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2.7 函数图像
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2
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考点一 作函数图像
【例1】（2024 上海·专题练习）由函数
图像，画出下列各函数图像.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】图像见解析
【解析】（1）由于
与
关于
轴对称，可得图象如下：
.
（2）由于
与
关于
轴对称，可得图象如下：
.
（3）由于
，可得图象如下：
.
（4）由于
为偶函数，可得图象如下：
5
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.
（5）将
向右平移1 个单位可得
，可得图象如下：
.
（6）将
向左平移1 个单位可得
，
易得
为偶函数，当
时，
，
所以
在
轴左侧的图象由
的图象关于
轴对称而得，如图，
.
【一隅三反】
1．（2024 高三·全国·专题练习）（1）利用函数f（x）＝2x 的图象，作出下列各函数的图象．
① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）.
（2）作出下列函数的图象．
① y＝（
）
|x|；
② y＝|log2（x＋1）|；
③ y＝
.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】解：（1） ① 把f（x）的图象关于y 轴对称得到y＝f（－x）的图象，如图．
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② 保留f（x）图象在y 轴右边部分，去掉y 轴左侧的，并把y 轴右侧部分关于y 轴对称得到y＝f（|x|）的图象，
如图．
③ 把f（x）图象向下平移一个单位长度得到y＝f（x）－1 的图象，如图．
④ 结合③，保留x 轴上方部分，然后把x 轴下方部分关于x 轴翻折得到y＝|f（x）－1|的图象，如图．
⑤ 把f（x）图象关于x 轴对称得到y＝－f（x）的图象，如图．
⑥ 把f（x）的图象向右平移一个单位长度得到y＝f（x－1）的图象，如图．
（2） ① 作出y＝（）x（x≥0）的图象，再将y＝（）x（x≥0）的图象以y 轴为对称轴翻折到y 轴的左侧，
即得y＝（）
|x|的图象，如图①中实线部分．
② 将函数y＝log2x 的图象向左平移1 个单位长度，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y＝|
log2（x＋1）|的图象，如图②中实线部分．
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③ 因为y＝
＝2＋
，故函数图象可由y＝的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得
到，如图③.
考点二 根据解析式选图像
【例2-1】（2024·福建·模拟预测）函数
在
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以函数
为偶函数，图象关于
轴对称，故排除答案CD，
又
，
，
设
，
，则
，
.
所以
在
上为增函数，又
，
所以
在
上恒成立，即
在
上单调递增，故排除B.
故选：A
【例2-2】（2024 湖北）函数y＝xcos x＋sin x 在区间[－π，π]上的图象可能是( )
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【答案】 A
【解析】当x＝π 时，y＝π·cos π＋sin π＝π·(－1)＋0＝－π；当x＝－π 时，y＝－π·cos(－π)
＋sin(－π)＝－π·(－1)＋0＝π.故函数图象过(π，－π)，(－π，π)两点.故选A.
【一隅三反】
1．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百
般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来
分析函数的图象特征．则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知：
的定义域为
，关于原点对称，
且
，可知
为奇函数，排除AB，且
，排除D.
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，即
，得
，且
，
所以
的定义域为
；
又
，所以
为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，C；
又
，所以排除D．
故选：A．
3．（2024·全国·模拟预测）函数
的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】函数
的定义域为
，关于原点对称，
又
，
，
所以函数
为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项A，C．
因为
，排除选项B.
（另解：当
时，
，所以
，排除选项B）．
故选：D．
考点三 根据图像选解析式
【例3-1】（2024·宁夏固原·一模）已知函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于B，当
时，
，易知
，
，
则
，不满足图象，故B 错误；
对于C，
，定义域为
，
又
，则
的图象关于
轴对称，故C 错误；
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对于D，当
时，
，
由反比例函数的性质可知，
在
上单调递减，故D 错误；
检验选项A，
满足图中性质，故A 正确.
故选：A.
【例3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，用排除法分析：
对于选项A：
，当
时，有
，不符合题意；
对于选项B：当
时，
，不符合题意；
对于选项D：
的定义域为
，不符合题意；
故选：C．
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·一模）已知函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】观察图象可知函数为偶函数，
对于A，
，为奇函数，排除；
对于B，
，为奇函数，排除；
同理，C、D 选项为偶函数，而对于C 项，其定义域为
，不是R，舍去，故D 正确.
故选：D
2．（2024·陕西西安·二模）已知函数
的图象如图所示，则函数
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，函数
的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0 时无意义，不
符合题意，排除；
对于C，当
时，
，不符合图象，排除；
对于D，当
时，
，不符合图象，排除.
故选：B
3．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定
理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直
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观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已
知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数图象可知，
的图象不关
轴对称,
而
，
，
即这两个函数均关于
轴对称，则排除选项
、
；
由指数函数的性质可知
为单调递增函数，
为单调递减函数，
由
的图象可知存在一个极小的值
，使得
在区间
上单调递增，
由复合函数的单调性可知，
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，
由图象可知
符合题意，
故选：
.
考点四 函数图像的伸缩平移
【例4-1】（2023·河南·模拟预测）已知图1 对应的函数为
，则图2 对应的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【解析】根据函数图象知，当
时，所求函数图象与已知函数相同，
当
时，所求函数图象与
时图象关于
轴对称，
即所求函数为偶函数且
时与
相同，故BD 不符合要求，
当
时，
，
，故A 正确，C 错误.
故选：A.
【例4-2】（2024·江西赣州·二模）已知函数
的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的
函数解析式（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
①关于y 轴对称②向右平移1 个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
【例4-3】（2024·河南）已知函数
，则下列函数图象关于点
对称的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
，定义域为
，则
，故函数
为奇函数，则关于原点对称，因此函数
为函数
向右平移一个单位得到，故函数
关
于
对称，且函数
关于点
对称，因此函数
关于点
对称，
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024 浙江）已知函数
的周期为1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的周期为，则函数
的周期为
，
所以
，A 选项正确.
BCD 选项无法判断.
故选：A
2．（2024·北京）将函数
的图象向下平移1 个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将函数
的图象向下平移1 个单位长度,可得
再向右平移1 个单位长度，可得
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所以
故选：D
3．（2024·四川南充·二模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称 B．关于点
对称C．关于点
对称D．关于点
对称
【答案】A
【解析】因为
，所以
，即
的图象关于原点对称，
函数
的图象可由
的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数
的图象关于点
对称.
故选：A.
考点五 函数图像在实际生活应用
【例5-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点
在边长为1 的正方形边上运动，
是
的中点，当点
沿
运动时，点
经过的路程
与
的面积
的函数
的图象的形状大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当点
在
上时，
，
当点
在
上时，
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，
当点
在
上时，
，
其中A 选项符合要求，B、C、D 都不符合要求，故A 正确.
故选：A.
【例5-2】（2024·广东广州）如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从
孔中匀速流出，水流完所用时间为
若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t，则函数
的图象大致是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
是关于t 的减函数，故排除C，D，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一
半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选B．
【一隅三反】
1．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，
他从点
处出发，沿箭头方向经过点
、
、
返回到点
，共用时
秒，他的同桌小陈在固定点
位置观
察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为
（单位：米），若
，则
的图象大致为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题图知，小李从点
到点
的过程中，
的值先增后减，
从点
到点
的过程中，
的值先减后增，
从点
到点
的过程中，
的值先增后减，从点
到点
的过程中，
的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即
的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D 选项合
乎题意，
故选：D.
2．（2024 北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15 分钟内的速度
（单位：米/分钟）与
时间
（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”
为无人机在时间段
内的最大速度与最小速度
的差，则
的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【解析】由题意可得，当
时，无人机做匀加速运动，
，“速度差函数”
；
当
时，无人机做匀速运动，
，“速度差函数”
；
当
时，无人机做匀加速运动，
，“速度差函数”
；
当
时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”
，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，
故选：C.
3．（2024 山东济宁）点P 从O 点出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O､P 两点的距离y 与点P
所走路程x 的函数关系如图所示，那么点P 所走的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：
①点
运动到周长的一半时，
最大；②点
的运动图象是抛物线，
设点
为周长的一半，如下图所示：
图1 中，因为
，不符合条件①，因此排除选项A；
图4 中，由
，不符合条件①，并且
的距离不是对称变化的，因此排除选项D；
另外，在图2 中，当点
在线段
上运动时，此时
，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项
B.
故选：C
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4.（2024 甘肃）下列所给4 个图像中，与所给3 件事吻合最好的顺序为( )
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
A．(1)(2)(4)
B．(2)(3)(4)
C．(1)(3)(4)
D．(4)(1)(2)
【答案】D
【解析】(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
根据描述，离家的距离先增加，再减少到零，再增加，如此只有图像(4)符合；
(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
根据描述，离家的距离应该先沿直线上升，然后与x 轴平行，最后继续沿直线上升，符合的为图像(1)；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
图像应该先缓慢上升，后快速上升，符合的图像为(2).
故选：D.
考点六 函数图像的应用
【例6-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数
的图象关于直线
对称，对任意的
，都有
成立，且当
时，
，若在区间
内方程
有5 个
不同的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的图象关于直线
对称，
所以函数
的图象关于
轴对称，
因为对任意的
，都有
成立，
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所以
，
所以函数
的周期为4，
画出函数
在区间
上的图象，如图所示：
若在区间
内方程
有5 个不同的实数根，
即函数
与
的图象有5 个交点，
显然
，则
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故选：D．
【例6-2】（2024·天津红桥·一模）设函数
，若
有四个实数根
，
，
，
，且
，则
的取值范围 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，其图象如图所示，
又
有四个实数根，由图知
，得到
，即
，且
，
由
，得到
或
，所以
，
所以
，
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令
，
，易知
在区间
上单调递增，所以
，
所以
的取值范围为
，
故答案为：
.
【一隅三反】
1．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数
，若函数
有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，故
，
画出
与
的图象，
函数
有3 个零点，即
与
图象有3 个不同的交点，
则
，
解得
.
故选：D
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2．（2023·山东济南·三模）已知函数
若函数
有四个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
依题意，函数
有四个不同的零点，即
有四个解，
转化为函数
与
图象由四个交点，
由函数函数
可知，
当
时，函数为单调递减函数，
；
当
时，函数为单调递增函数，
；
当
时，函数为单调递减函数，
；
当
时，函数为单调递增函数，
；
结合图象，可知实数
的取值范围为
.
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）函数
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为
．
【答案】10
【解析】因为
，所以函数
的图象关于直线
对称，
且
在
上单调递减，在
上单调递增，
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所以
的最小值为
．
所以函数
的图象关于直线
对称，且
的最大值为2．
由于
的图象和
的图象都关于直线
对称，
所以先考虑两个图象在
上的情形，
易知
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减．
易知
，
，
所以可作出函数
与
的大致图象如图所示，
所以
的图象和
的图象在
上有5 个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10 个交点，且两两关于直线
对称，
因此所有交点的横坐标之和为
．
故答案为:
.
4．（2023·吉林·一模）已知函数
若函数
有4 个零点．则
实数
的取值范围是 ．
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【答案】
【解析】当
且
时，
，
，
当
且
时，
；当
时，
．
故
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
取得极小值
，
时，
；
时，
由
解析式可知，
为奇函数．画出
图象大致如下：
令
得
，设
，
得关于的方程
（*）
恒成立，设（*）式有两个不等实根
，
，
当
，
时，即
，满足题意，
当
或
，满足题意，
方法一：
令
，则
或
，
故
或
，
综上，实数
的取值范围是
．
方法二：
26
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（*）式化为
，令
，
易知
在
，
上单调递增，
且
，
，
，
其图象大致如图：
当
或
时，满足
或
，
综上，实数
的取值范围是
．
一．单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
27
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C．
D．
【答案】D
【解析】
的定义域为
，
，
函数
是奇函数，
的图象关于原点对称，排除A，C；
当
时，
，
（提示：
，故当
时，
，得
）
，
，排除B．
故选:D．
2．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】由函数
，
，令
，解得
，
则其定义域为
，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D 选项，因为
，观察选项可知，选A.
故选：A
3．（2024·天津·一模）如图是函数
的部分图象，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图可知：
的图象关于
轴对称，则为偶函数，
对于A，
，为偶函数，
但当
取一个很小的正数，例如
，选项中的
，而原图象中值为负数，故A 不符合，舍去，
对于B,
,为偶函数，但是
处有意义，但是原函数在
处无意义，故
B 不符合，
对于C，
，为奇函数，故C 不符合，
故选：D
4．（23-24 高三上·天津·期末）已知函数
在
上的大致图象如图所示，则
的解析式可能为
29
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可知函数
为奇函数，
若
，则有
，
若
，则有
，
所以
与
都不是奇函数，故排除AD；
而由
，可排除B，
若
，经检验 C 选项符合题意.
故选：C.
5．（2023·河北·模拟预测）如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ）
A．
B．
30
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C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，要使函数
有意义，则
，即
，
所以
或
或
或
，
所以函数
的定义域为
，A 不正确；
对于B，
，而已知函数
图象过原点，B 不正确；
对于C，对于函数
，则
，当
时，
，
则函数
在
上单调递增，不符合题中图象，C 不正确，
对于D，对于函数
，定义域为
，且
，
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，符合图象，故D 正确.
故选：D.
6．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数
，
，如图是下列四个函数中某个函数的大致
图象，则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
31
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【解析】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为
，
对于A 选项：
的定义域为
，所以A 选项错误；
对于B 选项：
的定义域为
，所以B 选项错误；
又知当
时，
，
对于C 选项，
的定义域为
，
当
时，
，所以C 选项错误；
对于D 选项，
的定义域为
，
当
时，
，所以D 选项符合题意.
故选：D.
7．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺
区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图
是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由
两个函数的图象构成，则“心形”在
轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
（当且仅当
，即
时取等
32
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号），
在
上的最大值为
，与图象不符，A 错误；
对于B，当
时，
，与图象不符，B 错误；
对于C，
，
当
时，
；
又
过点
；
由
得：
，解得：
，即函数定义域为
；
又
，
为定义在
上的偶函数，图象关于
轴对称；
当
时，
，则函数在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：
与图象相符，C 正确；
对于D，由
得：
，
不存在
部分的图象，D 错误.
故选：C.
8．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，
O、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
33
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【解析】对于A，点
在第一条边上时，
，
但点
在第二条边上运动时，
是随
的增大先减小（减到最小时
即为三角形的第二条边上的高的长度），
然后再增大，
对比图象可知，A 错误；
对于B，y 与x 的函数图形一定不是对称的，B 错误；
对于C，一开始
与
的关系不是线性的，C 错误；
对于D，因为函数图象对称，所以D 选项应为正方形，不妨设边长为
，
点
在第一条边上时（即
时），
，
点
在第二条边上运动时（即
时），
，依然单调递增，
点
在第三条边上运动时（即
时），
，单调递减，
点
在第四条边上运动时（即
时），
，单调递减，
且已知
与
的图象关于
（其中
）对称，D 正确.
故选：D.
二．多选题
9．（2024 山东滨州）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为
的正方形
沿
轴滚动(无滑动滚动)，点
恰好经过坐标原点，设顶点
的轨迹方程是
，则对函数
的判断正确的是（ ）.
A．函数
是奇函数
B．对任意
，都有
C．函数
的值域为
D．函数
在区间
上单调递增
【答案】BCD
【解析】由题意得，当
时，点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的
圆；
34
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当
时，点
的轨迹是以原点为圆心，
为半径的
圆；
当
时，点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的
圆，如图所示：
此后依次重复，所以函数
是以为周期的周期函数，由图象可知，函数
为偶函数，故A 错误；
因为
以为周期，所以
，
即
，故B 正确；
由图象可知，
的值域为
，故C 正确；
由图象可知，
在
上单调递增，因为
以为周期，所以
在
上的图象和在
上的图
象相同，即单调递增，故D 正确．
故选：BCD.
10（2023·河北·模拟预测）已知函数
，若函数
恰好有4 个不同的零点，
则实数的取值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】BC
【解析】由题意可知：
当
时，
在
上单调递减，则
；
当
时，
在
上单调递增，则
；
若函数
恰好有4 个不同的零点，
令
，则
有两个零点，可得：
当
时，则
，解得
；
35
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当
时，则
，可得
；
可得
和
均有两个不同的实根，
即
与
、
均有两个交点，
不论与
的大小关系，则
，且
，解得
，
综上所述：实数的取值范围为
.
且
，故A、D 错误，B、C 正确.
故选：BC.
11．（2024·重庆）设函数
，如图是函数
及其导函数
的部分
图像，则（ ）
A．
B．
C．
与y 轴交点坐标为
36
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D．
与
的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
【答案】AD
【解析】
由
得
，
如图，因当
，
，
故可判断图①为
的图象，图②为
的图象，
由图可知：
当
时，
，
当
时，
，
故
，
因
，故
由
得
，故
，
，故A 正确.
又
，
，
所以
，
，
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又因
，故
，故B 错误.
综上可得
，
，
，
故
与y 轴交点坐标为
，C 错误.
令
，即
得
，
故
，
，
得
，
，
故当
或
时
的值最小为
，故D 正确.
故选：AD
三．填空题
12.已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的3 个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则
实数k 的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意知，直线y＝kx 与函数y＝f(x)的图象至少有3 个公共点.
函数y＝f(x)，x∈[0，6]的图象如图所示，
由图知k 的取值范围是.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，则
与
的图象交点的纵坐标
之和为 ．
【答案】2
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【解析】对于
，可以把
的图象看作：
由
的图象向上平移1 个单位长度得到，
而
的图象可看作由
的图象向右平移1 个单位长度得到；
对于
的图象可看作由
的图象向上平移1 个单位长度得到，
而
的图象可看作由
的图象向右平移1 个单位长度得到．
易知
与
都为奇函数，
则易知
与
的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．
因为将函数图象向右平移不改变
与
两函数图象交点处函数值的大小，
所以
与
的图象交点的纵坐标之和为0，
又将函数图象向上平移1 个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，
则
与
的图象的两个交点的纵坐标与
与
的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，
故
与
的图象交点的纵坐标之和为2．
故答案为：2
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
，
，若
有2 个不同的零点，
则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】设
，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
.
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综上可得，
.
函数
的定义域为
，
由复合函数单调性可知函数
单调递增.
又
，
作出
的图象如图所示
由图象可知，当
时，曲线
与
恒有两个交点，
即
有两个零点，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
四．解答题
15．（2024 山东）已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当实数m 取何值时，方程|f(x)－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0 在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】见解析
【解析】
(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0 或m≥2 时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当0<m<2 时，
函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．
40
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(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，t>0，
因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．
16．（2024·陕西西安·三模）已知函数
（其中
）．
(1)在给定的平面直角坐标系中画出
时函数
的图象；
(2)求函数
的图象与直线
围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时
的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)最大值为
，
.
【解析】（1）当
时，
，
在坐标平面内作出函数
的图象，如图：
（2）依题意，
，其图象如图：
41
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令
，得函数
的图象与直线
的两个交点
，
直线
与直线
交于点
，
显然
，即点
，
函数
的图象与直线
围成多边形为四边形
，其面积为：
，
显然函数
在
上单调递增，当
时，
，
所以函数
的图象与直线
围成多边形的面积的最大值为
，此时
.
17．（2024 河南洛阳·期末）已知函数
是定义在R 的偶函数，当
时，
．
(1)请画出函数
图象，并求
的解析式；
(2)
，对
，用
表示
，
中的最大者，记为
，写出函
42
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数
的解析式（不需要写解答过程），并求
的最小值．
【答案】(1)图象见解析，
(2)
，
．
【解析】（1）设
，则
，则
，又函数
是定义在R 的偶函数，
所以
，
则
；函数
的图象，如图所示．
（2）因为
，当
时，令
，解得
，
则当
时，
，当
时，令
，解得
，
则当
时，
，所以
，
画出函数
的图象，如图所示，结合图象可知，当
时，
．
43
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18．（2024 云南昆明·期末）已知函数
.
(1)当
时，画出
的图象，并判断直线
与
图象的交点个数；
(2)设函数
，若
对于任意
都成立，求
的取值范围．
【答案】(1)图象见解析；交点情况见解析
(2)
【解析】（1）当
时，
，则
的图象如图所示
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由
的图象可知，当
时，
与
图象有1 个交点，
当
时，
与
图象有2 个交点，
当
时，
与
图象有3 个交点；
（2）由题意
，
由于
，故
，则
，
，
令
，则
，
，即
，
由于
，
，
恒成立，
令
，
，则
，所以
，
令
，
，则
，
因为
，当且仅当
，即
时等号成立.
故
，则
，
所以
的取值范围为
．
19．（2024 北京顺义）已知函数
是定义在R 上的奇函数.
(1)求实数a 的值：
(2)判断函数
在区间
上的单调性，并用定义证明；
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(3)若
有两个零点，请写出k 的范围（直接写出结论即可）.
【答案】(1)
(2).
.在
上单调递减；证明见解析
(3)
【解析】（1）函数
为奇函数，则
，
即
，解可得
；
（2）由（1）知
，
在
上单调递减；
证明：任取
，
，且
，
则
，
又由
，
，且
，则
，
，
，
，
则有
，即
所以函数
在
上单调递减．
（3）因为
有两个零点，
所以方程
有两个不等实根，即
有两个不等的实根，
任取
，
，且
，由（2）知
，
因为
，
，
，
，
所以
，即
，
46
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所以函数在
上单调递增，又函数为奇函数，所以图象关于原点成中心对称，
又
，
，
时，
，作出
图象如图，
所以当
且
时，
与
有两个不同交点，即
有两个不等实根.
故k 的范围为
.
47
