重难点01 利用基本不等式求最值8 大题型
【全国通用】
基本不等式是历年高考的重点和热点内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型
通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几
何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等
式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在高考复习中切忌生搬硬套，在
应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.
知识点
1
利用基本不等式求最值
1．基本不等式与最值
已知x，y 都是正数，
(1)如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2；
(2)如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取
等号的条件．
2．常见的求最值模型
(1)模型一：
mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)
，当且仅当
x=√
n
m 时等号成立；
(2)模型二：
mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn +ma (m>0,n>0)
，当且仅当
x−a=√
n
m 时等号成
立；
(3)模型三：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当
x=√
c
a 时等号成立；
(4)模型四：
x(n−mx )= mx (n−mx )
m
≤1
m⋅（mx +n−mx
2
)2= n2
4 m (m>0,n>0,0<x< n
m )
，当且仅当
x= n
2m 时等
号成立.
3．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t 为常数),求
的最值”的问题，先将
转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为
常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基
本不等式，构造目标式的不等式求解.
知识点
2
基本不等式的实际应用
1．基本不等式的实际应用的解题策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
【题型1 直接法求最值】
【例1】（2025·河北保定·二模）已知x，y 是非零实数，则y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 的最小值为（ ）
A．6
B．12
C．2
D．4
【答案】A
【解题思路】由基本不等式即可求解.
【解答过程】y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 ≥2❑√
y
2
x
2 × 9 x
2
y
2 =6，
当且仅当y
2
x
2 = 9 x
2
y
2 ，
即|y)= ❑√3|x)>0，等号成立，
所以y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 的最小值为6，
故选：A.
【变式1-1】（25-26 高二上·北京海淀·月考）若x>0，则函数y = 4
x + x的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．2❑√2
D．4
【答案】D
【解题思路】利用基本不等式即可求得答案.
【解答过程】由题意知x>0，则函数y = 4
x + x ≥2❑√
4
x ⋅x = 4，
当且仅当4
x = x，即x =2时取得等号，
故函数y = 4
x + x的最小值为4，
故选：D.
【变式1-2】（2025·甘肃定西·一模）x
2+ 7
x
2 + ❑√7的最小值为（ ）
A．2❑√7
B．3 ❑√7
C．4 ❑√7
D．5 ❑√7
【答案】B
【解题思路】利用基本不等式即可得解.
【解答过程】由题意知x≠0，所以x
2>0, 7
x
2 >0，
所以x
2+ 7
x
2 + ❑√7≥2❑√
x
2⋅7
x
2 + ❑√7=3 ❑√7.
当且仅当x
2= 7
x
2，即x
2= ❑√7时，等号成立.
故选：B.
【变式1-3】（24-25 高一上·江苏淮安·阶段练习）如果m>0，那么当m+ 16
m 取得最小值时m 的值为（
）
A．－4
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【解题思路】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.
【解答过程】 由于m>0，故m+ 16
m ≥2❑√m⋅16
m =8，当且仅当m= 16
m ，即m= 4时取等号，
故选：B.
【题型2 配凑法求最值】
【例2】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知x∈(0,+ ∞)，则y =2 x +
4
2 x +1的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．3 ❑√2
D．6
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】由x∈(0,+∞)，得2 x +1>1，
y =2 x +
4
2 x +1 =2 x +1+
4
2 x +1 −1≥2❑√(2 x +1)⋅
4
2 x +1 −1=3，
当且仅当2 x +1=
4
2 x +1，即x = 1
2时取等号，
所以y =2 x +
4
2 x +1的最小值为3.
故选：A.
【变式2-1】（2025·四川德阳·二模）若x>1，则函数y =2 x +
8
x−1的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【解题思路】利用基本不等式可得答案.
【解答过程】若x>1，则x−1>0，
所以函数y =2(x−1)+
8
x−1 +2≥2❑√2(x−1)
8
x−1 +2=10，
当且仅当2(x−1)=
8
x−1即x =3时等号成立.
故选：C.
【变式2-2】（25-26 高一上·全国·课后作业）若a>1，则4 a+
1
a−1的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．无最小值
【答案】C
【解题思路】将式子配凑成4(a−1)+
1
a−1 + 4，然后利用基本不等式求解即可.
【解答过程】若a>1，则4 a+
1
a−1 = 4 (a−1)+
1
a−1 + 4≥2❑√4 (a−1)⋅
1
a−1 + 4 =8，
当且仅当4 (a−1)=
1
a−1，即a= 3
2时，等号成立，所以4 a+
1
a−1的最小值为8．
故选：C．
【变式2-3】（2025·江西赣州·二模）已知y > x>0，则
y
y −x −
4 x
2 x + y 的最小值为
.
【答案】2
3
【解题思路】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对
y
y −x −
4 x
2 x + y 进行变形配凑，再结合基
本不等式即可求解最小值.
【解答过程】由题y > x>0，所以
y
y −x −
4 x
2 x + y =
y
y −x −4 x +2 y −2 y
2 x + y
=
y
y −x +
2 y
2 x + y −2
= y(
1
y −x +
2
2 x + y)−2= y(
2
2 y −2 x +
2
2 x + y)−2
= 1
3 [(2 y −2 x)+(2 x + y))(
2
2 y −2 x +
2
2 x + y)−2
= 2
3(2+ 2 x + y
2 y −2 x + 2 y −2 x
2 x + y )−2
≥2
3(2+2❑√
2 x + y
2 y −2 x · 2 y −2 x
2 x + y )−2= 8
3 −2= 2
3，
当且仅当2 x + y
2 y −2 x = 2 y −2 x
2 x + y ，即2 x + y =2 y −2 x，即y = 4 x时等号成立.
故答案为：2
3.
【题型3 巧用“1”的代换求最值】
【例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+2b=1，则b
a + 1
b的最小值为（ ）
A．9
2
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【解题思路】利用1 的代换，结合基本不等式可求最小值.
【解答过程】因为a+2b=1，所以b
a + 1
b = b
a + a+2b
b
= b
a + a
b +2≥2❑√
b
a × a
b +2= 4，
当且仅当b
a = a
b，即a=b= 1
3时取等号，所以b
a + 1
b的最小值为4.
故选：B.
【变式3-1】（2025·广东梅州·模拟预测）已知a>0, b>0，且ab−2b+1=0，则1
a +9b的最小值是
（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解题思路】将已知等式变形为a+ 1
b =2，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得.
【解答过程】由ab−2b+1=0得a−2+ 1
b =0，即a+ 1
b =2，
所以1
a +9b= 1
2(
1
a +9b)(a+ 1
b)= 1
2(1+ 1
ab +9ab+9)≥1
2 (10+2❑√9)=8，
当且仅当{
a+ 1
b =2
1
ab =9ab)
，即a= 1
2 ,b= 2
3时，等号成立，
所以1
a +9b的最小值为8.
故选：D.
【变式3-2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知a+b=1(ab>0)，则1
a + 1
b 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．9
4
【答案】C
【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.
【解答过程】因为a+b=1(ab>0),
所以(
1
a + 1
b)(a+b)=2+ b
a + a
b ≥2+2❑√
b
a ⋅a
b = 4.其中b
a , a
b 均正数.
当且仅当b
a = a
b，即a=b= 1
2时取等号.
故选：C.
【变式3-3】（2025·河南·三模）若a>0，b>0，且a+b=1，则−1
a −4
b 的最大值为（ ）
A．−9
B．−7
C．−5
D．−3
【答案】A
【解题思路】根据“1”的代换，结合基本不等式求出1
a + 4
b 的最小值，即可得出答案.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，
所以1
a + 4
b =(
1
a + 4
b)(a+b)=5+ b
a + 4 a
b ≥5+2❑√
b
a ⋅4 a
b =9，
当且仅当b
a = 4 a
b ，a>0，b>0，即a= 1
3，b= 2
3时等号成立，
所以−1
a −4
b 的最大值为−9．
故选：A.
【题型4 消元法求最值】
【例4】（24-25 高三上·河南漯河·期末）设正实数x、y、z满足x
2−xy + y
2−z =0，则xy
z 的最大值为
（ ）
A．4
B．2
C．3
D．1
【答案】D
【解题思路】由已知条件可得出
xy
z =
1
x
y + y
x −1，利用基本不等式可求得xy
z 的最大值.
【解答过程】因为正实数x、y、z满足x
2−xy + y
2−z =0，则z = x
2+ y
2−xy，
所以，
xy
z =
xy
x
2+ y
2−xy
=
1
x
y + y
x −1
≤
1
2❑√
x
y ⋅y
x −1
=1
，
当且仅当x
y = y
x
(x>0, y >0)时，即当x = y时，等号成立，
故xy
z 的最大值为1.
故选：D.
【变式4-1】（24-25 高一上·广东肇庆·期末）已知a>0,b>1,a+
4
b−1 =1，则4
a +b的最小值为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】C
【解题思路】根据条件等式有4
a +b=(b−5)+ 16
b−5 +9且b>5，再应用基本不等式求最值.
【解答过程】由题设a=1−
4
b−1 = b−5
b−1 >0且b>1，则b>5，
所以4
a +b= 4(b−1)
b−5
+b=(b−5)+ 16
b−5 +9≥2❑√(b−5)⋅16
b−5 +9=17
当且仅当b−5= 16
b−5即b=9时取等号.
故选：C.
【变式4-2】（2025·浙江绍兴·三模）若x , y , z>0，且x
2+ xy +2 xz +2 yz = 4，则2 x + y +2 z的最小值是
．
【答案】4
【解题思路】由题意可借助x、y表示出z，从而消去z，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.
【解答过程】由x
2+ xy +2 xz +2 yz = 4，则2 z = 4−x
2−xy
x + y
，
即2 x + y +2 z =2 x + y + 4−x
2−xy
x + y
= (2 x + y)(x + y)+ 4−x
2−xy
x + y
= 2 x
2+3 xy + y
2+ 4−x
2−xy
x + y
= x
2+2 xy + y
2+ 4
x + y
= (x + y)
2+ 4
x + y
= x + y +
4
x + y ≥2❑√
(x + y)⋅
4
x + y = 4，
当且仅当x + y =
4
x + y ，即x + y =2时，等号成立.
故答案为：4.
【变式4-3】（2025·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x
2+ xy + yz+ xz+ x + z =6，则
3 x +2 y + z的最小值是
.
【答案】4 ❑√3−2
【解题思路】因式分解得到x + z =
6
x + y +1，变形后得到3 x +2 y + z =2(x + y)+
6
x + y +1，利用基本不等
式求出最小值.
【解答过程】因为x , y , z为正实数，
故x
2+ xy + yz + xz + x + z =6⇒(x
2+ xz)+(xy + yz)+(x + z)=6，
即x (x + z)+ y (x + z)+(x + z)=6⇒(x + y +1)(x + z)=6⇒x + z =
6
x + y +1，
3 x +2 y + z =2(x + y)+(x + z)=2(x + y)+
6
x + y +1
=2(x + y +1)+
6
x + y +1 −2≥2❑√2(x + y +1)⋅
6
x + y +1 −2= 4 ❑√3−2，
当且仅当2(x + y +1)=
6
x + y +1，即x + y = ❑√3−1，此时x + z =
6
x + y +1 =2❑√3，
所以3 x +2 y + z的最小值为4 ❑√3−2.
故答案为：4 ❑√3−2.
【题型5 齐次化求最值】
【例5】（25-26 高一上·江西·月考）已知x<−1，则x
2−x +14
x +1
的最大值是（ ）
A．−11
B．−8
C．5
D．8
【答案】A
【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可．
【解答过程】易知x
2−x +14
x +1
= (x +1)
2−3(x +1)+16
x +1
= x +1+ 16
x +1 −3．
因为x<−1，所以x +1<0，所以−(x +1)>0，
则x +1+ 16
x +1 =−[−(x +1)+(−16
x +1))≤−8，
当且仅当−(x +1)=−16
x +1，即x =−5时，等号成立，
故x +1+ 16
x +1 −3≤−11，则x
2−x +14
x +1
的最大值是−11．
故选：A.
【变式5-1】（24-25 高一下·重庆沙坪坝·月考）已知正数x , y满足x +2 y =1，则x
2+ y
xy
的最小值为（ ）
A．1
2❑√2
B．2❑√2
C．
1
2❑√2+1
D．2❑√2+1
【答案】D
【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【解答过程】x
2+ y
xy
= x
2+ y( x +2 y)
xy
= x
2+ xy +2 y
2
xy
= x
y + 2 y
x +1，因为x>0, y >0，故x
y >0, 2 y
x >0，
则x
y + 2 y
x +1≥2❑√
x
y × 2 y
x +1=2❑√2+1，当且仅当x
y = 2 y
x , x +2 y =1，也即x = ❑√2−1, y =1−
❑√2
2 取得
等号，
故x
2+ y
xy
的最小值为2❑√2+1.
故选：D.
【变式5-2】（2025·全国·模拟预测）已知x，y 为正数，则2 x
2+3 y
2
xy
的最小值为（ ）
A．4
B．3 ❑√2
C．3
D．2❑√6
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】由x，y 均为正数，则2 x
2+3 y
2
xy
= 2 x
y + 3 y
x ≥2❑√
2 x
y ⋅3 y
x =2❑√6，
当且仅当2 x
y = 3 y
x ，即y =
❑√6
3 x时取等号，
故2 x
2+3 y
2
xy
的最小值为2❑√6.
故选：D.
【变式5-3】（2025·山东·模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1，则(a+1)
2+b
2
ab
的最小值为（ ）
A．37
2
B．17
C．8+ 4 ❑√5
D．16
【答案】C
【解题思路】代入a+2b=1，再由基本不等式即可求解；
【解答过程】由题意知
(a+1)
2+b
2
ab
= (a+a+2b)
2+b
2
ab
= 4 a
2+8ab+5b
2
ab
= 4 a
b + 5b
a +8≥2❑√
4 a
b ⋅5b
a +8=8+ 4 ❑√5，
当且仅当4 a
b = 5b
a ，即a=
❑√5
2 b= 4 ❑√5−5
11
时，等号成立．
因此，(a+1)
2+b
2
ab
的最小值为8+ 4 ❑√5．
故选：C.
【题型6 多次使用基本不等式求最值】
【例6】（24-25 高二下·河北保定·月考）已知x>0，y >−1，z>0，2 y +3 z =2−x，则3
x +
1
y +1 + 1
z 的最
小值为（ ）
A．7
2 + ❑√6
B．7+ ❑√6
2
C．5+ ❑√6
2
D．5
2 + ❑√6
【答案】A
【解题思路】结合条件可得4(
3
x +
1
y +1 + 1
z)= [x +2( y +1)+3 z](
3
x +
1
y +1 + 1
z)，展开等式右侧，结合基
本不等式求其最小值即可.
【解答过程】因为 x +2 y +3 z =2 ，所以 x +2( y +1)+3 z = 4 ，
所以 4(
3
x +
1
y +1 + 1
z)= [x +2( y +1)+3 z](
3
x +
1
y +1 + 1
z) ，
所以 4(
3
x +
1
y +1 + 1
z)=2+ 2( y +1)
z
+ 6( y +1)
x
+ 3 z
y +1 +3+ 9 z
x +
x
y +1 + x
z +3 ，
又 2( y +1)
z
+ 3 z
y +1 ≥2❑√6 ，当且仅当 y +1=
❑√6
2 z 时等号成立，
6( y +1)
x
+
x
y +1 ≥2❑√6 ，当且仅当 y +1=
❑√6
6 x 时等号成立，
9 z
x + x
z ≥2❑√9=6 ，当且仅当 x =3 z 时等号成立，
三个等号可同时成立，所以[4(
3
x +
1
y +1 + 1
z)]min
=14 + 4 ❑√6，
当且仅当x = 12−2❑√6
5
, y = 2❑√6−7
5
, z = 12−2❑√6
15
时等号成立，
所以3
x +
1
y +1 + 1
z 的最小值为7
2 + ❑√6，
故选：A.
【变式6-1】（2025·天津红桥·一模）已知a>0,b>0，则1
a + a
4 b
2 +b的最小值为（ ）
A．4 ❑√2
B．2❑√2
C．4
D．2
【答案】D
【解题思路】两次利用基本不等式，即可得解.
【解答过程】因为a>0,b>0，
所以1
a + a
4 b
2 +b≥2❑√
1
a ⋅a
4 b
2 +b=b+ 1
b ≥2❑√b⋅1
b =2，
当且仅当1
a = a
4 b
2，且b= 1
b，即a=2,b=1时，取等号，
所以1
a + a
4 b
2 +b的最小值为2.
故选：D.
【变式6-2】（24-25 高三上·安徽六安·阶段练习）已知正数x，y，z 满足x
2+ y
2+ z
2=1，则S = 1+ z
2 xyz 的最
小值为（ ）
A．3
B．3(❑√3+1)
2
C．4
D．2(❑√2+1)
【答案】C
【解题思路】由基本不等式可得z (1−z)≤1
4 ，由题意整理可得1+ z
2 xy ≥
1
1−z ，即可得1+ z
2 xyz ≥
1
z (1−z) ≥4.
【解答过程】 由题意可得，0< z<1,0<1−z<1
则z (1−z)≤(
z +1−z
2 )
2
= 1
4 ，当且仅当z =1−z，即z = 1
2时，等号成立，
又因为x
2+ y
2+ z
2=1，
则1−z
2= x
2+ y
2≥2 xy，当且仅当x = y时，等号成立，
可得1−z
2
2 xy ≥1，即
(1−z)(1+ z)
2 xy
≥1，
又因为1−z>0，则1+ z
2 xy ≥
1
1−z ，
可得1+ z
2 xyz ≥
1
z (1−z) ≥4，当且仅当x = y =
❑√6
4 , z = 1
2时，等号成立，
所以S = 1+ z
2 xyz 的最小值4.
故选：C.
【变式6-3】（2025·山东淄博·二模）记max {x , y , z)表示x , y , z中最大的数．已知x , y均为正实数，则
max{
2
x , 1
y , x
2+ 4 y
2)的最小值为（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解题思路】设M =max { 2
x , 1
y , x
2+ 4 y
2}，得3 M ≥2
x + 1
y + x
2+ 4 y
2，两次应用基本不等式求最小值，
注意等号成立的条件即可．
【解答过程】设M =max { 2
x , 1
y , x
2+ 4 y
2}，则M ≥2
x >0，M ≥1
y >0，M ≥x
2+ 4 y
2>0，
∴3 M ≥2
x + 1
y + x
2+ 4 y
2≥2
x + 1
y + 4 xy，当且仅当x =2 y时取等号，
又2
x + 1
y + 4 xy ≥3
3√
2
x ⋅1
y ⋅4 xy =6，当且仅当2
x = 1
y = 4 xy，即x =2 y =1时取等号，
所以M ≥2，当且仅当x =2 y =1时取等号，
所以M的最小值是2，
故选：C．
【题型7 基本不等式的实际应用】
【例7】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码放在
天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取出一
些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
【答案】B
【解题思路】用平衡条件得出x的表达式，结合基本不等式可得答案.
【解答过程】设天平左臂长为m，右臂长为n，m,n>0且m≠n，左盘放的药品为x1克，右盘放的药品为x2
克，
则{
100m=n x2
m x1=100n)，解得x1= 100n
m
, x2= 100m
n
，
x = x1+ x2= 100n
m
+ 100m
n
≥2❑√
100n
m
⋅100m
n
=200，
当且仅当m=n时，取到等号，而m≠n，所以x>200.
故选：B.
【变式7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的
单价分别为m 元和n 元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100 元的该商品，乙每周
购买20 件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则（ ）
A．a1=a2
B．a1<a2
C．a1>a2
D．a1,a2的大小无法确定
【答案】B
【解题思路】由题意求出a1,a2的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【解答过程】由题意得a1=
200
100
m + 100
n
= 2mn
m+n，a2= 20(m+n)
40
= m+n
2
，
因为m>0,n>0,m≠n，故m+n
2
>❑√mn，2mn
m+n < 2mn
2❑√mn = ❑√mn，
即a1<a2，
故选：B.
【变式7-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作
A、B两种类型的灯笼，其中A型灯笼每个需要0.5 米彩带，B型灯笼每个需要1 米彩带．活动规定：两种
灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60 米长的彩带制作A型灯笼m个，B型灯笼n个．若要使
该同学的得分最高，则实数m，n的值分别为（ ）
A．m=60，n=30
B．m=50，n=35
C．m= 40，n= 40
D．m=30，n= 45
【答案】A
【解题思路】依题意可得0.5m+n=60，再利用基本不等式计算可得
【解答过程】依题意m∈N∗，n∈N∗且0.5m+n=60，即m+2n=120，
又120=m+2n≥2❑√2mn，所以mn≤1800，当且仅当m=2n时取等号，由{
m+2n=120
m=2n )，解得{
m=60
n=30)
，
故当m=60，n=30时该同学的得分最高.
故选：A.
【变式7-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于
公元3 世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊
观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、b、c均
为正数）.则(a+b)
2= 4 ab+(b−a)
2，(a+b)
2=2c
2−(b−a)
2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于
好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够
用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A．9
B．18
C．27
D．36
【答案】B
【解题思路】根据题意可得a+b=6,a>0,b>0，结合基本不等式即可得a
2+b
2的最小值.
【解答过程】由题可知a+b=6,a>0,b>0，
则a+b≥2❑√ab，即6≥2❑√ab，所以ab≤9，当且仅当a=b=3时，等号成立
又“赵爽弦图”的面积为a
2+b
2=(a+b)
2−2ab=36−2ab≥36−2×9=18，
所以当a=b=3时，“赵爽弦图”的最小面积为18.
故选：B.
【题型8 与其他知识交汇的最值问题】
【例8】（2025·广东深圳·模拟预测）若a,b均为正实数，则“ab≤1”是“1
a + 1
b ≥2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】由基本不等式得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立，得到答案.
【解答过程】若a,b均为正实数，且ab≤1，由基本不等式得1
a + 1
b ≥2❑√
1
ab ≥2，
当且仅当a=b=1时，等号成立，故充分性成立，
若1
a + 1
b ≥2，不妨设a=0.5,b=6，满足1
a + 1
b >2，但ab=3>1，必要性不成立，
故“ab≤1”是“1
a + 1
b ≥2”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式8-1】（2025·山东日照·一模）点A (2,1)在直线l:mx +ny =1上，且mn>0，则1
m + 2
n的最小值为
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解题思路】由题意求得2m+n=1，再利用常值代换法和基本不等式即可求得最小值.
【解答过程】因为点A(2,1)在直线l:mx +ny =1上，可得2m+n=1.
则1
m + 2
n =( 1
m + 2
n )(2m+n)=2+ n
m + 4 m
n +2= 4+ n
m + 4 m
n
因mn>0，则n
m + 4 m
n ≥2❑√
n
m × 4 m
n =2❑√4 = 4，当且仅当n
m = 4 m
n 时等号成立.
即当m= 1
4 ,n= 1
2时，1
m + 2
n取得最小值为8.
故选：C.
【变式8-2】（2025·湖南·三模）已知点(m,n)是函数y = x
−1在第一象限内的图象上的一点，则1
m + 4
n 的最
小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【解题思路】由题意得出m>0，n>0且n= 1
m，利用基本不等式可求得1
m + 4
n 的最小值.
【解答过程】由题意可知，m>0，n>0且有n=m
−1= 1
m，所以1
m + 4
n = 1
m + 4 m≥2❑√
4 m
m = 4，
当且仅当{
4 m= 1
m
m>0 )
时，即当m= 1
2时，等号成立，故1
m + 4
n 的最小值为4.
故选：A.
【变式8-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何
中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，
几何中项的定义与今天大致相同．若2
a+2
b=1，则(4
a+1)(4
b+1)的最小值为（ ）
A．25
4
B．9
16
C．9
4
D．25
16
【答案】D
【解题思路】令m=2
a，n=2
b，结合基本不等式可得0<mn≤1
4 ，化简(4
a+1)(4
b+1)可得
(4
a+1)(4
b+1)=(mn)
2−2mn+2，转化为求关于mn的二次函数在区间(0, 1
4 ]上的最小值即可.
【解答过程】不妨设m=2
a，n=2
b，则m>0，n>0，
所以1=m+n≥2❑√mn，当且仅当m=n= 1
2时取等号，
即0<mn≤1
4 ，当且仅当m=n= 1
2时取等号，
所以(4
a+1)(4
b+1)=(m
2+1)(n
2+1)=(mn)
2+m
2+n
2+1=(mn)
2+(m+n)
2−2mn+1
=(mn)
2−2mn+2=(mn−1)
2+1，（0<mn≤1
4 ）
所以当mn= 1
4 时，(mn)
2−2mn+2取得最小值25
16，
故选：D．
一、单选题
1．（2025·山西吕梁·模拟预测）若a,b∈R
+且2a+b= 4，则ab的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
【答案】B
【解题思路】利用基本不等式求解即可.
【解答过程】由基本不等式可得：2a·b≤(
2a+b
2 )
2
=(
4
2)
2
= 4，
所以ab≤2，当且仅当a=1,b=2时等号成立；
所以ab的最大值为2；
故选：B.
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若a>0，b>0，且a+ 4 b=5，则1
a + 4
b 的最小值是（ ）
A．16
B．25
C．4
D．5
【答案】D
【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式可得.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+ 4 b=5，
所以1
a + 4
b = 1
5(
1
a + 4
b)(a+ 4 b)= 1
5(1+ 4 b
a + 4 a
b +16)≥1
5(17+2❑√
4 b
a ⋅4 a
b )=5，
当且仅当{
4 b
a = 4 a
b
a+ 4 b=5)
，即a=b=1时等号成立，所以1
a + 4
b 的最小值是5.
故选：D.
3．（2025·湖北黄冈·一模）已知x，y为正实数，且x + y =1，则x +9 y
xy
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【解题思路】由题可得x +9 y
xy
=(x + y)(
9
x + 1
y)，然后由基本不等式可得答案.
【解答过程】x +9 y
xy
= 9
x + 1
y =(x + y)(
9
x + 1
y)=10+ 9 y
x + x
y ≥10+2❑√
9 y
x ⋅x
y =16.
当且仅当9 y
x = x
y ，即x = 3
4 ，y = 1
4 时取等号.
故选：B.
4．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过
向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的
跳跃高度H（单位：米）近似满足v
2=
4 H
1−H v
2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2米
B．0.25米
C．0.45米
D．0.7米
【答案】B
【解题思路】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度.
【解答过程】由v
2=
4 H
1−H v
2可知v
2−H v
4= 4 H，故H =
v
2
v
4+ 4
≤
v
2
2
❑√4 v
4 = 1
4 ，
当且仅当v
2=2时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25 米.
故选：B.
5．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+b= 1
a + 9
b + 4，则a+b的最小值为（ ）
A．2❑√5−2
B．2❑√5−1
C．1+2❑√5
D．2+2❑√5
【答案】D
【解题思路】利用基本不等式可得到(
1
a + 9
b)(a+b)=10+ b
a + 9a
b ≥16，再代换，令s=a+b，解一元二次
不等式可得答案.
【解答过程】因为a>0,b>0，
所以(
1
a + 9
b)(a+b)=10+ b
a + 9a
b ≥10+2❑√
b
a ⋅9a
b =16，
当且仅当b
a = 9a
b 时，取等号.
令s=a+b得：(
1
a + 9
b)s≥16，
由a+b= 1
a + 9
b + 4得：1
a + 9
b = s−4，
所以：(s−4)s≥16，即s
2−4 s−16≥0，
解得：s≤2−2❑√5或s≥2+2❑√5，
又因为a>0,b>0，所以s=a+b>0，
故s=a+b≥2+2❑√5，当且仅当{
b
a = 9a
b
a+b= 1
a + 9
b + 4)
，即b=3a= 3+3 ❑√5
2
时，取等号.
故选：D.
6．（2025·浙江台州·一模）已知a,b∈(−1,+ ∞)，且a+
1
b+1 =2，则b+
9
a+2的最小值为（ ）
A．2
B．9
4
C．5
2
D．3
【答案】D
【解题思路】可利用配凑法与“1 的妙用”，结合基本不等式进行求解.
【解答过程】由题可知，a+2+
1
b+1 = 4，又因为a+2>0,b+1>0,
则b+1+
9
a+2 = 1
4 (a+2+
1
b+1 )(b+1+
9
a+2 )
= 1
4 [(a+2)(b+1)+
9
(a+2)(b+1) +10]≥1
4 (6+10)= 4,
当且仅当(a+2)(b+1)=3时，即当a=1,b=0时，等号成立.
因此b+1+
9
a+2的最小值为4，
故b+
9
a+2的最小值为3.
故选：D.
7．（2025·安徽合肥·三模）已知正数a、b满足1
a + 2
b =1，则a+2b的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】D
【解题思路】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.
【解答过程】由题意得a+2b=(a+2b)(
1
a + 2
b)=1+ 2a
b + 2b
a + 4≥5+2❑√
2b
a ⋅2a
b =9，
当且仅当{
2b
a = 2a
b
1
a + 2
b =1
a>0,b>0)
时，即a=3,b=3时，a+2b取得最小值9．
故选：D.
8．（2025·山西·三模）已知正实数a，b满足a+b=1，则1
b + 1
ab + b
a的最小值为（ ）
A．2+2❑√2
B．4 +2❑√2
C．4
D．7
【答案】D
【解题思路】对于1
b + 1
ab + b
a = a+1+b
2
ab
，利用以值代参，求解基本不等式.
【解答过程】1
b + 1
ab + b
a = a+1+b
2
ab
= a(a+b)+(a+b)
2+b
2
ab
= 2b
2+3ab+2a
2
ab
=2(
b
a + a
b)+3
≥4 ❑√
a
b × b
a +3= 4+3=7，
当且仅当a
b = b
a,即a=b= 1
2取等号．
故选：D．
二、多选题
9．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足x +2 y =1，则（ ）
A．xy ≤1
8
B．x
2+ y ≥1
2
C．1
x + 1
y ≥3+2❑√2
D．x +
1
1−2 y >2
【答案】ACD
【解题思路】对于A，直接利用基本不等式即可判断；对于B，消元法可求出x
2+ y的范围，即可判断；对
于C，利用常值代换法，利用基本不等式即可求解；对于D，消元后利用基本不等式求得x +
1
1−2 y 的范
围即可判断.
【解答过程】对于A，因x>0, y >0，则1= x +2 y ≥2❑√2 xy，即得xy ≤1
8，当且仅当x =2 y = 1
2时，等号
成立，故A 正确；
对于B ，因x
2+ y = x
2+ 1−x
2
=( x−1
4 )
2
+ 7
16，由{
x>0
1−x
2
>0)
可得0< x<1，故x
2+ y在x = 1
4 时取得最小值
7
16，7
16 < 1
2，故B 错误；
对于C，由( 1
x + 1
y )( x +2 y)=3+( 2 y
x + x
y )≥3+2❑√
2 y
x ⋅x
y =3+2❑√2，当且仅当x = ❑√2 y = ❑√2−1时，等
号成立，故C 正确；
对于D，因x>0, y >0，由x +
1
1−2 y = x + 1
x ≥2，当且仅当x =1时等号成立，由上分析0< x<1，故有
x +
1
1−2 y >2，即D 正确.
故选：ACD.
10．（2025·全国·模拟预测）已知a,b>0，且a+b=1，则（ ）
A．ab的最大值是1
4
B．a
2+b
2的最大值是1
2
C．1
a + 1
b 的最小值是4
D．❑√a+ ❑√b的最小值是❑√2
【答案】AC
【解题思路】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可.
【解答过程】由均值不等式知：ab≤(
a+b
2 )
2
= 1
4 ，当且仅当a=b= 1
2时，等号成立，选项A 正确；
因为(
a+b
2 )
2
≤a
2+b
2
2
，故a
2+b
2≥1
2，当且仅当a=b= 1
2时，等号成立，
即a
2+b
2最小值是1
2，选项B 错误；
1
a + 1
b =( 1
a + 1
b )(a+b)=2+ b
a + a
b ≥2+2❑√
b
a · a
b = 4，
当且仅当b
a = a
b且a+b=1，即a=b= 1
2时，等号成立，选项C 正确；
(❑√a+ ❑√b)
2=1+2❑√ab≤1+2× 1
2 =2，故❑√a+ ❑√b≤❑√2，
当且仅当a=b= 1
2时等号成立，
即❑√a+ ❑√b的最大值为❑√2，选项D 错误，
故选：AC．
11．（2025·安徽合肥·一模）已知正数x , y满足x + y + xy =3，则下列结论正确的是（ ）
A．xy的最大值为1
B．x + y的最小值为4
C．3−x−y
x
2+ y
2 的最大值为1
2
D．1
x +1 +
1
y +1的最小值为1
【答案】ACD
【解题思路】应用基本不等式计算结合一元二次不等式计算判断A，B，先化简再计算判断C，D.
【解答过程】对于A，由正数x , y满足x + y + xy =3，可得x + y =3−xy ≥2❑√xy，解得0<❑√xy ≤1，
则xy ≤1，当且仅当x = y，即x = y =1时等号成立，即xy的最大值为1，故A 正确；
对于B，由正数x , y满足x + y + xy =3，可得x + y −3=−xy ≥−(
x + y
2 )
2
，
解得x + y ≥2或x + y ≤−6（舍去），当且仅当x = y =1时等号成立，即x + y的最小值为2，故B 错误；
对于C，因x>0, y >0，则
3−x−y
x
2+ y
2 =
xy
x
2+ y
2 =
1
x
y + y
x
≤
1
2❑√
x
y ⋅y
x
= 1
2，
当且仅当x = y =1时等号成立，即3−x−y
x
2+ y
2 的最大值为1
2，故C 正确；
对于D，由x + y + xy =3可得(x +1)( y +1)= 4，则1
x +1 +
1
y +1 ≥2❑√
1
x +1 ⋅
1
y +1 =1，
当且仅当1
x +1 =
1
y +1，即x = y =1时等号成立，即1
x +1 +
1
y +1的最小值为1，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025·四川·模拟预测）已知m>0，则m+ 1
4 m的最小值为 ．
【答案】1
【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可.
【解答过程】由m>0，则m+ 1
4 m ≥2❑√m⋅1
4 m =1，
当且仅当m= 1
4 m，即m= 1
2时取等号，
所以m+ 1
4 m的最小值为1.
故答案为：1.
13．（2025·上海黄浦·一模）若正数m,n满足4
m + 9
n =1，则mn的最小值为
．
【答案】144
【解题思路】根据均值不等式求解.
【解答过程】因为m,n是正数，所以4
m + 9
n ≥2❑√
4
m ⋅9
n = 12
❑√mn
，
又4
m + 9
n =1，所以12
❑√mn ≤1，即❑√mn≥12，
所以mn≥144，当且仅当4
m = 9
n，即m=8,n=18时，mn取得最小值144；
故答案为：144.
14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知min {x , y)表示{x , y)中的最小值，若a>0,b>0，则
min{a,
b
a
2+ 4 b
2)的最大值是
.
【答案】1
2
【解题思路】令h=min{a,
b
a
2+ 4 b
2)，则可得h
2≤
ab
a
2+ 4 b
2，对
ab
a
2+ 4 b
2变形后利用基本不等式可求出其
最大值，从而可求出min{a,
b
a
2+ 4 b
2)的最大值.
【解答过程】令h=min{a,
b
a
2+ 4 b
2)，
因为a>0，b>0，则0<h≤a，0<h≤
b
a
2+ 4 b
2，
可得h
2≤
ab
a
2+ 4 b
2，当且仅当a=
b
a
2+ 4 b
2时取等号，
又因为
ab
a
2+ 4 b
2 =
1
a
b + 4 b
a
≤
1
2❑√
a
b ⋅4 b
a
= 1
4 ，当且仅当a
b = 4 b
a ，即a=2b时取等号，
所以当a=
b
a
2+ 4 b
2且a=2b，即a= 1
2 ,b= 1
4 时，h的最大值为1
2，
所以min{a,
b
a
2+ 4 b
2)的最大值是1
2.
故答案为：1
2.
四、解答题
15．（2025·浙江·模拟预测）已知a,b>0,ab=1，求S =
1
1+a +
1
1+2b 的最小值．
【答案】2❑√2−2
【解题思路】根据条件，b= 1
a代入消去b，将S的表达式分离常数得S =1−
1
a+ 2
a +3，利用基本不等式求
得结果.
【解答过程】∵a,b>0，ab=1，
∴S =
1
1+a +
1
1+2b =
1
1+a +
1
1+ 2
a
=
1
1+a +
a
a+2 = a
2+2a+2
a
2+3a+2
=1−
a
a
2+3a+2
=1−
1
a+ 2
a +3，
∵a+ 2
a ≥2❑√a⋅2
a =2❑√2，当且仅当a= 2
a，即a= ❑√2时等号成立，
所以S≥1−
1
2❑√2+3 =2❑√2−2.
故S的最小值为2❑√2−2.
16．（25-26 高一上·广东江门·月考）已知实数a,b满足a
2+b
2=ab+6．
(1)求ab的最大值；
(2)求a+b的最大值及最小值．
【答案】(1)最大值为6．
(2)a+b的最大值为2❑√6，最小值为−2❑√6．
【解题思路】（1）由已知条件a
2+b
2=ab+6及基本不等式a
2+b
2≥2ab可求得ab的取值范围，进而得到其最
大值.
（2）将已知等式变形为(a+b)
2=3ab+6，再结合基本不等式ab≤( a+b
2
)
2
建立关于a+b的不等式求解.
【解答过程】（1）因为a
2+b
2=ab+6≥2ab，所以ab≤6，
当且仅当a=b=± ❑√6时，等号成立．
故ab的最大值为6．
（2）因为a
2+b
2=ab+6，所以(a+b)
2=3ab+6 ≤3(
a+b
2 )
2
+6，
解得(a+b)
2≤24，则−2❑√6≤a+b≤2❑√6，
当且仅当a=b= ❑√6时，a+b取得最大值，当且仅当a=b=−❑√6时，a+b取得最小值．
故a+b的最大值为2❑√6，最小值为−2❑√6．
17．（25-26 高一上·江苏盐城·期中）若x>1，y >1，且满足x + y −xy +3=0
(1)求x + y的最小值；
(2)求( x−1)( y −1)
2 x + y −3
的最大值.
【答案】(1)6；
(2)
❑√2
2 .
【解题思路】（1）将给定等式变形为x + y +3= xy，再利用基本不等式求出最小值.
（2）将给定等式变形为( x−1)( y −1)= 4，再利用基本不等式求最大值．
【解答过程】（1）由x>1, y >1，x + y −xy +3=0，得x + y +3= xy ≤( x + y
2
)
2
，
即( x + y )
2−4( x + y )−12≥0，整理得( x + y +2)( x + y −6)≥0，解得x + y ≥6，
当且仅当x = y时取等号，由{
x = y
x + y −xy +3=0)，得x = y =3，
所以当x = y =3时，x + y取得最小值6.
（2）由x>1, y >1，x + y −xy +3=0，得( x−1)( y −1)= 4，
因此( x−1)( y −1)
2 x + y −3
=
4
2( x−1)+( y −1) ≤
4
2❑√2( x−1)⋅( y −1) =
❑√2
2 ，
当且仅当2( x−1)= y −1时取等号，由{
2( x−1)= y −1
( x−1)( y −1)= 4)，得x = ❑√2+1, y =2❑√2+1时取等号，
所以当x = ❑√2+1, y =2❑√2+1时，( x−1)( y −1)
2 x + y −3
取得最大值
❑√2
2 .
18．（2025·全国·二模）已知实数a>0,b>0，满足a+b= 4 ❑√3.
(1)求证：a
2+b
2≥24；
(2)求(a
2+1)(b
2+1)
ab
的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【解题思路】（1）将a+b= 4 ❑√3两边平方后利用基本不等式证明；
（2）将(a
2+1)(b
2+1)
ab
变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.
【解答过程】（1）由a+b= 4 ❑√3得48=(a+b)
2=a
2+b
2+2ab≤a
2+b
2+a
2+b
2=2(a
2+b
2)，
当且仅当a=b=2❑√3时等号成立，
所以a
2+b
2≥24；
（2）由已知a>0,b>0，则ab>0，
则(a
2+1)(b
2+1)
ab
= a
2b
2+a
2+b
2+1
ab
= a
2b
2+(a+b)
2−2ab+1
ab
= a
2b
2+ 48−2ab+1
ab
=ab+ 49
ab −2≥2❑√49−2=12，
当且仅当{
ab= 49
ab
a+b= 4 ❑√3)
，即a,b一个为2❑√3+ ❑√5，一个为2❑√3−❑√5时等号成立.
所以(a
2+1)(b
2+1)
ab
的最小值12.
19．（2025·宁夏固原·一模）已知函数f (x)=|2 x +1)+3|x−1)．
(1)解不等式f (x)≤4；
(2)记（1）中不等式的解集为M , M中的最大整数值为t，若正实数a,b满足a+b=t，求2
a+1 +
8
b+2的最
小值．
【答案】(1)[0, 6
5 ]
(2)9
2
【解题思路】（1）将函数写成分段函数，分段解不等式f (x)≤4，再求各个解集的并集即得；
（2）由（1）得t =1，运用常值代换法，将a+b=1配凑成(a+1)+(b+2)= 4，利用基本不等式即可求得.
【解答过程】（1）由f (x)=|2 x +1)+3|x−1)={
−5 x +2, x ≤−1
2
−x + 4 ,−1
2 < x ≤1
5 x−2, x>1 )
,
当x ≤−1
2时，由f (x)≤4可得−5 x +2≤4，则得x ≥−2
5，故x∈∅；
当−1
2 < x ≤1时，由f (x)≤4可得−x + 4≤4，则得x ≥0，故0≤x ≤1；
当x>1时，由f (x)≤4可得5 x−2≤4，则得x ≤6
5，故1< x ≤6
5 .
综上可得：f (x)≤4的解集为[0, 6
5 ].
（2）由（1）可得M =[0, 6
5 ]，依题，t =1，即a+b=1，则(a+1)+(b+2)= 4因a>0,b>0，
由1
4 [(a+1)+(b+2)](
2
a+1 +
8
b+2 ) = 1
4 [10+ 2(b+2)
a+1
+ 8(a+1)
b+2
] ≥1
4 [10+2❑√
2(b+2)
a+1
⋅8(a+1)
b+2
]
= 9
2，当且仅当2(a+1)=b+2时取等号，
由{
a+b=1
2(a+1)=b+2)可得{
a= 1
3
b= 2
3)
，即当a= 1
3，b= 2
3时，2
a+1 +
8
b+2取得最小值为9
2.
