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第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高频考点一遍过............................................2
高频考点一：分离变量法..............................................2
高频考点二：分类讨论法..............................................7
高频考点三：等价转化法.............................................12
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题...........................15
高频考点五：值域法解决双参等式问题.................................19
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第一部分：知识点必背
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
③求最值.2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
5、值域法解决双参等式问题
, ,使得 成立
① ，求出 的值域，记为
② 求出 的值域，记为
③则 ,求出参数取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（2023春·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）已知函数 的图象在 处
的切线与直线 平行，若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】函数 的导数为 ，
由题意可得 的图象在 处的切线的斜率为 ，
由切线与直线 平行，可得 ，解得 .
若存在 ，使得不等式 成立，即为 在 时有解，
故 在 时有解，令 ， ，
则 ，
易得， 时， 恒成立，
故 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
故 时， 取得最小值 ，
则 ，可得 的最小值为3.
故选：C.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，当 时，函数 有极小值0.
(1)求函数 的解析式；
(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）函数 ，求导得： ，因为当 时，函数 有极小值0，
因此 ，解得 ，此时 ，
当 时， ，当 时， ，于是得函数 在 处取得极小值0，
所以函数 的解析式为 .
（2） ，不等式 ，
令 ， ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递减，则当 时， ，
因为存在 ，使不等式 成立，则存在 ，使不等式 成立，即有 ，
所以实数 的取值范围是 .
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)若 在 时有解，求实数 的取值范围．【答案】(1)极小值为0，无极大值；
(2)
【详解】（1） ，当 时， ，当 时， ，则 在 上单减，
在 上单增，
故 的极小值为 ，无极大值.
（2） 在 时有解，即 在 时有解，令
，
则 ，由（1）知 在 上单增，且
，则 ，
则当 时， 单减，当 时， 单增，所以 ，故
.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若存在 ，使 成立，求整数 的最小值．
【答案】（1） 的增区间为 ，减区间为 （2）5
【详解】（1）由题意可知， ， ，
当 时，令 ， 或 ；
时， ， 在 单调递增；
时， ， 在 单调递减；
综上所述， 的增区间为 ，减区间为
（2）原式等价于 ，
即存在 ，使 成立．
设 ， ，则 ，
设 ，则 ，∴ 在 上单调递增．又 ， ，
根据零点存在性定理，可知 在 上有唯一零点，
设该零点为 ，则 ，且 ，即 ，
∴ .
由题意可知 ，又 ， ，
∴a的最小值为5．
练透核心考点
1．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范
围是____________.
【答案】
【详解】 ，
，
，
，
令 ，
则若关于 的不等式 有解，
则 ，
，
，则当 时， ，当 时， ，
故当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
则 ，
则 ，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值4．
(1)求a，b的值；(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
（1） ，则 ．
因为函数 在 处取得极值4，
所以 ，解得
此时 ．
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
则 是函数 的极大值点，符合题意．故 ， ．
（2）若存在 ，使 成立，则 ．
由（1）得， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时， 的极小值为 ，当
时， 有极大值．
(1)求函数 ；
(2)存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ;
(2) .
(1)∵ ，
由 ，得 且 ，解得 ， ，
又 ，∴ ，
经检验 ， 时， 满足题意,∴ ；
(2)存在 ，使得 ，等价于 ，
∵ ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上递减，在 上递增，
又 ， ，
∴ 在 上的最小值为 ，
∴ ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 ．
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，其中 是自然对数的底
数．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）
当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增.
当 时， 时， ； 时，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， 时， ； 时，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上： 时 在 上单调递增.
时 在 上单调递增，在 上单调递减
时 在 上单调递增，在 上单调递减.（2）若 在区间 上有解，即求
当 时 在 上单调递增，所以 在 上的最小值为
不成立，故不满足题意.
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减
当 时，所以函数 在 单调递减，
所以 成立，满足题意.
时，函数 在 单调递减，在 上单调递增.
所以 不成立，舍去
时 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以函数 在 单调递增， ，所以
综上 的取值范围为：
例题2．（2023春·四川遂宁·高三四川省大英中学校考阶段练习）已知函数 （ 为自然对
数的底数）．
(1)若 时，求 的单调区间；
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
【详解】（1）若 时， ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意可知，即求 成立的 的取值范围，
因为 ， ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取等号），
即 ，即求 对任意 成立的 的取值范围，
当 时， ，此时 在 上单调递增，且有 ，不满足 ；
当 时，易知 ，显然成立；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得，
所以实数 的取值范围为 ．
例题3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 ，
（1）直接写出函数 的零点个数（不要求写过程）；
（2）若 ，使关于 的不等式 能成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）只有1个零点；（2） .
【详解】（1）函数 只有1个零点.
( ， ，
当 时， ，或 ；当 时， ，
所以 在 和 上递增，在 上递减，
所以 有极大值 和极小值 ，且 ，
所以函数 只有1个零点.）
（2）令 ，则 ，
当 时， ，或 ，
当 时， ， 当 时， ，或
则当 变化时， 及 的变化情况如下表：
-2
0 0
极小值 极大值
由上表可知，函数 的增区间是 ，减区间是 和 ，当 时， 函数 取得极小值 ，
当 时， 函数 取得极大值 ，
由 ，当 时， ，当 时， ，
所以， 轴是函数 的图象的渐近线
所以，当 时， 函数 的最小值为 ，
若 ，使关于 的不等式 能成立，
则 大于 的最小值，即 ，
所以，实数 的取值范围是
（2）另法：
关于 的不等式 能成立等价于不等式 能成立，
当 时， 能成立， 满足条件；
当 时，抛物线 开口向上，
，使 成立， 满足条件；
当 时，只需 ，
即 ，解得 ；
综上，实数 的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性﹔
（2）若存在 ，求 的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2） ．
【详解】(1)函数 的定义域为(0，+∞)， ，
当 时， ，则 在 上递增，
当 时﹐由 得 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
于是有 在 上递增，在 上递减；
由 ，得 ，
，当 时， ，满足题意，
当 时，令 ， ， 在 上递增，则
不合题意，
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
于是有 在 上递减，在 上递增， ，
则 时， ，
综上， 的取值范围为 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）设 ，若关于 的不等式 在 上有解，求 的取值范围.
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减；(2) .
【详解】(1)由题意知， ，
令 ，当 时， 恒成立，
∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)因为
，
由题意知，存在 ，使得 成立.即存在 ，使得 成立；
令 ，
，
①当 时，对任意 ，都有 ，
∴函数 在 上单调递减，
成立，解得 ， ；
②当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，解得 无解；
③当 时，对任意的 ，都有 ，
∴函数 在 上单调递增，
，不符合题意，舍去；
综上所述， 的取值范围为 .
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)设函数 ，若存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【详解】（1）
当a≤0时， 在(0，＋∞)上恒成立；
当a＞0时，令 得 ；令 得 ；
综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
a＞0时，f(x)在 上单调递减，在 上单调递增；（2）由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解
则ax≤x－2＋2lnx， ．
令 ，
x
g'(x) ＋ 0 －
g(x) ↗ 极大值 ↘
所以 ，因此有
所以a的取值范围为：
例题2．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，试确定函数 的单调区间；
(2)若 ，且对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)令 ，若至少存在一个实数 ，使 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
(3)
【详解】（1）若 ，则 ，可得 ，
令 ，解得 ，
则 ， ； ， ；
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）则 ，可得 ，
令 ，解得 ，
则 ， ； ， ；
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
当 ，即 时， 在 上单调递增，
则 ，即 符合题意；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，解得 ；
综上所述：实数k的取值范围为 .
（3）若 ，则 ，可得 ，
故原题意等价于至少存在一个实数 ，使 成立，
构建 ，则 对 恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，
可得 ，
故实数k的取值范围为 ,
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知函数 在 处有极
值 ．
（1）求 的解析式；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1） ， ，
因为函数 在 处有极值 ，
得 ， ，解得 ， ，
所以 ；
（2）不等式 恒成立，
即不等式 恒成立，
令 ，
则不等式 对任意的 恒成立，则 .
．又 函数 的定义域为 .
①当 时，对任意的 ， ，则函数 在 上单调递增．
又 ，所以不等式 不恒成立；
②当 时， ．
令 ，得 ，当 时， ；当 时， ．
因此，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
故函数 的最大值为 ，由题意得需 .
令 ， 函数 在 上单调递减，
又 ，由 ，得 ， ，
因此，实数 的取值范围是 ；
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数
，若 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A．（ ，+∞] B．（-∞， ] C． D．（-∞， ）
【答案】C
【详解】 ，使得 成立，则 ，
由题得 ，
所以函数 在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增，
所以 ，
由题得 ，
∴
故选：C例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，函数 ，若对任意的
，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【详解】由题意得
， 时 ，故 在 上单调递增，
， 时 ， 时
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
，解得
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 （ 为自然对数的底数），当 时，对任意 ，存在
，使 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2) .
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得
，
而 ，当 时，由 得 ，由 得 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，由 得 ，由 得 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时，由（1）知，函数 在 上单调递减，而 ，则 ，任意 ，存在 ，使 等价于 ， 恒成立，
则有 ， 成立，令 ，
则 ，当 时， ，当 时， ，
即有 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
因此当 时， 最大值为 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数 ， ，对任意 ， ，都
有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对任意 ， ，都有不等式 成立 ，
， ， ，则 在区间 上单调递增，
∴ ，
， ， ，则 在 上单调递增，
， ，则 在 上单调递减，
， ，故 ，
综上， .
故选：C
2．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数 （
）．(1)当 ，求f（x）的极值．
(2)当 时，设 ，若存在 ， ，求实数 的取值范围．（ 为自
然对数的底数， ）
【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3
(2)
【详解】（1） 的定义域为 ，
当 时， ，
∴ ，
令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）
∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；
（2） ，令 ，
若 ，则 ，
∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，
∴当 时，f（x）在 上单调递减，
∴f（x）在 上的最大值为 ，
，令 ，得 ，
当 时， ，∴ 单调递减，
当 时， ，∴g（x）单调递增，
∴ 在 上的最小值为 ，
由题意可知 ，解得 ，
又∵ ，
∴实数a的取值范围为[1，4）．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .（1）求函数 在区间 上的最大值和最小值；
（2）若 ， ，使得 ，求实数a的取值范围.
【答案】（1）最大值为1，最小值为 ；（2）a≥-4.
【详解】解：（1） ，
令 ，则 .
得
当 时， ，
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
因此 在区间 上的最大值为1，最小值为 . .
（2）依题意知 .
∵
∴ ，∴ 在[1，2]上是减函数，
∴
因此 ，则
高频考点五：值域法解决双参等式问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，函数
，若存在 ， ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．[﹣ ，1] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，2]
【答案】B
【详解】当x∈[0， ]时，y= ﹣ x，值域是[0， ]；
x∈（ ，1]时，y= ，y′= ＞0恒成立，故为增函数，值域为（ ，1]．
则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（ x）﹣2a+2（a＞0），为增函数，值域是[2﹣2a，2﹣ ]，
∵存在x、x∈[0，1]使得f（x）=g（x）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a，2﹣ ]≠ ，
1 2 1 2
若[0，1]∩[2﹣2a，2﹣ ]= ，则2﹣2a＞1或2﹣ ＜0，即a＜ ，或a＞ ．
∴a的取值范围是[ ， ]，
故选：B．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 和函数
，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
________.
【答案】
【详解】当 时， ，
在 上单调递增，又 在 上单调递减， ， ，
；
当 时， ， ， ，
若存在 ，使得 成立，则 ，即 ，解得： ， 实数 的取值范围为 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 ，使得 成立，
则函数 的值域包含 的值域.
当 时，函数 开口向上，对称轴 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以 ；
当 时， ，则 ，
①若 ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ；
②若 ，则 ， 在 上单调递增，
此时 值域为 ，符合题意.
③当 时， 的值域为 ，不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
故选：B.2．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）已知函数 ，若
对任意的 ，存在 使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[ ，4]
C． D．
【答案】B
【详解】解： 的导函数为 ，
由 时， ， 时， ，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调
递增，
故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）= ，
所以对于任意的 ， ．
因为 开口向下，对称轴为 轴，
所以当 时， ，当 时， ，
则函数 在[ ，2]上的值域为[a–4，a]，
由题意，得 ， ，
可得 ，解得 ．
故选：B.
