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专题03 三角函数中范围问题
题型01 与最值（极值）有关的范围问题
1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知
，
.若函数
，且在区间
上有极大值，无极小值，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】先求出
的值，将其带入
化简得正弦型函数，则依据题意结合函数图像性质即可求解.
【解析】因为
，
所以
，即
，
又
，所以
，故
，
所以
，
若
，则
，令
，
则
在区间
上有极大值，无极小值
在
上有极大值，无极小值，
1
则根据
图像性质可知
，
故选：D.
2．（2023·江苏镇江·三模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．若
在区间
上为增函数，则实数
的取值范围是
B．若
在区间
上有两个零点，则实数
的取值范围是
C．若
在区间
上有且仅有一个极大值，则实数
的取值范围是
D．若
在区间
上有且仅有一个最大值，则实数
的取值范围是
【答案】AC
【解题思路】由
求出
的范围，然后根据正弦函数的性质对每个选项逐一判断即可.
【解析】当
时，
，
对于A，若
在区间
上为增函数，则
，解得
，故正确；
对于B，若
在区间
上有两个零点，则
，解得
，故错误；
对于C，若
在区间
上有且仅有一个极大值，则
，解得
，故正确，
对于D，若
在区间
上有且仅有一个最大值，则
，解得
，故错误，
故选：AC
2
3．（2025·全国·二模）已知函数
的部分图象如图所示，图象与
轴的交点为
，且
在区间
上恰有一个极大值和一个极小值.
(1)求
的值及
的取值范围；
(2)若
是整数，将
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，求
的最大
值.
【答案】(1)
，
；
(2)2
【解题思路】（1）将
代入解析式，求出
，并求出
，数形结合得到不等式，
求出
的取值范围；
（2）在（1）基础上，得到
，求出平移后的解析式，得到
，结合
求出最
大值.
【解析】（1）将
代入解析式得
，
又
，故
，又
，当
时，
，
因为
在区间
上恰有一个极大值和一个极小值，
故
，解得
；
3
（2）
是整数，又
，故
，所以
，
的图象向右平移
个单位长度得到
，
所以
，
，
又
，故当
，即
时，
取得最大值，最大值为
.
4．（2026·江苏南通·一模）已知函数
，且
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得
存在，并求
的取值范围．
①函数
在区间
上只有最大值，没有最小值；
②函数
在区间
上恰有4 个零点：
③函数
在区间
上单调递增．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解题思路】（1）由
求出
，令
，则
，利用诱导公式及二倍角
公式求解；
（2）设
的周期为
，分别由①②③判断相应
范围，判断选①和③；由①③分别求
范围，取其交集.
4
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
．
当
时，
，
因为
，所以
．
令
，则
，
所以
，
所以
．
（2）对于①：因为
，所以
，则
，解得
；
对于②：因为
，所以
，则
，解得
；
对于③：因为
，所以
，则
，解得
；
因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③．
由
，得
，
即
的取值范围是
．
5．（2026·山东青岛·模拟预测）（多选）已知函数
在区间
上有且只有三个零点，
则（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的最大值为1
5
C．
的取值范围是
D．
有两个极大值点
【答案】BD
【解题思路】先求出整体角
的范围，作出
的图象，根据题意即可求得
，判断C 项；
取
，得
，利用周期定义检验判断A 项；利用函数在
上的图象即可判断B，D
项.
【解析】因
，设
，则
，作出函数
的图象如下：
要使函数
在区间
上有且只有三个零点，
需使
，解得
，故C 错误；
不妨取
，则
，
，
因
，故
不是
的一个周期，故A 错误；
又由图知，函数
在区间
上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D 正确.
故选：BD.
6．（25-26 高三上·广东揭阳·期中）若函数
在
上有最大值，则
的最小正周期为
___________，
的取值范围为___________.
【答案】
6
【解题思路】由最小正周期的计算公式及换元法和正弦函数的图象性质可得结果.
【解析】
的最小正周期
，
令
，当
时，
，
由函数
在
上有最大值，可转化为
在
上有最大值，
只需满足
，所以
的取值范围为
.
故答案为：
；
.
题型02 与单调性有关的范围问题
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数
在区间
上单调，则
的取值范围为______.
【答案】
【解题思路】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解.
【解析】当
时，
，依题意，
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
8．（2025·河南·模拟预测）将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不
变，得到函数
的图象，若
在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】利用正弦函数的单调性来确定参数
的取值范围.
【解析】
，则
．
7
由
，得
．
因为
在
上单调，所以
，得
．
故选：A.
9．（2025·福建·模拟预测）已知函数
，则下列选项不正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
关于点
中心对称
C．函数
的图象向左平移
个单位，得到的函数图象关于
轴对称
D．函数
在
上不单调，则
的取值范围为
【答案】D
【解题思路】由三角恒等变换化简函数
.求出函数的周期判断A 选项；求出函数对称中心判断B 选项；由函
数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断C 选项；求出其导函在对应区间上的值域，由题
意建立不等式组，解得
的取值范围判断D 选项.
【解析】函数
，
对于A 选项：∵
，∴
，A 选项正确；
对于B 选项：令
，解得
，∴
是函数的一个对称中心，B 选项正确；
对于C 选项：平移后的函数
，函数
图象关于
轴对称，C 选项
正确；
对于D 选项：
，当
时，
，
8
∴
，要想函数不单调，则
，∴
，D 选项不正确.
故选：D
10．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知函数
的最小正周期为
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．若直线
是
图象的一条渐近线，则
C．不存在
，使
为
图象的一个对称中心
D．若
在区间
内单调，则
的取值范围是
【答案】ABD
【解题思路】利用正切型函数的周期公式可判断A 选项；利用正切函数的渐近线方程可判断B 选项；利用正切型
函数的对称性求出
的表达式，结合赋值法可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可求出
的取值范围，结合
可得出
的取值范围，可判断D 选项.
【解析】对于A 选项，因为函数
的最小正周期为
，故
，A 对；
对于B 选项，由A 选项可得
，
令
，
，解得
，
，
因为
，所以
，B 对；
对于C 选项，若点
为
图象的对称中心，则
，
，
即
，
，当
时，
，C 错；
9
对于D 选项，若
在区间
内单调，
由
可得
，
所以
，
，
则
，
，即
，
，
记
，
，则
，
又所以
的取值范围
，D 对.
故选：ABD.
11．（2025·福建漳州·一模）已知
，若
在区间
上不单调，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】结合函数图像，根据函数单调性，分析
和
的取值范围，最后解不等式组即可.
【解析】画出函数
的部分图象如图所示，
因为
，所以
因为
在区间
上不单调，
10
所以
解得
故选：B.
12．（2025·辽宁·二模）已知函数
在区间
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】结合题设和函数的周期公式可得
，再根据余弦函数的性质可得
，进而求解即可.
【解析】由题可知
的最小正周期为
，因为
在区间
上单调，
所以
，则
，解得
，
当
时，
，
且
，
，
所以
，解得
，结合
，得
的取值范围为
．
故选：D．
题型03 与零点（根）有关的范围问题
13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
，
．若函数
有3 个不
同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．(0，1)
C．
D．
【答案】C
11
【解题思路】利用函数零点的意义变形并构造函数，作出函数图象，数形结合求出范围.
【解析】函数
，由
，得
，
令函数
，由函数
有3 个不同的零点，
得方程
有3 个不同的解，即直线
与函数
的图象有3 个交点，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递减，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，如图：
观察图象，当且仅当
时，直线
与函数
的图象有3 个交点，
所以
的取值范围是
.
14．（2026·河北张家口·一模）已知函数
，若
是
的解，且满足
，将函数
的图象向左平移
个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数
在
上
恰有2 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
12
【解题思路】根据最小距离可得
，再利用平移规则和函数奇偶性可求得
，根据函数
在
内恰
有2 个零点可限定出
范围，即可解得实数
的取值范围.
【解析】由
，即
，
可得
或
，
根据正弦函数图象性质可知
，解得
，
则
；
将函数
的图象向左平移
个单位可得
，
又
为偶函数，
则
，又
，可得
，
因此
；
当
时，可知
，
若函数
在
内恰有
个零点，可知
，
解得
，
所以实数
的取值范围为
.
15．（2026·河北·一模）已知函数
．
13
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，若
在
上有2 个零点，求实数
的取
值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解；
（2）利用三角函数图象变换法则求得
，将方程根的问题转化为函数
在
上的图象与
有两个交点，画出图像，数形结合求解即可.
【解析】（1）
，
所以
的最小正周期为
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
；
（2）由题可知，
，
当
时，
，由
得
，
由
得
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
14
令
，则
，即
，
又函数
在
上有2 个零点等价于函数
在
上的图象与
有两个交点，
在同一坐标系内作出直线
与函数
在
上的图象，如图，
观察图象知，当
时，直线
与函数
在
上的图象有两个交点，
所以实数
的取值范围是
．
16．（2026·河北承德·一模）已知把函数
（
）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变得到函数
的图象，若
在区间
上有三个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】求出
的解析式，再求出
的零点，再根据范围求得
的取值范围.
【解析】由题可知
，
令
，即
，即
，
所以
，或
，
解得
，或
，
15
则非负根从小到大依次为
，
，
，
，⋯，
又因为
在区间
上有三个零点，所以
，
解得
.
17．（25-26 高一上·甘肃兰州·期末）已知函数
，若
在区间
上恰有3 个零点，
则
的取值范围是_________.
【答案】
【解题思路】利用正弦型函数的零点性质，分析相位的范围，即可得到参数取值范围.
【解析】因为
，所以
,
由函数
零点等价于函数
的零点，
再结合正弦函数在区间
上恰有3 个零点，
则
，解得
，
故答案为：
18．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象向左平移
个单位长度后关于y 轴对称
D．若
在区间
上恰有一个零点，则实数m 的取值范围是
【答案】C
16
【解题思路】利用三角恒等变换将已知函数化为
的形式，再结合该函数的性质逐项分析判断即可.
【解析】
.
选项A：最小正周期
，故A 错误；
选项B：求
的单调递增区间：
令
，
，解得
，
，
所以区间
包含
（递增）和
（递减），故B 错误；
选项C：
的图象向左平移
个单位长度后得到：
，
为偶函数，图象关于
轴对称，故C 正确；
选项D：令
，即
，
则
，
，即
，
，
当
时，
；当
时，
；
若在区间
上恰有一个零点，则
，
所以实数
的取值范围为
，故D 错误.
故选：C.
19．（25-26 高三上·河北秦皇岛·期中）已知函数
．从条件①、条件②这两
个条件中选择一个作为已知，使函数
存在且唯一确定．
17
条件①，函数
的图象关于
对称，且在区间
有且只有一个最大值和一个最小值；
条件②，函数
在区间
内无极值点，且
，
恒成立．
(1)求
的值；
(2)若不等式
在区间
内有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【解题思路】（1）先化简函数解析式，若选择①，由对称得到方程
，接着结合题设和正
弦函数性质得到不等式
，由所得方程和不等式即可分析计算求解；若选择②，由题设即可得到函
数周期，由周期公式即可求解；
（2）先解不等式
得到
， 再结合
即可分析计算求解.
【解析】（1）函数
，
若选择①，因为函数
的图象关于
对称，
所以
，解得
，
因为
，所以
，
若函数
在区间
有且只有一个最大值和一个最小值，
则
，解得
，即
，则有
，
又
，所以
，所以
，函数
存在且唯一确定，
18
若选择②，设函数
的最小正周期为
，
因为
在区间
内无极值点，且
，
，
所以
，即
，
，所以函数
存在且唯一确定，
综上，函数
存在且唯一确定，
；
（2）由（1）得
，
所以不等式
，即
，
所以
，即
，
因为
，
，
则当
时，
，即
，
所以要使得不等式
在区间
内有解，则
，
所以实数
的取值范围为
.
20．（2026·山东德州·一模）（多选）函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
19
B．
的图象关于点
对称
C．函数
在区间
上单调递增
D．若
在区间
上恰有一个最大值2 和一个最小值
，则实数
的取值范围为
【答案】ABD
【解题思路】根据周期以及最值可得
，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解
函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D.
【解析】由图可得
，函数的最小正周期
，又
，所以
，
则
，由
，得
，
，
解得
，
，又
，所以
，故A 正确；
由上分析，得故
，因为
，
故函数
的图象关于点
对称，故B 正确；
令
，
，解得
，
，
故函数
的单调递增区间为
，
令
，
，解得
，
，
故函数
的单调递减区间为[kπ+π
6 ,kπ + π
3 ]，
，
则函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，故C 错误；
20
当
时，则
，
要使
在区间
上恰有一个最大值2 和一个最小值
，
需使
，解得
，故D 正确.
故选：ABD.
题型04 与对称轴（中心）有关的范围问题
21．（2025·湖南常德·模拟预测）已知
是函数
的极大值点，若
在
有
两个零点和三条对称轴，则a 的取值范围为_____
【答案】
【解题思路】根据极值点及已知可得
，则
，结合正弦型函数的性质及区间零点和对称轴
有
，即可得.
【解析】因为
是
的极大值点，
所以
，
，即
，
又
，故
，所以
，
当
时，
，在
有两个零点和三条对称轴，
所以
，解得
.
故答案为：
22．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知函数
，其图象距离
轴最近的
21
一条对称轴方程为
，最近的一个对称中心为
，则（ ）
A．
B．
的图象上的所有点向右平移
个单位长度得到函数
的图象
C．
的图象在区间
内有3 个对称中心
D．若
在区间
上的最大值与最小值分别为
，则
的取值范围是
【答案】BD
【解题思路】A 选项，根据题意得到函数最小正周期，进而得到
，代入对称轴方程，求出
；B 选项，
在A 选项基础上，利用平移法则得到B 正确；C 选项，区间
是函数的一个周期，而
，故
在此区间内有2 个对称中心，C 错误；D 选项，根据
的位置，结合函数
对称性和三角恒等变换得到
的最值.
【解析】A 选项，
的最小正周期为
，
因为
，故
，解得
．
由题意得
，即
．又
，
所以令
，得
，A 错误；
B 选项，由A 可得
，将其图象上的所有点向右平移
个单位长度，
得到
的图象，B 正确；
22
C 选项，因为
，又
，所以区间
是函数的一个周期，
而
，故
在
仅有两个零点，
即有2 个对称中心，C 错误；
D 选项，由
，得
，
即
图象的对称轴为
．
的最小正周期为
，由对称性可知，
当
与
关于直线
对称时，
取得最小值，
由
得
，
此时
．
当
为偶数时，最小值为
，最大值为
；
当
为奇数时，最大值为
，最小值为
，
故
的最小值为1；
当
或
时，
函数
在
上单调，此时
取得最大值，
，
当
或
时等号可以成立，所以
的取值范围为
，D 正确．
23
故选：BD
23．（2025·山西晋中·模拟预测）（多选）将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来
的
，纵坐标不变，所得图象恰有一条对称轴和一个对称中心在区间
内，则（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
在区间
内有两个极值点
C．直线
是曲线
的一条切线
D．
的取值范围为
【答案】ACD
【解题思路】对
化简，根据三角函数的性质判断A，B；对
求导，令
，判断C；根据变换后图
象恰有一条对称轴和一个对称中心在区间
内，得
，判断D.
【解析】
对于A，当
，
，根据正弦函数图象知
在区间
上单调递增，故A 正确；
对于B，
，即
，当
时，
，
24
当
时，
，当
时，
，
在区间
内有一个极值点，故B 错误；
对于C，
，令
，
则
或
，
即
或
，
取
，则
，所以函数
在
处的切线方程为
，故C 正确；
对于D，将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，
得
，所得图象恰有一条对称轴和一个对称中心在区间
内，
则
，
，则
，即
，故D 正确；
故选：ACD.
24．（2025·四川巴中·二模）（多选）已知函数
在区间在区间
上有且仅有3 条对称
轴，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．
在区间
上有且仅有2 个不同的零点；
B．
的最小正周期可能是
；
C．
的取值范围是
；
D．
在区间
上单调递减
【答案】BD
【解题思路】由已知结合余弦函数的对称性可得
的取值范围，从而判断C；再根据余弦函数的零点、周期性、
单调性结合
的取值范围分别检验即可判断A,B,D．
25
【解析】
的对称轴方程为
，
已知
在
上有且仅有3 条对称轴，
当
时，
时，
时，
时，
，
因为
上有且仅有3 条对称轴，所以
，解第一个不等式得
，解第二个不等式得
，即
，故C 不正确；
令
，则
，
当
时，
时，
时，
时，
，
因为
，当
时，
,
在
上有3 个零点，故A 错误；
根据周期公式
，当
时，
在
范围内，所以
的最小正周期可能是
，故B 正
确；
当
时，
，因为
，则
，
由于
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，故D 正确.
故选：BD.
25．（24-25 高三上·天津和平·期末）已知函数
的两条相邻对称轴之间的距离为
，现
将
图象向右平移
后得到函数
的图象，若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
26
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】由两条相邻对称轴之间的距离可得
周期，即可得
，由平移性质即可得
，再借助正弦型函
数单调性计算即可得解.
【解析】由函数
的两条相邻对称轴之间的距离为
，则有
，
则
，又
，则
，
则
，
当
时，
，
由函数
在区间
上单调递增，则有
，
则有
，解得
，
则当
时，
，又
，故
.
故选：B.
26．（2025·湖南长沙·一模）（多选）已知函数
的定义域为
，集合
，则（ ）.
A．若
，则
.
B．若
，且
，则
的图象在
上存在对称轴.
C．若
，且
在
上单调，则
的取值范围是
.
27
D．若
中恰有3 个不同元素，则
.
【答案】ACD
【解题思路】根据函数解析式结合角的值化简计算判断ACD，用
时举反例判断B 选项.
【解析】
的定义域为
，
对于A：当
时，
，
令
得
，所以当
时
，与
矛盾，
所以不存在
使
，所以
，故A 正确；
对于B：当
时，取
，则
，
，
若
的图象在
上存在对称轴，则对称轴必为
，则必有
，
又
与
矛盾，故B 错误，
对于C：当
时，
的单调递增区间是
，
则
，故C 正确；
对于D：若
中有3 个不同元素，则方程
在
上恰有3 个不同实根，
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
强化训练
1．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数
满足对任意的
，都存在实数
，使得
28
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】应用余弦函数的值域结合题意转化任意及存在为最值列式求解参数.
【解析】对于函数
，对任意固定的
取遍一切实数，
．
要存在
使得
，只需
．
该条件需对一切
成立，故
不小于
的最大值，即
．
因此
的取值范围是
．
故选：B.
2．（2026·重庆·一模）已知函数
，且对任意的
，都存在
，使得
恒成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】利用导数求出
，记
，然后求出
即可得解.
【解析】因为
，所以
在
上单调递增，
所以
，记
，
因为函数
，且对任意的
，都存在
，使得
恒成立，
所以
，又
，所以
.
故选：A
29
3．（25-26 高三上·广东·月考）已知函数
的图象是由
的图象
向右平移
个单位得到的．若
在
上仅有一个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】将问题化为函数
在
上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零
点在区间
上，第二个正零点大于
列不等式组求解可得.
【解析】由题知，函数
在
上仅有一个零点，
所以
，所以
，
令
，得
，即
.
若第一个正零点
，则
（矛盾），
因为函数
在
上仅有一个零点，
30
所以
，解得
.
故选：A
4．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图
象，若
，总存在唯一实数
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】利用三角函数图象变换得出
，由
求出
的取值范围，由
求得
，结合题意得出关于
的不等式，解之即可.
【解析】由三角函数的图象变换可得
，
当
时，
，则
，
因为
，则
，
因为
，总存在唯一实数
，使得
，
当
时，
，
由题意可知
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：B.
31
5．（2026·河南许昌·模拟预测）（多选）将函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，若
是偶函数，则（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递增
D．函数
在
上的所有零点之和为
，则
的取值范围是
【答案】BC
【解题思路】先由平移变换得
，再
是偶函数，得
，进而可得
及
，再结合三角恒等变换得
，根据正弦函数的性质可判断BC 选项，对
D，将函数的零点转化为函数
与
图象在
上的交点的横坐标，进而转化为函数
在
与
交点的横坐标，从而可判断结果.
【解析】因为函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，
所以
，又因为
是偶函数，
所以
，得
，即
，
32
再由
，所以
，所以A 错误；
对于B，因为
，所以
，
所以函数
的图象关于点
对称，B 正确；
对于C，因为
，
所以
，
因为
，所以
，函数
在
单调递增，C 正确；
对于D，因为
，
所以函数
在
上的零点，转化为函数
与
图象在
上的交点的横坐标，
令
，所以函数
在
有两条对称轴
和
，如图：
当
时，函数
与
有两个交点，且关于
对称，
即
，所以
，得
.
当
时，函数
与
有3 个交点，
，
33
，所以
，得
.
所以函数
在
上的所有零点之和为
，则
，D 错误.
6．（2026·江苏镇江·模拟预测）（多选）已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象向左平移
个单位长度后关于
轴对称
D．若
在区间
上恰有一个零点，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【解题思路】利用三角恒等变换将已知函数化为
的形式，再结合三角函数的性质逐项分析判断即
可.
【解析】
，
对于A，
的最小正周期
，故A 正确；
对于B，令
，
，解得
，
所以区间
包含
单调递增区间和
单调递减区间，故B 错误；
对于C，
的图象向左平移
个单位长度后得到：
，
为偶函数，图象关于
轴对称，故C 正确；
对于D，令
，即
，得
，
，即
，
，
34
当
时，
，当
时，
，
若
在区间
上恰有一个零点，则
，
则实数
的取值范围为
，故D 正确.
故选：ACD.
7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数
的图象如图所示，则下列说法中正确的是
（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象
D．若方程
在
上有2 个不相等的实数根，则
的取值范围是
【答案】BC
【解题思路】根据图象可确定
，判断A 的真假；利用
可验证B 的真假；利用函数的平移变换结合诱
导公式，可判断C 的真假；利用换元法，结合函数图象可求
的取值范围，判断D 的真假.
【解析】由题意：
，
，
又
，所以
，
，故A 错误；
35
对B：因为
，所以
，所以函数
的图象关于点
对称，
故B 正确；
对C：将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得：
，故C 正确；
对D：
，当
时，
.
设
，
，若要
在
上有两个不相等的实数根，
由下图可知：
，故D 错误.
8．（2025·四川德阳·一模）（多选）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是函数
最小正周期为
的充要条件；
B．
的最大值是
；
C．若
在
单调递增，则
的取值范围是
；
D．若
在
单调递增，在
单调递减，则
的取值范围是
.
【答案】BCD
【解题思路】由三角函数周期公式依次分析充分性和必要性即可判断A；利用诱导公式、平方和公式和二次函数
36
性质直接计算即可求解判断B；由变量范围和正弦函数单调性列不等式
计
算即可求解判断C；由函数单调性结合正弦函数的单调性和周期列方程和不等式即可求出
范围判断D.
【解析】
时，
，函数
最小正周期为
，充分性成立，
当函数
最小正周期为
时，
，必要性不成立，
所以
是函数
最小正周期为
的充分不必要条件，A 错误；
，
所以
的最大值是
，B 正确；
若
，则
时，
，
因为
在
单调递增，所以
，
解得
，
，又
，所以
，
，
解得
，
，
所以
，则
，故
的取值范围是
，C 正确；
若
，
因为
，
在
单调递增，在
单调递减，
37
所以
，
且
，
所以
，即
的取值范围是
，故D 正确.
故选：BCD
9．（2025·福建厦门·二模）（多选）已知函数
的图象如图所示，下列
说法正确的是（ ）
A．函数
的一个对称中心是
B．
C．将函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，再向右平移
个单位长度，可得到函
数
的图象
D．函数
在
上有5 个零点，则
的取值范围为
【答案】BC
【解题思路】根据图象求得函数解析式，再根据正弦型函数的图象与性质逐项判断即可.
【解析】由题图可知，
，所以
，所以
，
38
由
，得
，
由
，解得
，所以
．
对于A，令
，则
，
,故A 错误；
对于B，
，
，故B 正确；
对于C，函数
变换后的解析式为
，因为
，即为函数
，故C 正确；
对于D，因为
，得
，令
，则
，
由正弦函数图象可知，
，解得
，故D 错误．
故选：BC
10．（2026·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数
的最小正周期为
，下列说法正确
的是（ ）
A．
B．
与
有相同的对称中心
C．
的图象可以由
的图象向右平移
个单位长度得到
D．若
在区间
上存在极大值点和极小值点，则实数m 的取值范围为
【答案】BC
39
【解题思路】根据已知条件求出函数解析式，再根据诱导公式及二倍角公式分析判断A，B，C 选项；结合已知条
件及函数图象分析判断选项D.
【解析】由题意知，
，又
，所以
，所以
.
选项A:
，故A 错误；
选项B：
，所以
与
有相同的对称中心，故B 正确；
选项C：
，
向右平移
个单位长度，可得
，故C 正确；
选项D：由
，得
，
因为
在
上有极大值点和极小值点，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
，故D 错误.
故选：BC.
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量
，
，
，记函数
．若
在
上单调递增，则
的取值范围为______．
【答案】
40
【解题思路】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求解即可.
【解析】
.
因为
，所以
时，
，
因为
在
上单调递增，所以
，
，
解得
，
.
又
，所以当
时，
，当
时，
范围不符合题意.
综上
的取值范围为
.
12．（25-26 高三上·广东·期末）已知函数
，若
在区间
上的值域为
，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解题思路】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数
，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.
【解析】由题可得
，
当
时，
，又
，
，
41
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，而
的值域为
，
所以
，得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
13．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数
，关于
的方程
有6 个不同的实数根，则
的取值范围为_______________.
【答案】
【解题思路】问题化为
上
有4 个不同实根，且
有2 个不同实根，结合正弦函
数的图象得
，即可得.
【解析】
共有6 个不同的实根，
由
，则
有4 个不同实根，且
有2 个不同实根，
根据正弦函数的图象知
，可得
.
故答案为：
14．（25-26 高一上·山东济南·月考）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)当
时，关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围．
42
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)
【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简
的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）化简
，参变分离，可得
，换元，即令
，则求
在
上的最小值，即可求得答案.
【解析】（1）由题意，
．
求单调递减区间：
由
，得
，
求单调递增区间：
由
，得
．
所以函数
的单调递增区间为
，
单调递减区间为
．
（2）由题意，当
时，关于
的不等式
有解，
即不等式
有解;
因为当
时，
，所以
有解，
只需要
即可．
而
．
43
令
，则
在
上单调递减，
所以当
时，
，即
，
所以实数
的取值范围为
．
44
