专题 33 算法、复数、推理与证明
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
理 1[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
复数[来源:Z|xx|k.Com]
复数的除法运算，共轭复数
文 2
复数
复数的除法运算
理 3 文 5
算法与框图
计算程序框图运行结果
2012
理 3
复数，命题真假判断
复数的除法运算，复数的相关概念，命题真假判断
文 2
复数
复数的除法运算，共轭复数
文理 6
算法与框图
计算程序框图运行结果
2013
卷 1
理 2
复数
复数的概念，复数的乘除法运算
文 2
复数
复数的平方、除法运算
理 5 文 7
算法与框图
框图表示算法的意义
卷 2
理 2
复数
复数的除法运算
理 6 文 7
算法与框图
计算程序框图运行结果
文 2
复数
复数的模长，复数的乘除法运算
2014
卷 1
理 2
复数
复数的平方、立方、除法运算
文 3
复数
复数的加法、除法运算，复数的模长计算
理 7 文 9
算法与框图
计算程序框图运行结果
文理 14
推理与证明
演绎推理，逻辑分析
卷 2
理 2
复数
复数的概念，复数的乘法运算
文 2
复数
复数的除法运算
理 7 文 8
算法与框图
计算程序框图运行结果
2015
卷 1
理 1
复数
复数的除法运算，复数的模长计算
文 3
复数
复数的乘除法运算
文理 9
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷 2
理 2
复数
复数的乘除法运算
文 2
复数
复数的乘除法运算
文理 8
算法与框图
计算程序框图运行结果，数学文化
2016
卷 1
理 2
复数
复数的乘除法运算，复数模长的计算
文 2
复数
复数的概念及复数的乘法运算
理 9 文 10
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷 2
理 1
复数
复数的几何意义
文 2
复数
复数的运算，共轭复数
理 8 文 9
算法与框图
计算程序框图运行结果，数学文化
理 15 文
16
推理与证明
演绎推理
卷 3
理 2
复数
复数的运算，共轭复数
文 2
复数
复数的运算，共轭复数，复数的模长计算
理 7 文 8
算法与框图
计算程序框图运行结果
2017
卷 1
理 3
复数
复数的运算，复数的分类，命题真假的判断
文 3
复数
复数的运算，复数的概念
理 8 文 10
算法与框图
根据运行结果补充完整程序框图
卷 2
理 1
复数
复数的除法运算
文 2
复数
复数的乘法运算
理 7 文 9
推理与证明
演绎推理
理 8 文 10
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷 3
理 2
复数
复数的乘除法运算，复数模长的计算
文 2
复数
复数的乘法运算 ，复数的几何意义
理 7 文 8
算法与框图
由运行结果计算程序框图输入值的最小值
2018
卷 1
理 1 文 2
复数
复数的运算，复数模长的计算
卷 2
理 1
复数
复数的除法运算
文 1
复数
复数的乘法运算
理 7 文 8
算法框图
根据运行结果补充完整程序框图
卷 3
文理 2
复数
复数的乘法运算
2019
卷 1
理 2
复数
复数的几何意义和模的运算
文 1
复数
复数的乘法运算，复数模的计算
理 4 文 4
推理与证明
类比归纳与合情推理
理 8 文 9
算法与框图
根据运行结果补充完整程序框图
卷 2
理 2
复数
共轭复数的概念，复数的几何意义
文 2
复数
复数乘法运算，共轭复数的概念
卷 3
文理 2
复数
复数乘法运算
文理 9
算法与框图
计算程序框图运行结果
2020
卷 1
理 2
复数
复数的乘方、加法运算，复数模长的计算
文 2
复数
复数的平方、减法运算，复数模长的计算
文 9
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷 2
文 2
复数
复数的乘方运算
文 7
算法与框图
计算程序框图运行结果
卷 3
理 2
复数
复数的除法运算，复数的概念
文 2
复数
复数的乘除法运算，共轭复数的概念
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点 113 算法
23 次考 19 次
2021 年，“算法初步”重点考查程序框图中的“结果输出型”问
题；“复数”重点考查复数的概念及其几何意义、复数的四则运
算；“推理与证明”重点考查演绎推理及其应用．
考点 114 复数
23 次考 23 次
考点 115 推理与证明
23 次考 5 次
十年试题分类*探求规律
考点 113 算法
1 ．(2020 全国 Ⅰ文 9)执行下面的程序框图，则输出的 n ( )
A ． 17 B ． 19 C ． 21 D ． 23
【答案】C
【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足1 3 5
n 100 的最小正奇数，
1
n 1
2
100
，解得 n 19 ， ∴输出的 n 21 ，故选
C．
2 ．(2020 全国Ⅱ文 7)执行右图的程序框图，若输入的k 0 , a 0 ，则输出的 k 为 ( )
A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
【答案】C
【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程：
k 0 , a 0 ，第 1 次循环， a 2 0 1 1 , k 0 1 1 ， 2 10 为否；
第 2 次循环， a 2 1 1 3 , k 1 1 2 ， 3 10 为否；
第 3 次循环， a 2 3 1 7 , k 2 1 3 ， 7 10 为否；
第 4 次循环， a 2 7 1 15 , k 3 1 4 ， 15 10 为是，退出循环，输出 k 4 ．故选 C．
3 ．(2019 天津文理】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为
A ． 5 B ． 8
C ．24 D ．29
【答案】B
【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．
【解析】 S 1, i 2 ； j 1, S 1 2 2
1
5, i 3 ； S 8, i 4 ，
结束循环，输出 S 8 ．故选 B．
4 ．(2019 北京文理】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为
A ． 1 B ． 2
C ． 3 D ． 4
【答案】B【解析】初始：s 1，k 1，运行第一次，s 2 ，k 2 ，运行第二次，s 2
，
k 3 ，运行第三次， s 2 ，结束循环，输出s 2 ，故选 B．
5 ．(2019 全国 Ⅰ文理】如图是求 2
的程序框图，图中空白框中应填入( )
2 1
2
2
2
2
2
2
2
A ． A
B ． A 2
C ． A
D ． A 1
【答案】A
1
【解析】初始： A , k 1 2 ， ∵第一次应该计算 2 =
， k k 1=2；
执行第 2 次， k 2 2 ， ∵第二次应该计算 2
=
， k k 1=3，
结束循环，故循环体为 A
，故选 A．
【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 A
．
6 ．(2019 全国Ⅲ文理】执行下边的程序框图，如果输入的
为 0 ．01 ，则输出 s 的值等于
A ． 2
B ． 2
C ． 2
D ． 2
【答案】C
【解析】输入的
为 0.01 ，
x 1, s 0 1, x 0.01? 不满足条件；
s 0 1 , x 0.01? 不满足条件；
S 0 1
, x
0.0078125 0.01? 满足条件，结束循环；
输出 S 1
2 (1
) 2
，故选 C．
7 ．(2018 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为
A ． B ． C ． D ．
【答案】B【解析】运行程序框图，k =l ，s =1；s 1 ( 1)
1
，k 2 ；s ( 1)
2
，k
=3；
满足条件，跳出循环，输出的s ，故选 B．
8 ．(2018 全国Ⅱ文理)为计算 S 1
…
，设计了如图的程序框图，则在空白框中
应
填入
A ． i i 1 B ． i i 2 C ． i i 3 D ． i i 4
【答案】B 【解析】 由程序框图的算法功能知执行框 N N 计算的是连续奇数的倒数和，而执行框
T T
计算的是连续偶数的倒数和， ∴在空白执行框中应填入的命令是 i i 2 ，故选 B．
9 ．(2018 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20 ，则输出T 的值为( )
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
【答案】B【解析】N 20 ，i 2 ，T 0 ，
10 ，是整数；T 0 1 1 ，i 2 1 3 ，3
5 ，
，不是整数； i 3 1 4 ， 4 5 ，
5 ，是整数； T 1 1 2 ， i 4 1
5 ，结束循
环，输出的T 2 ，故选 B．
10 ．(2017 新课标 Ⅰ文理)下面程序框图是为了求出满足3
n
2
n
1000 的最小偶数 n ，那么在
和
两个空白框中，可以分别填入
A ． A 1000 和 n n 1 B ． A 1000 和 n n 2
C ． A≤1000 和 n n 1 D ． A≤1000 和 n n 2
【答案】 D 【解析】 由题意选择 3
n
2
n
1000 ，则判定框内填 A 1000 ，由∵选择偶数， ∴矩形框内
填 n n 2 ，故选 D．
11 ．(2017 新课标Ⅱ文理)执行右面的程序框图，如果输入的 a 1 ，则输出的 S =
A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
【答案】B【解析】初始输值为 a 1 ， k 1 ， S 0 ．则第一次： S 0 1 1 ， a 1 ，k 2 ；
第二 次： S 1 2 1 ， a 1 ，k 3 ；第三次： S 1 3 2 ， a 1 ，k 4 ；第四次： S
2 4 2 ， a 1 ， k 5 ；第五次： S 2 5 3 ， a 1 ， k 6 ；第六次： S 3 6 3
， a 1 ， k 7 ； 循环结束，输出 S 3 ．故选 B．
12 ．(2017 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 19 ，则输出N 的值为
【答案】C 【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为 N 19 ，第一次循环：
N N 1 18 ，不满足 N 3 ；第二次循环： N
6 ，不满足 N 3 ；第三次循环： N
2 ，
满足 N 3 ；此时跳出循环体，输出N 2 ，故选 C．
13 ．(2017 新课标Ⅲ文理)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于 91 ，则输入的正整数 N 的最小值为
A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 2
【答案】D 【解析】若 N 2 ，第一次循环， 1≤ 2 成立， S 100 ，M 10 ， i 2 ≤ 2 成立，第
二次 循环，此时 S 90 ，M 1 ， i 3≤ 2 不成立， ∴输出S 90 91 成立， ∴输入的正整数 N 的
最小值是 2 ，故选 D．
14 ．(2017 山东文)执行如图的程序框图，当输入的x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2 ，则空白判断框中的
条 件可能为
【答案】B【解析】输入x 的值为 4 时，由 x 2 6, log2 4 2 可知 x 4 不满足判断框中的条件，只能是 x
4 ，
故选 B．
15 ．(2017 山东理)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 的值为 7 ，第二次输入的x 的值为 9
， 则第一次、第二次输出的 a 的值分别为
A ． 0 ， 0 B ． 1 ， 1 C ． 0 ， 1 D ． 1 ， 0
【答案】D 【解析】第一次x 7 ， 2
2
7 ， b 3 ， 3
2
7 ， a 1；
第二次x 9 ， 2
2
9 ， b 3 ， 3
2
9 ， a 0 ．选 D．
16 ．(2017 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A ．2 B ． C ． D ．
【答案】C【解析】k 0 时，0 3 成立，第一次进入循环 k 1，s 2 ，1 3 成立；第二次进入循环，k
2 ，
s ， 2 3 成立；第三次进入循环 k 3 ， s ， 3 3 否，输出s ，故选 C．
17 ．(2016 全国 I 文理)执行如图的程序框图，如果输入的x 0，y 1，n 1 ，则输出 x，y 的值满足
A ． y 2x B ． y 3x C ． y 4x D ． y 5x
【答案】C 【解析】运行程序，第 1 次循环得 x 0, y 1, n 2 ，第 2 次循环得 x , y 2, n 3 ，第
3 次循环得 x , y 6 ，此时 x
2
y
2 36 ，输出x, y ，满足 C 选项．
18 ．(2016 全国 II 文理)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程
序框图，若输入的 x 2 ， n 2 ，依次输入的 a 为 2 ，2 ，5 ，则输出的s
A ．7 B ．12 C ．17 D ．34
【答案】C 【解析】 由程序框图知，第一次循环： x 2, n 2, a 2, s 0 2 2 2, k 1
； 第二次循环： a 2, s 2 2 2 6, k 2 ；第三次循环： a 5, s 6 2 5 17, k 3
．
结束循环，输出s 的值为 17 ，故选 C．
19 ．(2016 全国 III 文理)执行如图的程序框图，如果输入的 a=4 ，b=6 ，那么输出的 n=( )
A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6
【答案】B 【解析】第一次循环，得 a 2, b 4, a 6, s 6, n 1 ；第二次循环，得 a 2
， b 6, a 4, s 10, n 2 ；第三次循环，得 a 2, b 4, a 6, s 16, n 3 ；第四次循环，
得 a 2, b 6, a 4, s 20, n 4 ，此时 s 20 16 ，退出循环，输出的 n 4 ，故选
B．
20 ．(2015 湖南文理)执行如图所示的程序框图，如果输入 n 3 ，则输出的 S
A ． B ． C ． D ．
【答案】B 【解析】第一次循环， S 1
此时 i = 2 ，不满足条件，继续第二次循环 S 1 1
1 3 3 5 5 7 7
，
21 ．(2015 重庆文理)执行如图所示的程序框图，若输出k 值为 8 ，则判断框内可填入的条件是
A ． s ≤
B ． s ≤
C ． s ≤
D ． s ≤
1 3
，
1 3 3 5
，
此时 i = 3 ，不满足条件，继续第三次循环 S 1 1 1 3 此时 i 4 3 ，退出循环，输
出S
【答案】C 【解析】由程序框图，k 的值依次为 0 ，2 ，4 ，6 ，8 ，因此 S
(此时 k 6 )还
必
须计算一次，因此可填 S
，故选 C．
22 ．(2015 新课标 I 文理)执行如图所示的程序框图，如果输入的t 0.01 ，则输出的 n =
A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
【答案】C 【解析】 由程序框图可知 S 1 , m , n 1, 0.01；
S , m , n 2, 0.01 ； S , m
, n 3, 0.01；
S
, m
, n 4,
0.01 ； S
, m
, n 5,
0.01；
S
, m
, n 6,
0.01 ；S
, m
, n 7,
0.01，故选
C．
23 ．(2015 新课标 II 文理)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，
执行该程序框图，若输入 a, b 分别为 14 ，18 ，则输出的 a =
A ．0 B ．2 C ．4 D ．14
【答案】B 【解析】第一次执行，输入 a = 14 ， b = 18 ， ∵ a < b ， ∴ b 18
14 4 ； 第二次执行，输入 a = 14 ， b = 4 ， ∵ a b ， ∴ a 14 4 10 ；
第三次执行，输入 a = 10 ， b = 4 ， ∵ a b ， ∴ a 10 4 6 ；
第四次执行，输入 a = 6 ， b = 4 ， ∵ a b ， ∴ a 6 4 2 ；
第五次执行，输入 a = 2 ， b = 4 ， ∵ a b ， ∴ b 4 2 2 ；此时 a = b = 2 ．
24 ．(2015 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A ． 2 ，2 B ． 4 ，0 C ． 4， 4 D ． 0 ， 8
【答案】B 【解析】初始值x 1, y 1, k 0 ，执行程序框图，则 s 0, t 2 ， x 0, y 2, k 1；
s 2, t 2, x 2, y 2, k 2 ； s 4, t 0, x 4, y 0, k 3 ，此时输出 (x, y) ，则输出的结果为
( 4, 0) ．
25 ．(2015 四川文理)执行如图所示的程序框图，输出S 的值是
A ．
B ．
C ． D ．
【答案】D 【解析】这是一个循环结构，每次循环的结果依次为： k 2;k 3;k 4;k 5 ，
大于 4 ， ∴输出的 S sin
sin
．
26 ．(2014 新课标 I 文理)执行如图的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1 ，2 ，3 ，则输出的M =
A ．
B ． C ．
D ．
【答案】D 【解析】第一次循环： M , a 2, b , n 2 ；
第二次循环： M , a ， b , n 3 ；
第三次循环： M
, a , b
, n 4 则输出的M
，故选 D．
27 ．(2014 新课标 II 文理)执行如图程序框图，如果输入的 x, t 均为 2 ，则输出的 S =
A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7
【答案】D 【解析】第一步M 2, S 5, k 2 ；第二步M 2, S 7, k 3 ，故输出的结果为 7．
28 ．(2014 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值为
A ．15 B ．105 C ．245 D ．945
【答案】B【解析】 i = 1 时， T = 3 ， S = 3 ； i = 2 时， T = 5 ， S = 15 ； i = 3 时， T = 7 ， S =
105 ， i = 4 输出S = 105 ．
29 ．(2014 重庆文理)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为 6 ，则判断框内可填入的条件是
A ． s B ． s C ． s
D ． s
【答案】C 【解析】当输出 k 6 时， s 1
，结合题中的程序框图知，故选 C．
30 ．(2014 安徽文理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是
A ．34 B ．55 C ．78 D ．89
【答案】B 【解析】 55 50 ，故运算 7 次后输出的结果为 55．
x
1
1
2
3
5
8
13
21
y
1
2
3
5
8
13
21
34
z
2
3
5
8
13
21
34
55
31 ．(2014 福建文理)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 得值等于
A ．18 B ．20 C ．21 D ．40
【答案】B 【解析】 S 0, n 1, S 0 2
1
1 3, n 2 ； ∵ 3≥15 不成立，执行循环：
S 3 2
2
2 9 ， n 3 ， ∵ 9≥15 不成立，执行循环： S 9 2
3
3 20, n 4 ， ∵ 20≥15 成
立，
停止循环： ∴输出的 S 得值为 20 ．
32 ．(2014 湖南文理)执行如图所示的程序框图，如果输入的t [ 2, 2] ，则输出的 S 属于
A ． [ 6, 2] B ． [ 5, 1] C ． [ 4, 5] D ． [ 3, 6]
【答案】D 【解析】 由程序框图可知， S 2t
2
1 3, t [ 2, 0)
，其值域为 ( 2, 6] [ 3, 1] [
3, 6] ．
33 ．(2014 四川文理)执行如图所示的程序框图，如果输入的x, y R ，则输出的 S 的最大值为
A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
t
3,
t
[0,
x 0
【答案】C 【解析】当 y 0 时，函数 S 2x y 的最大值为 2．
x y 1
34 ．(2013 新课标 I 文理)执行如图程序框图，如果输入的t [ 1, 3] ，则输出 s 属于
A ．[-3 ，4] B ．[-5 ，2] C ．[-4 ，3] D ．[-2 ，5]
【答案】A【解析】有题意知，当t [ 1, 1) 时，s 3t [ 3, 3) ，当t [1, 3] 时，s 4t t
2
[3, 4] ，
∴输
出 s 属于[ 3 ，4] ，故选 A ．
35 ．(2013 安徽文理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A ． B ．
C ． D ．
【答案】D 【解析】 s 0 , s . 故选 D．
36 ．(2013 江西文理)阅读如图程序框图，如果输出i 5 ，那么在空白矩形框中应填入的语句为
A ． S 2*i 2 B ． S 2*i 1 C ． S 2*i D ． S 2*i 4
【答案】C【解析】由题意，当i 5 时，空白的判断框中的语句应使 S ≥10 ；故选项 A，B 中，当 i 5 时，
都有 S 10 ；故排除；假设空白的判断框中的语句是 C 项中的 S 2*i ，则第一次运行时， i 2, S 5
； 第二次运行时，i 3, S 6 ；第三次运行时，i 4, S 9 ；第四次运行时，i 5, S 10 ；此时不满足 S
10 ，
故输出i 5 ，满足题意，故选 C．
37 ．(2013 福建文理)阅读如图所示的程序框图，若输入的k 10 ，则该算法的功能是
A ．计算数列 2
n 1 的前 10 项和 B ．计算数列 2
n 1 的前 9 项和
C ．计算数列 2
n
1 的前 10 项和 D ．计算数列 2
n
1 的前 9 项和
1 1 1 6 3 2 11
11
【答案】C 【解析】第一次循环： S 1, i 2 ， i 10 ；第二次循环： S 3, i 3, i 10 ；第三次循环：
S 7, i 4, i 10 … ．第九次循环： S 2
9
1, i 10, i 10 ；第十次循环： S 2
10
1, i 11, i 10 ，
输
出 S ．根据故选项， S
，故为数列 2
n 1 的前 10 项和，故选 A．
38 ．(2013 浙江文理)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是
，则
A ． a 4
C ． a 6
B ． a 5
D ． a 7
【答案】A 【解析】 k 1, s 1 1 ; k 2, s 1 1 ;
k 3, s 1 1 ; k 4, s 1 1 ；
输出的结果为
，此时k 5 a ，故 a 4 ．
当输入x 为60 时
输出y 的
39 ．(2013 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1 ，则输出 S 的值为
A ．64
C ．512
B ．73
D ．585
【答案】B【解析】第一次循环， S 1 ， x 2 ；第二次循环， S 9, x 4 ；第三次循环， S 73 ，跳出
循环．
40 ．(2013 陕西文理)根据下列算法语句，
A ．25
B ．30
C ．31
D ．61
输入 x
If x ≤50 Then
y=0 ．5 * x
Else
y=25+0 ．6*(x-50)
End If
输出y
【答案】C 【解析】此算法的功能是计算分段函数 f(x) 0.5x, x ≤50
的值，
∴ f(60) 25 0.6 (60 50) 31 ，故选 C．
41．(2012 新课标文理)如果执行如图的程序框图，输入正整数 N(N 2) 和实数 a1 , a2 ,
, aN ，输出A 、B
，
则
25
0 6(x
50) x
输出A, B
开始
1 A a B a
k k 1
是
是
B x
是
结束
A ． A B 为 a1 , a2 ,
, aN 的和 B ． 为 a1 , a2 ,
, aN 的算术平均
数 2
C ． A 和B 分别是 a1 , a2 ,
, aN 中最大的数和最小的数
D ． A 和 B 分别是 a1 , a2 ,
, aN 中最小的数和最大的数
【答案】C【解析】由当 x A 时 A x 可知 A 应为 a1 , a2 , , aN 中最大的数，由当 x B 时 B x 可知
B 应
为 a1 , a2 , , aN 中最小的数．
42 ．(2012 安徽文理)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A ． 3 B ． 4 C ． D ．
【答案】B 【解析】
x
1
2
4
8
y
1
2
3
4
第一次进入循环体有 x=2 ，y=2 ，第二次进入循环体有 x=4 ，y=3 ，第三次进入循环体有 x=8 ，y=4 ，跳出循
k
x
A
否
否
A
否
环体，输出结果为 4 ，故选 D．
43 ．(2011 天津文理)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 4 ，则输出y 的值为
A ．0 ．5 B ．1 C ．2 D ．4
【答案】C 【解析】 由框图可知： x 4 ， | x | 3 ， x | 4 3 | 7 ；
x 7, | x | 3, x | 7 3 | 4 ； x 4, | x | 3, x | 4 3 | 1 3 ，
y 2
1
2 ，故选 C．
44 ．(2011 陕西文理)如图中， x1 ， x2 ， x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终
得分．当 x1
6, x2
9 ， p 8.5 时， x3 等于
A ．11 B ．10 C ．8 D ．7
【答案】C【解析】本题代入数据验证较为合理，显然满足 p 8.5 的可能为 8.5 或 8.5 ，显
6 1 1 9
然若 x3
11 ，不满足| x3
x1 | | x3
x2 | ，则 x1
11 ，计算p
10 ，不满足题意；而若 x3
8
， 不满足| x3
x1 | | x3
x2 | ，则 x1
8 ，计算 p
8.5 ，满足题意．
45 ．(2020 江苏 5)下图是一个算法流程图，若输出y 的值为 2 ，则输入 x 的值是 ．
【答案】 3
【解析】 由题可知 y ，当 y 2 时，得 x 1 2 ，解得 x 3 ．
46 ．(2019 江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是______________．
【答案】5
【解析】执行第一次， S S , x 1 4 不成立，继续循环， x x 1 2 ；
执行第二次， S S , x 2 4 不成立，继续循环， x x 1 3 ；
执行第三次， S S 3, x 3 4 不成立，继续循环， x x 1 4 ；
2
x , x 0
,
执行第四次， S S 5, x 4 4 成立，输出 S 5.
47 ．(2018 江苏)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 ．
【答案】8 【解析】该伪代码运行 3 次，第 1 次， I =3 ， S =2；第 2 次， I =5 ， S =4；第 3 次，
I =7 ， S =8 ，结束运行，故输出的 S 的值为 8．
48 ．(2017 江苏)如图是一个算法流程图，若输入 x 的值为
，则输出的 y 的值是 ．
【答案】 2 【解析】 由题意得 y 2 log2
2 ．
49 ．(2015 安徽文理)执行如图所示的程序框图(算法流程图) ，输出的 n 为
【答案】4 【解析】 由题意，程序框图循环如下：① a 1, n 1 ；② a 1
, n 2 ；③
a 1
, n 3 ；④ a 1
, n 4 ，此时|
1.414 | 0.003 0.005 ， ∴输出 n
4 ．
50 ．(2014 山东文理)执行如图的程序框图，若输入的 x 的值为 1 ，则输出的n 的值为 ．
【答案】3 【解析】 1
2
4 1 3 ≤0, x 2, n 1 ； 2
2
4 2 3 ≤0, x 3, n 2 ；
3
2
4 3 3 ≤0, x 4, n 3 ； 4
2
4 4 3 0, x 5, n 4 ，此时输出 n 值，故输出 n 的值为 3．
51 ．(2014 江苏)如图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 ．
【答案】5 【解析】该流程图共运行 5 次，各次 2
n 的值分别是 2, 4, 8, 16, 32, ∴输出的 n 的值是 5．
52 ．(2014 辽宁文理)执行如图的程序框图，若输入x 9 ，则输出y
．
【答案】
【解析】第一次循环： y 5, x 5 ；第二次循环： y
, x
；第三次循环： y
，
此时 y x
1 ，故输出 y
．
53 ．(2013 浙江文理)某程序框图如图所示，则 该程序运行后输出的值等于_____．
【答案】 【解析】 k 1, S 1; S 1
, k 2; S 1
, k 3
1 1 9
54 ．(2013 山东文理)执行如图的程序框图，若输入的
的值为 0 ．25 ，则输出的 n 的值为___．
【答案】3 【解析】第一次循环，
，此时
当k 5 时程序结束，此时 S 1
1
2
4
5
不成立．第二次循环， ，
此时
成立，输出
．
55 ．(2012 江西文理)如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________．
【答案】3 【解析】 由程序框图可知：
第一次：T=0 ，k=1 ，sin
1 sin 0 0 成立，a=1 ，T=T+a=1 ，k=2 ，2<6 ，满足判断条件，继续循环；
第 二次： sin 0 sin 1 不成立，a=0 ，T=T+a=1 ，k=3 ，3<6 ，满足判断条件，继续循环；第三次：
sin
1 sin 0 不成立，a=0 ，T=T+a=1 ，k=4 ，4<6 ， 满足判断条件，继续循环；第四次：
sin 2 0 sin
1 成立，a=1 ，T=T+a=2 ，k=5 ， 满足判断条件，继续循环；第五次：
sin
1 sin 2 0 成立，a=1 ，T=T+a=2 ，k=6 ，6<6 不成立，不满足判断条件，跳出循环，故输出 T
的值 3．
56 ．(2012 江苏)如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是
．
【答案】5 【解析】 由 k
2
5k 4 ＞0 得k 1 或 k 4 ， ∴ k 5 ．
57 ．(2011 福建文理)运行如图所示的程序，输出的结果是_______．
【答案】3 【解析】 a 1, b 2 把 1 与 2 的和输给 a ，即 a 3 ，输出的结果为 3．
58 ．(2011 江苏)根据如图所示的伪代码，当输入 a ，b 分别为 2 ，3 时，最后输出的 m 的值是 ．
Read a ，b
If a>b Then
m
a
Else
m
b
End If
Print m
【答案】3 【解析】伪代码的含义是输出两个数的较大者， ∴输出的 m 3 ．
考点 114 复数
59 ．(2020 全国 Ⅰ文 2)若 z 1 2i i
3 ，则 z ( )
A ． 0 B ． 1 C ．
D ． 2
【答案】C
【解析】 ∵ z 1+2i i
3
1+2i i 1 i ， ∴ z
，故选 C．
60 ．(2020 全国 Ⅰ理 1)若 z 1 i ，则 z
2
2z ( )
A ．0 B ．1 C ．
D ．2
【答案】D
【解析】由题意可得： z
2
1 i
2
2i ，则 z
2
2z 2i 2 1 i 2 ，故 z
2
2z 2 2 ，故选
D．
61 ．(2020 全国Ⅱ文 2) 1 i
4
( )
A ． 4 B ．4 C ． 4i D ． 4i
【答案】A
【解析】 (1 i)
4
[(1 i)
2 ]
2
(1 2i i
2 )
2
( 2i)
2
4 ．故选 A．
62 ．(2020 全国Ⅲ文 2)复数 z 1 i 1 i ，则 z (
)
A ． 1 i B ． 1 i C ． i D ． i
【答案】D
【解析】 ∵ z
i ， ∴ z = i ，故选 D
63 ．(2020 全国Ⅲ理 2)复数
的虚部是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
1
1 3 i
1 3 1 3
64 ．(2020 浙江 2)已知 a R ，若 a 1 a 2 i ( i 为虚数单位)是实数，则 a (
)
A ． 1 B ． 1 C ． 2 D ． 2
【答案】C
【解析】 由条件可知 a 2 0 ，即 a 2 ，故选 C．
65 ．(2020 北京 2)在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 1 , 2 ，则i z (
)
A ． 1 2i B ． 2 i C ． 1 2i D ． 2 i
【答案】B
【解析】 由题意 z=1+2i ，iz=-2+i ，故选 B．
66 ．(2020 山东 2)
( )
A ． 1 B ． 1 C ． i D ． i
【答案】D
【解析】
i ，故选 D．
67 ．(2019 全国 Ⅰ文)设 z
，则| z |
A ． 2 B ．
【解析】 ∵ z
1
3i
(1
3i)(1
3i)
10
10
i ， ∴复数 z
1
3i
的虚部为
10
，故
C ．
D ． 1
【答案】C
【解析】方法 1 ：由题可得 z
i ， ∴ | z | ( )
2
( )
2
，故选 C．
方法 2 ：由题可得 | z |
，故选 C．
68 ．(2019 全国 Ⅰ理)设复数 z 满足z i =1 ，z 在复平面内对应的点为(x，y) ，则
A ． (x+1)
2
y
2
1 B ． (x 1)
2
y
2
1
C ． x
2
(y 1)
2
1 D ． x
2
(y+1)
2
1
【答案】C
【解析】 由题可得 z x yi, z i x (y 1)i, z i x
2
(y 1)
2
1, 则 x
2
(y 1)
2
1 ．故选
C．
69 ．(2019 全国Ⅱ文)设 z i(2 i) ，则 z
A ． 1 2 i B ． 1 2 i
C ． 1 2 i D ． 1 2 i
【答案】D
【解析】 由题可得 z i(2 i) 2i i
2
1 2i ， ∴ z 1 2 i ，故选 D．
70 ．(2019 全国Ⅱ理)设 z=–3+2i ，则在复平面内 z 对应的点位于
A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】C
【解析】 由 z 3 2i, 得 z 3 2i, 则 z 3 2i 对应的点(-3 ，-2)位于第三象限．故选 C．
71 ．(2019 全国Ⅲ文理)若 z(1 i) 2i ，则 z
A ． 1 i B ．
1 i
C ． 1 i D ． 1 i
【答案】D
【解析】 由题可得 z
1 i ．故选 D．
72 ．(2019 年高考北京文理)已知复数 z 2 i ，则 z z
A ．
B ．
C ． 3 D ． 5
【答案】D
【解析】 由题 z 2 i ，则 z z (2 i)(2 i) 5 ，故选 D．
74 ．(2018 北京文理)在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】D【解析】
i ，其共轭复数为 i ，对应的点为 ( , ) ，
故
选 D ．
75 ．(2018 全国卷 Ⅰ文理)设 z
2i ，则| z |
A ． 0 B ． C ． 1 D ．
【答案】C 【解析】 ∵ z
2i=
2i i 2i i ， ∴| z | 1 ，故选 C．
76 ．(2018 全国卷Ⅱ文) i 2 3i
A ． 3 2i B ． 3 2i C ． 3 2i D ．
3 2i 【答案】D 【解析】 i 2 3i 3 2i ，故选 D．
77 ．(2018 全国卷Ⅱ理)
A ．
i B ．
i C ．
i D ．
i
【答案】D 【解析】
i ，故选 D．
78 ．(2018 全国卷Ⅲ文理) (1 i)(2 i) =
A ． 3 i B ． 3 i C ． 3 i D
． 3 i 【答案】D 【解析】 (1 i)(2 i) 2 i 2i i
2
3
i ．故选 D．
79 ．(2018 浙江)复数
( i 为虚数单位)的共轭复数是
A ． 1 i B ． 1 i C ． 1 i D ． 1 i
【答案】B 【解析】 ∵
1 i ， ∴复数
的共轭复数为1 i ．故选 B．
80 ．(2017 新课标 Ⅰ文)下列各式的运算结果为纯虚数的是
A ． i(1 i)
2 B ． i
2 (1 i) C ． (1 i)
2 D ． i(1 i)
【答案】C 【解析】 由 (1 i)
2
2i 为纯虚数知选 C．
81 ．(2017 新课标 Ⅰ理)设有下面四个命题
p1 ：若复数 z 满足
R ，则 z R ；
p2 ：若复数 z 满足 z
2
R ，则 z R ；
p3 ：若复数 z1 ， z2 满足 z1z2
R ，则 z1
z2 ；
p4 ：若复数 z R ，则 z R ．
其中的真命题为
A ． p1 ， p3 B ． p1 ， p4 C ． p2 ， p3 D ． p2 ， p4
【答案】B【解析】设 z a bi ( a, b R ) ，则
R ，得b 0 ， ∴ z R ，p1
正确；
z
2
(a bi)
2
a
2
b
2
2abi R ，则 ab 0 ，即 a 0 或b 0 ，不能确定 z R ，p2 不正确；若 z R
，
则b 0 ，此时 z a bi a R ， p4 正确．选 B．
82 ．(2017 新课标Ⅱ文) (1 i)(2 i)
A ． 1 i B ． 1 3i C ． 3 i D
． 3 3i
【答案】B 【解析】 由复数的运算法则， (1 i)(2 i) 1 2 3i i
2
1 3i ，故选 B．
83 ．(2017 新课标Ⅱ理)
A ．1 + 2i B ．1 − 2i C ．2 + i D ．2 − i
84 ．(2017 新课标Ⅲ文)复平面内表示复数 z i( 2 i) 的点位于
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】C 【解析】 ∵ z i( 2 i) 1 2i ， ∴复数 z 在复平面内对应的点 Z( 1, 2) ，位于第三
象限， 故选 C．
85 ．(2017 新课标Ⅲ)设复数z 满足 (1 i)z 2i ，则 | z | =
A ． B ．
C ．
D ．2
【答案】C 【解析】 由 (1 i)z 2i ，得 z
1 i ， ∴| z |
．故选 C．
86 ．(2017 山东文)已知i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi 1 i ，则 z
2 =
A ． 2i B ．2i C ． 2 D ．2
【答案】A 【解析】 由 zi 1 i ，得 z
1 i ， z2
(1 i)2
2i ，故选 A．
87 ．(2017 山东理)已知 a R ， i 是虚数单位，若 z a
i ， z z 4 ，则 a =
A ．1 或 1 B ．
或
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 由 z a
i, z z 4 得 a
2
3 4 ， ∴ a 1 ，故选 A．
88 ．(2017 北京文理)若复数(1 i)(a i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是
A ． ( , 1) B ． ( , 1) C ． (1, ) D ． ( 1, )
【答案】B【解析】z (1 i)(a i) (a 1) (1 a)i ，∵对应的点在第二象限，∴
解得 a
1 ，
故选 B．
89 ．(2016 全国 I 文)设 (1 2 i)(a i) 的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=
A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3
【答案】A 【解析】 ∵ (1 2 i)(a i) = (a 2) (2a 1)i ，由已知的 a 2 2a 1，
解得 a 3 ．故选 A．
90 ．(2016 年全国 I 理)设 (1 i)x 1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi =
A ．1 B ．
C ．
D ．2
【答案】B 【解析】 ∵ (1 i)x x xi 1 yi ， ∴ x y 1 ，
∴ | x yi | | 1 i |
，故选 B．
91 ．(2016 全国 II 文)设复数 z 满足 z i 3 i ，则 z =
A ． 1 2i B ． 1 2i C ． 3 2i D ．
3 2i 【答案】C 【解析】 由 z i 3 i 得， z 3 2i ， ∴ z 3
2i ，故选 C．
92 ．(2016 年全国 II 理)已知 z (m 3) (m 1) i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是
A ． 3，1 B ． 1，3 C ． 1 , + D ． - ， 3
【答案】A 【解析】 由已知可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (m 3, m 1) ，
∴ m 3 0 ， m 1 0 ，解得∴ 3 m 1 ，故选 A．
93 ．(2016 全国 III 文)若 z 4 3i ，则
=
A ．1 B ． 1 C ． i D ．
i 【答案】D 【解析】
i ，故选 D．
94 ．(2016 年全国 III 理)若 z 1 2i ，则
( )
A ．1 B ． 1 C ．i D ．
i 【答案】C 【解析】
i ，故选
C．
95 ．(2016 年山东理) 若复数 z 满足 2z z 3 2i 其中i 为虚数单位，则z =
A ．1+2i B ．1 2i C ． 1 2i D ．
1 2i 【答案】B 【解析】设 z a bi(a, b R) ，则 z a bi ，
故2z z 2(a bi) a bi 3a bi 3 2i ，
∴ a 1, b 2 ， ∴ z 1 2i ，故选 B．
96 ．(2015 新课标 I 文理)设复数 z 满足
i ，则 | z | =
A ．1 B ．
C ．
D ．2
【答案】A 【解析】 由题意知1+ z = i - zi ， z =
=
= i ， ∴| z |= 1．
97 ．(2015 广东文理)若复数 z i 3 2i ( i 是虚数单位) ，则 z
A ． 2 3i B ． 2 3i C ． 3 2i D ． 3 2i
【答案】A 【解析】 ∵ z = 2 + 3i ， ∴ z = 2 - 3i ．
98 ．(2015 安徽文理)设i 是虚数单位，则复数
在复平面内所对应的点位于
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】B 【解析】 由题意
1 i ，其对应的点坐标为( 1, 1) ，位于第
二象
限，故选 B．
99 ．(2015 山东文理)若复数z 满足
i ，其中i 为虚数单位，则 z =
A ． 1 i B ． 1 i C ． 1 i D ．
1 i 【答案】A 【解析】 z (1 i)i i
2
i 1 i, z
1 i ．
100 ．(2015 四川文理)设i 是虚数单位，则复数 i
3
=
A ． i B ． 3i C ． i D
． 3i 【答案】C 【解析】 i
3 - = -i -
= -i + 2i = i
．
101 ．(2015 湖北文理) i 为虚数单位， i
607 的共轭复数为
A ． i B ． i C ．1 D ． 1
【答案】A 【解析】 i
607
i
4 151 i
3
i ，故选 B．
102 ．(2015 湖南文理)已知
1 i ( i 为虚数单位) ，则复数 z =
A ． 1 i B ． 1 i C ． 1 i D ． 1 i
【答案】D 【解析】 由题意得， z
1 i ，故选 D．
103 ．(2014 新课标 I 文理)设 z
i ，则| z |
A ． B ．
C ．
D ．2
【答案】B 【解析】 z
i = i ， ∴| z | ( )
2
( )
2
．
104 ．(2014 新课标 I 文理)
=
A ． 1 i B ． 1 i C ． 1 i D ．
1 i 【答案】D 【解析】
=
1 i ．
105 ．(2014 新课标 II 文理)设复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1
2 i ，则 z1z2
A ． 5 B ．5 C ． 4 i D ． 4
i 【答案】A 【解析】 z2
2 i ， ∴ z1z2
(2 i)( 2 i)
5 ．
106 ．(2014 新课标 II 文理)
A ． 1 2i B ． 1 2i C ． 1-2i D ．
1-2i 1 3 i
1 i
107 ．(2014 山东文理)已知 a, b R, i 是虚数单位，若 a i 与 2 bi 互为共轭复数，则（a bi）
2
A ． 5 4i B ． 5 4i C ． 3 4i D ． 3 4i
【答案】D 【解析】 由已知得 a 2, b 1 ， ∴（a bi）
2
(2 i)
2
3 4i ．
108 ．(2014 广东文理)已知复数 z 满足(3 4i)z 25 ，则 z =
A ． 3 4i B ． 3 4i C ． 3 4i D ． 3 4i
【答案】D 【解析】 由(3 4i)z 25 得 z
(3 4i) ，故选 D．
109 ．(2014 安徽文理)设i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数．若 z 1 i, 则
i z
A ． 2 B ． 2i C ． 2 D ． 2i
【答案】C 【解析】 i z
i (1 i) (i 1) (i 1) 2 ．
110 ．(2014 福建文理)复数 z (3 2i)i 的共轭复数 z 等于
A ． 2 3i B ． 2 3i C ． 2 3i D ． 2
3i 【答案】C 【解析】 ∵ z (3 2i)i = 2 3i ， ∴ z
2 3i ．
111 ．(2014 天津文理) i 是虚数单位，复数
=
A ． 1 - i B ． -1 +i C ．
+
i D ． -
+
i 【答案】A 【解析】
=
=
= 1 - i ．
112 ．(2014 重庆文理)实部为 2 ，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的
【答案】B 【解析】
1
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】A 【解析】 z
1
i
1
i
1
i
2
1
【答案】B 【解析】实部为-2 ，虚部为 1 的复数为-2 + 1 ，所对应的点位于复平面的第二象限，故选 B．
113 ．(2013 新课标 I 文理)若复数z 满足 (3 4i)z | 4 3i | ，则z 的虚部为
A ．－4 B ． C ．4 D ．
【答案】D 【解析】 由题知 z =
=
= i ，故 z 的虚部为 ，故选 D．
114 ．(2013 新课标 II 文)设复数 z 满足 1 i z 2i ，则 z =
A ． 1 i B ． 1 i C ． 1 i D ． 1 i
2 i 2 i 1 i 2 2 i
115 ．(2013 山东文理)复数 z 满足 z 3 2 i 5 (i 为虚数单位) ，则 z 的共轭复数z 为
A ．2+i B ．2-i C ．5+i D ．5-i
【答案】D 【解析】 z 3 2 i 5 ，得 z 3
5 i, z 5 i ．
116 ．(2013 安徽文理)设i 是虚数单位，
_
z 是复数 z 的共轭复数，若 z zi 2 2z ，则 z =
A ． 1+i B ． 1 i C ． 1+i D ． 1-i
【答案】A 【解析】设 z a bi ，则 z a bi ，由 z zi 2 2z 得，
a bi a bi i 2 a
2
b
2 i 2 2a 2bi
z 1 i ，故选 A ．
117 ．(2013 广东文理)若复数 z 满足 iz 2 4i ，则在复平面内， z 对应的点的坐标是
A ． 2, 4 B ． 2, 4 C ． 4, 2 D ． 4, 2
【答案】C 【解析】 z
4 2i 对应的点的坐标是 4, 2 ，故选 C．
118 ．(2013 江西文理)已知集合M 1, 2, zi ， i 为虚数单位， N 3, 4 ，M N {4} ，则复数 z
=
A ．-2i B ．2i C ．-4i D ．4i
【答案】C 【解析】 由M N {4}知， zi 4 ， ∴ z 4i ．
119 ．(2013 湖北文理)在复平面内，复数 z
(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】D 【解析】 z
1 i ， z 1 i ．
120 ．(2013 北京文理)在复平面内，复数i(2 i) 对应的点位于( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】A 【解析】 i 2 i 1 2i ，故选 A．
121 ．(2013 四川文理)如图在复平面内，点 A 表示复数 z ，则图中表示 z 的共轭复数的点是
A ． A B ． B C ． C D ． D
【答案】B 【解析】设 A(x, y) 表示复数 z x yi ，则 z 的共轭复数 z x yi 对应的点位B(x, y)
．
122 ．(2013 辽宁文理)复数的 z
模为( )
A ． B ．
C ．
D ． 2
【答案】B 【解析】 由已知 z
i ， ∴| z |
．
123 ．(2012 新课标文理)复数 z ＝
的共轭复数是 ( )
A ． 2 i B ． 2 i C ． 1 i D ． 1 i
【答案】D 【解析】 ∵ z =
= 1 i ， ∴ z 的共轭复数为 1 i ，故选 D．
124 ．(2012 北京文理)在复平面内，复数
对应的点坐标为( )
A ．( 1 ，3) B ．(3 ，1) C ． ( 1, 3） D ．（3， 1）
【答案】A 【解析】 由
1 3i 对应复平面内的点为 A．
125 ．(2012 广东文理)设i 为虚数单位，则复数
=
A ． 6 5i B ． 6 5i C ． 6 5i D ．
6 5i 【答案】D 【解析】依题意：
6 5i ，故
选D ．
2 - i
【答案】A 【解析】
=
=
= - i ，故选 A．
127 ．(2012 湖南文理)复数 z i(i 1) ( i 为虚数单位)的共轭复数是
A ． 1 i B ． 1 i C ． 1 i D ． 1 i
【答案】A 【解析】 由 z i(i 1) = 1 i ，及共轭复数定义得 z 1 i ．
128 ．(2012 天津文理) i 是虚数单位，复数
=
A ． 2 i B ． 2 i C ． 2 i D ． 2
i 【答案】B 【解析】
=
=
=
2 i ．
129 ．(2012 浙江文理)已知 i 是虚数单位，则
A ． 1 2i B ． 2 i C ． 2 i D ．
1 2i 【答案】D 【解析】
1
2i ．
130 ．(2012 江西文理)若复数 z 1 i (i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数 ， 则 z
2
z
2 的虚部为
A ． 0 B ． － 1 C ． 1 D ． － 2
【答 案】A 【解析】 ∵ z 1 i ， ∴ z 1 i ， ∴ z
2
z =0．
131 ．(2012 山东文理)若复数 z 满足 z 2 i 11 7i (i 为虚数单位) ，则 z 为
(A) 3 5i (B) 3 5i (C) 3 5i (D) 3 5i
11
7 i (11
7 i )(2
i ) 22
7 (14
11)
i
2 i 5 5
另解：设 z a bi(a, b R) ，则(a bi)(2 i) 2a b (2b a)i 11 7i
126 ．(2012 辽宁文理)复数 =
1
【答案】A 【解析】z
3
5i
故选
2
根据复数相等可知 2a b 11,2b a 7 ，解得 a 3, b 5 ，于是 z 3 5i
．
132 ．(2012 陕西文理)设 a, b R ， i 是虚数单位，则“ ab 0 ”是“复数 a 为纯虚数”的
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】“ab 0 ”则 a 0 或b 0 ，“复数 a 为纯虚数”则 a 0 且b 0 ，则“ ab 0
” 是“复数 a 为纯虚数”的必要不充分条件，故选 B．
133 ．(2011 山东文理)复数 z =
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】D 【解析】 z =
= i 在复平面内对应的点所在象限为第四象限．
134 ．(2011 安徽文理)设 i 是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数 a 为
A ．2 B ． 2 C ． D ．
a i
i
135 ．(2011 新课标文理)复数 的共轭复数是
A ． i B ． i C ． i D ． i
【答案】C 【解析】
=
i, 共轭复数为
C．
136 ．(2011 湖南文理)若 a, b R ， i 为虚数单位，且(a i)i b i ，则
A ． a 1, b 1 B ． a 1, b 1 C ． a 1, b 1 D ． a 1, b 1
【答案】D 【解析】因(a i)i 1 ai b i ，根据复数相等的条件可知 a 1, b 1 ．
137 ．(2011 广东文理)设复数 z 满足(1+ i ) z =2 ，其中i 为虚数单位，则z =
A ．1+ i B ．1- i C ．2+2 i D ．2-2 i
【答案】B 【解析】 z
1 i ．
138 ．(2011 辽宁文理) i 为虚数单位，
A ．0 B ．2 i C ． 2i D ．4 i
【答案】A 【解析】 ∵ i
2
1 ， ∴
0 ．
【答案】A 【解析】设 =bi(b R) ，则1+ai bi(2 i) b 2bi ， ∴ b 1, a 2 ．故选
A．
1
139 ．(2011 福建文理) i 是虚数单位，若集合 S= 1.0. 1 ，则
A ． i S B ． i
2
S C ． i
3
S D ． S
【答案】B 【解析】 ∵ i
2
1 ， 1 S ， ∴ i
2
S ．
140 ．(2011 浙江文理)把复数 z 的共轭复数记作 z ， i 为虚数单位，若 z 1 i, 则(1 z) z =
A ．3 －i B ．3+i C ．1+3i D ．3
【答案】A 【解析】 (1 z) z (2 i)(1 i) 3 i ．
141．(2020 全国Ⅱ理 15)设复数 z1 , z2 满足 z1
z2
2，z1
z2
i ，则 z1
z2
．
【答案】 2
【解析】 z1
z2
2 ，可设 z1
2 cos
2 sin
i ， z2
2 cos 2 sin i ，
z1
z2
2 cos
cos
2 sin
sin i
i ，
s
两式平方作和得： 4 2 2 cos
cos 2sin
sin
4
， 化简得： cos
cos sin
sin ，
z1
z2
2 cos
cos
2 sin
sin
i
4 cos
cos
2
4 sin
sin
2
8 8 cos
cos sin
sin
8 4 2 3
． 故答案为： 2
．
142 ．(2020 江苏 2)已知i 为虚数单位，则复数 z 1 i 2 i 的实部是 ．
【答案】 3
【解析】 z 1 i 2 i 3 i ，则复数 z 的实部为 3 ．
8 i
【答案】 3 2i
【解析】
3 2i ．故答案为： 3 2i ．
144 ．(2020 上海 3)已知复数 z 1 2i ( i 为虚数单位) ，则| z | ．
143 ．(2020 天津 10) i 是虚数单位，复数 _________．
2
【答案】
【解析】 z
，故答案为：
．
145 ．(2020 海南 2) 1 2i 2 i = ( )
A ． 1 B ． 1 C ． i D ． i
【答案】B
【解析】 (1 2i)(2 i) 2 i 4i 2i
2
5i ，故选 B．
5 i
【解析】 |
| |
| | 2 3i |
．
147 ．(2019 浙江卷】复数 z
( i 为虚数单位) ，则| z | =______________．
【答案】
【解析】 由题可得 | z |
．
148．(2019 江苏卷】已知复数(a 2i)(1 i) 的实部为 0，其中i 为虚数单位，则实数 a 的值是______________．
【答案】 2
【解析】 (a 2 i)(1 i) a a i 2 i 2 i
2
a 2 (a 2) i ，令 a 2 0 ，解得 a 2 ．
149 ．(2018 天津文理) i 是虚数单位，复数
．
【答案】 4 i 【解析】
4
i ．
150 ．(2018 上海文理)已知复数 z 满足 (1 i)z 1 7i ( i 是虚数单位) ，则| z | = ．
【答案】5 【解析】 由题意 z
3 4i ， ∴| z | | 3 4i |
5 ．
151 ．(2018 江苏)若复数 z 满足i z 1 2i ，其中 i 是虚数单位，则z 的实部为 ．
146 ．(2019 天津文理】 i 是虚数单位，则|
1 i
| 的值为______________．
【答案】
【答案】2 【解析】复数 z
(1 2i)( i) 2 i 的实部是 2．
152 ．(2017 天津文理)已知 a R ，i 为虚数单位，若
为实数，则 a 的值为 ．
a i ( a i )(2
i ) (2
a 1)
( a 2)
i 2 a 1 a 2
则 0, a 2 ．
153 ．(2017 浙江文)已知 a ，b∈R ，（a bi）
2
3 4i ( i 是虚数单位)则 a
2
b
2
， ab =
． 【答案】5 ，2 【解析】 ∵ (a bi)
2
a
2
b
2
2abi 3 4i ， ∴ a
2
b
2
3 ， ab 2 ，
又 (a
2
b
2 )
2
(a
2
b
2 )
2
4a
2b
2
9 16 25 ， ∴ a
2
b
2
5 ， ab 2 ．
154 ．(2017 江苏文理)已知复数 z (1 i)(1 2i) ，其中i 是虚数单位，则 z 的模是______．
【答案】
【解析】 | z | | 1 i || 1 2i |
．
155 ．(2015 天津文理) i 是虚数单位，若复数 (1 2i)(a i) 是纯虚数，则实数 a 的值为 ．
【答案】 2 【解析】 1 2i a i a 2 1 2a i 是纯度数， ∴ a 2 0 ，即 a 2 ．
156 ．(2015 重庆文理)设复数 a bi (a,b R) 的模为
，则 (a bi)(a bi) ＝ ．
【答案】3 【解析】 由 a bi
得
，即 a
2
b
2
3 ， ∴ (a bi)(a bi) a
2
b
2
3 ． 157 ．(2014 江苏文理)已知复数 z (5 2i)
2 ( i 为虚数单位) ，则 z 的实部为 ．
【答案】21 【解析】 z (5 2i)
2 = 21 20i ， z 的实部为 21．
158 ．(2014 浙江文理)已知 i 是虚数单位，计算
＝________．
【答案】
【解析】
．
159 ．(2014 北京文理)复数 1 i
2
【答案】 1 1 【解析】
2
1．
1
i
【答案】 2 【解析】
2 i (2 i)(2 i) 5 5 5
i 为实数，
a 2
160 ．(2014 湖南文理)复数 2 ( i 为虚数单位)的实部等于_________．
3 i
2
161 ．(2013 重庆文理)已知复数 z
(i 是虚数单位) ，则 z
_________ 【答案】
【解析】 z
2 i ， ∴| z |
．
162 ．(2013 天津文理)已知 a ，b∈R ，i 是虚数单位．若(a + i)(1 + i) = bi ，则 a + bi =
．
a 1 0 a 1
163 ．(2012 湖北文理)若
= a bi ( a, b 为实数， i 为虚数单位) ，则 a b =____________．
【答案】3 【解析】 ∵
a bi ， ∴ 3 bi a bi 1 i a b b a i ．又∵ a, b 都为实数，
故由复 数的相等的充要条件得
解得
∴ a b 3．
164 ．(2011 江苏文理)设复数ｚ满足 i(z 1) 3 2i (i 是虚数单位) ，则 z 的实部是___．
3 2 i
i
165 ．(2019 全国 I 文)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
(
≈0 ．618 ，称为黄金分割比例) ，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽
喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm ，头
顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能是
i
3 i
【答案】
3 【解析】
3
i
实部为
【答案】1 【解析】 z 1 1 3i ， ∴ z 的实部
是 1．
【答案】 1 2i 【解析】 由题意 a
1
b
，即
b
2
， ∴a + bi=
i
A ．165 cm
C ．185 cm
B ．175 cm
D ．190 cm
【答案】B
【解析】方法一：如下图所示．依题意可知：
,
，
① 腿长为 105 cm 得，即 CD> 105 ，AC
CD 64.89 ，AD AC CD 64.89 105 169.89
， ∴AD> 169 ．89．
②头顶至脖子下端长度为 26 cm ，即 AB<26 ， BC
42.07 ， AC=AB+BC<68.07
， 2
CD
110. 15 ， AC+CD<68.07+ 110. 15=178.22 ， ∴ AD< 178.22 ．
2
综上， 169.89<AD< 178.22 ，故选 B．
方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm ，肚脐至腿根的长为 y cm ，则 ，得
x 42.07cm, y 5. 15cm ．又其腿长为 105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26cm ， ∴其身高约为
42 ．07+5 ．15+ 105+26=178 ．22 ，接近 175cm ．故选 B．
166 ．(2019 全 国 II 理)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联
系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥” ，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2 点的轨道运行．L2
点 是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M １ ，月球质量为 M ２ ，地月距离为 R ， L2 点到月
球的
距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
(R r)
．设
，
由
于
的值很小，因此在近似计算中
3
3 ，则 r 的近似值为( )
M
M
A ．
2 R B ．
2 R
M 2M
C ． 3
R D ． 3
R
【答案】D
【解析】 由
，得 r
R ， ∵
(R r)
， ∴
(1
)
，
即
2 [(1 )
]
3
3 ，
解得
3 2 ， ∴ r R
3 2 R
167 ．(2019 年高考北京文理)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度
满足 m2−m1= lg
，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k=1 ，2) ．已知太阳的星等是−26 ．7 ，天狼星的星
等 是− 1 ．45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A ．1010．1
C ．lg10 ．1
B ．10 ．1
D ．10– 10．1
26
26
x
1
M
M
3M
3M
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足m2
m1
lg
，令 m2
1.45, m1
26.7 ，
lg
m2
m1
( 1.45 26.7) 10. 1,
10
10. 1 ，故选 A．
168 ．(2018 浙江)已知 a1 ， a2 ， a3 ， a4 成等比数列，且 a1
a2
a3
a4
ln(a1
a2
a3 ) ．若 a1
1 ，
则
A ． a1
a3 ， a2
a4 B ． a1
a3 ， a2
a4
C ． a1
a3 ， a2
a4 D ． a1
a3 ， a2
a4
【答案】B 【解析】解法一 ∵ ln x ≤ x 1 ( x 0 ) ， ∴ a1
a2
a3
a4
ln(a1
a2
a3 ) ≤ a1
a2
a3
1 ， ∴ a4 ≤ 1 ，又 a1
1 ， ∴等比数列的公比 q 0 ．
若 q ≤ 1 ，则 a1
a2
a3
a4
a1 (1 q)(1 q
2）≤ 0 ，
而 a1
a2
a3 ≥ a1
1 ， ∴ ln(a1
a2
a3 ) 0 ，
与ln(a1
a2
a3 ) a1
a2
a3
a4 ≤0 矛盾，
∴ 1 q 0 ， ∴ a1
a3
a1 (1 q
2 ) 0 ， a2
a4
a1q(1 q
2 ) 0 ，
∴ a1
a3 ， a2
a4 ，故选 B．
解法二 ∵ e
x ≥ x 1 ， a1
a2
a3
a4
ln(a1
a2
a3 ) ，
∴ ea1
a2
a3
a4
a1
a2
a3 ≥ a1
a2
a3
a4
1 ，则 a4 ≤ 1 ，
又 a1
1 ， ∴等比数列的公比 q 0 ．
若 q ≤ 1 ，则 a1
a2
a3
a4
a1 (1 q)(1 q
2）≤ 0 ，
而 a1
a2
a3 ≥ a1
1 ， ∴ ln(a1
a2
a3 ) 0
与ln(a1
a2
a3 ) a1
a2
a3
a4 ≤0 矛盾，
∴ 1 q 0 ， ∴ a1
a3
a1 (1 q
2 ) 0 ， a2
a4
a1q(1 q
2 ) 0 ，
∴ a1
a3 ， a2
a4 ，故选 B．
169 ．(2018 北京文理)设集合 A {(x, y) | x y ≥1, ax y 4, x ay ≤ 2}, 则
A ．对任意实数 a ， (2, 1) A B ．对任意实数 a ， (2, 1) A
C ．当且仅当 a 0 时， (2, 1) A D ．当且仅当 a ≤ 时， (2, 1) A
【答案】D 【解析】解法一 点 (2, 1) 在直线 x y 1 上， ax y 4 表示过定点 (0, 4) ，斜率为 a 的直
线，
当 a 0 时， x ay 2 表示过定点 (2, 0) ，斜率为
的直线，不等式 x ay ≤ 2 表示的区域包含原点，
不
等式 ax y 4 表示的区域不包含原点．直线 ax y 4 与直线x ay 2 互相垂直，显然当直线 ax y 4
的斜率 a 0 时，不等式 ax y 4 表示的区域不包含点 (2, 1) ，故排除 A；点 (2, 1) 与点 (0, 4) 连线
的斜率
为 ，当 a ，即 a 时， ax y 4 表示的区域包含点 (2, 1) ，此时x ay 2 表示的区域
也包 含点 (2, 1) ，故排除 B ；当直线 ax y 4 的斜率 a ，即 a 时， ax y 4 表示的区域
不包含点 (2, 1) ，故排除 C ，故选 D．
解法二 若 (2, 1) A ，则
解得 a ， ∴当且仅当 a ≤ 时， (2, 1) A ．故选 D．
170 ．(2017 新课标Ⅱ文理)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人
中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结
果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选 D．
171．(2017 浙江理)如图，已知正四面体D ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为 AB ，BC
，
CA 上的点，AP PB ，
2 ，分别记二面角D PR Q ，D PQ R ，D QR P 的平面
角
为
，
，
，则
A ． < <
B ． < <
C ． <
< D ．
< <
【答案】B 【解析】设 O 为三角形 ABC 中心，底面如图 2 ，过 O 作 OE RP ， OF PQ ， OG
RQ ，
由题意可知tan
， tan
， tan
，
图 1 图 2
由图 2 所示，以 P 为原点建立直角坐标系，不妨设 AB 2 ，则 A( 1, 0) ，B(1, 0) ，C(0,
) ，O(0,
)
， ∵ AP PB ，
2 ， ∴ Q( ,
) ，R( ,
) ，则直线 RP 的方程为 y
x
，直线 PQ 的方程为 y 2
x ，直线 RQ 的方程为 y
x
，根据点到直线的距离公式，知 OE
， OF
， OG ， ∴ OF OG OE ， tan tan tan
，
∵
，
， 为锐角， ∴
．选 B
172 ．(2016 浙江文)如图，点列 An , Bn 分别在某锐角的两边上，
且 An An 1
An 1An 2 , An
An 2 , n N
* ， Bn Bn 1
Bn 1Bn 2 , Bn
Bn 2 , n N
* ．
(P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合) ，若dn
An Bn ， Sn 为△An Bn Bn 1 的面积，则
A ． Sn 是等差数列 B ． S
2
n 是等差数列
C ． dn 是等差数列 D ． d
2
n 是等差数列
【答案】A【解析】 Sn 表示点 An 到对面直线的距离(设为 hn )乘以Bn Bn 1 长度一半，即 Sn
hn Bn Bn 1
， 由题目中条件可知Bn Bn 1 的长度为定值，那么我们需要知道 hn 的关系式，过 A1 作垂直得到初始距离 h1
， 那么A1 , An 和两个垂足构成了等腰梯形，那么hn
h1
An An 1 tan
，其中
为两条线的夹角，即为定
值，
那么 S 1 (h1
A1A tan
) B B 1 ， S 1
1 ( h 1
A1A 1 tan
) B B 1 ，作差后：
Sn 1
Sn
( An A n 1 tan
)Bn Bn 1 ，都为定值， ∴ Sn 1
Sn 为定值．故选 A．
173 ．(2016 北京理)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为
10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1．9
6
1．9
2
1．8
2
1．8
0
1．7
8
1．7
6
1．7
4
1．7
2
1．6
8
1．6
0
30 秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a−1
b
65
在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有 6 人，则
A ．2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B ．5 号学生进入 30 秒跳绳决赛
C ．8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D ．9 号学生进入 30 秒跳绳决赛
【答案】B 【解析】 由数据可知，进入立定跳远决赛的 8 人为 1~8 号， ∴进入 30 秒跳绳决赛的 6 人从 1~8
n
n
n
n
n
n
n
号里产生．数据排序后可知 3 号，6 号，7 号必定进入 30 秒跳绳决赛，则得分为 63 ， a ，60 ，63 ， a l
的 5 人中有 3 人进入 30 秒跳绳决赛．若 1 号，5 号学生未进入 30 秒跳绳决赛，则 4 号学生就会进入决赛，
与
事实矛盾， ∴l 号，5 号学生必进入 30 秒跳绳决赛，故选 B．
174 ．(2015 广东)若集合 Ε { p, q, r, s 0 ≤ p s ≤ 4, 0 ≤ q s ≤ 4, 0 ≤ r s
≤ 4 ，且 p, q, r, s } ， F t, u, v, w 0 ≤ t u ≤ 4, 0 ≤ v w ≤ 4 且t, u, v,
w ，
用 card Χ 表示集合 Χ 中的元素个数，则 card Ε
card F
A ． 200 B ． 150 C ． 100 D ． 50
【答案】A 【解析】当 s 4 时， p ， q ， r 都是取 0 ， 1 ， 2 ， 3 中的一个，有 4 4 4 64 种，
当s 3 时， p ， q ， r 都是取 0 ， 1 ， 2 中的一个，有 3 3 3 27 种，当 s 2 时， p ， q ， r
都是取0 ， 1 中的
一个，有 2 2 2 8 种，当s 1 时，p ，q ，r 都取 0 ，有1 种，∴ card
64 27 8 1 100
，当 t 0
时，u 取1 ，2 ，3 ，4 中的一个，有4 种，当t 1 时，u 取 2 ，3 ，4 中的一个，有 3 种，当 t 2 时，u
取 3 ， 4 中的一个，有 2 种，当t 3 时， u 取4 ，有1 种， ∴ t 、 u 的取值有1 2 3 4 10 种，
同理， v 、 w 的取值也有10 种， ∴ card F 10 10 100 ，
∴ card
card F 100 100 200 ，故选 D．
175．(2014 北京文理)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．
若 学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩
好”， 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的
两个学 生，那么这组学生最多有
A ． 2 人 B ． 3 人 C ． 4 人 D ． 5 人
【答案】B 【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，
一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有 3 人，其
中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选 B．
176 ．(2014 山东文理)用反证法证明命题“设 a, b 为实数，则方程 x
3
ax b 0 至少有一个实根”时，要
做的假设是
A ．方程x
3
ax b 0 没有实根 B ．方程 x
3
ax b 0 至多有一个实根
C ．方程 x
3
ax b 0 至多有两个实根 D ．方程 x
3
ax b 0 恰好有两个实根
【答案】A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选 A．
177 ．(2011 江西文理)观察下列各式： 5
5
3 125 ， 5
6
15 625 ， 5
7
78 125 ， ，则5
2011 的末四位数
字为
A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125
【答案】D【解析】∵ 5
5
3 125 ，5
6
15 625 ，5
7
78 125 ，5
8
390 625 ，5
9
1 953 125 ，5
10
9 765
625 ， ， ∴ 5
n ( n Z ，且 n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4 ，记 5
n ( n Z ，且
n ≥5)的 末四位数字为 f(n) ，则 f(2011) f(501 4 7) f(7) ， ∴ 5
2011 与5
7 的末位数字相同，均为
8 125 ，选
．
178 ．(2019 全国 II 文理)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正
方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1) ．半正多面体是由两种或两种
以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它
的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1 ．则该半正多面体共有________个面，其棱
长为_________ ．(本题第一空 2 分，第二空 3 分．)
【答案】26 ，
1
【解析】 由图可知第一层与第三层各有 9 个面，计 18 个面，第二层共有 8 个面， ∴该半正多面体共有
18 8 26 个面．
如图，设该半正多面体的棱长为x ，则 AB BE x ，延长BC 与 FE 交于点 G ，延长BC 交正方体棱于 H
， 由半正多面体对称性可知， △BGE 为等腰直角三角形，
BG GE CH
x, GH 2
x x (
1)x 1 ， x
1，
D
即该半正多面体棱长为
1．
179 ．(2019 北京文理)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，
价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买
水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%．
①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为__________．
【答案】①130 ；②15．
【解析】( 1) x 10 ，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付 60 80 10 130 元．
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元， y 120 元时，李明得到的金额为 y 80% ，符合要求．
y 120 元时，有 y x 80% y 70% 恒成立，即8 y x 7y, x ，即 x
min
15
元．
∴ x 的最大值为15 ．
180 ．(2018 江苏)已知集合 A {x | x 2n 1, n N
* } ， B {x | x 2
n , n N
* } ．将 A B 的所有元素从小到
大 依次排列构成一个数列{an } ．记 Sn 为数列{an } 的前 n 项和，则使得 Sn
12an 1 成立的 n 的最小值为
．
【答案】27【解析】所有的正奇数和 2
n ( n N
* )按照从小到大的顺序排列构成{an }，在数列{an } 中，2
5 前
面有 16 个正奇数，即 a21
2
5 ， a38
2
6 ．当 n 1 时， S1
1 12a2
24 ，不符合题意；当 n 2 时，
S2
3 12a3
36 ，不符合题意；当 n 3 时， S3
6 12a4
48 ，不符合题意；当 n 4 时，
S4
10 12a5
60 ，不符合题意； …… ；当 n 26 时， S26
= 441 +62=
503< 12a27
516 ，不符合题意；当 n 27 时，S27
=484 +62=546> 12a28 =540，
符合题意．故使得 Sn
12an 1 成立的 n 的最小值为 27．
181 ．(2017 北京文)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；
(ⅱ)女学生人数多于教师人数；
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为 4 ，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
【答案】 【答案】6 12 【解析】设男生数，女生数，教师数为 a, b, c ，则2c a b c, a, b, c N
①8 a b 4 ， ∴ bmax
6 ，
②当 cmin
1 时， 2 a b 1 ， a ， b N ， a ， b 不存在，不符合题
意； 当cmin
2 时， 4 a b 2 ， a ， b N ， a ， b 不存在，不符合
题意；
当cmin
3 时， 6 a b 3 ，此时 a 5 ， b 4 ，满足题意， ∴ a b c 12 ．
1 82 ．(2017 北京理)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai 的横、纵坐标
分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间
和
加工的零件数， i =1 ，2 ，3．
①记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1 ， Q2 ， Q3 中最大的是_ ___．
②记 pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1 ， p2 ， p3 中最大的
是______．
【答案】 Q1 p2 【解析】设线段 Ai Bi 的中点为 Ci (xi , yi ) ，则 Qi
2yi ，其中i 1, 2, 3
①由题意只需比较线段 Ai Bi 中点的纵坐标的大小即可，作图可得 A1B1 中点纵坐标比 A2 B2 , A3B3 的中点纵
坐 标大， ∴第一位选 Q1 ．
②由题意 pi
，只需比较三条线段 OC1 ， OC2 OC3 斜率的大小，分别作 B1 , B2 , B3 关于原点的对称点
B1 , B2 , B3 ，比较直线 A1B1 , A2 B2 , A3B3 斜率，可得 A2 B2 最大， ∴选 p2 .
183 ．(2016 全国 II 文理)有三张卡片，分别写有 1 和 2 ，1 和 3 ，2 和 3 ． 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，
甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相
同 的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________________．
【答案】1 和 3 【解析】为方便说明，不妨将分别写有 1 和 2 ，1 和 3 ，2 和 3 的卡片记为 A ，B ，C 从丙
出 发，由于丙的卡片上的数字之和不是 5 ，则丙只可能是卡片 A 或 B ，无论是哪一张，均含有数字 1 ，再
由乙
与丙的卡片上相同的数字不是 1 可知，乙所拿的 卡片必然是 C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是
2 ，知甲所拿的卡片为 B ，此时丙所拿的卡片为 A．
184 ．(2016 山东文理)观察下列等式：
(sin )
2
(sin
)
2
1 2 ；
(sin )
2
(sin
)
2
(sin
)
2
(sin
)
2
2 3 ；
(sin )
2
(sin
)
2
(sin
)
2
(sin
)
2
3 4 ；
(sin )
2
(sin
)
2
(sin
)
2
(sin
)
2
4 5 ；
……
照此规律， (sin
)
2
(sin
)
2
(sin
)
2
(sin
)
2
_______． 【答案】
n n 1 【解析】通过归纳可得结果为
n(n 1) ．
185．(2016 四川文)在平面直角坐标系中，当P(x, y) 不是原点时，定义P 的“伴随点”为P(
,
)
，
当P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点 A ，则点 A 的“伴随点”是点A ；
②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③若两点关于 x 轴对称，则它们的“伴随点”关于 y 轴对称；
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线；
其中的真命题是 ．
【答案】②③【解析】对于①，令P(1, 1) ，则其“伴随点”为P( , ) ，而P( , ) 的“伴随点”为 ( 1,
1) ， 而不是P ，故错误；对于②设 P(x, y) 是单位圆C : x
2
y
2
1 上的点，其“伴随点”为P (x , y )
，则有
x
，
x
y
x
2
y
2
∴ x
2
y
2
(
)
2
(
)
2
1 ， ∴②正确；对于③设
P(x, y) 的“伴随点”为P (
,
) ， P1 (x, y) 的“伴随点”
为P1(
,
) ，易知 P(
,
) 与P1(
,
) 关于 y 轴对称， ∴③正确；
对 于④ ，设原直线的解析式为 Ax By C 0 ，其中 A, B 不同时为 0 ，且 P(x0 , y0 ) 为该直线上一点，
y
0
P(x0 , y0 ) 的 “伴随点”为 P (x , y ) ，其中 P, P 都不是原点，且
x
x
2
0
y
2
0 ，则 x0
(x
2
0
y
2
0)y ，
x
y
x
2
y0
(x
2
0
y
2
0)x ，将 P(x0 , y0 ) 代入原直线方程，得 A(x
2
0
y
2
0)y B(x
2
0
y
2
0)x C 0 ，
则 Ay Bx
0 ，由于 x
2
0
y
2
0 的值不确定， ∴“伴随点”不一定共线， ∴④错误．
186 ．(2015 陕西文)观察下列等式：
1 －
1 －
1 －
… …
据此规律，第 n 个等式可为______________________．
【答案】 1
．
【解析】观察等式知：第 n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为 1 ，分
母
是 1 到2n 的连续正整数，等式的右边是 1 1 1
187 ．(2015 山东理)观察下列各式：
C
0
1
4
0 ；
C
0
3
C
1
3
4
1 ；
C
0
C
1
C
2
4
2
C
0
C
1
C
2
C
3
4
3
……
照此规律，当 n N
* 时，
C0
C1
C2
Cn 1
．
【答案】 4
n-1 【解析】 具体证明过程可以是：
C
0
2n 1
C
1
2n 1
C
2
2n 1
C
(2C
0
2n 1
2C
1
2n 1
2C
2
2n 1
2C
)
[(C
0
2n 1
C
) (C
1
2n 1
C
) (C
2
2n 1
C
) (C
C
n
2n 1 )]
(C
0
2n 1
C
1
2n 1
C
2
2n 1
C
C
n
2n 1
C
) 2
2n 1
4
n 1 ．
n
1
n
2
2n
188．(2014 安徽文理)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC 2
，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为
A1 ； 过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2 ；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3 ；…，依此类推，设BA a1
，AA1
a2 ，
A1A2
a3 ， … ， A5 A6
a7 ，则 a7
_____．
【答案】 【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC 2
，
∴ AB AC a1
2, AA1
a2
， A1A2
a3
1 ， ， A5 A6
a7
a1 (
)
6
．
解法二 求通向：等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC 2
，
∴ AB AC a1
2, AA1
a2
， ，
An 1An
an 1
sin
an
an
2 (
)
n ，故 a7
2 (
)
6 =
189．(2014 福建文理)若集合{a, b, c, d} {1,2,3,4}, 且下列四个关系：① a 1；② b 1；③ c 2 ；④
d 4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 (a, b, c, d ) 的个数是____．
【答案】6 【解析】 ∵①正确，②也正确， ∴只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则
符合条件的有序数组为 (2, 3, 1, 4) ，(3, 2, 1, 4) ；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为
(3, 1, 2, 4) ；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为 (2, 1, 4, 3) ，(3, 1, 4, 2) ，(4, 1, 3,
2) ．综 上符合条件的有序数组的个数是 6．
190 ．(2014 北京文理)顾客请一位工艺师把 A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成
这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾
客，两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料 A
9
15
原料 B
6
21
则最短交货期为 个工作日．
【答案】42 【解析】先由徒弟粗加一工原料 B ，6 天后，师傅开始精加工原料 B ，徒弟同时开始粗加工原
料 A ，再 9 天后(15 天后) ，徒弟粗加工原料 A 完成，此时师傅还在精加工原料 B ，27 天后，师傅精加工原
料B 完成，然后接着精加工原料 A ，再 15 天后，师傅精加工原料 A 完成，整个工作完成，一共需要 6 +21+
15= 42 个工作日．
191．(2014 陕西文理)已知 f(x)
, x 0 ，若 f1 (x) f(x), fn 1 (x) f(fn (x)), n N ，则f2014 (x) 的
表达式为________．
【答案】
【解析】由 f1 (x)
，得f2 (x) f(
)
，可得 f3 (x) f(f2 (x))
， 故可归纳得f2014 (x)
．
192 ．(2014 陕西文理)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F )
顶点数(V )
棱数(E )
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中， F，V，E 所满足的等式是_________．
【答案】 F V E 2 【解析】三棱柱中 5 +6-9 =2；五棱锥中 6+6 - 10 =2；立方体中 6+8 - 12 =2 ，由此
归 纳可得F V E 2 ．
193 ．(2013 陕西文理)观察下列等式：
1
2
1
12
22
3
1
2
2
2
3
2
6
1
2
2
2
3
2
4
2
10
…
照此规律， 第 n 个等式可为 ．
【答案】12 －22+32 －42+ …+ ( 1)
n 1 n2= ( 1)
n 1 ·
(n ∈ N )
【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加 1 ，故第 n 个等式左边有 n 项，每项所含的底
数的绝对值也增加 1 ，一次为 1 ，2 ，3 ， … n ，指数都是 2 ，符号成正负交替出现可以用 ( 1)
n 1 表示，
等式
n ( n 1)
2
194 ．(2013 湖北文理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1 ，3 ，6 ，10 ，…，
第n 个三角形数为
n
2
n ．记第n 个k 边形数为 N n, k k 3 ，以下列出了部分k 边
形
数中第n 个数的表达式：
三角形数 N n, 3 n
2
n
正方形数 N n, 4 n
2
五边形数 N n, 5 n
2
n
六边形数 N n, 6 2n
2
n
……
可以推测 N n, k 的表达式，由此计算N 10, 24 ．
【答案】1000 【解析】观察 n
2 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故
N n, 24 11n
2
10n ， N 10, 24 1000 ．
195 ．(2012 陕西文理)观察下列不等式
1
1
，
1
，
……
照此规律，第五个不等式为
．
．．．
【答案】 1
【解析】观察不等式的左边发现，第 n 个不等式的左边
= 1
，右边=
， ∴第五个不等式为1
的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为 ( 1)
n · ， ∴第 n 个式子可为
12
．
196．(2012 湖南文理)设 N 2
n (n N
* , n 2) ，将 N 个数 x1 , x2 , , xN 依次放入编号为 1，2，… ，N 的
N
个位置，得到排列P0
x1x2 xN ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取 出，并按原顺序依次放入
对应的前
和后
个位置，得到排列 P1
x1x3 xN 1x2 x4 xN ，将此操作称为 C 变换，将P1 分成两段，
每段
个数，并对每段作 C 变换，得到P2 ；当 2 i n 2 时，将 Pi 分成 2
i 段，每段
个数，并对
每段
C 变换，得到Pi 1 ，例如，当 N =8 时， P2
x1x5x3x7 x2 x6 x4 x8 ，此时x7 位于 P2 中的第 4 个位置．
( 1)当 N =16 时， x7 位于P2 中的第___个位置；
(2)当 N 2
n ( n 8)时， x173 位于P4 中的第___个位置．
【答案】( 1)6；(2) 3 2
n 4
11
【解析】( 1)当 N =16 时，
P0
x1 x2 x3x4 x5 x6
x16 ，可设为(1, 2, 3, 4, 5, 6,
, 16) ，
P1
x1x3x5x7
x15x2 x4 x6
x16 ，即为(1, 3, 5, 7, 9,
2, 4, 6, 8,
, 16) ，
P2
x1x5x9 x13x3x7 x11x15x2 x6
x16 ，即(1, 5, 9, 13, 3, 7, 11, 15, 2, 6,
, 16) ，
x7 位于P2 中的第 6 个位置；
(2)在 P1 中x173 位于两段中第一段的第 87 个位置，位于奇数位置上，此时在P2 中 x173 位于四段中第一段的
第
44 个位置上，再作变换得P3 时， x173 位于八段中第二段的第 22 个位置上，再作变换时， x173 位于十六段中
的第四段的第 11 个位置上．也就是位于P4 中的第3 2
n 4
11 个位置上．
197 ．(2011 陕西文理)观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+ 10=49
……
照此规律，第 n 个等式为
．
【答案】 n (n 1)
(3n 2) (2n 1)
2 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边
的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是2n 1 ；等式右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25 3 5
4+5+6+7+8+9+ 10=49 4 7
…… …… ……
∴ n (n 1)
[n (2n 1) 1] (2n 1)
2 ，即 n (n 1)
(3n 2) (2n 1)
2 ．
198 ．(2018 江苏)设 n N
* ，对 1 ，2 ， · · · ，n 的一个排列 i1i2
in ，如果当s t 时，有 is
it ，则称 (is , it
) 是 排列i1i2
in 的一个逆序，排列i1i2
in 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对 1，2，3 的一个排列
231， 只有两个逆序(2 ，1) ，(3 ，1) ，则排列 231 的逆序数为 2 ．记 fn (k) 为 1 ，2 ， · · · ，n 的所有排列中
逆序数为k
的全部排列的个数．
( 1)求 f3 (2), f4 (2) 的值；
(2)求 fn (2)(n ≥ 5) 的表达式(用 n 表示)．
【答案】 【解析】( 1)记 (abc) 为排列 abc 的逆序数，对 1 ，2 ，3 的所有排列，有
(123)=0 ， (132)=1， (213)=1 ， (231)=2 ， (312)=2 ， (321) =3 ，
∴ f3 (0) 1，f3 (1) f3 (2) 2 ．
对 1 ，2 ，3 ，4 的排列，利用已有的 1 ，2 ，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后
三个位置．
因此， f4 (2) f3 (2) f3 (1) f3 (0) 5 ．
(2)对一般的 n (n ≥ 4) 的情形，逆序数为 0 的排列只有一个： 12 n ， ∴ fn (0) 1 ．
逆序数为 1 的排列只能是将排列12 n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列， ∴ fn (1) n 1 ．
为计算fn 1 (2) ，当 1 ，2 ， … ，n 的排列及其逆序数确定后，将 n 1 添加进原排列， n 1 在新排列中的
位置
只能是最后三个位置，因此， fn 1 (2) fn (2) fn (1) fn (0) fn (2) n ．
当 n ≥5 时，
fn (2) [fn (2) fn 1 (2)] [fn 1 (2) fn 2 (2)] … [f5 (2) f4 (2)] f4 (2)
(n 1) (n 2) 4 f4 (2)
， 因此， n ≥5 时， fn (2)
．
199 ．(2018 北京)设 n 为正整数，集合 A={ | (t1 , t2 ,
, tn ), tk
{0, 1}, k 1, 2,
, n} ．对于集合
A 中的 任意元素
(x1 , x2 , , xn ) 和
(y1 , y2 , , yn ) ，记M( ,
)
1 [(x1
y1
| x1
y1 |) (x2
y2
| x2
y2 |)
(x y | x y |)] ．
【解析】( 1)∵
(1, 1, 0) ，
(0, 1, 1) ， ∴
M ( , ) [(1 1 | 1 1 |) (1 1 | 1 1 |) (0 0) | 0 0 |)] 2 ，
M ( ,
) [(1 0 | 1 0 |) (1 1 | 1 1 |) (0 1 | 0 1 |)] 1．
(2)设
(x1 , x2 , x3 , x4 ) B ，则M( , ) x1
x2
x3
x4 ．
由题意知 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ∈{0 ，1} ，且M( , ) 为奇数，
∴ x1 ， x2 ， x3 ， x4 中 1 的个数为 1 或 3．
∴B {(1 ，0 ，0 ，0) ，(0 ，1 ，0 ，0) ，(0 ，0 ，1 ，0) ，(0 ，0 ，0 ，1) ，(0 ，1 ，1 ，1) ，( 1 ，0 ，1 ，1)
，( 1 ，1， 0 ，1) ，( 1 ，1 ，1 ，0)}．
将上述集合中的元素分成如下四组：( 1 ，0 ，0 ，0) ，( 1 ，1 ，1 ，0)；(0 ，1 ，0 ，0) ，( 1 ，1 ，0 ，1)；(0 ，
0 ，1，
0) ，( 1 ，0 ，1 ，1)；(0 ，0 ，0 ，1) ，(0 ，1 ，1 ，1)．
经验证，对于每组中两个元素
，
，均有M( ,
) 1．
∴每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素， ∴集合 B 中元素的个数不超过 4．
又集合{(1 ，0 ，0 ，0) ，(0 ，1 ，0 ，0) ，(0 ，0 ，1 ，0) ，(0 ，0 ，0 ，1)}满足条件， ∴集合 B 中元素个数
的最大 值为 4．
2
n n n n
( 1)当 n 3 时，若
(1, 1, 0) ，
(0, 1, 1) ，求M( , ) 和M( ,
) 的值；
(2)当 n 4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素,
，当 ,
相同时，M ( ,
) 是
奇数； 当 ,
不同时， M ( ,
) 是偶数．求集合 B 中元素个数的 最大值；
(3)给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素,
，M ( ,
) 0
写出
个集合B
使其元素个数最多
并说明理由
(3)设 Sk
{(x1 , x2 , , xn ) | (x1 , x2 , , xn ) A, xk
1, x1
x2
xk 1
0} (k 1, 2, ,
n) ， Sn 1
{(x1 , x2 , , xn ) | x1
x2
xn
0} ，则 A S1
S2
Sn 1 ．
对于 Sk ( k 1, 2, , n 1)中的不同元素
，
，经验证，M (
,
) ≥ 1 ．
∴ Sk ( k 1, 2, , n 1)中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素， ∴ B 中元素的个数不超过 n
1． 取ek
(x1 , x2 , , xn ) Sk 且 xk 1
xn
0 ( k 1, 2, , n 1)．
令B (e1 , e2 , , en 1 ) Sn
Sn 1 ，则集合 B 的元素个数为 n 1 ，且满足条件，故 B 是一个满足条件且元
素个数最多的集合．
200 ．(2017 江苏)对于给定的正整数 k ，若数列{an }满足
a a a a a a 2ka
对任意正整数 n (n k) 总成立，则称数列{an }是“ P(k) 数列”．
( 1)证明：等差数列{an }是“ P(3) 数列”；
(2)若数列{an }既是“ P(2) 数列” ，又是“ P(3) 数列” ，证明： {an }是等差数列．
【答案】 【解析】证明：( 1)∵ an 是等差数列，设其公差为 d ，则 an
a1
(n 1)d ，
从而，当 n ≥ 4 时， an k
an k
a1
(n k 1)d a1
(n k 1)d 2a1
2(n 1)d 2an ， k 1,
2, 3, ∴ an 3
an 2 +an 1 +an 1
an 2 +an 3
6an ，因此等差数列 an 是“ P(3) 数列”．
(2)数列 an 既是“ P(2) 数列”，又是“ P(3) 数列”，因此，
当 n 3 时， an 2
an 1
an 1
an 2
4an ，①
当n 4 时， an 3
an 2
an 1
an 1
an 2
an 3
6an ．②
由①知， an 3
an 2
4an 1
(an
an 1 ) ，③
an 2
an 3
4an 1
(an 1
an ) ，④
将③④代入② ，得 an 1
an 1
2an ，其中 n 4 ， ∴ a3 , a4 , a5 ,
是等差数列，设其公差为d' ．
在①中，取 n 4 ，则 a2
a3
a5
a6
4a4 ，∴ a2
a3
d' ，在①中，取 n 3 ，则 a1
a2
a4
a5
4a3 ，
∴ a1
a2
2d' ， ∴数列 {an } 是等差数列．
201 ．(2017 浙江文理)已知数列{xn } 满足： x1
1 ， xn
xn 1
ln(1 xn 1 ) (n N
* ) ．
证明：当 n N
* 时
( Ⅰ) 0 xn 1
xn ；
(Ⅱ) 2xn 1
xn ≤
；
(Ⅲ)
≤ xn ≤
．
【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明： xn
0
当 n 1 时， x1
1 0
假设 n k 时， xk
0 ，
那么 n k 1 时，若 xk 1 ≤ 0 ，则 0 xk
xk 1
ln(1 xk 1) ≤0 ，矛盾，故 xk 1
0
． 因此 xn
0 (n N
* )
∴ xn
xn 1
ln(1 xn 1 ) xn 1
因此 0 xn 1
xn (n N
* )
(Ⅱ)由 xn
xn 1
ln(1 xn 1 ) xn 1 得
xn xn 1
4xn 1
2xn
x
2
n 1
2xn 1
(xn 1
2) ln(1 xn 1 )
记函数f(x) x
2
2x (x 2) ln(1 x)(x ≥0)
函数 f(x) 在[0, ) 上单调递增， ∴ f(x) ≥ f(0) =0，
因此 x
2
n 1
2xn 1
(xn 1
2) ln(1 xn 1 ) f(xn 1 )≥ 0
故 2xn 1
xn ≤
(n N )
(Ⅲ)∵ xn
xn 1
ln(1 xn 1 ) ≤xn 1
xn 1
2xn 1 ， ∴ xn ≥
得
由
≥ 2xn 1
xn 得
≥ 2(
) 0 ， ∴
≥ 2(
) ≥ ≥ 2
n 1 (
) 2
n 2 ，
故xn ≤
．
综上，
≤ xn ≤
(n N ) ．
202 ．(2017 北京理)设{an } 和{bn } 是两个等差数列，记
cn
max {b1
a1n, b2
a2n, , bn
an n} (n 1, 2, 3, ) ，
其中 max{x1 , x2 , , xs } 表示 x1 , x2 , , xs 这 s 个数中最大的数．
(Ⅰ)若 an
n ， bn
2n 1 ，求 c1 , c2 , c3 的值，并证明{cn } 是等差数列；
(Ⅱ)证明：或者对任意正数M ，存在正整数 m ，当 n ≥ m 时，
M ；或者存在正整数 m ，使
得 cm , cm 1 , cm 2 , 是等差数列．
【解析】(Ⅰ)易知 a1
1 ， a2
2 ， a3
3 且b1
1 ， b2
3 ， b3
5
∴ c1
b1
a1
1 1 0,
c2
max {b1
2a1 , b2
2a2 } max {1 2 1, 3 2 2} 1 ，
c3
max {b1
3a1 , b2
3a2 , b3
3a3 } max {1 3 1, 3 3 2, 5 3 3} 2 ．
下面证明：对任意n N
* 且 n ≥2 ，都有cn
b1
a1 n ．
当k N
* 且 2 ≤ k ≤ n 时，
(bk
ak n) (b1
a1 n)
[(2k 1) nk] 1 n
(2k 2) n(k 1)
(k 1)(2 n)
∵ k 1 0 且 2 n ≤0
∴(bk
ak n) (b1
a1 n) ≤0
(b1
a1 n) ≥(bk
ak n) ．
因此对任意n N
* 且 n ≥2 ， cn
b1
a1 n 1 n ，则 cn 1
cn
1 ．
又∵ c2
c1
1，
故cn 1
cn
1 对n N
* 均成立，从而{cn } 是等差数列
(Ⅱ)设数列{an } 和{bn } 的公差分别为 da , db ，下面我们考虑cn 的取值．
对b1
a1 n ， b2
a2 n ， bn
an n ，
考虑其中任意项bi
ai n (i N
* 且1≤ i ≤ n) ，
bi
ai n [b1
(i 1)db ] [a1
(i 1)da ] n
(b1
a1 n) (i 1)(db
da n)
下面分 da
0 ， da
0 ， da
0 三种情况进行讨论．
( 1)若 da
0 ，则bi
ai n (b1
a1 n) (i 1)db
①若 db ≤ 0 ，则 (bi
ai n) (b1
a1 n) (i 1)db ≤0
则对于给定的正整数n 而言， cn
b1
a1 n
此时 cn 1
cn
a1 ，故{cn }是等差数列
② db
0 ，则 (bi
ai n) (bn
an n) (i n)db ≤0
则对于给定的正整数n 而言， cn
bn
an n bn
a1 n
此时 cn 1
cn
db
a1 ，故{cn }是等差数列
此时取m 1 ，则 c1 , c2 , c3 , 是等差数列，命题成立．
(2)若 da
0 ，则此时 da n db 为一个关于 n 的一次项系数为负数的一次函数．
故必存在m N
* ，使得当 n ≥ m 时， da n db
0
则当 n ≥ m 时，
(bi
ai n) (b1
a1 n) (i 1)( da n db )≤0 (i N
* , 1≤i ≤n)
因此，当 n ≥ m 时， cn
b1
a1 n ．
此时 cn 1
cn
a1 ，故{cn }从第 m 项开始为等差数列，命题成立．
(3) da
0 ，则此时 da n db 为一个关于 n 的一次项系数为正数的一次函数．
故必存在s N
* ，使得当 n ≥ s 时， da n db
0
则当 n ≥ s 时，
(bi
ai n) (bn
an n) (i n)( da n db )≤0 (i N
* , 1≤i ≤n)
因此当 n ≥ s 时， cn
bn
an n ．
此时
an
da n (da
a1
db )
令 da
A 0 ， da
a1
db
B ， b1
db
C
下面证明
An B
对任意正数M ，存在正整数 m ，使得当 n ≥ m 时，
M ．
①若 C ≥0 ，则取m [
] 1( [x] 表示不等于x 的最大整
数) 当 n ≥ m 时，
≥ An B ≥ Am B A([
] 1) B A
B M
此时命题成立．
若 C 0 ，则取 m [
] 1
当 n ≥ m 时，
≥ An B C ≥ Am B C A([
] 1) B C ≥ M C B B C
M ， 此时命题成立，因此，对任意正数M ，使得当 n ≥ m 时，
M ．
综合以上三种情况，命题得证．
203 ．(2016 江苏)记U 1, 2,
, 100 ．对数列 an ( n N
* )和 U 的子集T ，若 T ，定义 ST
0 ；若
T t1 , t2 , , tk ，定义 ST
at1
at2
at k ．例如： T 1, 3, 66 时， ST
a1
a3
a66 ．现设 an ( n N
*
) 是公比为 3 的等比数列，且当 T 2, 4 时， ST
30 ．
( 1)求数列 an 的通项公式；
(2)对任意正整数 k ( 1≤ k ≤100) ，若 T 1, 2,
, k ，求证： ST
ak 1 ；
(3)设 C U ， D U ， SC ≥ SD ，求证： SC
SC D ≥
2SD ． 【解析】( 1)由已知得 an
a1 3
n 1 , n N
* ．
于是当T {2, 4}时， Sr
a2
a4
3a1
27a1
30a1 ．
又 Sr
30 ，故 30a1
30 ，即 a1
1 ．
∴数列{an } 的通项公式为 an
3
n 1 , n N
* ．
(2)∵ T {1, 2,
, k} ， an
3
n 1
0, n N
* ，
∴ Sr
a1
a2
ak
1 3
3
k 1
(3
k
1) 3
k ．
因此， Sr
ak 1 ．
(3)下面分三种情况证明．
①若D 是 C 的子集，则 SC
SC D
SC
SD
SD
SD
2SD ．
②若 C 是D 的子集，则 SC
SC D
SC
SC
2SC
2SD ．
③若D 不是 C 的子集，且 C 不是 D 的子集．
令E C CU D ， F D CU C 则E ， F
， E F
．
于是 SC
SE
SC D ， SD
SF
SC D ，进而由 SC
SD ，得 SE
SF ．
设k 是 E 中的最大数， l 为F 中的最大数，则 k 1, l 1, k l ．
由(2)知， SE
ak 1 ，于是3
l 1
al
SF
SE
ak 1
3
k ， ∴ l 1 k ，即 l k ．
又k l ，故 l k 1 ，从而 SF
a1
a2
al
1 3
3
l 1
，
故 SE
2SF
1 ， ∴ SC
SC D
2(SD
SC D ) 1 ，即 SC
SC D
2SD
1．
综合①②③得， SC
SC D
2SD ．
204 ．(2016 浙江理)设函数 f(x) = x
3
1 x [0, 1] ．证明：
( 1) f(x)≥1 x x
2 ；
(2)
f(x) ≤ ．
【解析】( 1)∵ 1 x x
2
x
3
， 由于 x 0, 1 ，有
≤
，即
1 x x
2
x
3 ≤
， ∴ f(x) ≥1 x x
2 .
(2)由 0 ≤x ≤1 得 x
3 ≤ x ，故 f(x) x
3
≤ x
≤ ，
1
x
∴ f(x) ≤
．
由(1)得f(x) ≥ 1 x x
2
(x )
2
≥ ，又∵ f( )
， ∴ f x
， 综上，
f(x) ≤ ．
205 ．(2015 湖北理)已知数列{an } 的各项均为正数， bn
n (1 )
n an (n N ) ，e 为自然对数的底数．
( 1)求函数 f(x) 1 x e
x 的单调区间，并比较 (1 )
n 与 e 的大小；
(2)计算
，
，
，由此推测计算
的公式，并给出证明；
1
(3)令 cn
(a1a2
an ) n ，数列{an } ， {cn } 的前 n 项和分别记为 Sn ， Tn ， 证明： Tn
eSn ． 【解析】( 1) f(x) 的定义域为 (
,
) ， f (x) 1 e
x ．
当f (x) 0 ，即 x 0 时， f(x) 单调递增；
当f (x) 0 ，即 x 0 时， f(x) 单调递减．
故f(x) 的单调递增区间为 (
, 0) ，单调递减区间为 (0,
) ．
当x 0 时， f(x) f(0) 0 ，即 1 x e
x ．
令x ，得1 e ，即 (1 )n
e ．(*)
(2)
1 (1 )
1
1 1 2 ；
2 2(1 )
2
(2 1)
2
3
2 ；
32 3(1 )3
(3 1)3
43 ．
由此推测：
b
1 b
2
b
n
a a
a
(n 1)
n ．(**)
下面用数学归纳法证明②．
①当 n 1 时，左边 右边 2 ，(**)成立．
②假设当 n k 时，(**)成立，即b
1 b
2
b
k
a a
a
(k 1)k ．
当 n k 1 时， bk 1
(k 1)(1
)
k 1 ak 1 ，由归纳假设可得
(k 1)k (k 1)(1
)k 1
(k 2)k 1 ．
∴当 n k 1 时，(**)也成立．
根据①② ，可知(**)对一切正整数 n 都成立．
(3)由 cn 的定义，(**) ，算术-几何平均不等式， bn 的定义及(*)得
1 1 1 1
Tn
c1
c2
c3
cn
(a1 )1
(a1a2 ) 2
(a1a2 a3 ) 3
(a1a2
a n) n
1 1 1 1
( b
1 )
1
( b
1 b
2 )
2
( b
1 b
2 b
3 )
3
( b
1 b
2
b
n )
n
2 3 4 n 1
b
1
b
1
b
2 b
1
b
2
b
3 b
1
b
2
b
n
b1 [
] b2 [
]
b n
b1 (1 1 ) b2 ( 1 1 )
b ( 1 1 )
(1 )1 a1
(1 )2 a2
(1 )n an
ea1
ea2
ean
eSn ，即 Tn
eSn ．
206 ．(2015 江苏)已知集合 X {1, 2, 3}, Yn
{1, 2, 3, ....., n}(n N
* ) ，设 Sn
{(a, b) | a 整除
b 或 b 除a, a X , b Yn } ，令 f(n) 表示集合 Sn 所含元素的个数．
( 1)写出 f(6) 的值；
(2)当 n ≥6 时，写出 f(n) 的表达式，并用数学归纳法证明．
【解析】( 1) f 6 13 ．
n 2 n n , n 6t
2 3
n 2 n n 2 , n 6t 2
(2)当 n 6 时， f n
n 2
, n 6t 3
( t )．
2 3
n 2 n 1 n 2 , n 6t 5
下面用数学归纳法证明：
①当 n 6 时， f 6 6 2 13 ，结论成立；
2 3
n 2 n n 1 , n
6t 4
2 3
2
n 1 n 1
n
1
2
2
3
3
4
n( n
②假设 n k ( k 6 )时结论成立，那么 n k 1 时，Sk 1 在Sk 的基础上新增加的元素在 1, k 1 ， 2, k
1 ，
3, k 1 中产生，分以下情形讨论：
1)若 k 1 6t ，则k 6 t 1 5 ，此时有 f k 1 f k
3 k 2
3 k 1
2
，结论成立；
2)若 k 1 6t 1 ，则k 6t ，此时有 f k 1 f k
1 k 2 1
k 1
2
，结论成立；
3)若 k 1 6t 2 ，则 k 6t 1 ，此时有 f k 1 f k
2 k 2
2
k 1
2
，结论成立；
4)若 k 1 6t 3 ，则 k 6t 2 ，此时有
f k 1 f k
2 k 2
2
k 1
2
，结论成立；
5)若 k 1 6t 4 ，则 k 6t 3 ，此时有
f k 1 f k
2 k 2
2
k 1
2
，结论成立；
6)若 k 1 6t 5 ，则 k 6t 4 ，此时有
f k 1 f k
1 k 2
1
k 1
2
，结论成立．
综上所述，结论对满足 n 6 的自然数 n 均成立．
207 ．(2014 天津理)已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数．设集合M = {0, 1, 2,
, q - 1}
， 集合 A = {x x = x1 + x2 q +
+ xn q
n-1 , xi Î M , i = 1, 2,
, n} ．
( 1)当q = 2 ， n = 3 时，用列举法表示集合 A ；
(2)设s, t Î A ， s = a1 + a2 q +
+ an q
n -1 ， t = b1 + b2 q +
+ bn q
n -1 ，其中 ai ，
bi
M ， i 1, 2, , n ．证明：若 an
bn ，则 s t ．
【解析】( 1)当q = 2 ， n = 3 时， M = {0, 1} ， A = {x x = x1 + 2x2 + 4x3 , xi Î M, i = 1, 2, 3} ．可
得， A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}．
(2)由s, t Î A ， s = a1 + a2 q +
+ an q
n -1 ， t = b1 + b2 q +
+ bn q
n -1 ， ai , bi Î M ， i = 1, 2,
, n
及 an < bn ，可得
s - t = (a1 - b1 )+ (a2 - b2 )q +
+ (an -1 - bn -1 )q
n -2 + (an - bn )q
n -1
£ (q - 1)+ (q - 1)q +
+ (q - 1)qn -2 - qn -1 =
- q
n -1 = -1 < 0 ．
∴ ， s < t ．
208 ．(2013 江苏)设 an 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列d 0 ， Sn 是其前 n 项和．记bn
， n N * ，其中 c 为实数．
( 1)若 c 0 ，且b1 ， b2 ， b4 成等比数列，证明： Snk
n
2 Sk k,n N * ；
(2)若 bn 是等差数列，证明： c 0 ．
【证明】( 1)若
，则
，
，又由题
，
，
，
是等差数列，首项为
，公差为
，
，又
成等比数列，
，
，
，
，
，
，
，
(
)．
(2)由题
，
，
，若
是等差数列，则可设
，
是 常数，
关于
恒成立．整理得：
关于
恒成立．
，
，
．
209 ．(2015 湖北理) 已知数列{an } 的各项均为正数， bn
n (1 )
n an (n N ) ，e 为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数f(x) 1 x e
x 的单调区间，并比较 (1 )
n 与 e 的大小；
(Ⅱ)计算
，
，
，由此推测计算
的公式，并给出证明；
1
(Ⅲ)令cn
(a1a2
an ) n ，数列{an } ， {cn } 的前 n 项和分别记为 Sn ， Tn ， 证明： Tn
eSn
． 【解析】(Ⅰ) f(x) 的定义域为 (
,
) ， f (x) 1 e
x ．
当f (x) 0 ，即 x 0 时， f(x) 单调递增；
当f (x) 0 ，即 x 0 时， f(x) 单调递减．
故f(x) 的单调递增区间为 (
, 0) ，单调递减区间为 (0,
) ．
当x 0 时， f(x) f(0) 0 ，即 1 x e
x ．
令x ，得1 e ，即 (1 )n
e ． ①
(Ⅱ)
1 (1 )
1
1 1 2 ；
2 2(1 )
2
(2 1)
2
3
2 ；
32 3(1 )3
(3 1)3
43 ．
由此推测：
(n 1)
n ． ②
下面用数学归纳法证明②．
( 1)当 n 1 时，左边 右边 2 ，②成立．
(2)假设当 n k 时，②成立，即
(k 1)k ．
当 n k 1 时， bk 1
(k 1)(1
)
k 1 ak 1 ，由归纳假设可得
(k 1)k (k 1)(1
)k 1
(k 2)k 1 ．
∴当 n k 1 时，②也成立．
根据(1)(2) ，可知②对一切正整数 n 都成立．
(Ⅲ)由cn 的定义，② ，算术-几何平均不等式， bn 的定义及①得
1 1 1 1
Tn
c1
c2
c3
cn
(a1 )1
(a1a2 ) 2
(a1a2 a3 ) 3
(a1a2
a n) n
1 1 1 1
( b
1 )
1
( b
1 b
2 )
2
( b
1 b
2 b
3 )
3
( b
1 b
2
b
n )
n
2 3 4 n 1
b
1
b
1
b
2 b
1
b
2
b
3 b
1
b
2
b
n
b1 [
] b2 [
]
b n
b1 (1 1 ) b2 ( 1 1 )
b ( 1 1 )
(1 )1 a1
(1 )2 a2
(1 )n an
ea1
ea2
ean
eSn ，即 Tn
eSn ．
210 ．(2014 江苏)已知函数 f0 (x)
(x 0) ，设 fn (x) 为 fn 1 (x) 的导数， n N ．
(Ⅰ)求 2f1
f2
的值；
(2)证明：对任意的 n N ，等式 nfn 1
fn
成立．
【解析】(Ⅰ)由已知，得 f1 (x) f0 (x) sin x cos x sin
2
x
,
x x x x x
∴ f1 (
)
, f2 (
)
,
故 2f1 (
)
f2 (
) 1.
(Ⅱ)证明： 由已知，得 xf0 (x) sin x, 等式两边分别对 x 求导，得 f0 (x) xf0(x) cos x ，
即f0 (x) xf1 (x) cos x sin(x
) ，类似可得
2f1 (x) xf2 (x) sin x sin(x ) ，
3f2 (x) xf3 (x) cos x sin(x
) ，
4f3 (x) xf4 (x) sin x sin(x 2 ) ．
下面用数学归纳法证明等式 nfn 1 (x) xfn (x) sin(x
) 对所有的n N
* 都成立．
(i)当 n=1 时， 由上可知等式成立．
x x x
cos x
sin x
in x
2si
n
1
2
2
3
3
4
n( n
2
(ii)假设当 n=k 时等式成立， 即 kfk 1 (x) xfk (x) sin(x
) ．
∵[kfk 1 (x) xfk (x)] kfk
1 (x) fk (x) xfk (x) (k 1)fk (x) fk 1 (x),
[sin(x
)] cos(x
) (x
) sin[x
]，
∴ (k 1)fk (x) fk 1 (x) sin[x
] ．
∴当 n=k+1 时，等式也成立．
综合(i) ，(ii)可知等式 nfn 1 (x) xfn (x) sin(x
) 对所有的 n N
* 都成立．
令x
，可得 nfn 1 (
)
fn (
) sin(
) ( n N
* )．
211 ．(2014 安徽理)设实数c 0 ，整数 p 1 ， n N
* ．
(Ⅰ)证明：当 x 1 且x 0 时， (1 x)
p
1 px ；
1
(Ⅱ)数列 an 满足 a1
c
p ， an 1
an
an
1 p ，
1
证明： an
an 1
c
p
．
【解析】( Ⅰ)证：用数学归纳法证明
( 1)当 p 2 时， (1 x)
2
1 2x x
2
1 2x ，原不等式成立．
(2)假设 p k(k 2, k N*) 时，不等式 (1 x)
k
1 kx 成立
当 p k 1 时， (1 x)
k 1
(1 x)(1 x)
k
(1 x)(1 kx)
1 (k 1)x kx
2
1 (k
1)x ∴ p k 1 时，原不等式成
立．
综合(1)(2)可得当 x 1 且 x 0 时，对一切整数 p 1 ，不等式 (1 x)
p
1 px 均成立．
1
(Ⅱ)证法 1 ：先用数学归纳法证明 an
c
p ．
1 1
( 1)当 n 1 时由假设 a1
c
p 知 an
c
p 成立．
1
(2)假设 n k(k 1, k N*) 时，不等式 ak
c
p 成立
∴ nfn 1(
)
fn( ) 2 ( n N
*
由 an 1
an
an
1 p 易知 an
0, n N *
当 n k 1 时
a k
p
1
(
1)
1
由 ak
c
p
0 得 1
(
1) 0
由(Ⅰ)中的结论得 (
)
p
[1
(
1)]
p
1 p
(
1)
1
因此 a
p
k 1
c ，即 ak 1
c
p
1
∴当 n k 1 时，不等式 an
c
p 也成立．
1
综合(1)(2)可得，对一切正整数 n ，不等式 an
c
p 均成立．
再由
1
(
1) 得
1 ，即 an 1
an
1
综上所述， an
an 1
c
p , n N *
证法 2 ：设 f(x)
x
x
1 p , x c ，则 x
p
c ，并且
1
f '(x)
(1 p)x
p
(1
) 0 ， x cp
1 1 1 1
由此可见， f(x) 在[c
p , ) 上单调递增，因而当 x c
p 时 f(x) f(c
p ) c
p ．
1
( 1)当 n 1 时由 a1
c
p
0 ，即 a1
p
c 可知
a2
a1
a1
1 p
a1 [1
(
1)] a1
，
1 1
并且 a2
f(a1 ) c
p ，从而 a1
a2
c
p
1
故当 n 1 时，不等式 an
an 1
c
p 成立．
1
(2)假设 n k(k 1, k N*) 时，不等式 ak
ak 1
c
p 成立，则
1 1
当 n k 1 时 f(ak ) f(ak 1 ) f(c
p ) ，即有 ak 1
ak 2
c
p ，
∴当 n k 1 时原不等式也成立．
1
综合(1)(2)可得，对一切正整数 n ，不等式 an
an 1
c
p 均成立．
212 ．(2014 重庆理)设 a1
1, an 1
a
2
n
2an
2 b(n N*)
(Ⅰ)若b 1 ，求 a2 , a3 及数列{an } 的通项公式；
(Ⅱ)若b 1 ，问：是否存在实数c 使得 a2n
c a2n 1 对所有n N
* 成立？证明你的结论．
【解析】：(Ⅰ)解法一： a2
2, a3
1
再由题设条件知 an 1
1
2
an
1
2
1
从而 an
1
2
是首项为 0 公差为 1 的等差数列，
故 an
1
2
= n 1 ，即 an
1, n N
*
解法二： a2
2, a3
1
可写为 a1
1 1 1, a2
2 1 1, a3
3 1 1, ．因此猜想 an
n
1 1 ． 下用数学归纳法证明上式：
当 n 1 时结论显然成立．
假设 n k 时结论成立，即 ak
1 ．则
ak 1
ak
1
2
1 1
k 1
1 1
k 1 1 1
这就是说，当 n k 1 时结论成立．
∴ an
1, n N
*
(Ⅱ)解法一：设 f x
x 1
2
1 1 ，则 an 1
f an ．
令c f c ，即 c
c 1
2
1 1 ，解得 c ．
下用数学归纳法证明加强命题：
a c a 1
当 n 1 时， a2
f 1 0, a3
f 0
1 ， ∴ a2
a3
1 ，结论成立．
假设 n k 时结论成立，即 a2k
c a2k 1
1
易知 f x 在
, 1 上为减函数，从而 c f c f a2k 1
f 1 a2
即1 c a2k 2
a2
再由 f x 在
, 1 上为减函数得 c f c f a2k 2
f a2
a3
1．
故c a2k 3
1 ，因此 a2 (k 1)
c a2 (k 1) 1
1 ，这就是说，当 n k 1 时结论成立．
综上，符合条件的 c 存在，其中一个值为c ．
解法二：设f x
x 1
2
1 1 ，则 an 1
f an
先证： 0 an
1 n N
* …………………………①
当 n 1 时，结论明显成立．
假设 n k 时结论成立，即 0 ak
1
易知 f x 在
, 1 上为减函数，从而 0 f 1 f ak
f 0
1 1
即 0 ak 1
1 这就是说，当 n k 1 时结论成立，故①成立．
再证： a2n
a2n 1 n N
* ………………………………②
当 n 1 时， a2
f 1 0, a3
f 0
1 ，有 a2
a3 ，即当 n 1 时结论②成立
假设 n k 时，结论成立，即 a2k
a2k 1
由①及f x 在
, 1 上为减函数，得
a2k 1
f a2k
f a2k 1
a2k 2
a 2 k 1
f a 2k 1
f a 2k 2
a 2 k 1 1
这就是说，当 n k 1 时②成立， ∴②对一切 n N
* 成立．
由②得 a2k
a
2
2k
2a2k
2 1 ，即 a2k
1
2
a
2
2k
2a2k
2
因此 a2k
又由① 、②及 f x 在
, 1 上为减函数得 f a2n
f a2n 1 ，即 a2n 1
a2n
2 ∴ a2n 1
1, 解得 a2n 1
．
综上，由②③④知存在 c 使 a2n
c a2n 1
1 对一切 n N
* 成立．
213 ．(2012 湖北理)(Ⅰ)已知函数 f(x) rx x
r
(1 r) (x 0) ，其中 r 为有理数，且0 r 1 ．求 f(x)
的 最小值；
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题：设 a1
0, a2
0 ， b1 , b2 为正有理数．若b1
b2
1 ，则 a1
b1 a2
b2
a1b1
a2b2
；
(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
注：当 为正有理数时，有求导公式(x ) x
1 ．
【解析】(Ⅰ) f (x) r rx
r 1
r(1 x
r 1 ) ，令 f (x) 0 ，解得x 1 ．
当0 x 1 时， f (x) 0 ， ∴ f(x) 在 (0, 1) 内是减函数；
当 x 1 时， f (x) 0 ， ∴ f(x) 在 (1, ) 内是增函数．
故函数f(x) 在 x 1 处取得最小值 f(1) 0 ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当 x (0,
) 时，有 f(x) f(1) 0 ，即 x
r
rx (1 r) ①
若 a1 ， a2 中有一个为 0 ，则 a1
b1 a2
b2
a1b1
a2b2 成立；
若 a1 ， a2 均不为 0 ，又b1
b2
1 ，可得b2
1 b1 ，于是
在①中令 x
， r b1 ，可得 (
)
b1
b1
(1 b1 ) ，
即 a1
b1 a2
1 b1
a1b1
a2 (1 b1 ) ，亦即 a1
b1 a2
b2
a1b1
a2b2 ．
综上，对 a1
0, a2
0 ， b1 ， b2 为正有理数且b1
b2
1 ，总有 a1
b1 a2
b2
a1b1
a2b2
．
②
(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为：
设 a1 , a2 ,
, an 为非负实数， b1 , b2 ,
, bn 为正有理数．
若b1
b2
bn
1 ，则 a
b
1
1 a
b
2
2 a
b
n
n
a1b1
a2b2
an bn ． ③
用数学归纳法证明如下：
( 1)当 n 1 时， b1
1 ，有 a1
a1 ，③成立．
(2)假设当 n k 时，③成立，即若 a1 , a2 ,
, ak 为非负实数， b1 , b2 ,
, bk 为正有理
数， 且b1
b2
bk
1 ，则 a
b
1
1 a
b
2
2
a
b
k
k
a1b1
a2b2
ak bk ．
当 n k 1 时，已知 a1 , a2 ,
, ak , ak 1 为非负实数， b1 , b2 ,
, bk , bk 1 为正有理数，
且b1
b2
bk
bk 1
1 ，此时0 bk 1
1 ，即 1 bk 1
0 ，于是
b 1
b 2
b k
a
b
1
1 a
b
2
2 a
b
k
k a
b
k
(a
b
1
1 a
b
2
2 a
b
k
k )a
b
k
= (a
1
1
bk 1 a
1
2
bk 1 a
1
k
bk 1 )1 bk 1 a
b
k
．
因
1 ，由归纳假设可得
a
a
a
a1
a2
ak
，
从而 a
b
1
1 a
b
2
2 a
b
k
k a
b
k
1 bk 1
a
b
k
1
1 ．
又因(1 bk 1 ) bk 1
1 ，由②得
1 bk 1
a
b
k
1
1
(1 bk 1 ) ak 1bk 1
a1b1
a2 b2
ak bk
ak 1bk 1 ，
从而 a
b
1
1 a
b
2
2 a
b
k
k a
b
k
a1b1
a2 b2
ak bk
ak 1bk 1 ．
故当 n k 1 时，③成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数 n ，所推广的命题成立．
说明：(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对 n 2 成立，则后续证明中不需讨论 n 1 的情况．
214 ．(2011 湖南理)已知函数 f(x) x
3 ， g (x) x
．
(Ⅰ)求函数 h(x) f(x) g (x) 的零点个数，并说明理由；
(Ⅱ)设数列{ an }(n N
* )满足 a1
a (a 0) ， f(an 1 ) g (an ) ，证明：存在常数M ，使得对于任意
的 n N
* ，都有 an ≤ M ．
【解析】(Ⅰ)由 h(x) x
3
x
知, x [0, ) ，而 h(0) 0, 且h(1) 1 0 ，
h(2) 6
0, 则x 0 为h(x) 的一个零点，且 h(x) 在(1 ，2)内有零点．
因此 h(x) 至少有两个零点．
解法 1 ： h (x) 3x
2
1 x , 记(x) 3x
2
1 x , 则
(x) 6x x .
当x (0,
)时,
(x) 0, 因此(x)在(0,
) 上单调递增，则(x)在(0,
) 内至多只有一个零点．又
∵
(1) 0, (
) 0, 则(x)在(
, 1) 内有零点， ∴(x)在(0,
) 内有且只有一个零点，记此零点为
x1 , 则当x (0, x1 )时, (x) (x1 ) 0 ；当 x (x1 ,
) 时， (x) (x1 ) 0.
∴，
当x (0, x1 )时, h(x) 单调递减，而 h(0) 0, 则h(x)在(0, x1] 内无零点；
当x (0, x1 )时, h(x) 单调递减，而 h(0) 0, 则h(x)在(0, x1] 内无零点；
当x (x1 ,
)时, h(x) 单调递增，而 h(x)在(x1 ,
) 内至多只有一个零点．
从而 h(x)在(0,
) 内至多只有一个零点．
综上所述， h(x) 有且只有两个零点．
解法 2 ：由 h(x) x(x
2
1 x ), 记(x) x
2
1 x ，则
(x) 2x x .
当x (0,
)时,
(x) 0, 从而(x)在(0,
) 上单调递增，
则(x)在(0,
) 内至多只有一个零点，因此 h(x)在(0,
) 内也至多只有一个零点．
综上所述， h(x) 有且只有两个零点．
(Ⅱ)记 h(x) 的正零点为 x0 , 即x
3
0
x0
.
( 1)当 a x0 时, 由a1
a , 即a1
x0 .
而 a
2
2
a1
x 0
x
3
0 , 因此a2
x0 .
由此猜测： an
x0 ．下面用数学归纳法证明．
①当 n 1 时, a1
x0 显然成立．
②假设当 n k (k 1)时, ak
x0 成立, 则当n k 1 时， 由
a
3
n 1
ak
x0
x
3
0知,ak 1
x0 . 因此，当 n k 1 时, ak 1
x0 成立．
故对任意的n N
* , ak
x0 成立．
(2)当 a x0 时 ，由(I)知， h(x)在(x0 ,
) 上单调递增，则 h(a) h(x0 ) 0 ，
即 a
3
a
.从而a
3
2
a1
a
a
3 , 即a2
a ，
由此猜测： ak
a ，下面用数学归纳法证明，
①当 n 1 时, a1
a 显然成立；
②假设当 n k(k 1)时, ak
a 成立，则当 n k 1 时， 由 a
3
k 1
ak
a
a
3 知,ak 1
a
， 因此，当 n k 1 时, ak 1
a 成立，故对任意的n N
* , an
a 成立．
综上所述，存在常数M max{x0 , a} ，使得对于任意的n N
* , 都有an
M .
