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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题27 数列第三缉
1．【2016 年新疆预赛】设数列{an}满足(2-an+1)(4+an)=8(n≥1),且a1=2.则1
a1
+ 1
a2
+...+ 1
an
= ______.
【答案】2n- n
2 -1
【解析】
由(2-an+1)(4 +an)=8
⇒2an- 4 an+1=anan+1，
⇒
2
an+1
- 4
an
=1，
则2
an+1
+1=(
2
a1
+1)2
n-1=2
n，
⇒1
an
= 2
n-1
2
，
故1
a1
+ 1
a2
+...+ 1
an
= 2
n-1
2
.
2．【2016 年山西预赛】设集合A =¿,若将集合A ∩B的元素按自小到大的顺序排成一个数列{ak}，则数列
{ak}的通项公式ak
＝__________.
【答案】9k
2-9k +2
【解析】
易知，A =(2,6,12,20,30,42,⋯)，B =(2,5,8,11,14,17,20,⋯).
若n(n+1)=3m-1
⇒(2n+1)
2=3(4 m-1).
于是，4m-l 为某个奇平方数的3 倍．
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设4 m-1=3(2k -1)
2.则
2n+1=3(2k -1)
⇒n=3k -2,m=3k
2-3k +1(k =1,2,⋯).
故ak =n(n+1)=3m-1=9k
2-9k +2.
3．【2016 年山西预赛】设ak =
2
k
3
2k +1
(k ∈N )，令A =a0+a1+⋯a9 ，B =a0a1⋯a9
.则A
B =__________.
【答案】3
2
10-1
2
47
- 1
2
36
【解析】
注意到，对于任何大于1 的数m，均有
1
m-1 -
1
m+1 =
2
m
2-1
.
上式两边乘以2k，并取m=3
2
k，得
2
k
3
2
k
+1
=
2
k
3
2
k
-1
- 2
k +1
3
2
k +1
-1
. ①
在式①中分别令后=O，1，…，9，然后相加得
A = 1
2 -
2
10
3
2
10-1
. ②
又记C =2
0×2
1×⋯2
9=2
45，
D =∏
k =0
9
(3
2
k
+1)
= 1
2 (3
2
0
-1)∏
k =0
9
(3
2
k
+1)
= 1
2 (3
2
1-1)∏
k =1
9
(3
2
k+1)=⋯
= 1
2 (3
2
10-1).
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则1
B = D
C = 3
2
10-1
2
46
. ③
由式②、③得
A
B =(
1
2 -
2
10
3
2
10-1)(
3
2
10
-1
2
46 )
= 3
2
10-1
2
47
- 1
2
46 .
4 ．【2016 年全国】设a1、a2、a3、a4为1 ，2 ，… ，100 中的四个互不相同的数，满足
(a1
2+a2
2+a3
2)(a2
2+a3
2+a4
2)=(a1a2+a2a3+a3a4)
2.则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为________.
【答案】40
【解析】
由柯西不等式知
(a1
2+a2
2+a3
2)(a2
2+a3
2+a4
2)≥(a1a2+a2a3+a3a4)
2，
等号成立的充分必要条件为:
a1
a2
= a2
a3
= a3
a4
，即a1、a2、a3、a4
成等比数列.
于是，问题等价于计算满足{a1,a2,a3,a4}⊆{1,2,⋯,100}的等比数列
{a1,a2,a3,a4}的个数.
设等比数列的公比q≠1，且q∈Q.记q = n
m
，其中，m、n 为互素的正整数，且m≠n.
先考虑n>m的情形.
此时，a4=a1(
n
m)
3
= a1n
3
m
3
.
注意到，m
3与n
3互素，故l = a1
m
3 ∈Z+
.相应地，a1、a2、a3、a4
分别等于
m
3l、m
2nl、mn
2l、n
3l，它们均为正整数.这表明，对任意给定的q = n
m >1， 满足条件并以q 为公比的
等比数列{a1,a2,a3,a4}的个数，即为满足不等
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式n
3l≤100的正整数l 的个数，即[
100
n
3 ]
.
由于5
3>100，故仅需考虑q =2,3, 3
2 ,4 , 4
3
的情形，相应的等比数列的个数之和为
[
100
8 ]+[
100
27 ]+[
100
27 ]+[
100
64 ]+[
100
64 ]
=12+3+3+1+1=20.
当n<m时，由对称性，知亦有20 个满足条件的等比数列{a1,a2,a3,a4}.
综上，共有40 个满足条件的有序数组(a1,a2,a3,a4)
5．【2016 年吉林预赛】在公差不为0 的等差数列{an}中，a4=10，且a3、a6、a10
成等比数列．则数列
{an}的通项公式为________.
【答案】n+6
【解析】
设等差数列{an}的公差为d (d ≠0).
由已知得(10+2d)
2=(10-d)(10+6d)⇒d =1.
故an=a4+(n- 4)d =n+6.
6．【2016 年吉林预赛】在公差不为0 的等差数列{an}中，a4=10，且a3、a6、a10
成等比数列．则数列
{an}的通项公式为________.
【答案】n+6
【解析】
设等差数列{an}的公差为d (d ≠0).
5 / 18
由已知得(10+2d)
2=(10-d)(10+6d)⇒d =1.
故an=a4+(n- 4)d =n+6.
7 ．【2016 年上海预赛】数列{xn}定义如下:x1= 2
3 , xn+1=
xn
2(2n+1) xn+1 (n∈Z+)，则
x1+ x2+⋅⋅⋅+ x2014=___________。
【答案】4028
4029
【解析】
由定义得1
xn+1
=2(2n+1)+ 1
xn
.令yn= 1
xn
.
于是，y1= 3
2 , 且yn+1- yn=2(2n+1).
故yn=( yn- yn-1)+( yn-1- yn-2)+⋅⋅⋅+( y2- y1)+ y1
=2[(2n-1)+(2n-3)+⋅⋅⋅+3]+ 3
2
=2(n
2-1)+ 3
2 = 1
2 (2n+1)(2n-1),
∑
i=1
2014
xi=∑
i=1
2014 1
yi
=∑
i=1
2014
2
(2i+1)(2i-1)
=∑
i=1
2014
(
1
2i-1 -
1
2i+1)
=1-
1
4029 = 4028
4029 .
8 ．【2016 年上海预赛】设a1,a2,⋅⋅⋅+a2014为正整数1 ，2 ，··· ，2014 的一个排列。记
Sk =a1,a2,⋅⋅⋅+ak (k =1,2,⋅⋅⋅,2014)。则a1,a2,⋅⋅⋅+a2014
中奇数个数的最大值为___________。
【答案】1511
【解析】
若ai(2≤i≤2014)为奇数，则Si与Si-1
具有不同的奇偶性.从a2到a2014
中至少有1007-1=1006 个奇数.从而，
S1,S2,⋅⋅⋅,S2014中至少要改变1006 次奇偶性.
故S1,S2,⋅⋅⋅,S2014中至少有503 个偶数，即至多有2014-503=1511 个奇数.
6 / 18
取a1=1,a2=3,a3=5,⋅⋅⋅,a1007=2013,a1008=2,a1009= 4 ,⋅⋅⋅,a2014=2014.
则S1,S3,⋅⋅⋅,S1007 及S1008∼S2014均为奇数.
综上，S1∼S2014中奇数个数的最大值为1511.
9
．
【
2016
年
浙
江
预
赛
】
已
知
数
列
{an}、{bn}满
足
a1=-1，b1=2，an+1=-bn，bn+1=2an-3bn(n∈Z+)。则b2015+b2016=__________。
【答案】-3×2
2015
【解析】
由已知¿.故b2015+b2016=-3×2
2015.
10．【2016 年新疆预赛】已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+ 4 ❑√an+1+ 4 (n≥1)，则an=______.
【答案】4 n
2- 4 n
【解析】
由an+1=an+ 4 ❑√an+1+ 4
⇒an+1+1=(an+1)+ 4 ❑√an+1+ 4 =(
❑√an+1+2)
2
⇒❑√an+1+1= ❑√an+1+2.
因此，{
❑√an+1}是以❑√a1+1=1为首项、2 为公差的等差数列.
故❑√an+1=2n-1⇒an= 4 n
2- 4 n.
11
．
【
2016
年
辽
宁
预
赛
】
已
知
数
列
{an}共
有
100
项
,
满
足
a1=0,
a100= 475, 且|ak +1-ak|=5(k =1,2,…,99).则符合条件的不同数列有______个.
【答案】4851
【解析】
注意到,ak+1-ak=5 或-5, a100=(a100-a99)+(a99-a98)+…+(a2-a1)= 475.
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设99 个差中有x 个5,99-x 个-5.故5 x +(-5)(99- x)= 475⇒x =97
于是,所求数列的99 个差ak +1-ak(k =1,2,…,99)中,有97 个5,2 个-5.
由于这97 个5、2 个-5 的每一个排列均唯一对应一个满足条件的数列,
从而,所求数列的个数为C99
2 = 4851.
12．【2016 年江西预赛】已知数列{xn}满足xn=
n
n+2016 若x2016= xm xn,则正整数m、n 的一组解为{m,n}
=______.
【答案】{4032,6048}
【解析】
由x2016= xm xn
⇒1
2 =
m
m+2016 ×
n
n+2016
⇒(m+2016)(n+2016)=2mn
⇒(m-2016)(n-2016)=2×2016
2.
若m-2016=2016,n-2016=2×2016
⇒m= 4032,n=6048.
13．【2016 年江西预赛】等差数列2,5,8,…,2015 与4,9,14,…,2014 的公共项(具有相同数值的项)的个数为
______.
【答案】134
【解析】
将两个数列中的各项均加1,则问题等价于求等差数列3,6,9,…,2016 与等差数列5,10,15,…,2015 的公共项个
数.注意到,前者是M={1,2,…,2016}中全部能被3 整除的数,后者是集合M 中全部能被5 整除的数.
故公共项是集合M 中全部能被15 整除的数,这种数有[
2016
15 ]=134 ([x]表示不超过实数x 的最大整数)个.
14．【2016 年河南预赛】定义数列{an}：an
为1+2+…+n的末位数字，Sn
为数列{an}的前n项之和，则S2016
=______________。
【答案】7066
【解析】
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由题意知
(n+20)(n+20+1)
2
= n
2+ 41n+ 420
2
= n(n+1)
2
+20n+210.
则(n+20)(n+21)
2
与n(n+1)
2
末位数相同，即an+20=an.
于是，S2016= S16+100 S20.
又S20=a1+a2+⋯+a20
=1+3+6+0+5+1+8+6+5+5+6+8+1+5+0+6+3+1+0+0=70，
S16=66，
故S2016= S16+100 S20=7066.
15．【2016 年甘肃预赛】数列a0,a1,⋯,an满足a0= ❑√3,an+1=[an]+
1
{an}，其中，[x]表示不超过实数x 的
最大整数，{x }= x -[x].则a2016=__________.
【答案】3024 + ❑√3
【解析】
由已知得
a0=1+(❑√3+1)，
a1=1+
1
❑√3-1 =1+
❑√3+1
2
=2+
❑√3-1
2
，
a2=2+
2
❑√3-1 =2+(❑√3+1)= 4+(❑√3-1)
a3= 4 +
1
❑√3-1 = 4 +
❑√3+1
2
=5+
❑√3-1
2
.
故a2k =3k +1+(❑√3-1)，
a2k +1=3k +2+
❑√3-1
2
.
从而，a2016=3024 + ❑√3.
16．【2016 高中数学联赛（第01 试）】设a1,a2,a3,a4是1，2，…，100 中的4 个互不相同的数，满足
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(a1
2+a2
2+a3
2)(a2
2+a3
2+a4
2)=(a1a2+a2a3+a3a4)
2，则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为
.
【答案】40
【解析】由柯西不等式知，(a1
2+a2
2+a3
2)(a2
2+a3
2+a4
2)⩾(a1a2+a2a3+a3a4)
2，
等号成立的充分必要条件是a1
a2
= a2
a3
= a3
a4
，即a1,a2,a3,a4
成等比数列.
于是问题等价于计算满足{a1,a2,a3,a4}⊆{1,2,3,⋯,100}的等比数列a1,a2,a3,a4
的个数.
设等比数列的公比q≠1，且q 为有理数.记q = n
m
，其中m、n 为互素的正整数，且m≠n.
先考虑n>m 的情况：
此时a4=a1⋅(
n
m)
3
= a1n
3
m
3
，注意到m3与n3互素，故l = a1
m
3
为正整数.
相应地，a1,a2,a3,a4分别等于m
3l ,m
2nl ,mn
2l，n
3l，它们均为正整数.
这表明，对任意给定的q = n
m >1，满足条件并以q 为公比的等比数列a1,a2,a3,a4的个数，即为满足不等式
n
3l⩽100的正整数l 的个数，即[
100
n
3 ]
.
由于53>100，故仅需考虑q =2,3, 3
2 ,4 , 4
3
，这些情况，
相应的等比数列的个数为
[
100
8 ]+[
100
27 ]+[
100
27 ]+[
100
64 ]+[
100
64 ]=12+3+3+1+1=20.
当n<m 时，由对称性可知，亦有20 个满足条件的等比数列a1,a2,a3,a4，综上可知，共有40 个满足条件
的有序数组(a1,a2,a3,a4).
17．【2015 年浙江预赛】若数列{an}的前n项和Sn=n
3-n
2(n∈Z+)，则∑
i=1
2015
1
ai+8i-2 =______.
10 / 18
【答案】2015
6048
【解析】
注意到，an=∑
i=1
n
ai-∑
i=1
n-1
ai=3n
2-5n+2.
又a1=0，则an=3n
2-5n+2(n∈Z+).
故∑
i=1
2015
1
ai+8i-2 =∑
i=1
2015
1
3i(i+1) = 1
3 ∑
i=1
2015
(
1
i - 1
i+1)= 2015
6048
.
18．【2015 年上海预赛】等差数列{an}中，对任意正整数n ，均有an+1+an= 4 n-58.则a2015=_________.
【答案】4000
【解析】
设等差数列的公差d 则由题设得
2a1+(2n-1)d = 4 n-58
⇒2nd +(2a1-d)= 4 n-58.
又上式关于n 恒等，于是，
2d = 4,2a1-d =-58.
解得a1=-28,d =2.
故a2015=a1+2014 d = 4000.
19．【2015 年上海预赛】定义数列{an}：a1=1,a2=3,a3=5，an=an-1-an-2+an-3(n= 4,5⋯).则此数列
前2015 项 和S2015=______.
【答案】6045
【解析】
由已知得a4=3，且数列{an}为4 为周期.
故S2015 =503(a1+a2+a3+a4)+a1+a2+a3 =503(1+3+5+3)+1+3+5=6045.
20．【2015 年上海预赛】设Sn=1+ 1
2 +⋯+ 1
n
(n=1,2,⋯).则使得Sn>10 成立的最小正整数为______.
【答案】12367
11 / 18
【解析】
Sn= ln(n+1)+r(r ≈0.577218)，利用计算器解不等式ln(n+1)+r >10得最小正整数为12367.
21．【2015 年新疆预赛】一个正实数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该正实数的小数部
分为________.
【答案】
❑√5-1
2
【解析】
设该正数的小数部分为a，整数部分为b.由题设知
a(a+b)=b
2⇒a
2+ab-b
2=0
⇒a=1+-1± ❑√5
2
b.
若b=0，则a=0，矛盾.
从而，b>0,a>0.
故a=
❑√5-1
2
b.
又因为a<1，所以，b=1,a=
❑√5-1
2
.
因此，该正数的小数部分为
❑√5-1
2
.
22．【2015 年天津预赛】设An、Bn
分别为等差数列{an}、{bn}的前n项之和.若An
Bn
= 5n-3
n+9
，则a8
b8
=
__________.
【答案】3
【解析】
设{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.则An
Bn
=
a1+ 1
2
(n-1)d1
b1+ 1
2
(n-1)d2
= 5n-3
n+9
.
设d2=d.则d1=5d.
从而，a1=d ，b1=5d.
12 / 18
故a8
b8
= d +7×5d
5d +7d = 36d
12d =3.
23．【2015 年安徽预赛】设x1=1，xn= xn-1-1
2 xn-1+ 4
(n≥2).数列{xn}的通项公式为xn=______.
【答案】2
n-2-3
n-2
2×3
n-2-2
n-2
【解析】
由xn+1=3 xn-1+1
2 xn-1+ 4 ，2 xn+1=2 2 xn-1+1
2 xn-1+ 4
⇒xn+1
2 xn+1 = 3
2 × xn-1+1
2 xn-1+1 =(
3
2)
n-2
⇒xn=
2
n-2-3
n-2
2×3
n-2-2
n-2
.
24．【2015 年陕西预赛】设单调递增数列{an}的各项均为正整数，且a7=120，an+2=an+an+1(n∈Z+).
则a8=______。
【答案】194
【解析】
由an+2=an+an+1，得：
a7=5a1+8a2=120，a8=8a1+13a2.
而(5,8)=1，且a1、a2均为正整数，故8¿.
设a1=8k ，a2=5m(k 、m∈Z+).
则k +m=3.
又a1<a2，于是，k =1，m=2.
从而，a1=8，a2=10.
故a8=8a1+13a2=194.
25 ．【2015 年山西预赛】数列{an}的各项为互异正数，且其倒数构成等差数列．则
13 / 18
a1a2+a2a3+⋯+a2014a2015
a1a2015
=________.
【答案】2014
【解析】
设倒数数列公差为d (d ≠0).由条件知：
1
a2
- 1
a1
= 1
a3
- 1
a2
=⋯=
1
a2015
-
1
a2014
=d ①
⇒a1-a2
a1a2
= a2-a3
a2a3
=⋯a2014-a2015
a2014a2015
=d.
据合分比性质得
a1-a2015
a1a2+a2a3+⋯+a2014a2015
=d ②
又由式①知1
a2015
- 1
a1
=2014 d
⇒a1-a2015
a1a2015
=2014 d ③
由式②、③得
a1a2+a2a3+⋯+a2014a2015
a1a2015
=2014.
26．【2015 年山西预赛】将各位数字和为8 的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列{an}，称为P 数
列.则2015 为其中第________项.
【答案】83
【解析】
一位数时，只有8 这一个数.
两位数时，首位可分别取1，2，… 8，共有八个数.
三位数时，考虑形如xyz的三位P 型数.记首位为x 的这种三位数有f (x)个.
若x =1，则y 可取0 到7 中任一值，而当x、y 确定后，z 值随之确定，此时产生八个数，即f (1)=8；
类似地，f (2)=7,⋯,f (8)=1.
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因此，三位P 型数的个数为1+2+⋯+8=36.
四位数时，考虑形如1 xyz的四位P 型数.
若x =0，y 可取0 到7 中任一值，而当x、y 确定后，z 值随之确定，此时产生八个数；
若x =1，y 可取0 到6 中任一值，而当x、y 确定后，z 值随之确定，此时产生七个数；
……
若x =7，y、z 只可取0.
因此，形如1 xyz的四位P 型数的个数为1+2+⋯+8=36.
注意到，形如2 xyz的四位P 型数有两个，即2016、2015.
综上，2015 为第1+8+36+36+2=83个P 型数，即a83＝2015.
27．【2015 年山东预赛】将正整数数列{1,2,…}中的所有完全平方数去掉后,按原顺序构成数列
{an}则a2015=______.
【答案】2060
【解析】
设k
2<an<(k +1)
2(k ∈Z+)，
则在数列{1,2,…}中,在an之前共去掉k 个完全平方数.因此,an=n+k.
故由k
2<2015+ k <(k +1)
2⇒¿
⇒k = 45,a2015=2060.
28 ．【2015 年辽宁预赛】已知数列{an}前n项和为Sn,a1= 1
5 ,且对任意正整数m、n, 均有
am+n=aman若Sn<a对任意的n∈Z+恒成立,则实数a的最小值为______.
【答案】1
4
【解析】
由题意,取m=1得
an+1=a1an= 1
5 an.
又a1= 1
5,则{an}是以为首项、为公比的等比数列,即an= 1
5
n (n∈Z+)
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故Sn=a1+a2+…+an= 1
5 + 1
5
2 +…+ 1
5
n = 1
5 ×
1- 1
5
n
1- 1
5
= 1
4(1- 1
5
n)
由对任意的n∈Z+,均有Sn<a1,知a= 1
4
.
29 ．【2015 年江苏预赛】已知正项数列{an}的首项为1 ，且对于一切正整数n ，均有
an(nan-an+1)=(n+1)an+1
2
则an=_____.
【答案】1
n
【解析】
题设式变形为(an+1+an[(n+1)an+1-nan])=0.
由an+1+an≠0，得(n+1)an+1=nan=⋯=a1=1⇒an= 1
n
30．【2015 年吉林预赛】设数列{an}的前n项和为Sn
，且Sn= 4 an-3(n=1,2,⋅⋅⋅).则数列{an}的通项公式
为______.
【答案】(
4
3)
n-1
【解析】
由Sn= 4 an-3，知a1=1，an+1= 4
3 an.
于是，{an}是以1 为首项、4
3
为公比的等比数列.
故an=1×(
4
3)
n-1
=(
4
3)
n-1.
31．【2015 年湖南预赛】对任一实数序列A =(a1,a2,⋅⋅⋅)，定义ΔA =(a2-a1,a3-a2,⋅⋅⋅)，其第n项
为an+1-an.假定序列Δ(ΔA)的所有的项均为1，且a19=a93=0.则a1的值为__________.
【答案】819
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【解析】
设ΔA的首项为d.则依条件得ΔA =(d ,d +1,⋅⋅⋅)，其第n项为d +(n-1).
因此，序列A的第n项为an=a1+(n-1)d + 1
2
(n-1)(n-2).
因为a19=a92=0，所以:
¿.
32．【2015 年湖北预赛】设an=2
n，bn=5n-1(n∈Z)，S =|a1,a2,⋅⋅⋅,a2015|∩|b1,b2,⋅⋅⋅,b2015|中
的元素个数为_______
【答案】504
【解析】
因为集合{b1,b2,⋅⋅⋅,b2015}中共有2
2015个元素，其构成公差为5 的等差数列，每一项被5 除的余数均为
4，所以，只要考虑集合{a1,a2,⋅⋅⋅,a2015}中被5 除余数为4 的项的个数.
对于k ∈Z+，有
a4 k =2
4 k≡1(mod 5)，
a4 k -1=24 (k -1)×2
3≡2
3≡3(mod 5)，
a4 k -2=24 (k -1)×2
2≡2
2≡4 (mod 5)，
a4 k -3=24 (k -1)×2≡2(mod 5).
令4 k -2≤2015⇒k ≤504 + 1
4
.
故集合S中的元素个数为504.
33．【2015 年甘肃预赛】在数列{an}中, a1=2, a2=10,对所有的正整数n 均有an+2=an+1-an 则a2015=
______.
【答案】-10
【解析】
经检验,数列{an}以6 为周期，从而, a2015=a335×6+5=a5=-10.
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34．【2015 年福建预赛】已知函数f ( x)= x
2cos πx
2
，数列{an}中，an= f (n)+ f (n+1)(n∈N
*)，则数
列{an}的前100 项之和S100=__________．
【答案】10200
【解析】
因为f (x)= x
2cos πx
2
，所以
an= f (n)+ f (n+1)= n
2cos nπ
2 +（n+1）
2cos （n+1）π
2
a4 n-3=（4 n-3）
2cos （4 n-3）π
2
+（4 n-2）
2cos （4 n-2）π
2
=-(4 n-2)
2
同理可得：a4 n-2=-(4 n-2)
2,a4 n-1=-(4 n)
2,a4 n=-(4 n)
2
∴a4 n-3+a4 n-2+a4 n-1+a4 n=-2(4 n-2)
2+2(4 n)
2=8(4 n-1) ,
∴ {an}的前100 项之和S100=8(3+7+…+99)=10200.
故答案为：10200 .
点睛：本题中由条件an= f (n)+ f (n+1)= n
2cos nπ
2 +（n+1）
2cos （n+1）π
2
，由余弦函数的值可
将n分成四种情况，即将数列分成四个一组求和即可.
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