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重难点培优02 平面向量共线定理及其推论、爪型图（秒
杀）、等和线的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 平面向量共线定理及参数问题（★★★★）................................................................................4
题型二 平面向量共线定理的推论（★★★★★）....................................................................................5
题型三 向量三角形爪型图秒杀法（★★★）............................................................................................6
题型四 等和线解决系数和问题（★★★★★）........................................................................................6
题型五 等和线解决系数差问题（★★★★）............................................................................................7
题型六 等和线解决其他系数问题（★★★）............................................................................................8
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................9
检测Ⅰ组 重难知识巩固................................................................................................................................9
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................11
1、共线向量定理及其推论
（1）定义：如果
，则
；反之，如果
且
，则一定存在唯一的实数
，使
．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）若A、B、C 三点共线
存在唯一的实数
，使得
；
存在唯一的实数
，使得
；
存在唯一的实数
，使得
；
存在
，使得
．
2、向量三角形爪型图秒杀
（1）中线向量定理
如图所示，在
中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量
，反之亦正确．
（2）线段定比分点的向量表达式
如图所示，在
中，若点
是边
上的点，且
（
），则向量
．
3、等和线
平面内一组基底
及任一向量
，
，若点
在直线
上或者在平行于
的直线上，则
（定值），反之也成立，我们把直线
以及与直线
平行的直线称为等和
线。
等和线一般性结论：
当等和线恰为直线
①
时，
；
当等和线在
②
点和直线
之间时，
；
当直线
③
在点
和等和线之间时，
；
当等和线过
④
点时，
；
若两等和线关于
⑤
点对称，则定值
互为相反数；
定值
⑥
k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．
证明：如图1，
为
所在平面上一点，过
作直线
，由平面向量基本定理知：
存在
，使得
B
C
A
D
B
C
A
D
下面根据点
的位置分几种情况来考虑系数和
的值
①若
时，则射线
与无交点，由
知，存在实数
，使得
而
，所以
，于是
②若
时，
（i）如图1，当
在右侧时，过
作
，交射线
于
两点，则
，不妨设
与
的相似比为
由
三点共线可知：存在
使得：
所以
（ii）当
在左侧时，射线
的反向延长线与
有交点，如图1 作
关于
的对称点
，由（i）的
分析知：存在存在
使得：
所以
，于是
综合上面的讨论可知：图1 中
用
线性表示时，其系数和
只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为
三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1 中，过
作
边的垂线
，设
点
在
上的射影为
，直线
交直线
于点
，则
(
的符号由点
的位置确定)，因此
只需求出
的范围便知
的范围
一般解题步骤：（1）确定单位线（当
时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；
（3）从长度比计算最值.
题型
一
平面向量共线定理及
题
参数问
【技巧通法·提分快招】
如果
，则
；反之，如果
且
，则一定存在唯一的实数
，使
．
1．已知向量
，
不共线，若
，
，且
，
，
三点共线，则关于实数
，
的
值可以是（ ）
A．
，
B．
，
C．2，
D．
，
2．已知向量
，
，且
与
方向相反，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．或
3．在
中，
，点
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设两个向量
，
满足
，
，
，
之间的夹角为
，若向量
与向量
的夹
角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在
中，
为边
上的中线，
为
上一点，且
，若
，且
（
），则
．
6．在四边形
中，
，点
是四边形
所在平面上一点，满足
．设
分别为四边形
与
的面积，则
．
题型二 平面向量共线定理的推论
【技巧通法·提分快招】
平面向量共线定理推论：若点
互不重合，
是
三点所在平面上的任意点，且
，则
三点共线是
的充要条件.
A
B
P
C
证明：由
三点共线.
由
得
.
即
，
共线，故A，B，C 三点共线.
证明：由
三点共线
.
由A，B，C 三点共线得
，
共线，即存在实数
使得
.
故
.令
，则有
.
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在
中，点
是线段
上靠近点
的三等分点，过点
的直线分
别交直线
、
于点
、
.设
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中，点O 是
的中点，过点O 的直线分别交直线
于不同的两点M，N，若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．8
C．
D．9
3．在
中，
为
中点，
，设
与
交于点
，则
．
4．已知
是直线上不同的三点，点
在直线外，若
，则
．
5．（24-25 高三上·重庆·月考）在
中，点
满足
为线段
的中点，过点
作一条直
线与边
分别交于点
两点.设
，当
与
的面积
比为
时，则
的值为 .
题型三 向量
爪型图秒杀法
三角形
【技巧通法·提分快招】
已知
在线段
上，且
，则
m
n
A
B
C
D
1．设
为
所在平面内一点，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（2024·云南昆明·一模）在
中，点
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四 等和线
和
题
解决系数
问
【技巧通法·提分快招】
利用等和线求解数值k(k>0) 的基本步骤如下：
（1）连接AB，构造直线AB，
（2）连接（有时需要延长）OP 交直线AB 于点Q，那么k=
，
（3）求
的取值范围时，在动点P 的轨迹内分别作
分别为距离点O 最近与最远
的平行线，下面记
分别为点O 到直线
的距离，记
为点O 到等和线的距离.
又由平面几何知识可得
因为
所以
.
1．在
中，点D 是线段BC 上任意一点，且满足
，若存在实数m 和n，使得
，则m+n=（ ）
A.
B.
C.
D.
2．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 是以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若
，
则
的最大值为（ ）
A.3 B.
C.
D.2
3．已知
为
的外心，若
且
，则
（ ）
4．在平行四边形中ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 边上的中点，且
,其中
，则
___________.
G
F
E
B
D
C
A
5．设长方形
的边长分别是
,点
是
内(含边界)的动点,设
,则
的取值范围是_________
题型五 等和线
题
解决系数差问
1．将两个直角三角形如图拼在一起，当E点在线段AB上移动时，若⃗AE = λ⃗AC + μ⃗AD，当λ取最大值时，
λ−μ的值是 ．
2．如图，在
中，
分别为
上的点，且
，
，
.设
为四边形
内一点（
点不在边界上），若
，则实数
的取值范围为
3．如图,
，点
在由射线
、线段
及
的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且
.当
时，
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六 等和线
其
题
解决
他系数问
1．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，且满足
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．在
中，点
满足
，当
点在线段
上移动时，若
，则
的最小值为 .
3．设点P在以A为圆心，半径为1 的圆弧BC上运动（包含B、C两个端点），∠BAC = 2
3 π，且⃑
AP = x⃑AB+ y⃑AC，则x + y + xy的取值范围为 .
检测Ⅰ组 重难知识
固
巩
1．已知向量
不共线，
，且
，则实数
（ ）
A．1 或4
B．1 或
C．
或1
D．
或1
2．（23-24 高三上·安徽亳州·期中）在
中，
，
，
与
交
于点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．已知
为直线
外一点，且
，若
，
，
三点共线，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．已知直角梯形ABCD 中，
，
，且
，
，点P 是△BCD 内（含边界）任意一点，
设
（
，
），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在
中，点
满足
，点
在射线AD（不含点A）上移动，若
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物萘可以用下左图所示的键线式
“
”
表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知
与
为全等的正六边形．若点
为
右边正六边形
的边界（包括顶点）上的动点，且向量
，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高三上·河南·月考）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以
美感，在菱形
中，
，以菱形
的四条边为直径向外作四个半圆，P 是这四个半圆弧
上的一动点，若
，则
的最大值为（ ）
A．5
B．3
C．
D．
8．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）已知向量
，
不共线，若
，
，且
，
，
三点共线，则关于实
数
，
的值可以是（ ）
A．2，
B．
，
C．2，
D．
，
10．（多选题）如图，在直角梯形
中，
，
，E 为AB 的中点，M，N 分别为线段
DE 的两个三等分点，点P 为线段BD 上的任意一点，若
，则
的值不可能是（ ）
A．
B．3
C．7
D．9
11．已知
，
为互相垂直的单位向量，
，
，且
与
的夹角为锐角，则实数
的取值
范围为 ．
12．在矩形
中，
，动点
在以点
为圆心且与
相切的圆上．若
，
则
的最大值为 ．
13．如图，四边形
是边长为1 的正方形，延长CD 至E，使得
．动点P 从点A 出发，沿正
方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，
．则
的取值范围为 ．
14．如图，直角梯形
中，
，
，若
为
三条边上的一个动点，且
，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上）
满足
①
的点
有且只有1 个；
满足
②
的点
有且只有2 个；
能使
③
取最大值的点
有且只有2 个；
能使
④
取最大值的点
有无数个．
检测Ⅱ组
能力提
创新
升
1．
在单位圆
上，
是两个给定的夹角为
的向量，
为单位圆上动点，设
，且设
的最大值为
,最小值为
,则
的值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
2．如图1，六芒星由两个全等的正三角形组成，中心重合于点
“
”
O 且三组对边分别平行，点A，B 是六芒
“
星（如图
”
2）的两个顶点，动点P 在六芒星上（包含内部以及边界），若
“
”
，则x＋y 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选题）如图所示，在凸四边形
中，对边
，
的延长线交于点
，对边
，
的延
长线交于点
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
4．（多选题）下面四个结论正确的是（ ）
A．点
在
所在的平面内，若
，则点
为
的垂心
B．若对平面中任意一点
，有
，则P，A，B 三点共线
C．在
中，已知
，则
D．如图，扇形的半径为1，圆心角
，点
在弧
上运动，
，则
的最大值是2
5．已知O 为
的外心，满足
，若
的最大值为
，则
．
6．点AB 在单位圆O 上，
、
是两个给定夹角为120°的向量，P 为单位圆上动点，C 为线段OA 上靠
近A 的三等分点，D 为线段OB 上靠近B 的四等分点，设
，则
的最大
值为 .
7．如图在直角梯形
中，
，
，
，动点
在以
为圆心，且与
直线
相切的圆内运动，设
，则
的取值范围是
8．如图，边长为4 的正方形
中，半径为1 的动圆
的圆心
在边
和
上移动（包含端点
），
是圆
上及其内部的动点，设，
，则
的取值范围是
.
