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第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过....................................................................................1
高频考点一：求三角形面积（定值问题）........................................................1
高频考点二：根据三角形面积求其它元素........................................................7
高频考点三：求三角形面积最值.....................................................................12
高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）............16
高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围）............19
第一部分：基础知识
1、三角形面积的计算公式：
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式 ，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取
值范围，求面积的取值范围.第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在 中，已知 ．
(1)求边 ；
(2)若 为 上一点，且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求得答案；
（2）求出 ，即可求出 的值，即可得 ，结合三角形面积公式，即可求得答
案.
【详解】（1）依题意知，在 中， ，
故
，
故 ；
（2）由于 ， ，故 ，
故 ，
则 .
例题2．（2024·陕西商洛·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式即可得解；
（2）先利用余弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）在 中，因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，即 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ；
（2）在 中， ，
由余弦定理得 ，即 ， ，
所以 ．
例题3．（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 、 、 的对边分别是 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 边上一点， ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及诱导公式、恒等变换公式得到 的正切值，进而求解即可；
（2）解法一利用已知条件 和向量的知识得到 ，进而实数化得到 和 的一个
关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出 和 的另一个关系式，联立方程求解即可；解法二
直接由第一问的结果结合余弦定理得出 和 的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出
和 的另一个关系式，联立方程求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
因为故 ，
即 ，
即 ．
而 ，故 ，
又因为 所以 ．
而 ，故 ．
（2）解法一：由 知 ，
两边同时平方得 ，
即 ，化简得 ．①
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
而 ，所以 ，
故 ，即 ，②
由①②得 ，
由于 ，得 ，代入②得 ．
所以 的面积为 ．
解法二：在 中，由余弦定理可得 ，
整理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
而 ，所以 ，
故 ，即 ，②
由①②得 ，由于 ，得 ，代入②得 ，
所以 的面积为 ．
练透核心考点
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）在 中， 分别是角 的对边，且满足
．
(1)求角 的大小；
(2)若 为 的中点且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及正弦的和角公式化简计算即可；
（2）由余弦定理及三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ．
又因为在 中，有 ，
所以 ，
化简得 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，于是 ．
因为 ，所以 ．
（2）由 为 的中点，可得 ．
又 ，所以 ，
在 和 中，
根据余弦定理从而可得 ．
又 ，所以 ，
可得 ．2．（2024·湖南·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)证明： 是锐角三角形；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由两角和的正弦公式求出 ，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以由正弦定理得 ，整理得 ．
则 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 是锐角三角形．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ．
在 中，由正弦定理得 ，即 ，所以 ，
所以 的面积为 ．
3．（2024·北京海淀·一模）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到 ，再利用辅助角公式及特殊角的三
角函数值，即可求出结果；
（2）根据（1）中 及条件，由余弦定理得到 ，再结合 ，即可求出 ，再利
用三角形面积公式，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，得到 ，即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，得到 .
（2）由（1）知 ，所以 ，又 ，得到 ①，
又 ，得到 代入①式，得到 ，
所以 的面积为 .
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
典型例题
例题1．（2024·四川南充·二模）在① ；②
；③ ；这三个条件中任选一个，
补充在下面对问题中，并解答问题.
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，D为AC的中点，求BD的最小值.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定
理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得 即可求解；
（2）由面积得 ，结合余弦定理和基本不等式求最值.【详解】（1）若选择①： ，
由正弦定理可得 ，
因 ， ,故 ， ，
则有 ，因 ,故 .
若选择②： ，
则 ，
由正弦定理可得 ，
故 ，
因 ,故 .
若选择③ ；
由正弦定理可得， ，
再由余弦定理得， ，即 ，
， ．
（2） ，又 ，
在三角形BCD中， ，
，
当且仅当 时取等号，
的最小值为 ．
例题2．（2024·陕西西安·一模）已知 ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、
△
b、c，且 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ABC的面积为 ，求c的最小值．
【答案△】(1)(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简可得 ，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；
（2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.
【详解】（1）因为
，
因为 ，所以 ，
由△ABC为钝角三角形且 ， 知， 为钝角，
所以 ，即 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
由余弦定理， ，
当且仅当 时，等号成立，
此时 的最小值为 ，所以c的最小值为 .
例题3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求C；
(2)若 面积为 ， ，求AB边上中线的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变化和的公式，得到 ，求得
，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式，求得 ，再由 ，求得 ，得到 ，结合
正弦定理得到 ，联立方程组求得 ，结合余弦定，即可求解.【详解】（1）解：因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，可得 ，又因为 ，可得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，所以 ，可得 .
（2）解：由（1）知， ，
因为 面积为 ，可得 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，
又由正弦定理 ，即 ，解得 ，
联立方程组 ，解得 ，
如图所示，设边 的中点为 ，延长 到点 ，使得 ，
可知AEBC为平行四边形，在 中， 且 ，
由余弦定理得 ，
所以 上的中线长为 .
练透核心考点1．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的最小正周期及单调递增区间；
(2)在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边长，若 ， ， 的面积为 ，求
的值.
【答案】(1)最小正周期为 ，递增区间为 ,
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数 ，即可求解；
（2）根据题意和角 的范围求出角 ，再由三角形面积公式求出 ，最后利用余弦定理求解.
【详解】（1）
，
即 ，故最小正周期为 ，
令 ，
故 ，递增区间为 , .
（2）由 得 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，故 .
故 ，故
2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，角 的平分线与 交于点 ，且 ，求边 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得 ，可得结果；
（2）由三角形面积公式并利用 可得 ，再由余弦定理即可求得 .
【详解】（1）由 ，得 ，
由正弦定理可得 ，
即 ；
因为 ，所以可得 ，又因为 ，
所以 ．
（2）易知 ，所以 ；
如下图所示：
因为 为角平分线，所以 ，
即 ，即
而 ，
所以 ．
3．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求A；
(2)若 的面积为 ，周长为18，求a.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得 ，即可根据辅助角公式求解；
（2）根据面积公式可得 ，结合余弦定理即可求解.【详解】（1）由正弦定理得 ，
又 ，得 ，
由辅助角公式可得 .
图为 中，
所以 ，则 ，故 .
（2） ，
而由余弦定理得 ，即 ，
则 ，
解得 .
高频考点三：求三角形面积最值
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在 中， 分别是 上的点，且
与 相交于点 .
(1)用 表示 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ， ，求出 ，表达出 ；
（2）根据题意求解 ，求出 的最大值，进而求出 的最大值.
【详解】（1）设 ，
，
因此 解得 ，因此 .
（2）由（1）得， ，因此 ，
又因为 ，因此 ，
由 ，当 时， 最大为 ，
因此 的最大值为 .
例题2．（23-24高二上·云南·期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足
．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出 的值，结合角 的取值范围可得出角 的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最大值，再结合三角形的面积公式可求得 面积的最
大值.
【详解】（1）解：因为 ，
由正弦定理可得
，
因为 、 ，则 ，可得 ，
所以， ，故 .
（2）解：由余弦定理可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，
因此， 面积的最大值为 .
练透核心考点
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若点 是 上的点， 平分 ，且 ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得 ，结
合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积相等，即 ，推出 ，利用基本不等式结合三角形面积公式，
即可求得答案.
【详解】（1）由题意知 中， ，
故 ，即 ,
即 ,
所以 ，而 ，
故 ，即 ，
又 ，故 ；
（2）由于点 是 上的点， 平分 ，且 ，
则 ，
由 ，得 ，
即 ，则 ，当且仅当 时取等号，
故 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
即 面积的最小值为 .2．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若角 的平分线 交 于点 ，且 ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到 ，利用正弦定理角转边，得到
，再利用余弦定理即可求出结果；
（2）利用条件，结合 ，得到 ，再利用基本不等式，得到 ，从而求
出结果.
【详解】（1）由已知 ，得 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ．
再由余弦定理得 ．
又 ，所以 .
（2）因为 是角 的平分线，则 ，
又 ，
又 ，所以 ，得到 ，
又因为 ，得到 ，解得 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，
即 面积的最小值是 ．
高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）
典型例题例题1．（2024·山西·一模） 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解 ，进而可求解 ，
（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.
【详解】（1）
因为三角形的面积为 ，
则 ，
所以 ，又 ，则 ；
（2）由于 ，所以 ，
即 ， 取等号，
故 ，
故
例题2．（23-24高二上·福建福州·期中）已知在 ，角 所对的边分别是 ，且
．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角得到 ，知值由范围求角即可；
（2）由（1） ，已知 ，由一组对边角已知可得 ，借助这一常数利用正弦定理化边为角，再由
三角恒等变换化简面积表达式求解最值.【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理可得 ，
整理可得 ，又 ，所以 ．
（2）因为 ，所以由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以
又因为 ，可得 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立），
可得 ，
由 ， ,
即 面积的取值范围是 ．
练透核心考点
1．（22-23高三下·四川雅安·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系将切化弦得到 ，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，即可求出 ，再由余弦定理及基本不等式求出 ，由对数的运算性质及诱导公式得到 ，即可求出 的取值范围，在结合三角形面积公式计算可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
在 中， ，所以 ，则 ．
因为 ，所以 ．
（2）由 及正弦定理得 ，
所以 ．
由余弦定理得 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立．
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，因为 的面积为 ，
所以 面积的取值范围是 ．
2．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）在 中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量
， ，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量平行坐标表示、正弦边角关系得 ，由余弦定理求 ，即可得结
果．
（2）由三角形面积公式有 ，由 及基本不等式求 范围，即可得面积的范
围．
【详解】（1）由 ， ，且 ，
所以 ，
由正弦定理得： ，化为： ，
由余弦定理得： ， ，故 .（2）由 ，又 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，
综上， .
高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围）
典型例题
例题1．（2023·江西·二模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可；
（2）由题知 ，进而结合正弦定理得 ，再根据面积公式，结合三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）解：因为
所以
整理可得 ，
所以，由正弦定理可得： .
由余弦定理知， ，
因为 ，所以
（2）解：由（1）知， ，所以 ，
又 是锐角三角形，
所以， 且 ，解得 ，
因为，由正弦定理知： ， ，所以
所以
因为 ，
所以 ，所以
所以， 面积的取值范围为 .
例题2．（2023·河北石家庄·一模）已知 内角 所对的边长分别为
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得 ，结合三角形内角性质求角的大小；
（2）法一：由已知可得 ，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得 即可得范
围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.
【详解】（1）由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，又 ，则 .
（2）法一： 为锐角三角形， ，则 ，
所以 ，可得 ，
又 ，则 ，故
由 ，即 而 ，所以 ，故 面积的取值范围为 .
法二：由 ，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，
点 落在线段 （端点 除外）上，
当 时， ，
当 时， ，
.
例题3．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）已知 为锐角三角形，角 所对的边分别为 ，
且 ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得 .根据三角形 是锐角三角形求得 的取值范
围，利用正弦定理化简 ，通过 的取值范围求得 的取值范围.
（2）利用正弦定理表示出 ，由此求得三角形 面积的表达式，结合 的取值范围求得 的取值范
围，对 分成 和 两者情况，结合同角三角函数的基本关系式、函数的单调性进行分类讨
论，由此求得三角形 面积的最小值.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得：
，则 ，
所以 或 ，即 或 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，可得 ，即 ，
解得： ，所以 ， ， ，
故 的取值范围为 .
（2）在 中，由正弦定理可得
，又 ，
，
，
因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
又 ， 在 上单调递增，
当 时， 的面积最小，最小值为 .
综上所述，三角形 面积的最小值为 .
练透核心考点
1．（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， ．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求 面积的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得 ，结合B为锐角，可得B的值，由
正余弦定理化简已知等式即可求解b的值．
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求 ，由
题意可求范围 ，利用正弦函数的性质即可求解其范围．
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵B为锐角，∴ ，∵ ，
由正余弦定理可得： ，
整理可得 ，解得 ．
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴
2．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)若 ，求 的外接圆的周长和面积.
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1) 的外接圆的周长为 ， 的外接圆的面积为 ；
(2) 面积的取值范围为 .
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合内角和关系和三角恒等变换公式化简求 ，再由正弦定理求
外接圆半径，由此可得结论；
（2）由条件结合三角形面积公式可得 的面积 ，结合正弦定理将其转化为角 的解析式，结
合 的范围，由此可求 面积的取值范围.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，故 ，
设 的外接圆半径为 ，
由正弦定理可得 ，又 ，
所以 ，所以 的外接圆的周长为 ， 的外接圆的面积为 ；
（2）由三角形面积公式可得， 的面积 ，
又 ， ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故 面积的取值范围为 .
3．（22-23高三下·安徽池州·阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的值；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦，利用正弦定理将已知等式统一用角表示，再利用两角和与差的正、余弦公式整理
可得角 .
（2）把 的面积表示为 的形式，代入已知量利用正弦定理将面积统一用角 、 表
示，再利用角 、 的关系消元转化为求一元函数的值域.【详解】（1）解：根据题意 ，
由正弦定理得 ，
，
，故 ，
.
（2）因为 是锐角三角形，由（1）知 得到 ，
故 ，解得 .
又由正弦定理得：
又 ，
故 .故 的取值范围是
