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重难点培优02 不等式及函数中的恒成立和有解问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题（★★★）....................................................3
题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题 （★★★）......................................................4
题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题（★★★）............................................................................5
题型四 函数不等式的恒成立和有解问题（★★★★）............................................................................5
题型五 导数中单变量恒（能）成立问题（★★★★★）........................................................................6
题型六 导数中双变量恒（能）成立问题（★★★★★）........................................................................8
题型七 导数中双函数恒（能）成立问题（★★★★★）........................................................................9
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................10
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................10
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................13
1、设函数
的值域为
或
，或
或
中之一种，则
①若
恒成立（即
无解），则
；
②若
恒成立（即
无解），则
；
③若
有解（即存在
使得
成立），则
；
④若
有解（即存在
使得
成立），则
；
⑤若
有解（即
无解），则
；
⑥若
无解（即
有解），则
．
注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的
取舍）
2、分离参数的方法
①常规法分离参数：如
；
②倒数法分离参数：如
；
【当
的值有可能取到，而
的值一定不为0 时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如
；
⑤不完全分离参数法：如
；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
3、其他恒成立类型一
①
在
上是增函数，则
恒成立．(等号不能漏掉)．
②
在
上是减函数，则
恒成立．(等号不能漏掉)．
③
在
上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
4、其他恒成立类型二
①
，使得方程
成立
．
②
，使得方程
成
．
5、其他恒成立类型三
①
，
；
②
，
；
③
，
；
④
，
．
题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题
【技巧通法·提分快招】
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立
1、不等式
对任意实数
恒成立⇔
或
2、不等式
对任意实数
恒成立⇔
或
注：对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；
恒小于0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若
在集合
中恒成立，即集合
是不等式
的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；
方法二：转化为函数范围问题，即已知函数
的范围为
，
则
恒成立⇒
，即
；
恒成立⇒
，即
．
三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；
一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“
”是真命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）命题
：
，
为真的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若对
，
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东·二模）已知不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的最小值为
．
5．已知函数
，若
在
上恒成立，则实数
的取值范围是 ．
6．（23-24 高三上·河南信阳·月考）若
对于
恒成立，则实数x 的取值范围为 ．
题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题
【技巧通法·提分快招】
1、若存在
，
有解⇒
；
若对任意
，
无解⇒
．
2、若存在
，
有解⇒
；
若对任意
，
无解⇒
．
1．（23-24 高三上·福建龙岩·月考）若命题“
，
”是真命题，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·安徽池州·期中）已知关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为M.若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，
，满足不等式
，则实数m 的取值范围是 .
5．（23-24 高三上·浙江台州·月考）已知不等式
在
上有解，则实数
的取值范围
是 .
6．（24-25 高三上·浙江温州·期中）若关于x 的不等式
在
上有解，则实数a 的取值范
围是 ．
题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题
1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数
，
满足
，且不等式
恒成立，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·重庆·月考）已知
，若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y 满足
，且不等式
有解，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
4．若关于x 的不等式
对任意
恒成立，则正实数a 的可能值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．（24-25 高三上·上海·期中）若对任意正实数
、
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围
是 .
6．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知
，
，
，且
恒成立，则
的取值范围是
.
7．已知
，
是正实数，且关于
，
的方程
有解，则实数
的取值范围是 .
题型四 函数不等式的恒成立和有解问题
1．（24-25 高三上·上海长宁·期末）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·广东·期末）对任意的
,
（
且
）恒成立，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若不等式
（
，且
）在
内恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若
，使得
成立，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，
对
，
，使得
成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·江苏·期中）已知奇函数
的定义域为
，且
在
上单调递增．若存在
，使得
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五 导数中单变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量
的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
)对
恒成立，则只需
；若
对
恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法(
，
或
，
)求解．
3、等价转化法
当遇到
型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数
，进而只需满足
，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
1．若函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·广西南宁·开学考试）已知函数
，若对
，
，则实数m 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若对任意的
，
，当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南·二模）已知函数
，若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·湖南长沙·三模）若函数
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·河南·模拟预测）已知函数
的图象经过
两点，且
的图象在
处的切线互相垂直，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数
，若
有且仅有2 个整数解，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知不等式
对任意
恒成立，则正实数
的取值范围是 ．
10．（2025·湖南长沙·一模）不等式
对任意
成立，则实数
的取值范围是
.
题型六 导数中双变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
双变量问题与值域关系
1、第1 类.“任意=存在”型
，使得
,等价于函数
在
上上的值域
是函数
在
上的值
域
的子集,即
.
其等价转化的基本思想:函数
的任意一个函数值都与函数
的某一个函数值相等,即
的函数值
都在
的值域之中.此类型出现频率最高.
2、第2 类.“存在=存在”型
，使得
，等价于函数
在
上的值域
与函数
在
上的值域
的交集不为空集,即
.
其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.
3、第3 类.“任意≥(≤、>、<)任意”型
，使得
恒成立等价于
.其等价转化的基本思想是函数
的任何一个函数值均大于函数
的任何一个函数值.同理，可得其他类型.
4、第4 类.
型.
由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为
，解决掉双变量转化为求最值.
上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域.
1．（24-25 高三上·江苏·期末）已知实数x，y 满足
，则下列关系一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的
，不等式
恒成立，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·重庆·月考）函数
，若
恒成立，则
的最小值为
（ ）
A．0
B．1
C．
D．e
4．（24-25 高三下·云南·月考）已知函数
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．16
5．（2024·江西吉安·模拟预测）若
，且
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高三下·陕西安康·月考）若
，对
，
，则实数m 的取值范
围是 ．
7．（23-24 高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数
，若
，
，使得
成立，则实数
的取值范围为 .
8．（2024·湖北黄冈·模拟预测）若存在两个不等的正实数
，
，使得
成立，则
实数的取值范围为 .
题型七 导数中双函数恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
（1）
,
,使得
成立
（2）
,
,使得
成立
（3）
,
,使得
成立
（4）
,
,使得
成立
1．（23-24 高三上·江苏南通·月考）函数
，
，若对任意的
，总存在
，使得
成立，则实数a 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三下·辽宁沈阳·月考）已知函数
，
．若不等式
在
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
3．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
，若存在实数
，使得
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数
，
，当
时，
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，
，若
，
，使得
成立，则实数a 的取值范围是 ．
6．（2024·浙江·模拟预测）已知函数
，
，若关于
的不等式
有解，则
的最小值是 .
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25 高三上·山东济宁·月考）设
，若
恒成立，则k 的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．若存在正实数x，y 满足
，且使不等式
有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，
为真命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·河南许昌·期中）
，
恒成立，则实数
的最大值为
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
5．（23-24 高三上·辽宁·月考）若两个正实数x，y 满足
，且不等式
恒成立，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
6．（2024·云南昆明·一模）“曲线
恒在直线
的上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·吉林四平·期中）已知函数
，
.若“
，
，
使得
成立”为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
．若
在
上有解，则当实数
取最小值时，
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
9．若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10 若函数
在
上存在单调递增区间，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高三下·山西·开学考试）已知函数
，若关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（23-24 高三下·山东德州·月考）已知函数
，
，
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（23-24 高三上·重庆·期中）若关于x 的不等式
的解集中恰有三个整数解，则
整数a 的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4
B．5
C．6
D．7
14．（2025·天津红桥·二模）已知向量
是夹角为60°的单位向量，若对任意的
且
则
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（24-25 高三上·甘肃白银·期末）若存在
，使得
成立，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
16．（2025·贵州黔南·模拟预测）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
和
，若存在实数
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．-e
B．-1
C．
D．
18．（2025·辽宁大连·三模）已知
，若存在
，使得
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，若存在
使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知函数
（
，
），
，若对
，不等式
恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（24-25 高三上·辽宁·月考）已知函数
，
，若对任意
，
，使得
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．若函数
中
的取值范围为R，则
的取值范围是 ．
23．（24-25 高三上·上海嘉定·月考）若命题“对任意的
，都有
”为假命题，则实数
的取值范围为 .
24．（24-25 高三上·江西宜春·月考）若关于
的不等式
在区间
上有解，则实数
的取值范围是 .
25．（24-25 高三下·重庆·月考）已知
，关于x 的不等式
在
上恒成立，则a 的最小值
为 ．
26．（2025·湖南益阳·三模）设实数
，
，
使
成立，则实数
α 的取值范围 ．
27．（2025·河南·三模）已知函数
，其中e 为自然对数的底数，当
时，
恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
28．（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）已知函数
，若存在
，使得
，则实数
的取值范围是 .
29．（24-25 高三上·上海·月考）已知函数
，若关于
的不等式
有且仅有一个正
整数解，则实数
的取值范围是 ．
30．（2025·云南曲靖·一模）已知
，函数
，若
，使得关
于
的不等式
成立，则实数的取值范围是 ．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25 高三下·江苏南京·月考）已知函数
，
，当
时，
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·湖北武汉·期末）设函数
，若存在实数
，使得
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
，若
在
上恒成立，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，若当
时，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·吉林长春·期末）若关于
的不等式
的非空解集中无整数解，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得
，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若存在实数
，使得不等式
成立，则实数
的取值范围是 ．
8．（2025·陕西咸阳·二模）已知方程
的两根为
，
（
），若
，不等式
对任意的
，
恒成立，则正实数m 的最小值为 .
