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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题22 平面向量第一缉
1．【2021 年福建预赛】如图,在四边形ABCD 中,已知cos∠BAD = 3
4 ,∠BAC =∠DAC , AD< AB ,且
AB =5 ,
AC = BD = ❑√14 . 若⃑AC = λ⃑AB+ μ⃑AD ( λ , μ∈R) ,则λ+ μ=
.
【答案】7
5
【解析】在△ABD 中由余弦定理，得B D
2= A B
2+ A D
2-2 AB⋅AD⋅cos∠BAD.
所以,14 =25+ A D
2-2⋅5⋅AD⋅3
4
.
解得,AD =2 ,或AD = 11
2
(由AD< AB =5 ,舍去).
因此,AD =2 .
解法一：如图，在AB 上取点E ,使得AE =2. 连接DE,交AC 于点F.
则由AC 为∠BAD 的平分线知,AF ⊥DE , F 为DE 中点.
在△ADE 中由余弦定理,得D E
2=2
2+2
2-2⋅2⋅2⋅3
4 =2 .
所以,AF = ❑√A E
2-(
1
2 DE)
2
= ❑√4 - 1
2 =
❑√14
2
= 1
2 AC .
2 / 17
所以,⃑AC =2⃑AF =⃑AE +⃑AD = 2
5⃑AB+⃑AD .
所以,λ = 2
5 , μ=1, λ+ μ= 7
5
.
解法二:由AC 平分∠BAD ,可设⃑AC =m(⃑
AB
|⃑AB| +⃑AD
∣⃑AD) (m>0) .
因此,⃑AC =m(⃑
AB
5 +⃑AD
2 )
,⃑
AC
2=m
2⋅(⃑
AB
5 +⃑AD
2 )
2
=m
2⋅(⃑
AB
2
5
2 +2⋅⃑AB
5⃑
AD
2 +⃑AD
2
2
2 )
=m
2⋅(1+2⋅cos∠BAD+1)= 7
2 m
2 .
又AC = ❑√14 ,
所以,7
2 m
2=14 , m=2,⃑AC =2(⃑
AB
5 +⃑AD
2 )= 2
5⃑AB+⃑AD .
所以,λ= 2
5 , μ=1, λ+ μ= 7
5
.
2．【2021 年重庆预赛】已知点H 是△ABC 的垂心，且满足⃑HA +2⃑HB+6⃑HC =⃑0 ,则角B =
【答案】π
3
【解析】由于点H 是△ABC 的垂心，则：
tan A ⋅⃑HA + tan B⋅⃑HB+ tanC ⋅⃑HC =⃗0 ,所以tan A = tan B
2
= tanC
6
.
又tan A ⋅tan B⋅tanC = tan A + tan B+ tanC ,所以tan B = ❑√3 ,即B = π
3
.
3．【2021 年浙江预赛】已知单位向量⃗a,⃗b ,则|⃗a-2⃗b| 的取值范围为
.
【答案】1≤|⃗a-2⃗b|≤3
【解析】|⃗a-2⃗b|=
❑√5- 4⃗a⋅⃗b, -1≤⃗a⋅⃗b≤1
, 所以 1≤|⃗a-2⃗b|≤3 .
4 ．【2021 年广西预赛】已知⃗m 为非零向量，⃗n 为单位向量,⃗m≠⃗n,⃗m 与⃗m-⃗n 的夹角为
3 / 17
60
°,|⃗m|∈(0,a] ,则a
的最小值为
.
【答案】2
❑√3
【解析】在△ABC 中设⃑CA =⃗m,⃑CB =⃗m-⃗n ,则⃑BA =⃗n.
设AD 为△ABC 的外接圆的直径.则|⃑AD|= 2
❑√3 ,|⃗m|=|⃑CA |≤|⃑AD∣= 2
❑√3
,
(当AC 为外接圆的直径时取等号）.
5 ．【2021 年新疆预赛】己知A,B,C 为圆O¿ 为坐标原点) 上不同的三点, 且∠AOB = 2π
3
, 若⃑
OC = λ⃑OA + μ⃑OB( λ , μ∈R) ，则当ω= ❑√3 λ+ λ+ μ 取最大值时，λ
u =
.
【答案】
❑√3+1
2
【解析】要使(❑√3+1)λ+ μ 最大，则λ>0, μ>0 所以C 必在劣弧´AB 内，不妨设半径为1,如图所示,
以O 为原点，⃑OA 方向为x 轴建立平面直角坐标系，并设<⃑OA ,⃑OC >=θ ,θ∈(0, 2π
3 )
,
则A(1,0),B(- 1
2 ,
❑√3
2 ),C(cosθ ,sinθ) ,
故:(cosθ ,sinθ)=⃑OC = λ⃑OA + μ⃑OB = λ(1,0)+ μ(- 1
2 ,
❑√3
2 )=(λ - μ
2 ,
❑√3
2 μ)
①
所以λ - μ
2 =cosθ ,
❑√3
2 μ=sinθ ，
4 / 17
解得μ= 2sinθ
❑√3
, λ =cosθ+ sinθ
❑√3
，
故：(❑√3+1)λ+ μ=(❑√3+1)sinθ+(❑√3+1)cosθ =(❑√6+ ❑√2)sin(θ+ π
4)
,
而θ∈(0, 2π
3 )
,故θ+ π
4 ∈(
π
4 , 11π
12 )
故当θ+ π
4 = π
2
即θ = π
4
时,sin(θ+ π
4)=1 ,故ω= ❑√3 λ+ λ+ μ 的最大值为❑√6+ ❑√2 ,
将θ = π
4 代入①,此时λ
μ =
❑√3+1
2
.
6．【2020 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在椭圆Γ中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点, F1, F2
为两个焦点.若⃗A F1⋅⃗A F2+⃗B F1⋅⃗B F2=0,则| AB|
| F1 F2| 的值为
.
【答案】
❑√2
2
【解析】不妨设Γ的方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0),A(a,0),B(0,b), F1(-c ,0), F2(c ,0),其中c =
❑√a
2-b
2.
由条件知⃗A F1⋅⃗A F2+⃗B F1⋅⃗B F2=(-c -a)(c -)+(-c
2+b
2)=a
2+b
2-2c
2=0.
所以| AB|
| F1 F2| =
❑√a
2+b
2
2c
=
❑√2c
2
2c =
❑√2
2
.
7．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在凸四边形ABCD 中, ⃗BC =2⃗AD点P 是四边形ABCD 所在平
面上一点,满足⃗PA +2020⃗PB+⃗PC +2020⃗PD =⃗0.设s,t 分别为四边形ABCD 与ΔPAB 的面积,则t
s
=
.
【答案】337
2021
【解析】不妨假设AD=2,BC=4.记M,N,X,Y 分别是AB,CD,BD,AC 的中点,则M,X,Y,N 顺次共线并且
MX=XY=YN=1.
由于⃗PA +⃗PC =2⃗PY ,⃗PB+⃗PD =2⃗PX,
5 / 17
故结合条件可知⃗PY +2020⃗PX =⃗0.故点P 在线段XY 上且PX =
1
2021
.设A 到MN 的距离为h,由面积公式可
知t
s = S△PAB
S ABCD
= PM ⋅h
MN ⋅2h = PM
2 MN =
1+
1
2021
2×3
= 337
2021
.
8．【2020 年甘肃预赛】已知等边△ABC 的边长为1,⃑AP = 1
3 (⃑AB+⃑AC ),⃑AQ =⃑AP+ 1
2⃑BC .则△APQ 的
面积为
.
【答案】
❑√3
12
【解析】由题意,知P 为△ABC 的中心.
由⃑AQ =⃑AP+ 1
2⃑BC
⇒| PQ|= 1
2 |BC |.
则S△PQ= 1
2 PQ⋅AP
= 1
2 × 1
2 BC × 2
3 h
= 1
3 S△BC =
❑√3
12
.
9．【2020 年四川预赛】设△ABC 的外接圆圆心为O ,且3⃗OA + 4⃗OB+5⃗OC =0 .则∠C 的大小为
.
【答案】45°
【解析】注意到,|⃗OA |=|⃗OB|=|⃗OC |.
由已知得-5⃗OC =3⃗OA + 4⃗OB
⇒25⃗OC
2=9⃗OA
2+24⃗OA ⋅⃗OB+16⃗OB
2
⇒⃗OA ⋅⃗OB =0
6 / 17
⇒∠AOB =90
°.
又O 为外心,于是，
∠ACB = 1
2 ∠AOB = 45
° .
10．【2020 年四川预赛】在平面直角坐标系中,A(1,2) ,B(3,0), P 为圆( x -3)
2+( y -2)
2=1 上任意一点.
设⃗OP = λ⃗OA + μ⃗OB( λ , μ∈R) .则11 λ+9 μ 的最小值为
.
【答案】12
【解析】设P(3+cosθ ,2+sinθ)(θ∈[0,2π )).
则由条件知
λ+3 μ=3+cosθ ,2 λ =2+sinθ .
故11 λ+9 μ=3( λ+3 μ)+ 4(2 λ)
=3(3+cosθ)+ 4(2+sinθ)
=17+3cosθ+ 4 sinθ
=17+5sin(θ+φ)
⩾17-5=12 .
显然,上式等号可以取到.
因此,11 λ+9 μ 的最小值为12.
11．【2020 年浙江预赛】已知平面上不共线的三个单位向量⃗a,⃗b,⃗c ,满足⃗a+⃗b+⃗c =⃗0 若0⩽t ⩽1 ,则
|-2⃗a+t⃗b+(1-t )⃗c| 的取值范围是
.
【答案】[ 5
2 ,❑√7]
【解析】注意到,-2⃗a=2⃗b+2⃗c .
则-2⃗a+t⃗b+(1-t )⃗c
=(t +2)⃗b+(3-t )⃗c
.
故|-2⃗a+t⃗b+(1-t )⃗c|
=
❑√(t +2)
2+(3-t )
2+2(t +2)(3-t )⃗b⋅⃗c
7 / 17
= ❑√2t
2-2t +13+2(-t
2+t +6)(- 1
2 )
=
❑√3t
2-3t +7∈[ 5
2 ,❑√7] .
12．【2020 年重庆预赛】已知向量⃗a,⃗b 满足:|⃗a-⃗b|=3,|⃗a+2⃗b|=6 ,⃗a
2+⃗a⋅⃗b-2⃗b
2=-9 .则|⃗b|=
.
【答案】❑√7
【解析】由条件知⃗a
2+⃗a⋅⃗b-2⃗b
2
=(⃗a-⃗b)⋅(⃗a+2⃗b)=-9
则|3⃗b|=|(⃗a+2⃗b)-(⃗a-⃗b)|
=
❑√((⃗a+2⃗b)-(⃗a-⃗b))
2
=
❑√(⃗a+2⃗b)
2+(⃗a-⃗b)
2-2(⃗a+2⃗b)⋅(⃗a-⃗b)
= ❑√63=3 ❑√7.
故|⃗b|= ❑√7 .
13．【2019 年全国】平面直角坐标系中，⃑e是单位向量，向量⃑a满足⃗a⋅⃗e =2，且|⃗a|
2≤5|⃗a+t⃑e|对任意
实数t 成立，则|⃑a|的取值范围是
.
【答案】[ ❑√5,2❑√5]
【解析】设|⃑a|= x，原题转化为x
4≤25(x
2+t
2+ 4 t).
⇒25(t
2+ 4t)≥x
4-25 x
2⇔-100≥x
4-25 x
2
⇒5≤x
2≤20⇒❑√5≤|a|≤2❑√5
14．【2019 年江苏预赛】在矩形ABCD中，AC =1, AE⊥BD，垂足为E，则(⃑AD⋅⃑AE)(⃑CB⋅⃑CA)的最
大值是
.
【答案】4
27
【解析】如图，设∠CAB =θ，AC =1，AE⊥BD，
8 / 17
则| AB =cosθ , AD =sinθ , AE =sinθcosθ，
于是(⃑AD⋅⃑AE)(⃑CB⋅⃑CA)=sin
2θcos
2θsin
2θ
= 1
2 sin
2θ⋅2cos
2θ⋅sin
2θ
≤1
2(
sin
2θ+2cos
2θ+sin
2θ
3
)
3
= 4
27
.
等号当且仅当sin
2θ =2cos
2θ，即tanθ = ❑√2时成立，故最大值为4
27
.
15．【2019 年浙江预赛】如图，在△ABC中，D , E , F分别为BC ,CA , AB上的点，且CD = 3
5 BC，
EC = 1
2 AC , AF = 1
3 AB.设P为四边形AEDF内一点(P点不在边界上).若⃑DP=- 1
3⃑DC + x⃑DE，则实数x的
取值范围为
.
【答案】(
1
2 , 4
3)
【解析】由已知，在BD上取一点G且DG = 1
3 DC.
设DC =3a，则DG =a.有BC =5a，则BG =a.
过G作GH ∥DE分别交DF , AE于K , H.
由GH // DE⇒HE = 1
3 EC ⇒AH = 2
3 EC , HG = 4
3 DE.
9 / 17
又AH
HC = 1
2 = AF
FB ⇒FH // BC ⇒FH = 1
3 BC.
由FH
DG = KH
KG ⇒KG = 3
5 HK ⇒KG = 3
8 HG = 1
2 DE.
所以x∈(
1
2 , 4
3)
.
16．【2019 年重庆预赛】已知向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a|∶|⃗b|∶|⃗c|=1∶k ∶3(k ∈Z
+)，且⃗b-⃗a=2(⃗c -⃗b)，若
α为⃗a，⃗c的夹角，则cosα =________.
【答案】 - 1
12
【解析】∵⃗b-⃗a=2(⃗c -⃗b) ∴⃗b= 1
3⃗a+ 2
3⃗c ∴⃗b
2= 1
9⃗a
2+ 4
9⃗c
2+ 4
9⃗a·⃗c
∵|⃗a|∶|⃗b|∶|⃗c|=1∶k ∶3 ∴k
2= 1
9 + 4 + 4
3 cosα ∈(2,6)
又∵k ∈Z
+ ∴k =2 ∴cosα =- 1
12
.
17．【2019 年福建预赛】已知I 为△ABC 的内心，且5⃑IA = 4(⃑BI +⃑CI ).记R、r 分别为△ABC 的外接圆、
内切圆半径，若r=15，则R=
.
【答案】32
【解析】解法一:取BC 中点D，依题意，有5⃑IA =- 4(⃑IB+⃑IC )=-8⃑ID.
∴A、I、D 共线，AB=AC.
由r=ID=15，知IA=24
作IE⊥AB 于E，则IE=ID=15，sin∠BAD = 15
24 = 5
8 ,cos∠BAD =
❑√39
8
,tan∠BAD =
5
❑√39
.
∴BC =2BD =2 AD⋅tan ∠BAD =2×39×
5
❑√39 =10 ❑√39.
又sin ∠BAC =sin 2∠BAD =2× 5
8 ×
❑√39
8
= 5 ❑√39
32
∴2 R =
BC
sin ∠BAC =10 ❑√39×
32
5 ❑√39 =64 , R =32.
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解法二:依题意，有5⃑IA + 4⃑IB+ 4⃑IC =⃗0.
由三角形内心的向量表示:若a、b、c 分别为△ABC 的内角A、B、C 的对边，I 为△ABC 的内心，则
a⃑IA +b⃑IB+c⃑IC =⃗0.
可得，a:b:c=5:4:4，设a=10k，则b=c=8k.
作AD⊥BC 于D，则AD = ❑√39k , S ΔABC = 1
2 ×BC × AD =5 ❑√39k
2.
又r=15，S△ABC = 1
2 ( AB+ BC +CA )r =13kr，因此，k = 13×15
5 ❑√39 = ❑√39.
又sin B = AD
AB =
❑√39
8
，∴2 R =
b
sin B = 8k
sin B =8 ❑√39×
8
❑√39 =64 , R =32.
18．【2019 年贵州预赛】在△ABC 中,⃑GA +⃑GB+⃑GC =0,⃑GA ⋅⃑GB =0.则(tan A + tan B)tanC
tan A ⋅tan B
=
.
【答案】1
2
【解析】解法1:设△ABC 中角A、B、C 所对的边分别为a、b、c,
由⃑GA +⃑GB+⃑GC =⃗0,⃑GA •⃑GB =⃗0,知G 为△ABC 的重心,又GA⊥GB,所以：
¿.
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故(tan A + tan B)tanC
tan A ⋅tan B
= (sin A cos B+cos A sin B)sinC
sin A sin BcosC
=
sin
2C
sin A sin BcosC =
2abc
2
ab(a
2+b
2-c
2)
=
2c
2
a
2+b
2-c
2 = 1
2
.
解法2:由题意知,D,E 分别是BC,AC 中点且AD⊥BE,所以A B
2- A E
2= D B
2- D E
2(这个结论很重要竞赛经
常用到),得a
2+b
2=5c
2.
19．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】平面直角坐标系中，⃑e已是单位向量，向量⃑a满足⃗a⋅⃗e =2，且
|⃗a|
2⩽5|⃗a+t⃗e|对任意实数t 成立，则|⃗a|的取值范围是
.
【答案】[ ❑√5,2❑√5]
【解析】不妨设⃗e =(1,0).由于⃗a⋅⃗e =2，可设⃗a=(2,s)，
则对任意实数t，有4 + s
2=|⃗a|
2⩽5|⃗a+t⃗e|=5
❑√(2+t )
2+ s
2，
这等价于4+ s
2⩽5|s|，解得|s|∈[1,4 ]，即s
2∈[1,16].
于是|⃗a|=
❑√4+ s
2∈[ ❑√5,2❑√5].
20．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】若平面向量⃗a=(2
m,-1)与⃗b=(2
m-1,2
m+1)垂直，其中m 为实
数，则a
→的模为
.
【答案】❑√10
【解析】令2m=t，则t>0.条件等价于t ⋅(t -1)+(-1)⋅2t =0，解得t=3.
因此a
→的模为❑√3
2+(-1)
2= ❑√10.
21．【2018 年江苏预赛】在ΔABC中，AB =5，AC = 4，且⃗AB⋅⃗AC =12，设P为平面ABC上的一点，
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则⃗PA ⋅(⃗PB+⃗PC )的最小值是________.
【答案】- 65
8
【解析】
由AB =5，AC = 4，且⃗AB⋅⃗AC =12得cos A = 3
5
.
如图，以A为坐标原点，AC 为x轴建立直角坐标系，则C(4,0)，B(3,4)，
设P( x , y)，则⃗PA ⋅(⃗PB+⃗PC )=(- x ,- y )⋅(7 -2 x ,4 -2 y )=2 x
2-7 x +2 y
2- 4 y
=2( x - 7
4 )
2
+2( y -1)
2- 65
8
.
即⃗PA ⋅(⃗PB+⃗PC )的最小值是- 65
8
.
故答案为：- 65
8
22．【2018 年浙江预赛】设|⃑AB|=10.若平面上点P 满足，对于任意t ∈R,有|⃑AP -t⃑AB|≥3，则⃑PA ⋅⃑PB
的最小值为________，此时⃑PA +⃑PB =________.
【答案】-16 6
【解析】
由|⃑AP -t⃑AB|≥3可知点P 到直线AB 的距离为3.
设AB 的中点为O.由极化恒等式得：⃑
PA ⋅⃑PB = 1
4 {(⃑PA +⃑PB)
2-(⃑PA -⃑PB)
2}= 1
4 {(2 PO)
2-10
2}≥1
4
{36-100}=-16.
此时|⃑PA +⃑PB|=6.
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23．【2018 年重庆预赛】设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P 是线段AB 上的一个动点，
，若
,
则实数λ 的取值范围是______．
【答案】
1- √2
2 ≤λ≤1
【解析】
试题分析：由题意得
=(1−λ, λ),⃗PA=( λ,−λ),⃗PB =⃗OB −⃗OP =( λ−1,1−λ),由题中条件可得−1×(1−λ)+1×λ≥
，由点
是线段
上的一个动点知
．
考点：向量的数量积．
24．【2018 年贵州预赛】己知O 为△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足⃑OP =⃑OA + λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
，
其λ∈[0，+ ∞]，则P 点的轨迹为________．
【答案】∠BAC 的角平分线
【解析】⃑
OP =⃑OA + λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)⇒= λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
,
而(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
，且λ∈[0，+∞]，
所以λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
表示∠BAC 的角平分线上的一个向量．
因此，P 点的轨迹为∠BAC 的角平分线．
14 / 17
故答案为：∠BAC 的角平分线
25．【2018 年广西预赛】设点Q 在△ABC 所在平面α 内，点P 在平面α 外.若对任意的实数x 和y，
|⃑AP - x⃑AB - y⃑AC|≥|⃑PQ|，则向量⃑PQ与⃑BC所成的角θ=_________.
【答案】π
2
【解析】
设⃑AM = x⃑AB+ y⃑AC，则点M 也在平面α 内，|⃑MP|=|⃑AP -⃑AM|≥|⃑PQ|，故PQ⊥平面α，所以向量⃑
PQ与⃑BC所成的角为π
2
.
26．【2018 年安徽预赛】设H 是△ABC 的垂心，且3⃑HA + 4⃑HB+5⃑HC =0，则cos∠AHB =
_____________.
【答案】-
❑√6
6
【解析】
由题设得tan A
3
= tan B
4
= tanC
5
= λ.再由tan A + tan B+ tanC = tan A tan B tanC，得λ = 1
❑√5 ，tanC = ❑√5.
故cos∠AHC =-cosC =-
❑√6
6
.
故答案为：-
❑√6
6
27．【2018 年山东预赛】在△ABC中，∠BAC =60°，∠BAC的平分线AD 交BC 于D，且有⃑
AD = 1
4⃑AC +t⃑AB．若AB =8，则AD =______．
【答案】6 ❑√3
【解析】
过点D作DE∥AB 交AC于点E，DF ∥AC 交AB于点F，
15 / 17
由题设⃑AD = 1
4⃑AC +t⃑AB =⃑AE +⃑AF，所以⃑AE = 1
4⃑AC ，⃑AE = 1
3⃑EC ，⃑AF =t⃑AB．
因此AE
EC = 1
3 = BD
CD = BF
FA = AB
AC
，所以AC =24，FA =3 BF = 3
4 AB，因此t = 3
4
．
所以|⃑AD|
2=|
1
4⃑AC + 3
4⃑AB|
2
=(
1
4⃑AC + 3
4⃑AB)⋅(
1
4⃑AC + 3
4⃑AB)
= 1
16|⃑AC|
2+ 9
16|⃑AB|
2+ 6
16⃑AC ⋅⃑AB =108．
由此得AD =6 ❑√3．
28．【2018 年甘肃预赛】在ΔABC中，已知AB = 4 , AC =3．如图所示，P是边BC的垂直平分线上一点，
则⃑BC ⋅⃑AP =______．
【答案】- 7
2
【解析】
如图所示，设Q 为BC的中点，⃑
BC ⋅⃑AP =(⃑AC -⃑AB)⋅(⃑AQ+⃑QP)
=(⃑AC -⃑AB)⋅⃑AQ
=(⃑AC -⃑AB)⋅(⃑AB+⃑AC)=- 7
2
．
29．【2018 年吉林预赛】如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB = π
2 ，AC = BC =2，点P 是斜边AB 上
一点，且BP =2 PA，那么⃑CP⋅⃑CA +⃑CP⋅⃑CB =__________.
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【答案】4
【解析】
解法一：因为⃑CP=⃑CA +⃑AP =⃑CA + 1
3⃑AB =⃑CA + 1
3 (⃑AC +⃑CB)= 2
3⃑CA + 1
3⃑CB，
所以⃑CP⋅⃑CA +⃑CP⋅⃑CB = 2
3⃑CA
2+ 1
3⃑CB
2= 8
3 + 4
3 = 4.
解法二：以C 为原点，CA、CB 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），
B（0，2），P（4
3 ，2
3
），有⃑CA =(2,0)，⃑CB =(0,2)，⃑CP =(
4
3 , 2
3)
.
所以⃑CP⋅⃑CA +⃑CP⋅⃑CB = 8
3 + 4
3 = 4.
故答案为：4
30．【2018 年河南预赛】已知点P在△ABC内，且满足⃑AP = 1
3⃑AB+ 1
4⃑AC，设
△PBC 、△PCA 、△PAB的面积依次为S1、S2、S3，则S1:S2:S3=______．
【答案】5:4:3
【解析】
因为⃑AP = 1
3⃑AB+ 1
4⃑AC = 1
3
(⃑PB -⃑PA)+ 1
4 (⃑PC -⃑PA)，
所以5⃑PA + 4⃑PB+3⃑PC =⃑0，所以S1:S2:S3=5:4:3．
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