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第 11 讲：第二章 函数与基本初等函数
章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：函数的定义域
1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数 的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】由题意对于 ，得 ，解得 且 ，故C正
确.
故选：C.
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题可得 ，即可解出定义域.
【详解】因为 ，
所以要使函数有意义，
则 ，解得 且 ，
所以 的定义域为 ，
故选：B.
3．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）若函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为
【答案】【分析】
由 的取值范围求出 的取值范围，再令 ，求出 的范围即可.
【详解】
当 时 ，所以 ，
所以 ，即 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
4．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 ，则 的定义域
为 ．
【答案】
【分析】先求出函数 的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解．
【详解】由题意得， ，解得 ，
令 ，则 ，
故 的定义域为 .
故答案为：
5．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】由抽象函数定义域以及复合型对数函数定义域的求法，列出不等式组即可求解.
【详解】由题意函数 的定义域为 ，所以要使函数 有意义，
则 ，解得 ，即函数 的定义域为 .
故答案为： .
题型二：函数的值域(最值）
1．（23-24高二上·广东广州·期末）函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】
设 ，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.
【详解】由 ，解得 ，故 的定义域为 .
设 ，
则 ，
其中， ，
∵ ，则 ，
∴当 ，即 时，
取最大值 ，即函数 的最大值是 .
故选：B.
2．（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，
则下列函数的值域也为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.
【详解】对于A， 的图象可看作由 的图象向左平移一个单位得到的，故值
域不变，正确；
对于B，由 可得 ，即 的值域为 ，错
误；对于C，函数 与函数 的图象关于y轴对称，
故函数 的值域与函数 的值域相同，为 ，正确；
对于D，由 可得 ，即 的值域为 ，错误.
故选：AC
3．（2023高三上·全国·专题练习）函数 的值域是 ．
【答案】
【分析】
将 化为 ，利用余弦函数的有界性，即 ，解不等式
即可得答案.
【详解】由 ，可得 ，
当 时等式不成立，∴ ，则有 ，
∵ ，∴ ， ， 或 ，
∴函数 的值域是 ，
故答案为：
4．（2024高三·全国·专题练习）求函数 的最大值．
【答案】
【分析】通过将两个根式换元为 ， ，函数即为 ，利用 ，建立函数
与等式的关系即可求得其最大值.
【详解】不妨设 ， ，则 ，
因 ，由 可得 ，当且仅当 时等号成立，
由 ，因 ，
故得： ，当且仅当 时函数取得最大值.
5．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数 ， .
(1) 时，求 的值域；
(2)若 的最小值为4，求 的值.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；
（2）设 可将原函数转化为二次函数，对 的取值进行分类讨论，结合二次函数性
质计算即可得.
【详解】（1）由题意得， ， ，
令 ， ， ，
当 时， ， ， 在 上单调递增，
故 ，
故 的值域为 ；
（2）由（1）得 ， ，对称轴 ，
①当 时， 在 上单调递增，
，解得 ；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
无解，舍去；
③当 时， 在 上单调递减，
，解得 ，舍去；
综上所述， .
6．（2023高三·全国·专题练习）求函数 的值域．
【答案】
【分析】先分离常数，再分类讨论 与 ，结合换元法与对勾函数的性质即可得解.
【详解】 ，
当 时， ，当 时， ，
令 ，则 ， ，
所以 ，
由对勾函数的值域可知，当 时， ，
所以 ，
所以 ．
综上所述，函数 的值域为 ．
7．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数 的定
义域为R，求实数 的取值范围；
（2） 的值域为 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由题意可知： 在 上恒成立，分 和 两
种情况，结合 判别式运算求解；
（2）由题意可知： 的值域包含 ，分 和 两种情况，结合二
次函数运算求解.
【详解】（1）由题意可知： 在 上恒成立，
当 ，即 时， ，即 ，不合题意；
当 ，即 时， ，解得 ，
综上所述： 的取值范围是 ；
（2）由题意可知： 的值域包含 ，
当 时， ，因为 ，可得 ，所以 的值域为 ，符合题意；
当 时，则 ，解得 ，
综上所述：实数 的取值范围是 ．
题型三：求函数的解析式
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法令 ，代入运算求解即可.
【详解】令 ，则 ，由于 ，则 ，
可得 ，
所以 .
故选：B.
2．（23-24高一上·天津南开·期中）已知 ，则函数 的表达式为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用配凑法先求出函数 ，再整体代入即可求出函数 的表达式.
【详解】因为
所以
所以 ，即 .故选：C.
3．（23-24高一上·山西太原·期中）已知函数 则（ ）
A． B．
C． 的最小值为-1 D． 的图象与x轴有2个交点
【答案】ABC
【分析】B选项，换元法得到函数解析式；A选项，代入求解即可；C选项，配方求出函数
最值；D选项，解方程，求出答案.
【详解】B选项，令 ，得 ，则 ，
，
故 ， ，B正确；
A选项， ，A正确，
C选项， ，所以 在 上单调递增，
，C正确；
D选项，令 ，解得 或0（舍去），
故 的图象与x轴只有1个交点，D错误．
故选：ABC
4．（23-24高一上·湖北·期末）函数 满足 ，请写出一个符合题意的函
数 的解析式 .
【答案】 (答案不唯一)
【详解】取 ，
则 ，满足题意.
故答案为： (答案不唯一)
5．（2024高一·全国·专题练习）已知 是二次函数且 ， ，
求 .
【答案】【分析】
利用待定系数法即可得解.
【详解】依题意，设 ，所以 ，
而 ，
所以 ，
有待定系数可知 ，解得 ，
所以 .
6．（23-24高一上·河北·阶段练习）（1）已知 ，求 的解析式；
（2） ，求 的解析式.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据整体法即可结合换元法求解，
（2）联立方程即可求解
【详解】（1） ，
令 ，所以 ，
故 ；
（2）由 可得 ，
联立可得 ，
故
题型四：分段函数问题
1．（23-24高三上·安徽六安·期末）函数 ，若
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】
原不等式变形为 ，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出
即可.
【详解】
当 时， ，因为 在 上单调递增，此时 单调递
增，
当 时，易知 单调递增，且当 时， ，
则 在 上单调递增，
因为 ，则 ，
所以由 得 ，
所以 ，解得 .
故选：A.
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 .
又因为函数 在区间 上单调递增，
所以当 时， .
综上可得函数 的最小值为 .
因为 ，使得 成立，所以 ，解得： 或 .
故选：C.
3．（2024高三·全国·专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当
时， ，若 时， 恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据 得到 ，再根据二次函数和指数函数性质求
出 时， 的最小值为 ，则得到不等式，解出即可.
【详解】当 时， .
因为 ，所以 ，即 .
时，函数最小值为 ，
时，函数最小值为 ，
故在区间 上，函数最小值为 .
当 时，最小值为 ，
同理，当 时，最小值为 ，
在直角坐标系内，画出 时图象，所以 ，化简可得： ，
即： ，解得 .
故选：C.
4．（23-24高一下·广西·开学考试）已知 是 上的单调函
数，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】
函数分单调递增和单调递减两种情况结合分段函数单调性列不等式求解.
【详解】若 在 上单调递增，则 解得 .
若 在 上单调递减，则 解得 .
故 的取值范围是 .
故答案为：
5．（23-24高一下·上海·阶段练习）若函数 无最大值，则实数a
的取值范围 .
【答案】
【分析】分类讨论a的取值范围，脱掉绝对值符号，结合函数的单调性以及 无最大值，列出相
应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知当 时， ，
当 时，在 上， ，
此时 在 上单调递增，且 ，
故 时， 有最大值 ，不合题意；
当 时，在 时， ， 在 上单调递减，
在 时， ， 在 上单调递增，
此时要使得函数 无最大值，需满足 且
，
即 ，解得 ，结合 ，则 ；
当 时，在 上， ， 在 上单调递减，
此时要使得函数 无最大值，需满足 ，
即 ，即 ，结合 ，可得 ，
综合以上，实数a的取值范围为 ，
故答案为：
题型五：函数的单调性
1．（2024·陕西西安·二模）已知函数 .若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数判断出函数在定义域上单调递增，根据已知转化出 ，再解出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 是 上的增函数，所以若
则 ，解得 .
故选：D
2．（2024·广东·一模）已知 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数为偶函数及函数在 单调递增即可求解.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，
所以 为偶函数，
又当 时， 单调递增，且 ，
所以由 可得 ，即 ，
解得 ，
故选：B
3．（2024·云南贵州·二模）若函数 的定义域为 且图象关于 轴对称，在 上
是增函数，且 ，则不等式 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先分析不等式在 上的解，再根据对称性得出不等式在上 的解即可.
【详解】因为 在 上是增函数且 ，所以 在 范围内的解
为 .
因为函数 在定义域 上图象关于 轴对称，所以 在 内的解为
，所以不等式 在R内的解为 .
故选：C
4．（2024高一·全国·专题练习）定义 上单调递减的奇函数 满足对任意 ，若恒成立，求 的范围 .
【答案】
【分析】根据 为R上的奇函数且为减函数，可得出 对任意的 恒成立，
这样求出 的最小值，从而便可得出 的取值范围.
【详解】因为 是定义R上的奇函数，所以
，
又因 在R上的单调递减，
所以 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，所以 ，
设 ，对称轴 ，
所以当 时， ，
所以 .
故答案为： .
5．（2024·四川成都·二模）已知函数 ，若 ，则实数 的
取值范围为 .
【答案】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数
不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，
又 ，所以 在 上单调递增，
不等式 ，即 ，
等价于 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用1．（2024·山东烟台·一模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当
时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件，探讨函数 的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在 上的奇函数 满足 ，则 ，
于是 ，即函数 的周期为4，
而 ，则 ， ，又当 时， ，
所以 .
故选：A
2 ． （ 2024· 河 北 沧 州 · 一 模 ） 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ：
，且 ．若 ，则 （ ）
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
【答案】C
【分析】根据条件得到函数 是周期为 的函数，再根据条件得出
，即可求出结果.
【详解】 ，①
，
即 ，所以 ，
所以函数 的图象关于 对称，
令 ，则 ，所以 ，
令 ， ，又 ，所以 ，
又 ， ，②
即函数 的图象关于直线 对称，且由①和②，得 ，
所以 ，则函数 的一个周期为4，
则 ，
所以 .
故选：C
3．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知定义在R上的偶函数 ，其周期为4，当
时， ，则（ ）
A． B． 的值域为
C． 在 上单调递减 D． 在 上有8个零点
【答案】AB
【分析】
对于A选项，利用函数的周期性与奇偶性，计算函数值；对于B选项，利用函数的解析式
求得函数值范围，再利用奇偶性，得出函数的值域；对于C选项，利用函数解析式和周期
性，推得函数的单调性；对于D选项，利用函数的周期性和奇偶性，得出零点个数。
【详解】
对于A， ，所以A正确；
对于B，当 时， 单调递增，
所以当 时， 的值域为 ，
由于函数是偶函数， 在 上的值域也为 ，
又 是周期为 的周期函数，所以 的值域为 ，所以B正确；
对于C，当 时， 单调递增，
又 的周期是4，所以 在 上单调递增，所以C错误；
对于D，令 ，得 ，所以 ，
由于 的周期为4，所以 ，
所以 在 上有6个零点，所以D错误，
故选：AB.
4．（23-24高一下·江西·开学考试）已知 是定义在 上的奇函数，且
，若对于任意的 ， ，都有 ，则（ ）A． 的图象关于点 中心对称 B．
C． 在区间 上单调递增 D． 在 处取得最大值
【答案】BCD
【分析】
根据函数奇偶性、对称性、周期性、单调性的定义和性质，对每个选项进行逐一分析，即
可判断和选择.
【详解】
对A：由 ，得 的图象关于直线 对称；
又 是定义在 上的奇函数，所以函数 的图象关于原点对称；
由对称性可知，函数 的图象关于点 中心对称，
再根据 是奇函数可得，函数 的图象关于点 中心对称，A错误；
对B：由 与 ，
得 ，所以 ，B正确；
对 C：因为对于任意的 ， ，都有 ，所以 在
上单调递减，
又函数 的图象关于点 中心对称，则 在 上单调递减，
因为 的图像关于直线 对称，则 在区间 上单调递增，C正确；
对D：由C可知， 在 处取得最大值， ，
则 在 处取得最大值，D正确.
故选：BCD.
5．（2024·吉林白山·二模）已知函数 的定义域为 ，其图象关于 中心对称，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据对称性即可判断 A，根据 ， ， 的值即可排除 B,根据可求解C，根据 即可求解D.
【详解】因为 的图象关于 中心对称，则 ,故A正确；
由 ，可得 ，则 ，取
得 ，
在 中取 可得 ，则 ，
由 ，得 ，故B错误；
由 ，得
① ②，
②-①得 ，又
，故C正确；
又由①
，故D正确.
故选：ACD.
6．（23-24高三下·陕西·开学考试）已知定义在 上的函数 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ，则方程 在 上的实根个数为
．
【答案】
【分析】
根据条件确定函数周期性，画出函数 在区间 上的图象，根据图象可得实根个数.
【详解】函数 为奇函数，即 ，对称中心为 ，
函数 为偶函数，即 ，对称轴为 ，
又由 可得
函数 是周期函数，且周期为 ，
当 时， ，则 ，
令 ，得 ， 单调递增，
令 ，得 ， 单调递减，所以 .
作出函数 在区间 上的图象如下：
即在区间 上，方程 有 个实根，
又 ,
则方程 在 上的实根个数为 .
故答案为： .
题型七：不等式中的恒成立问题
1．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数 .若
，使得 成立，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据基本不等式及函数的单调性求得 ，结合题意知 ，解
出即可.
【详解】因为 ，
当且仅当 ，且 即 时等号成立，
所以 ，
又函数 在 上单调递增，
所以 ，
由题意可知 ，
即 ，所以 ，
故选：C.
2．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知正实数 满足 ，且
对任意 恒成立，则实数 的最小值是 .【答案】
【分析】利用分离常数法，结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】依题意， ，解得 ，则
由 得 ，
其中
①，
则当 时①式取得最大值 .
所以 的最小值是 .
故答案为： .
3．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）定义域为 的函数 满足 ，当
时， ，若当 时，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】
求函数在 上的最小值，再由递推关系得出函数在 最小值，即可转化为
求解即可.
【详解】
当 时， ；
当 时， ，当 时， 的最小值为 ，
又 函数 满足 ，
当 时， 的最小值为 ，
当 时， 的最小值为 ，
若 时， 恒成立，
恒成立．
即 ，解得 ，即 .
故答案为：
4 ． （ 23-24 高 一 下 · 北 京 延 庆 · 阶 段 练 习 ） 设 为 常 数 ， 且 ， 函 数
，若对任意的实数 ，都有 成立，求实数 的取值范
围．
【答案】
【分析】由题意，转化为 ，令 ，即
，设 ，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求
解.
【详解】由函数 ，
则对任意的实数 ，都有 ，即为 成立，
即 ，
令 ，即 ，
设 ，可得函数 开口向上，且对称轴为 ，
因为 ，所以 ，所以函数 在 上单调递减，
要使得 ，只需 ，即 ，
解得 或 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
5．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数 的定义域.(2)判断函数 的奇偶性，并说明理由.
(3)对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数 为非奇非偶函数，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据函数 的解析式有意义，得出不等式组，即可求解；
（2）根据函数 的定义域的不关于原点对称，即可得到结论；
（3）根据题意，转化为 ，根据函数 的单调性，求得 ，得
到 ，
法一：转化为 ，令 ，求得 ，即可求解；
法二：分 ， 和 ，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 有意义，则满足 ，
解得 ，所以函数 的定义域为 .
（2）解：因为 的定义域为 ，不关于原点对称，
所以函数 为非奇非偶函数.
（3）解：由“对 ，不等式 恒成立”，
可得 ，
当 时，
由 在 上单调递减， ，
根据题意得，对
法一：可转化为 ，
令 ，由 在 上单调递减得，可得 ，
实数 的取值范围为 .法二：设函数 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递减，
可得 ，解得 ，则 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递增，
可得 ，解得 ，则 ；
③当 ，即 时， 在 先减后增，
可得 ，解得 ，所以 ，
综上，实数 的取值范围为 .
6．（23-24高一上·北京·期中）若二次函数满足 ，且
(1)确定函数 的解析式；
(2)若在区间 上不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求函数解析式；
（2）依题意，问题转化为则 在 上恒成立，令
，利用单调性求 最小值即可.
【详解】（1）设二次函数 ，
则 ，
已知 ，所以 ，解得 ，
又 ，得 ，
.
（2）在区间 上不等式 恒成立，则 在 上恒成立，
令 ，可知 在 上单调递减，
则 ，得
所以实数 的取值范围为 .题型八：不等式中的能成立问题
1．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知定义在 上的函数
，且 是偶函数．
(1)求 的解析式；
(2)当 时，记 的最大值为 ． ，若存在 ，使
，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）令 ，结合偶函数的定义计算即可;
（2）借助函数的单调性求出 的最大值为 ，再对 进行参变分离求出
最值即可.
【详解】（1）记 ，
为偶函数， 恒成立，
即 恒成立，
恒成立，
恒成立，即 恒成立， ，
.
（2） 和 都是单调递增函数,
在 是单调递增的，
,
在 上有解，
在 上有解，
在 上有解，在 上单调递增，
,
.
2．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数 ，
(1)若 的值域为 ，求满足条件的整数 的值；
(2)若非常数函数 是定义域为 的奇函数，且 ， ，
，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】
（1）根据函数 的值域为 ，可得函数 的值域包含 ，再分 ，
和 三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
（ 2 ） 根 据 函 数 的 奇 偶 性 求 出 函 数 的 解 析 式 ， 再 根 据
，则只要 即可，求出函数 的最小
值，再从 分情况讨论，结合二次函数的性质求出 的最小值即可．
【详解】（1）因为函数 的值域为 ，所以函数 的值域包含 ，
，
当 时， ，其值域为 ，不满足条件，
当 时，令 ，则函数 的对称轴为 ，
当 时， ，即 的值域为 ，
所以 ，解得 ，
当 时， ，则函数 的值域为 ，即函数 的值域为
，不满足条件，综上所述， ，所以满足条件的整数 的值为 ；
（2）因为函数 是定义域为 的奇函数，
所以 ，即 ，解得 或 ，
由函数 不是常数函数，所以 ，
经检验，符合题意，即 ，
由 ， ， ，
得 ， ， ，
只要 即可，
当 时， ，
所以函数 ，则 ，
，
令 ，因为 ，所以 ，
函数 ，
当 时， ，则 时， 恒成立，符合题意；
当 时，函数 的对称轴为 ，
当 时，则 时， 恒成立，符合题意；
当 ，即 时，则 时， ，所以 ，不等式组无解；
当 ，即 时，则 时， 恒成立，符合题意；当 ，即 时，则 时， ，所以 ，解得
，
综上所述， 的取值范围为 .
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
3．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）已知函数 是定义在
上的奇函数.
(1)求 的值；
(2)若 ， ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由奇函数的性质可得 ，解方程即可求解；
（2）由 ，求出 的取值范围，判断 的单调性，根据 的单调性和奇偶性
脱去符号“ ”，参变分离后，求出函数的最小值即可.
【详解】（1） 是定义在 上的奇函数，
，解得 ，
当 时， ， ，
为 上的奇函数，
故 ；（2）由（1）知 ，
，解得 ，
易知 是 上的单调递减函数，
又 是定义在 上的奇函数，由 ，
故 ，使得 成立，
即 ，使得 成立，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
.
4．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数 在
上单调递减.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，求x的取值范围；
(3)若对任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数t的取值范
围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出关系式，即可求解；
（2）由函数 的图象与性质，把不等式转化为 ，结合不等式的解
法，即可求解；
（3）根据题意，转化为 ，得到 ，再由题意，转化
为 ，结合一次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由幂函数 在 上单调递减，可得 ，解得 ，
所以 .
（2）解：由函数 图象关于y轴对称，且在 上单调递增，
则 可化为 ，平方得 ，
化简得 ，解得 ，所以x的取值范围是 .
（3）解：由（1）知 ，
因为对 ，使得 都成立，
所以 ，其中 ，
由（1）可得函数 在 上的最大值为4，所以 ，
因为存在 ，使得 成立，可得 ，
又因为 ，所以 是关于 的单调递增函数，
所以 ，即 ，解得 或 ，
所以实数t的取值范围为 .
5．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数 的图象经过点 ．
(1)求 的值，判断 的单调性并说明理由；
(2)若存在 ，不等式 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ； 是 上的单调递增函数，理由见解析；
(2) ,
【分析】（1）由函数经过点 求 的值，得到 的解析式，用定义法证明函数的单
调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为 在 , 上有解，利用参
数分离法结合基本不等式可求出实数 的取值范围．
【详解】（1）函数 经过点 ，所以 ，解得 ，即 ，
，
则 是 上的单调递增函数，理由如下：
任取 、x ∈R，且 ，则 ，
2
则 ，
所以 ，即 ，
所以 是定义域 上的单调递增函数．
（2）因为 ，
故 是奇函数且在 上单调递增，
则不等式 等价于 ，
所以 ，即 ，
即存在 ,不等式 有解，
即 在 , 上有解，
由 , ，可得 ，
由对勾函数性质易知： 在 单调递减，在 单调递增，
且 ，故 在 的最大值为 ，
所以 ，即
所以 ，
即实数 的取值范围是 , ．
题型九：函数的图象
1．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）以下最符合函数 的图像的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的定义域，奇偶性，特殊值，排除选项.
【详解】当 时， ，所以函数的定义域为 ，故排除A；
，所以函数为奇函数，关于原点对称，故
排除D；
，故排除B，满足条件的只有C.
故选：C
2．（23-24高三下·四川遂宁·开学考试）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.
【详解】 ，则 的定义域为R，又 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当 时， ，故排除A.
故选：B.
3．（2024·福建·模拟预测）函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的性质，判断函数图象的形状.
【详解】因为 ，所以 ，
所以函数 为偶函数，图象关于 轴对称，故排除答案CD，
又 ， ，
设 ， ，则 ， .
所以 在 上为增函数，又 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上单调递增，故排除B.
故选：A
4．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长
为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么
点P所走的图形是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由点 在第二条边上运动时， 的单调性可排除A，由图象的对称性可排除 ，由一开始
与 是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意.
【详解】对于A，点 在第一条边上时， ，
但点 在第二条边上运动时， 是随 的增大先减小（减到最小时 即为三角形的第二条
边上的高的长度），然后再增大，
对比图象可知，A错误；
对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误；
对于C，一开始 与 的关系不是线性的，C错误；
对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为 ，
点 在第一条边上时（即 时）， ，
点 在第二条边上运动时（即 时）， ，依然单调递增，
点 在第三条边上运动时（即 时）， ，单调递减，
点 在第四条边上运动时（即 时）， ，单调递减，
且已知 与 的图象关于 （其中 ）对称，D正确.
故选：D.
5．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的取值情况判断
即可.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；
又 ，当 时 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，故排除B.
故选：C
题型十：指数函数，对数函数，幂函数
1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知 ， ， ，则a，
b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.
【详解】由题意可得： ，，且 ，则 ，
因为 ，则 ，
故选：B
2．（2024·浙江·二模）若函数 为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【分析】
根据偶函数满足的关系即可化简求解.
【详解】 的定义域为 ，
，
由于 为偶函数，故 ，即
，
故 ，解得
故选：A
3．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放
的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为
，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 ，第n次改良工艺
后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型 （ ，
），其中 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， 为首次改良工艺后排放的废
水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过
时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最
少为（ ）（参考数据： ， ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【分析】
由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得 ，由 ，解不等式
即可求解.
【详解】由题意知 ， ，
当 时， ，故 ，解得 ，所以 ．
由 ，得 ，即 ，
得 ，又 ，
所以 ，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．
故选：D
4．（2024·河南郑州·模拟预测）函数 是偶函数，则a的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 是偶函数，可得 ，从而可求解.
【详解】
因为 是偶函数，所以 ，所以 ，
故D正确.
故选：D.
5．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为 的函数 满足 ，且当
时， ，则 .
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得 ，所以 ，
所以 ，即 是函数 的一个周期，
所以 .
故答案为：
6．（2024·河南·模拟预测）若 是偶函数，则实数
．
【答案】
【分析】因为 是偶函数，所以 ，据此即可求解,注
意检验.【详解】因为 是偶函数，定义域为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，此时 ，
满足题意.
故答案为： .
题型十一：函数中的零点问题
1．（2024·陕西·二模）已知 ， 是函数 的两个零点，
则 （ ）
A．1 B．e C． D．
【答案】D
【分析】
由题意构造 ，将原函数的零点问题转化为 的图象的交
点问题，判断函数的对称性，即可求得答案.
【详解】由 ，可知 ，
故 时，则可得 ，
而 ， 是函数 的两个零点，
令 ，则 的图象必有两交点
且 ， 是两交点的横坐标，
由于 ，即 的图象关于点 对称，
而 ，即 的图象也关于点 对称，
故 的交点关于点 对称，则 ，
故 ，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，解答的关键是根据函数特征，构造新函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，结合对称性即可解决.
2．（2024·四川·模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，对任意的
，都有 成立，且当 时， ，若在区间 内
方程 有5个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知函数 的图象关于 轴对称且周期为4，由此可画出函数 在区间
上的图象，若在区间 内方程 有5个不同的实数根，即
函数 与 的图象有5个交点，数形结合列出不等式组求解即可.
【详解】
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于 轴对称，
因为对任意的 ，都有 成立，
所以 ，
所以函数 的周期为4，
画出函数 在区间 上的图象，如图所示：
若在区间 内方程 有5个不同的实数根，
即函数 与 的图象有5个交点，
显然 ，则 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：D．
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设 ，函数的零点分别为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意 分别为函数 与函数 图象交点的横坐标，作出
函数 的图象，结合函数图象即可得解.
【详解】分别令 ，
则 ，
则 分别为函数 与函数 图象交点的横坐标，
分别作出函数 的图象，如图所示，
由图可知， .
故选：A.
4．（2024·陕西榆林·二模）已知函数 恰有3个零点，则整
数 的取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意解出 ， ，分别画出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】令 ，得 或 ；
作出 的大致图象，如图所示，
这两个函数的图象的交点为 ，因为 ，
所以由图可知 的取值范围是 .故整数 或2，个数为2.
故选：B
5．（2024·广东·一模）已知 ，函数 .
(1)求 的单调区间.
(2)讨论方程 的根的个数.
【答案】(1)减区间为： ， ；增区间为： .
(2)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.
（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.
【详解】（1）因为 （ ）.
所以： .
由 ，又函数定义域为 ，
所以函数在 和 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，所以：当 时， ，方程 无解；
当 ，函数在 上递减，在 递增，
所以 ，所以方程 无解.
综上可知：方程 的根的个数为 .
题型十二：函数模型的应用
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽
车每小时耗油量 （单位：L）与速度 （单位：km/h）（ ）的下列数据：
0 40 60 80 120
0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.
【详解】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为 ；第二，在定义域
单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点.
A选项：函数 在定义域内单调递减，故A错误；
B选项：函数 的单位增长率恒定不变，故B错误；
C选项： 满足上述三点，故C正确；
D选项：函数 在 处无意义，D错误.
故选：C
2．（2024·四川宜宾·二模）根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型
，其中 （单位：万辆）为第 年底新能源汽车的保有量， 为年增长
率， 为饱和度， 为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初
始值，以后每年的增长率为 ，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的
保有量约为（ ）（结果四舍五入保留整数，参考数据： ）
A．65万辆 B．64万辆 C．63万辆 D．62万辆
【答案】B
【分析】
把已知数据代入模型 ，求出对应的值即可．
【详解】根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023年的为初始值，则2033年底该省新能源汽车的保有量为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.
故选：B.
3．（23-24高一上·广东东莞·期末）某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增
加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值 （万
元）与新政策实施年数 （年）的关系，现有以下三种函数模型： ， （
，且 ）， （ ，且 ），选出你认为最符合实际的函数模
型，预测该企业2024年的年产值约为（ ）（附： ）
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年产
278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811
值
A．924万元 B．976万元 C．1109万元 D．1231万元
【答案】C
【分析】
观察表格中数据，越往后的年份的产值比上一年增加的越多，由此可结合函数的性质确定
最符合实际的函数模型，再代入数值计算，即得答案.
【详解】由表中数据可知该企业年产值 （万元）随着新政策实施年数 （年）的增加而
增加，
结合2012年比2011年增加31万元，2021年比2020年增加82万元，
可知越往后的年份比上一年增加的产值越多，即y的增长速度越来越快，
结合三种函数模型： ， （ ，且 ）， （ ，且
），
可知 （ ，且 ）为最符合实际的函数模型；
则 ，故 ，
故预测该企业2024年的年产值约为 ，则 （万
元），
即预测该企业2024年的年产值约为1109万元，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据表中数据分析数据的增加趋势，即函数值的增加速度越来越快，从而确定最符合实际的函数模型，还要注意选择接近于2024年的产值去
计算，更为精确一些.
4．（23-24高三上·福建泉州·期末）函数 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如
（ ）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由函数 的数据即可得出答案.
【详解】由函数 的数据可知，函数 ，
偶函数满足此性质，可排除B，D；
当 时，由函数 的数据可知，函数 增长越来越快，可排除C.
故选：A.
5．（23-24高一上·湖北荆门·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门
选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速 .经多次测试得到，
该汽车每小时耗电量 （单位： ）与速度 （单位： ）的下列数据：
0 10 40 60
0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
， ， .
(1)当 时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数
解析式；
(2)现有一辆同型号汽车从 地驶到 地，前一段是 的国道，后一段是 的高速
路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量 （单位： ）与速度的关系是：
（ ），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】(1)选择 ，
(2)当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度为 时，该车从
地到 地的总耗电量最少，最少为 .
【分析】
（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式.
（2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）
对于 ，当 时，它无意义，所以不合题意；
对于 ，它显然是个减函数，这与 矛盾；
故选择 .
根据提供的数据，有 ，解得 ，
当 时， .
（2）
国道路段长为 ，所用时间为 ，所耗电量为:
，
因为 ，当 时， ；
高速路段长为 ，所用时间为 ，
所耗电量为
，
当且仅当 即 时等号成立.
所以 ：
故当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度为 时，该车从 地到 地的总耗电量最少，最少为 .
6．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产
大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球
首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95 的水冲泡，等茶水温度降至60
饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的
放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位： ）与时间（单位：
分钟）的部分数据如下表所示：
时间／分钟 0 1 2 3 4 5
水温／ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33
(1)给出下列三种函数模型：① ，② ，③
，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，
简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.
(2)根据（1）中所求模型，
（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据： ）
【答案】(1)选模型② ，理由见解析，解析式为
(2)（i）实验室室温为 ，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为
．
【分析】
（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型
②，把前3组数据代入求出 ， ， 的值，即可得到函数解析式；
（2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令 ，结合对数的运算性质求出
的值即可．
【详解】（1）
由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
模型③ 为单调递增的函数，不符合，
模型① 为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型② ，
则 ，解得 ，所以 ；
（2）
（i）因为当 趋于无穷大时， 无限接近于 ，
所以推测实验室室温为 ；
令 ，则 ，
所以 ，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为 ．
第二部分：新定义题
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）对于整系数方程 ，当 的最高次幂大于等于3
时，求解难度较大.我们常采用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根 ，则
，若 已经可以求解，则问题解决；否则，就对 再一次
试根，分解因式，以此类推，直至问题解决.求根的过程中常用到有理根定理：如果整系数
方程 有有理根 ，其中 、 ， ，
，那么 ， .符号说明：对于整数 ， ， 表示 ， 的最大公约数；
表示 是 的倍数，即 整除 .
(1)过点 作曲线 的切线，借助有理根定理求切点横坐标；
(2)试证明有理根定理；
(3)若整数 ， 不是3的倍数，且存在有理数 ，使得 ，求 ， .
【答案】(1) 或 或
(2)证明见解析
(3) ， ， ， .
【分析】(1)由过点求切线的方法得出关于 的方程，再试出一个方程的根，求出剩余根；
(2)由新定义变形整系数方程即得；
(3)先证得方程无整数解，设出有理根后代入求根即可求出 ， .
【详解】（1）设切点为 ，∵ ，当 时切线为 ，此时切线斜率
为 不合题意，所以 ，∴ 即：∴ ,由有理根定理知，该方程有理根可能为： ， ， ，经验证 满足方程，
即有理根有 ，进一步分解因式为： ，
即： 或 或 .
（2）因为 是 的一个有理根，因此在有理数域上
，
从而
所以，可将 分解为： ，式中
都是整数
比较两边系数，即得 ， .因此， ， .
（3）求解之前先引入下面引理：
引理 方程 不存在整数解.
证明：假设存在整数解 ，即 ，
变形为 ,
∴ 是1的约数，即 ,
当 时， ，因此不成立,
当 时， ，即 .
又因为整数 ， 不是3的倍数，不妨设 或 ， ,
即 或 .所以 是除以3余1的数，同理可得 也
是除以3余1的数；
所以 除以3的余数为2，与 矛盾,
所以不存在整数解 .
下面正式求解：
假设这样的 写成最简分数是 ，其中 .根据引理， ，因此
，化简得到 .
注意到 是整数，所以 是 的约数，
另外 ， 互质，所以代入回上面的式子，得到 ，即 是4的约数.
考虑到 ， 互质，
分别代入即可，当 时， ，矛盾.
当 时，也就是 ， .
可得： ， ， ， .
【点睛】思路点睛：本题考查学生应用新定义解决问题的能力，题目给定求解整系数方程
的根的方法和有理根定理，引导学生先试根，目的是把原方程降幂变得更好解决.
2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）设 ，我们常用 来表示不超过 的最大整数.
如： .
(1)求证： ；
(2)解方程： ；
(3)已知 ，若对 ，使不等
式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2) 或 或 .
(3)
【分析】（1）设 ，就 、 分类讨论后可证该恒等
式；
（2）利用 可得 ，求出其解后逐个检验可得原方程的解；
（3）求出 的最大值后参变分离，从而可求参数的取值范围.
【详解】（1）设 ，
若 ，则 ， ，
故 ，而 ， ，故 .
若 ，则 ， ，故 ，而 ， ，故 .
综上， .
（2）因为 ，故 ，
因为 ，故 ，故 ，故 ，
若 ，则 ，又 ，故 符合；
若 ，则 ，故 ，又 ，不符合 ，均舍；
若 ，则 ，故 ，又 ，故 符合；
若 ，则 ，故 ，又 ，故 符合；
综上， 或 或 .
（3） ,
当 时， ，故 ，故
因为对 ，使不等式 成立，
故 在 上恒成立，
故 在 上恒成立，而 在 上恒成立，
故 在 上恒成立，
设 ， ，
因为 在 上均为增函数，故 ， 为增函数，
故 ，
设 ，
设 ，
则 ，
而 ，故 ，故 ，即 ，故 为减函数，
故 ，故 .
【点睛】方法点睛：与取整函数有关的证明问题，可将实数表示整数部分和小数部分，从
而便于证明，而与绝对值有关的不等式恒成立或有解问题，注意利用公式去掉绝对值符
号，便于参变分离.
3．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问
题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，这种求方
程根的方法，在科学界已被广泛采用.设实系数一元三次方程：
—①，在复数集C内的根为 ， ， ，可以得到，方程①可变为：
，展开得：
—②，比较①②可以得到一元
三次方程根与系数关系：
(1)若一元三次方程： 的3个根为 ， ， ，求 的值；
(2)若函数 ，且 ， ，求 的取值范
围；
(3)若一元四次方程 有4个根为 ， ， ， ，仿造上述
过程，写出一元四次方程的根与系数的关系.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据题意得到 ， ，再利用完全平方公式即可得解；（2）观察条件，构造函数 ，从而得到 是方程 的三个根，
进而得到 ，由此得解；
（3）利用多项式运算，依照一元三次方程根与系数关系求解的过程即可得解.
【详解】（1）依题意，对于 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（2）因为 ，则 ，
令 ，则 是方程 的三个根，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以
（3）因为 （ ）有4个根为 ， ， ， ，
所以 ，
展开得
，
对比可得一元四次方程的根与系数的关系为 .
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，观察式子转化得
，从而构造函数得解.
