第二章函数
§2.12 函数与方程的综合应用
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
函数与方程
的综合应用
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新
Ⅱ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·
全国甲卷、
2024·天津卷、
2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ
卷、
2022·天津卷、2022·北京卷
2021·北京卷、2021·天津卷
函数与方程的综合应
用是历年高考的一个热点
内容，经常以客观题出
现，考查函数的性质，结
合函数图象研究函数的零
点或方程的根的分布、个
数等。
【名师点拨】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观
题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分
布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置。
题型一 由零点分布求值(范围)
命题点1 二次函数的零点分布
例1.(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m 的两个零点分别为x1，x2，且
x1<x2，则下列结论正确的是( )
A.当x1>0 且x2>0 时，0<m<1
B.当x1<1 且x2>1 时，m<1
C.当－2<x1<0 且0<x2<4 时，m<－4
5
D.当x1<2 且x2>4 时，m<－4
5
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意得{
x1＋x2＝3−m>0,
x1 x2＝m>0,
Δ＝(m−3)
2−4 m>0,
解得0<m<1，A 正确；
对于B，f(1)＝2m－2<0，解得m<1，B 正确；
对于C,{
f (−2)＝10−m>0,
f (0)＝m<0,
f (4)＝5m＋4>0,
解得－4
5<m<0，C 错误；
对于D,{
f (2)＝3m−2<0,
f (4)＝5m＋4<0,解得m<－4
5 ,D 正确.
命题点2 其他函数的零点分布
例2.已知定义在R 上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0，1]时，f(x)＝
－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx 在区间[－1，m]上有10 个零点，则m 的取
值范围是( )
A.[3.5，4)
B.(3.5，4]
C.(5，5.5]
D.[5，5.5)
【答案】A
【解析】由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2 的
奇函数，
当x∈(0，1]时，f(x)＝－log2x，
因此f(
1
2)＝－log21
2＝1，f(1)＝0，
所以f(0)＝0，f(−1
2)＝－1，f(－1)＝0，
且g(x)＝sin πx 的周期为T＝2π
π ＝2，
且g(－1)＝0，g(−1
2)＝－1，g(0)＝0，g(
1
2)＝1，g(1)＝0，
求F(x)＝f(x)－sin πx 的零点个数，
即求f(x)与g(x)图象的交点个数，
如图为f(x)与g(x)在区间[－1，1]的图象，
因为f(x)与g(x)均为周期为2 的周期函数，
因此交点也呈周期出现，
若在区间[－1，m]上有10 个零点，即两函数图象在[－1，m]上有10 个交点，
则第10 个交点坐标为(3.5，－1)，第11 个交点坐标为(4，0)，因此3.5≤m<4.
【解题技巧】
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式，决定函数与x 轴的交点个数；
(4)区间端点值.
【变式训练】
变式1.设方程x2－2ax－a＝0 的两实根满足x1<x2<1，则实数a 的取值范围为(
)
A.(−1
3 ,1)
B.(−∞,−1
3)∪(0，1)
C.(－∞，－1)∪(0, 1
3)
D.(−1, 1
3)
【答案】C
【解析】设f(x)＝x2－2ax－a，则其图象的对称轴方程为x＝a，
由x1<x2<1 可得{
a<1,
f (1)＝1−3a>0,
Δ＝4 a
2＋4 a>0,
解得a<－1 或0<a<1
3.
变式2.已知函数f(x)＝{
4 x＋6, x ≤0,
|ln x|, x>0, 若g(x)＝f(x)－m 恰有3 个零点x1，x2，
x3，则x1x2x3的取值范围是( )
A.(−3
2 ,0)
B.(−3
2 ,0]
C.(－∞，0]
D.(－∞，0)
【答案】B
【解析】不妨设x1<x2<x3，
由图可知，当0<m≤6 时，直线y＝m 与函数f(x)的图象有三个交点，
且有－3
2<x1≤0，0<x2<1<x3，
由f(x2)＝f(x3)，即|ln x2|＝|ln x3|，
得ln x3＝－ln x2，
所以ln x2＋ln x3＝ln(x2x3)＝0，
即x2x3＝1，故x1x2x3＝x1∈(−3
2 ,0].
题型二 复合函数的零点
命题点1 复合函数的零点个数判定
例1.(多选)已知函数f(x)＝{
x
2−kx ＋1, x ≤0,
lo g2 x , x>0,
下列关于函数y＝f(f(x))＋1 的零点
个数的说法中，正确的是( )
A.当k>1 时，有1 个零点
B.当k>1 时，有3 个零点
C.当k<0 时，有9 个零点
D.当k＝－4 时，有7 个零点
【答案】AD
【解析】由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1，
则函数y＝f(f(x))＋1 的零点个数即为方程f(f(x))＝－1 解的个数，
设t＝f(x)，则f(t)＝－1，二次函数y＝x2－kx＋1 的图象开口向上，过点(0，1)，
对称轴为直线x＝k
2 ,
当k>1 时，y＝x2－kx＋1 在(－∞，0]上单调递减，且y≥1，如图，
由f(t)＝－1，得log2t＝－1，解得t＝1
2 ,
由f(x)＝t，得log2x＝1
2 ,解得x＝❑√2,
因此当k>1 时，函数y＝f(f(x))＋1 的零点个数是1，A 正确，B 错误；
当k＝－4 时，f(x)＝{
x
2＋4 x＋1, x ≤0,
lo g2 x , x>0,
作出函数f(x)的图象，如图，
由图象知函数f(x)的值域为R，
令t＝f(x)，则f(t)＝－1 有3 个根，
当t>0 时，log2t＝－1，解得t＝1
2；
当t≤0 时，t2＋4t＋1＝－1，解得t＝－2±❑√2,
当t＝1
2 ,即f(x)＝1
2时，
若x>0，则log2x＝1
2 ,解得x＝❑√2,
若x≤0，则x2＋4x＋1＝1
2 ,解得x＝－2±
❑√14
2
,此时共有3 个解；
当t＝－2＋❑√2,即f(x)＝－2＋❑√2时，若x>0，则log2x＝－2＋❑√2有1 个解，
若x≤0，则x2＋4x＋1＝－2＋❑√2,即(x＋2)2＝1＋❑√2有2 个解，此时共有3 个解；
当t＝－2－❑√2,即f(x)＝－2－❑√2时，若x>0，则log2x＝－2－❑√2有1 个解，
若x≤0，则x2＋4x＋1＝－2－❑√2,即(x＋2)2＝1－❑√2<0 无解，此时共有1 个解.
因此当k＝－4 时，函数y＝f(f(x))＋1 的零点个数是7，D 正确，C 错误.
命题点2 根据复合函数零点求参数
例2.(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝{
−x
2−4 x−2, x ≤0,
|ln x|, x>0,
若函数g(x)＝
3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m 有5 个不同的零点，则实数m 的值可能是( )
A.－5
B.－6
C.－7
D.－8
【答案】CD
【解析】令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0，
即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0，
解得f(x)＝1 或f(x)＝m
3 ,
如图，画出函数f(x)的图象，
当f(x)＝1 时，直线y＝1 与y＝f(x)的图象有4 个交点，
所以直线y＝m
3 与y＝f(x)的图象只能有1 个交点，
则m
3 <－2，得m<－6，
结合选项可知，m 的值可能是－7 或－8.
【解题技巧】
对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别
为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
【变式训练】
变式1.若函数f(x)＝{
1＋ln x , x>0,
x
2＋4 x＋3, x ≤0,则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】C
【解析】当x>0 时，由1＋ln x＝0，得x＝1
e ,
当x≤0 时，由x2＋4x＋3＝0，得x＝－1 或x＝－3，
所以f(x)的零点为－3，－1, 1
e ,
令t＝f(x)，则t∈R，f(t)＝0 的根分别为t1＝－3，t2＝－1，t3＝1
e ,
结合f(x)的图象可知，方程f(x)＝t1，f(x)＝t2，f(x)＝t3的根的个数分别为1，2，
3，故g(x)＝f(f(x))的零点个数为6.
变式2.函数f(x)＝{
ln(−x−1), x<−1,
2 x＋1, x ≥−1,
若函数g(x)＝f(f(x))－a 有三个零点，则实
数a 的取值范围是 .
【答案】[－1，＋∞)
【解析】设t＝f(x)，则t∈R，
令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).
在同一平面直角坐标系内作出直线y＝a，y＝f(t)的图象，如图所示.
①当a≥－1 时，直线y＝a 与y＝f(t)的图象有两个交点，
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，
则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1 时，t1＝f(x)有一个解；
当t2≥－1 时，t2＝f(x)有两个解，
此时g(x)＝f(f(x))－a 有三个零点，满足题意；
②当a<－1 时，直线y＝a 与y＝f(t)的图象有一个交点.
设交点的横坐标为t3，则t3<－1，
此时t3＝f(x)有一个解，不满足题意，
综上所述，当a≥－1 时，函数g(x)＝f(f(x))－a 有三个零点.
【限时训练】（45 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.若方程－x2＋ax＋4＝0 的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a 的取值
范围是( )
A.(0，3)
B.[0，3]
C.(－3，0)
D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
【答案】A
【解析】令f(x)＝－x2＋ax＋4，
则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，
由二次函数的图象可知，
{
f (2)>0,
f (−1)>0,即{
−2
2＋a·2＋4>0,
−(−1)
2＋a·(−1)＋4>0,
解得0<a<3.
2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝{
3 x
2−12 x＋12, x ≥1,
|3
x−1|, x<1,
若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)
＝t，且x1≠x2≠x3≠x4，则实数t 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(0，2)
C.(0，3)
D.(1，3)
【答案】A
【解析】由题意，作出y＝f(x)的大致图象，如图所示，
要使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，
即函数y＝f(x)与y＝t 的图象有4 个不同的交点，则0<t<1，
所以实数t 的取值范围是(0，1).
3.已知函数f(x)＝{
−x
2−x , x ≤0,
ln x , x>0,
函数g(x)＝f(x)－m 有三个零点x1，x2，x3，则
x1·x2·x3的取值范围是( )
A.[0, 1
4)
B.[0, 1
e)
C.[0, e
1
4
4 )
D.[0，e]
【答案】C
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，
不妨设x1<x2<x3，则方程f(x)＝m 有三个不同的根，则0≤m<1
4 ,
当x≤0 时，－x2－x－m＝0，得x2＋x＋m＝0，
则x1·x2＝m；
当x>0 时，ln x3＝m，x3＝em，
则x1·x2·x3＝mem，
设h(m)＝mem(0≤m< 1
4),
则h'(m)＝(m＋1)em>0，
所以h(m)在[0, 1
4)上单调递增，
所以h(m)∈[0, e
1
4
4 ),
即x1·x2·x3的取值范围是[0, e
1
4
4 ).
4.(2025·汕头模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0 时，f(x)＝
{(
1
2)
x
,0≤x ≤2,
lo g16 x , x>2,
若关于x 的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a，b∈R)有且只有7 个不同
的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A.(−2,−5
4)
B.(－2，－1)
C.(
1
4 ,1)
D.(
1
4 ,＋∞)
【答案】A
【解析】由题可画出函数f(x)的大致图象，
∵关于x 的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a，b∈R)有且只有7 个不同的实数根，
设t＝f(x)，则t≥1
4 ,结合函数图象，可知方程t2＋at＋b＝0 必有两个根t1，t2，
且t1＝1，t2∈(
1
4 ,1),
∴t1＋t2＝－a∈(
5
4 ,2),
则－2<a<－5
4 ,即a 的取值范围是(−2,−5
4).
5.已知定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，对于任意x∈R,
2
f ( x)−g( x)＝3x
恒成立，若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m 有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围
为( )
A.(－∞，－2❑√5)
B.(0，2❑√3)
C.(2❑√3,2❑√5)
D.(2❑√5,＋∞)
【答案】A
【解析】由
2
f ( x)−g( x)＝3x可得f(x)－g(x)＝2×3－x，
①
所以f(－x)－g(－x)＝2×3x，
因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(x)＋g(x)＝2×3x，
②
由①②，可得f(x)＝3x＋3－x，g(x)＝3x－3－x，
所以y＝3f(x)＋2g(x)＋m＝3(3x＋3－x)＋2(3x－3－x)＋m＝5×3x＋3－x＋m，
令y＝0，上式可化为5×32x＋m×3x＋1＝0，
令t＝3x(t>0)，方程可化为5t2＋mt＋1＝0，
因为函数t＝3x是增函数，若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m 有且仅有两个零点，
只需要方程5t2＋mt＋1＝0 有两个不相等的正实数根，记为t1，t2.
有{
Δ＝m
2−20>0,
t1＋t2＝−m
5 >0,
t1t2＝1
5 >0,
解得m<－2❑√5,
故所求实数m 的取值范围为(－∞，－2❑√5).
6.已知函数f(x)＝{
2
x＋2
2
, x ≤1,
|lo g2( x−1)|, x>1,
则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－3
2的零点个数
是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】A
【解析】令t＝f(x)，则t≥0，
若F(x)＝0，则f(t)－2t－3
2＝0，
作出y＝f(x)的图象和直线y＝2x＋3
2 ,由图象可得有两个交点，设横坐标分别为
t1，t2，t1<t2，
∴t1＝0，t2∈(1，2).
当f(x)＝t1时，有x＝2，即有一解；当f(x)＝t2时，有三个解，
综上，F(x)＝0 共有4 个解，
即函数F(x)有4 个零点.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知x1，x2是关于x 的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根，则
下列说法正确的有( )
A.若1
x1
＋1
x2＝2，则a＝2
B.若x1<1<x2，则a>3
2
C.若0<α<β<π
2 ,且x1＝tan α，x2＝tan β，则α＋β 为锐角
D.若x1，x2均小于2，则a∈(－∞，－❑√2)∪(
❑√2, 3
2)
【答案】ABD
【解析】∵x1，x2是关于x 的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根，
∴Δ＝4a2－8>0，∴a>❑√2或a<－❑√2.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2a，x1x2＝2，
∵1
x1
＋1
x2＝2，
则2x1x2＝x1＋x2，∴4＝2a，
∴a＝2，故A 正确；
令f(x)＝x2－2ax＋2，若x1<1<x2，
则f(1)<0，得a>3
2 ,故B 正确；
若0<α<β<π
2 ,且x1＝tan α，x2＝tan β，则x1＋x2>0，
由{
Δ>0,
2a>0,得a>❑√2,
∵tan(α＋β)＝tan α ＋tan β
1−tan α tan β ＝2a
1−2＝－2a<－2❑√2,
又∵α＋β∈(0，π)，
∴α＋β 为钝角，故C 不正确；
若x1，x2均小于2，则{
f (2)>0,
Δ>0,
a<2,
即{
4−4 a＋2>0,
4 a
2−8>0,
a<2,
∴a∈(－∞，－❑√2)∪(
❑√2, 3
2),故D 正确.
8.已知函数f(x)＝{
e|x −2|, x>0,
−x
2−2 x＋1, x ≤0,则下列结论正确的是( )
A.函数y＝f(x)－x 有2 个零点
B.若函数y＝f(x)－t 有4 个零点，则t 的取值范围为(1，2)
C.若关于x 的方程f(x)＝t 有4 个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4
＝1
D.若关于x 的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0 有8 个不相等的实根，则α 的取值范围为
(2, 9
4)
【答案】BD
【解析】函数y＝e|x－2|的图象关于直线x＝2 对称，函数y＝－x2－2x＋1 的图象
开口向下，关于直线x＝－1 对称，
当x≥2 时，f(x)＝ex－2单调递增，当0<x<2 时，f(x)＝e2－x单调递减，
当x<－1 时，f(x)＝－x2－2x＋1 单调递增，当－1≤x≤0 时，f(x)＝－x2－2x＋1
单调递减，
函数y＝f(x)－x 的零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝x 交点的横坐标，
在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x，如图1，
观察图象知，函数y＝f(x)的图象与直线y＝x 有3 个交点，因此函数y＝f(x)－x
有3 个零点，A 错误；
函数y＝f(x)－t 的零点，即方程f(x)＝t 的根，亦即函数y＝f(x)的图象与直线y＝t
交点的横坐标，
在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝t，如图2，
观察图象知，当1<t<2 时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝t 有4 个交点，
因此函数y＝f(x)－t 有4 个零点，则t 的取值范围为(1，2)，B 正确；
若关于x 的方程f(x)＝t 有4 个不相等的实根x1，x2，x3，x4，不妨设
x1<x2<x3<x4，如图2，
显然有x1＋x2＝－2，x3＋x4＝4，因此x1＋x2＋x3＋x4＝2，C 错误；
令f(x)＝m，由选项B 知，当且仅当m∈(1，2)时，方程f(x)＝m 有4 个不相等的
实根，
要关于x 的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0 有8 个不相等的实根，
则当且仅当方程m2－3m＋α＝0 在(1，2)上有2 个不相等的实根，
则{
Δ＝9−4 α >0,
f (1)＝α −2>0,
f (2)＝α −2>0,
解得2<α<9
4 ,
所以α 的取值范围是(2, 9
4),D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.若方程x2－mx－m＋3＝0 满足一个根在(0，1)之间，一个根在(1，2)之间，则
实数m 的取值范围为 .
【答案】(2, 7
3)
【解析】设f(x)＝x2－mx－m＋3，
由题意可得{
f (0)＝3−m>0,
f (1)＝4−2m<0,
f (2)＝7−3m>0,
解得2<m<7
3.
因此，实数m 的取值范围是(2, 7
3).
10.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)＝{
|3
x−1|, x ≤2,
x
2−10 x＋24 , x>2,若方程2[f(x)]2－mf(x)＝0
有6 个不相等的实根，则非零实数m 的取值范围为 .
【答案】[2，16)
【解析】函数f(x)＝{
|3
x−1|, x ≤2,
x
2−10 x＋24 , x>2的图象如图，且f(2)＝8，
由2[f(x)]2－mf(x)＝0，可得f(x)＝0 或f(x)＝m
2 ,
由图象可知方程f(x)＝0 有3 个不相等的实根，
又方程2[f(x)]2－mf(x)＝0 有6 个不相等的实根，
则f(x)＝m
2 有3 个不相等的实根，
所以m
2 ∈[1，8)，解得m∈[2，16).
