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专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
三、专项训练........................................................7
一、必备秘籍
实根问题，换元法令
将函数
化简为
，在利用正弦函数
的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】因为
向左平移
个单位所得函数为
，
所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
1
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考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为.
故选：C.
2．（2023·浙江·校联考二模）函数
的图象向左平移
个单位长度后对应的函
数是奇函数，函数
．若关于x 的方程
在
内有两个不同的解α，
β，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
的图象向左平移
个单位长度后，
所得函数的解析式为
，
因为所得函数为奇函数，所以
，
则有
，
因为
，所以
，
所以
，
2
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，
因为
，所以
，
所以由
，
可得
，
所以
，且
，
则
，
所以
，
故选:B.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
满足
，若
在区间
上恰有3 个零点，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知，
的最小正周期
，
因为
，可知
为
的一条对称轴，
所以
在
之后的零点依次为
，
，
，
，
…，
若
在区间
上恰有3 个零点，所以
.
故选：C.
4．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于
的方程
在
上有实数解，则实数
的取值范围是 .
【答案】
3
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【详解】原方程
等价于
即函数
，
在
上有交点，
∵
，∴
，
，故
，
则
.
故答案为：
5．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）将函数
图象上各点的横坐标变为原来的
倍，然
后再向右平移
个单位得到函数
的图象，则
的解析式为 ；若方程
在
的解为
、
，则
.
【答案】
【详解】将函数
图象上各点的横坐标变为原来的
倍，然后再向右平移
个单位得到函数
的图象，则
，
当
时，
，
由题意可得
，即
，
4
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令
，得
，可得函数
的图象关于直线
对称，
，所以，
，且
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：
；
.
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知函数
，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标
相差
，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数
的图象向左平移
个单位长
度后得到的图象关于y 轴对称且
；②函数
的图象的一个对称中心为
且
.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若
函数
在区间
上恰有3 个零点，求t 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差
，故
,
5
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故
.
若选①，函数
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象对应的函数为
，
由题意知该函数为偶函数，故
，
由于
且
，即
，故
，
故
；
若选②，函数
的图象的一个对称中心为
且
，
则
，
由于
且
，即
，故
，
故
；
（2）由题意可得
，
由于
在区间
上恰有3 个零点，故
，
即
.
7．（2023 秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70 中校考阶段练习）已知函数
（其中
）的部分图像如图所示，将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图
象．
(1)求
与
的解析式；
(2)令
，求方程
在区间
内的所有实数解的和．
6
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【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）由图可知，
，
函数
的周期
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
因为将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，
所以
；
（2）
，
由
，
得
，
因为
，所以
，
所以
或
或
或
，
所以
或
或
或
，
7
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所以方程
在区间
内的所有实数解的和为
．
三、专项训练
1．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数
图象所有点的纵坐标伸长到原来
的
倍，并沿x 轴向左平移
个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到
的图象．若
的图象关于点
对称，则函数
在
上零点的个数是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】将
图象所有点的纵坐标伸长到原来的
倍，得到
的图象，
继续沿x 轴向左平移
个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到
的图
象，
∵
的图象关于点
对称，得
，
．
又∵
，∴
，∴
．
令
，当
时，有
，
由
，可得
，
，
结合函数
的图象可得，
在
上只有2 个解，
即函数
在
上零点的个数是2．
故选：B.
8
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2．（多选）（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数
，把函
数的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，若
时，方程
有实根，则实
数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】因为
，
将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，
则
，
当
时，
，则
，
由
得
，可得
，所以，
，解得
，
故选：CD.
3．（多选）（2023·福建三明·统考三模）已知函数
的图象
与直线
的相邻两个交点的距离为
，且对于任意
，不等式
恒成立，则（ ）
A．
B．
的取值范围为
C．
在区间
上单调递增
D．若实数
使得方程
在
恰有
，
，
三个实数根，则
的最小值为
9
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【答案】AC
【详解】由题意，
，
，
图象与直线
相邻两个交点的距离为
，
最小正周期
，
，A 正确．
此时，
，
当
时，
，又
，
，
，
对
，不等式
恒成立，
，解得
，故B 错误．
对于
，当
时，
，
，
，
．
所以
，
在此区间上单调递增，故C 正确．
对于
，令
，则当
时，
，作出
在
上的图象，如图所示，
设
与图象的交点横坐标从左至右依次为
，
，
，
由图可知：
，
关于
对称，
，
关于
对称，
故
，
，
．
又
，
，
，
10
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所以
，
由
可得，
，
即
的最小值为
，D 错误．
故选：AC．
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，若
在区间
上有且仅有一个零点，则实数m 的一个取值为 .
【答案】
（答案不唯一）
【详解】由题设
，
在
，则
，要使
在区间
上有且仅有一个零点，
所以
，即
，故
满足要求.
故答案为：
（答案不唯一）
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知
，当
（其中
）时，
有且只有一个解，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由于
，
所以
有且只有一个解，即
有且只有一个解，
因为
，所以
，
由题意知
，解得
，
即
的取值范围是为
，
故答案为：
11
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6．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数
的部分图象如图所
示．
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
函数
的图象，若关于
的方程
在
上有两个不等实根
，求实数
的取值范围，
并求
的值．
【答案】(1)
(2)
，
【详解】（1）由图可知，
，
∵
，
∴
，∴
，
又
，
∴
，
，∴
，
由
可得
，
∴
；
（2）将
向右平移
个单位得到
，
再将所有点的横坐标缩短为原来的
，得到
，
12
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令
，则
，
易知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，∴
；
由对称性可知
，
∴
，∴
，
∴
．
7．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数
（
，
）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数
的解析式的两个作为已知.
条件①：函数
的最小正周期为
；
条件②：函数
的图象经过点
；
条件③：函数
的最大值为
.
(1)求
的解析式及最小值；
(2)若函数
在区间
（
）上有且仅有1 个零点，求的取值范围.
【答案】(1)选择①②
，
的最小值为
；选择①③
，
的最小
值为
(2)选择①②
；选择①③
【详解】（1）由题可知，
，
选择①②：
因为
，所以
，
又因为
，所以
．
所以
．
13
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当
，即
时，
，
所以函数
的最小值为
．
选择①③：
因为
，所以
，
又因为函数
的最大值为
，所以
．
所以
，
当
，即
时，
．
所以函数
的最小值为
．
选择②③：因为
，所以
．
又因为函数
的最大值为
，所以
，与
矛盾，不符合题意．
（2）选择①②：
因为
,
，所以
，
又因为
在区间
（
）上有且仅有1 个零点，
所以
，所以
，所以
．
选择①③：
因为
,
，所以
，
又因为
在区间
（
）上有且仅有1 个零点，
又
时，
或
，
所以
，所以
，所以
．
8．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数
.
(1)若方程
在
上有且只有一个实数根，求实数m 的取值范围；
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【答案】(1)
或
；
【详解】（1）依题意，
，
当
时，
，则当
时，
单调递增，函数值从
增大到2，
当
时，
单调递减，函数值从
减小到
，
方程
在
上有且只有一个实数根，即直线
与函数
在
的图象只有一
个公共点，
在同一坐标系内作出直线
与函数
在
的图象，如图，
观察图象，当
或
时，直线
与函数
在
的图象只有一个公共点，
所以实数m 的取值范围是
或
.
9．（2023 秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知曲线
（
，
）相邻的两条对
称轴之间的距离为
，若将函数
的图象先向左平移
个单位，再向下平移个单位，得到函数
的
图象，且
为奇函数.
(1)求函数
的的解析式和其图象的对称中心；
(2)若关于
的方程
在区间
上有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；对称中心为
，
(2)
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【详解】（1）由题意可知
，∴
，∴
，
将函数
的图象先向左平移
个单位，再向下平移个单位后得到的新函数为：
，
又
为奇函数，且定义域为
，
∴
且
，
，
，
∴
，
，∴
，
令
，
，解得
，
，
∴
的对称中心为
，
.
（2）由（1）可知
，设
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
由关于
的方程
在区间
内有两个不相等的实数根，
可得
在区间
内仅有一个实数根，且另一个根不等于1 或在
内有两个相等的根，
令
，则
，
故
或
，解得
或
.
所以
.
10．（2023 秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数
(1)求函数
在区间
上的单调递减区间；
(2)将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数
的图象.当
时，方程
恰
有三个不相等的实数根
、
、
，求实数
的取值范围和
的值.
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【答案】(1)
(2)
，
【详解】（1）解：
，
因
，则
，
又
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
可得
，
即函数
在区间
上的单调递减区间为
.
（2）解：将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位，
可得到函数
的图象，
再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），可得到函数
的图象，
再将所得图象向上平移个单位，可得到函数
的图象，
当
时，
，令
，
则
，令
，
令
，可得
，其中
，
作出函数
与函数
在
时的图象如下图所示：
17
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由图可知，当
时，函数
与函数
在
时的图象有三个交点，
设
，其中
，
则点
与点
关于直线
对称，点
与点
关于直线
对称，
所以，
，
，则
，
所以，
，解得
.
11．（2023 秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知函数
相
邻两条对称轴的距离为
，将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，且
的图象
关于原点对称．
(1)求
；
(2)设函数
，当
时，方程
有且仅有两个实数根
，求实数
的取值
范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解，因为函数
相邻两条对称轴的距离为
，可得
，即
，
所以
，即
，
将函数
的图象向右平移
个单位长度，
18
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可得
，
因为
的图象关于原点对称，所以
，
又因为
，所以
，所以
．
（2）解：由（1）可知，
，
因为
，所以
，
当
时，即
，可得
，
当
时，即
，可得
，
当
时，即
，可得
，
要使得
有且仅有两个实数根，即
和
的图象有两个不同的交点，
如图所示，可得
，即实数
的取值范围是
．
12．（2023 秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知
，其中
，
，
，且满足
，
．
(1)求
的解析式；
(2)若关于
的方程
在区间
上总有实数解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
19
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(2)
．
【详解】（1）由题意，函数
，
由
得，
，
又因为
，
由
，得：
，
所以
，
所以
的解析式为：
.
（2）由（1）得
，
因为
，所以
，
所以
，则有
，
即
又因为方程
在区间
上总有实数解，
所以
在区间
上成立，
所以
，
，
所以
，
所以实数
的取值范围为
.
13．（2023 春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
的解析式及对称轴方程；
(2)若关于x 的方程
在
上有两个不等实数解
，
.
①求实数m 的取值范围；
②求
的值.
20
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【答案】(1)
，对称轴方程
(2)①
；② 0．
【详解】（1）
，
的最小正周期为
，
，
，解得
，
故
；
由
，解得
的对称轴方程
.
（2）①
，即
，
关于
的方程
在区间
上有相异两解
，
，
则函数
与
的图象在区间
上有两个交点，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
在
上的图象如图：
由图象可知，若函数
与
的图象在区间
上有两个交点，
则
，
故实数
的取值范围为
；
②由（1）和正弦函数的对称性可知，
与
关于直线
对称，
21
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则
，解得
，
故
．
14．（2023 秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数
．
(1)求
的最小正周期．
(2)求
的单调递增区间．
(3)若关于
的方程
在
上有解，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为
(2)
．
(3)
【详解】（1）函数
故函数的最小正周期为
．
（2）令
，解得
，
∴单调递增区间为
．
（3）因为
，
所以
，
所以
，
所以
的值域为
，
关于
的方程
在
上有解，
则关于
的方程
在
上有解，
所以
，
22
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所以
，
所以实数
的取值范围是
．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量
，函数
，
．
(1)当
时，求
的值；
(2)若
的最小值为﹣1，求实数m 的值；
(3)是否存在实数m，使函数
，
有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值
范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）
，
当
时，
，
则
；
（2）∵
，
∴
，
∴
，
则
，
令
，则
，
则
，对称轴
，
23
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①当
，即
时，
当
时，函数取得最小值，此时最小值
，得
（舍），
②当
，即
时，
当
时，函数取得最小值，此时最小值
，得
或
（舍去），
③当
，即
时，
当
时，函数取得最小值，此时最小值
，得
（舍），
综上：若
的最小值为﹣1，则实数
．
（3）令
，得
或
，
∴方程
或
在
上有四个不同的实根，
则
，解得
，则
，
即实数m 的取值范围是
．
16．（2023 秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考开学考试）已知函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)方程
在
上的两解分别为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
24
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，
由
，得
，
所以
的单调递增区间为：
.
（2）设
，则
，
由于正弦函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
由
，得
，
因为方程
在
上的两解分别为
，
则
，必有
，
所以，
，同理
，
，
由于
且
，则
，
由
，可得
.
17．（2023 春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）已知函数
为奇函数，且
图象的相邻两对称轴间的距离为
.
(1)求
的解析式；
(2)当
时，求
的单调递减区间；
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(3)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图象，记方程
在
上的根从小到大依次为
，试确定
的值，并求
的值.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
(3)
，
【详解】（1）由题意得
，
因为
图象的相邻两对称轴间的距离为
，
所以
，
，
又由
为奇函数，可得
，
，此时
为奇函数，符合题意，
函数
；
（2）令
，解得
，
则
的单调递减区间为：
，
又
，可得
的单调递减区间为
；
（3）将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到
的图象，
再把横坐标缩小为原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图象，则
，
故
，即
，
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，可得
，
设
，其中
，即
，
结合正弦函数
的图象：
可得方程
在区间
有5 个解，即
，
其中
，
即
，
，
解得
，
所以
.
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