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25.1 一元二次方程的概念（教学设计）
1.教学内容
本节课时是人教版2024 版九年级上册第二十五章《一元二次方程》25.1《一元二次方程的概念》.核心教
学内容包括：通过生活实际问题抽象出方程模型，归纳总结一元二次方程的定义、三大核心特征；掌握一
元二次方程的一般形式，准确区分二次项、一次项、常数项及对应系数；理解一元二次方程根的概念，能
检验数值是否为方程的根，是本章方程学习的起始基础课.
2.内容解析
一元二次方程是初中数学整式方程体系的收官内容，承接七年级一元一次方程、八年级二元一次方程组的
知识，是后续学习一元二次方程解法、二次函数、反比例函数及高中二次不等式的核心铺垫，贯穿初中代
数方程与函数核心板块.本课时以实际问题建模为切入点，通过面积问题、比赛场次问题等真实情境，列
出陌生整式方程，引导学生对比已学一元一次方程，自主发现方程特征，进而抽象出一元二次方程的概念、
一般形式与根的定义，遵循“情境建模—对比归纳—定义规范—应用辨析”的认知逻辑，贴合初中生数学
建模核心素养培养要求.本节课是学生从“一次方程”向“二次方程”跨越的关键，帮助学生建立降次、
建模的数学思想，培养学生从实际问题中提炼数学模型、辨析数学概念的能力，为后续复杂方程与函数问
题的解决奠定思维基础.
基于以上分析，本节课的教学重点为：一元二次方程的定义及三大核心特征；一元二次方程的一般形式及
各项、系数的识别；一元二次方程根的检验方法.
1. 教学目标
（1）理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的三大判定特征；熟记一元二次方程的一般形式，能
准确识别方程的各项及系数；掌握方程根的定义，会检验一个数是否为一元二次方程的根.
（2）经历“实际问题列方程—观察对比—归纳概念—辨析应用”的全过程，提升抽象概括、类比迁移、
数学建模的能力.
（3）感受方程与生活的紧密联系，体会数学建模的实用性，培养严谨的数学辨析思维，激发主动探究代
数问题的兴趣.
2.目标解析
目标1 基于学生已掌握一元一次方程概念、整式化简的基础，通过类比旧知突破新知，精准区分一元二次
方程与一元一次方程、分式方程的差异，夯实本章基础知识.
目标2 通过自主列式、小组讨论、概念辨析，让学生主动参与知识生成过程，摆脱被动记忆，培养学生观
察、归纳、推理的核心数学能力，落实建模核心素养.
目标3 借助生活实际情境，让学生体会数学源于生活、用于生活，通过易错概念辨析，培养学生严谨、规
范的数学学习习惯，提升数学思维的逻辑性.
九年级学生已经熟练掌握一元一次方程的定义、一般形式、方程的解的概念，熟练掌握整式的加减、乘除
化简运算，具备方程建模的初步能力，为一元二次方程的学习提供了充足的旧知支撑.学生具象思维占主
导，抽象概括能力、细节辨析能力较弱，容易混淆“一元一次、一元二次、分式方程”的概念，尤其容易
忽略“二次项系数不为0”“整式方程”等关键条件.学生易机械记忆概念，不会灵活化简复杂方程再判定
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类型；对“常数项、一次项系数包含符号”认知模糊，是本节课高频易错点.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：理解一般形式中二次项系数 a≠0 的核心意义；复杂整式方程
的化简与一元二次方程的精准辨析；结合实际问题感知建立一元二次方程模型.
创设情景，引入新课
展示课本中实际问题，引导学生设未知数、列方程：
1. 面积问题：一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在四个角截去相同的正方形，折起后无盖长方体底面积
为3600cm ²，设截去的正方形边长为xcm，如何列方程？
2. 比赛场次问题：组织排球邀请赛，每两队之间赛一场，7 天赛程，每天4 场，总28 场比赛，设参赛队
伍为x 支，如何列方程？
学生独立列式、化简，教师巡视指导，最终板书化简后的两个方程：
①
②
（设计意图：依托教材原生情境，让学生自主经历实际问题转化为数学方程的过程，感知新知的生成背景，
培养数学建模能力，同时为后续概念归纳提供具体素材.）
探究点1 类比旧知，归纳定义
活动1：对比所学一元一次方程（ax+b=0,a≠0），观察上述两个方程，有哪些相同点和不同点？
追问1：上面的两个方程含有几个未数？
一个
追问2：未知数的最高次数是多少？
2
追问3：等式两边的代数式有什么特点？
等式两边都是整式
师生共同总结共性：只含有一个未知数（一元）；未知数的最高次数是2（二次）；等式两边都是整式
（整式方程）.
学生尝试给方程下定义.
教师规范定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程，叫做一元二次方程.
（设计意图：采用类比迁移的教学方法，以旧知引新知，降低学生认知难度，通过小组合作自主归纳概念，
替代教师直接灌输，加深学生对概念三大核心特征的理解.）
探究点2 规范一般形式，辨析各项系数
活动2：任意一元二次方程经过整理可以统一化为什么形式？
学生交流讨论：任意一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项），都可化为统一形式：
，这就是一元二次方程的一般形式.
规范定义：一元二次方程的一般形式是
，其中
是二次项，a 是二次项系数
；
是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.
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强调核心条件：
，若a=0，方程变为bx+c=0，即为一元一次方程，不再是一元二次方
程；b、c 可以为0.
（设计意图：明确方程的标准化形式，拆解各项概念，针对性突破“ a≠0”的教学难点，帮助学生建立规
范的代数认知，为后续方程化简、辨析题型打基础.）
探究点3 认识方程的根
活动3：什么一元二次方程解（根）？
复习回顾：什么是一元一次方程的解？
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解
尝试类比一元一次方程的解，给出定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程
的解，一元一次方程的解也叫方程的根.
活动4：如何检验是否是一元二次方程的解（根）
学生讨论依据和方法.
依据是一元二次方程的解（根）的定义，方法代入方程两边根据是否相等判断.
实际检验：以方程
为例，检验x=8、x=7 是否为方程的根，规范检验步骤：代入——计算左
右两边——对比判断.
（设计意图：延续类比的思想方法，衔接旧知理解新知，通过示范解题，让学生掌握根的检验规范步骤，
落实基础技能目标.）
典型例题
例１.已知
是关于x 的一元二次方程，求m 的值．
【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方
程式是一元二次方程”，即可求解．
【详解】解：∵
是关于x 的一元二次方程，
∴
且
，
解得：
．
例2.将一元二次方程
化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常
数项分别是什么？
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为
．一元二次方程化为一
般形式后，找出一次项系数与常数项即可．
【详解】解：方程整理得：
，
则一次项系数、常数项分别为
，3．
例3.已知关于
的方程
的一个根为，求
的值．
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，由于一根为，把
代入方程即可求得
的值．
【详解】解：
关于
的方程
的一个根为3，
，
解得
，
的值为．
（设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）
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课本课堂练习（P3-4）.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.若
是关于
的方程
的一个根，求
的值.
【详解】解：∵
是关于
的方程
的一个根，
∴
，
∴
，即
，
∴
.
1.（2025·贵港统考）关于
的方程
是一元二次方程，则
满足的条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】解：由一元二次方程的定义可得
，解得：
．
故选A．
2．（2025·长沙·九年级统考）已知
是关于x 的一元二次方程
的一个根，则m 的值是（
）
A．
B．0
C．2
D．4
【详解】解：把
代入方程
得：
，
解得：
．
故选：D．
3.（2025·贵港·九年级统考）若关于
的一元二次方程
的一个根为1，求
的值.
【详解】解：由题意，得：
，
∴
．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1. 知识与技能：（1）一元二次方程定义：一元、二次、整式方程三大核心特征；（2）一般形式：
，明确各项及系数的定义，牢记二次项系数不为0；（3）方程的根：能使方程左右
两边相等的未知数的值，掌握规范检验方法.
2. 思想方法：（1）类比思想：类比一元一次方程的定义、解、一般形式，快速掌握一元二次方程相关知
识；（2）建模思想：将生活实际问题转化为一元二次方程数学模型；（3）分类讨论思想：根据二次项系
数是否为0，区分一元二次方程与一元一次方程.
3. 易错提醒：（1）判定方程类型前，必须先化简为整式方程，分式方程、根式方程一定不是一元二次方
程；（2）一般形式中，二次项系数a≠0 是必备条件，参数题型优先考虑此条件；（3）识别各项、系数时，
必须包含项前面的正负符号，常数项可正、可负、可为0；（4）方程的根可以有多个，检验时需严格代入
计算，不可主观臆断.
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(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题25.1 第1、2、3、4 题.
探究性作业：课本习题25.1 第5 题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
25.1 一元二次方程概念
一、定义（三要素）
二、一般形式
三、方程的根
四、易错点
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
