若2−m=1，则m=1，此时集合B违背互异性，不符合要求；
若2−m=2，则m=0，此时B = {1,0,2}，符合要求；
若2−m=3，则m=−1，此时集合B违背互异性，不符合要求；
综上所述，m=0.
故答案为：0.
11.
设m是实数，集合M ={m,m
2}，若1∈M，则m= .
【答案】−1
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可.
【详解】若m=1，则
，不符合集合元素的互异性；
若
，则m=−1（正值舍），此时M = {−1,1}，满足；
综上，m=−1.
故答案为：−1
12.
已知集合A ={a−3,2a+1,a
2+1}，集合
.
(1)
若−3∈A，求a的值；
(2)
是否存在a 和x 的值使得A = B，若存在，求出a 和x 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)−2
(2)不存在，理由见解析
3
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【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数
【分析】（1）转化条件
或2a+1=−3，验证元素的互异性即可求解；
（2）按照a−3=0，
讨论，验证即可求解.
【详解】（1）∵−3∈A，
当
，即a=0时，此时2a+1=1,a
2+1=1，A = {−3,1,1}不成立，
当2a+1=−3，即a=−2，此时a−3=−5,a
2+1=5，A = {−5,−3,5}成立，
∴a=−2；
（2）由题意可得，
，
若a−3=0，则a=3, A = {0,7,10}≠B，不符合题意，
若
，则a=−1
2 , A ={0,−7
2 , 5
4}≠B，不符合题意，
故不存在实数a 和x 的值，使得A = B.
4
