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专题06 函数的图象、零点、方程及其应用
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
函数的图象、零点、方程及其应用近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2019 年全国III 卷（理科），第7 题,5
分
根据函数解析式判断图象
2019 年全国I 卷（文科），第5 题,5 分
根据函数解析式判断图象
三角函数
2021 年全国甲（理科），第21 题,5 分
函数与函数的交点
导函数
2022 年全国乙（文科），第8 题,5 分
根据函数图象判断解析式
三角函数
2022 年全国乙（理科），第21 题,12 分
函数的零点
导函数
2022 年全国甲（理科），第5 题,5 分
根据函数解析式判断图象
三角函数
2022 年全国甲（理科），第11 题,5 分
函数的零点
三角函数
2022 年全国甲（理科），第21 题,12 分
函数的零点
导函数
2023 年全国甲（理科），第10 题,5 分
函数与函数的交点
三角函数
2023 年全国乙（文科），第8 题,5 分
函数的零点
导函数
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，一般出1-2 个选择题，解答题也会考查函数的零点与方程；
2.根据函数的图象判断解析式或根据函数解析式判断图象，常常跟三角函数一起出题；
3.考查函数零点的个数，判断零点所在的区间，根据零点的数量求参数的取值范围。
【备考策略】1.能根据描点或初等函数图象作出其他简单复合函数的图象.
2.会根据函数解析式判断函数图象.
3.掌握函数图象的变换规则.
4.了解函数的零点与方程的解的关系.
5.理解函数零点存在定理,并能简单应用.
6.了解用二分法求方程的近似解.
【命题预测】1.考查函数零点的个数，根据零点的数量求参数的取值范围；
1
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2.根据函数解析式判断图象，可跟三角函数一起出题，重点考查函数的性质。
知识讲解
一、利用描点法作函数图象
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线,具体为
(1)①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
2
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(2)列表(找特殊点、零点、最大值点、最小值点以及与坐标轴的交点).
(3)描点、连线.
二、利用图象变换法作函数的图象
1.平移变换
①y=f(x)的图象
y=
f ( x-a
)
的图象;
②y=f(x)的图象
y=
f ( x ) +b
的图象.
2.对称变换
①y=f(x)的图象
y=
-f ( x )
的图象;
②y=f(x)的图象
y=
f ( -x )
的图象;
③y=f(x)的图象
y=
-f ( -x )
的图象;
④y=ax(a>0 且a≠1)的图象
y=
log
ax ( a>
0 且
a ≠ 1 )
的图象.
3.伸缩变换
①y=f(x)的图象
y=
f ( ax
)
的图象;
②y=f(x)的图象
y=
af
( x )
的图象.
4.翻转变换
①y=f(x)的图象
y=
|f ( x ) |
的图象;
②y=f(x)的图象
y=
f ( |x|
)
的图象.
有关对称性的常用结论
(1)函数图象自身的轴对称
①f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y 轴对称;
②函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);
③若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b
2
对称.
(2)函数图象自身的中心对称
①f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;
②函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);
③函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x);
④若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c 为常数),则函数y=f(x)的图象关于点
(
a+b
2
, c
2)对称.
图象变换法作函数的图象
（1）熟练掌握几种基本初等函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形
3
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如y=x+1
x 的函数.
（2）若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,
但要注意变换顺序.
识别函数图象,可以从函数的单调性判断图象的变化趋势,从函数的奇偶性判断图象的对称性,并结合取特
殊值判断函数图象.
函数图象平移变换的规律
1.y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)或y=f(x-a)的图象;
2.y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x) +k 或y=f(x) -k 的图象.
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质:
①从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值;
②从图象的对称性分析函数的奇偶性;
③从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性.
当不等式问题不能用代数法求解,但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系问题,
从而利用数形结合求解.
利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象研究方程的根,方程f(x)=0 的根就是f(x)的图象与x 轴交点的
横坐标,方程f(x)=g(x)的根是函数y=f(x)与函数y=g(x)图象的交点的横坐标.
三、函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使函数y=f(x)的值为0 的实数x 叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.几个等价关系
方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与
x 轴
有交点⇔函数y=f(x)有
零点
.
3.函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且
f ( a ) · f ( b ) < 0
,那么,函数y=f(x)在区间
( a , b )
上
有零点,即存在c∈(a,b),使得
f ( c ) = 0
,这个
c
也就是方程f(x)=0 的根.
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
(4)函数的零点是实数,而不是点,是方程f(x)=0 的实根.
(5)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以
f(a)·f(b)<0 是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
四、二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且
f ( a ) · f ( b ) < 0
的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
为二,使区间的两个端点逐步逼近
零点
,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
五、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
4
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判别式符号
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x 轴的交点
( x 1, 0 ),(
x 2, 0 )
( x 1, 0 )
无交点
零点个数
2
1
0
利用函数零点存在定理判断零点所在区间时,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.
(1) 通过解方程,判断函数的零点个数,所对应方程f(x)=0 有几个不同的实数解就有几个零点.(2)函数零点个数
转化为两个函数图象交点的个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不
同的值,就有几个不同的零点.
1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合.
2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题,需准确画出
两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题,通过画图分析图象的特征、图象间的关系,从而
解决问题,提升直观想象核心素养.
六、几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b 为常数,且a≠0)
反比例函数模型
f(x)=k
x +b(k,b 为常数,且k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且a≠0)
指数型函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且a≠1)
对数型函数模型
f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且a≠1)
幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,且a≠0,n≠0)
七、三种函数模型的性质比较
函数
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞) 上
的增减性
单调
递增
单调
递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的
变化
随x 的增大逐
渐表现为与
y 轴
平行
随x 的增大逐渐表现为与
x 轴
平行
随n 值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符
合实际的情况.
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
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(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
二次函数模型的求解策略:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函
数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,然后比较大小求出分段函数的最值.
幂函数模型的应用求解策略
(1)给出含参数的函数关系式,利用待定系数法求出参数的值,明确函数关系式.
(2)根据题意,直接列出相应的函数关系式.
利用模型f(x)=ax+b
x 求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.
应用指数函数、对数函数模型解题时,关键是对模型的判断,先设定模型,将有关数据代入验证,确定参数,
求解时要准确地进行指数运算、对数运算,灵活地进行指数与对数的互化.
考点一、
作函数图象
1．一给定函数
的图象在下列图中，并且对任意
，由关系式
得到的数列
满足
，则该函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由关系式
得到的数列
满足
，根据点与直线之间的位置关系，
的图象在
上方．根据选项即可得到正确的答案．
【详解】一给定函数
的图象在下列四个选项中，并且对任意
，由关系式
得到
的数列
满足
．得
，所以
在
上都成立，即
，
，所
以函数图象都在
的上方．故A 符合，其他均不符合.
2．作出下列函数的图象:（1）
；（2）
.
【详解】(1)
,故函数的图象可由
的图象向右平移1 个单位长度,再向上平移2 个
单位长度得到,如图①所示.
(2)先用描点法作出函数
的图象,再把
轴下方的图象沿
轴向上翻折,
轴上方的图象不变,
如图②实线部分所示.
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3.（2019 年浙江省高考试卷）在同一直角坐标系中，函数
且
的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题通过讨论
的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断
得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当
时，函数
过定点
且单调递减，则函数
过定点
且单调递增，函数
过定点
且单调递减，D 选项符合；当
时，函数
过定点
且单调递增，则
函数
过定点
且单调递减，函数
过定点
且单调递增，各选项均不符合.综上，
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通
过讨论
的不同取值范围，认识函数的单调性.
1．某地一年内的气温
（单位：
）与时间t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为
.令
表示时间段
的平均气温，
与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的是（
）
7
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】用排除法，根据
的图象，确定
的性质排除错误选项后可得．
【详解】由已知
的图象，
时，
，排除C；
时，
，排除D；在大于6 的某一
段平均气温超过10，排除B．只有A 正确．
2．作出下列函数的图象:(1)
;(2)
.
【详解】(1)将
的图象向左平移1 个单位长度,得到
的图象,再将所得图象向下平移1 个单位长
度,得到
的图象,如图①所示.
(2)首先作出
的图象,然后将其向右平移1 个单位长度,得到
的图象,再把所得图象在
轴
下方的部分翻折到
轴上方,即得所求函数
的图象,如图②所示(实线部分).
3．（2021 年广东省部分名校模拟）函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，根据指数函数的性质，作出分段函数的图象即可.
【详解】
，
当
时，因为
，所以
过点
且单调递增，结合指数函数的图象特点，排除选项A、C、D.
8
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考点
二
、
函数图象的判断
1．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）函数
在区间
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C.
2．（2022 年全国高考乙卷数学（文）试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，
则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.
1．函数
的部分图象大致为（ ）.
A B C D
【答案】B
【详解】由题设知
为奇函数,且当
时,
,当
时,
.
2．（2023 年新高考天津数学高考真题）函数
的图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A、C 中函数在
上的
10
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函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
考点
三
、
函数图象的平移规则
1．已知定义在区间
上的函数
的图象如图所示，则
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，由已知函数图象可知
，令
，解得
，故
，故排除A、C.由已知函数图象可得
，令
，解得
，故
，故排除D.综上选B.
2．函数
的反函数图象大致是（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求已知函数的反函数，再结合反比例函数的图象及图象变换性质判断其图象.
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以函数
的反函数为
，
函数
的图象可由反比例函数
的图象向左平移一个单位得到，从选项得知B 满足.
3．(2023 年扬州模拟)为了得到函数
的图象,只需把函数
的图象上所有的点（ ）
A.向左平移3 个单位长度,再向上平移1 个单位长度
B.向右平移3 个单位长度,再向上平移1 个单位长度
C.向左平移3 个单位长度,再向下平移1 个单位长度
D.向右平移3 个单位长度,再向下平移1 个单位长度
【答案】C
【详解】将所求函数变形为
,由对数运算性质,可改写为
,
只需先向左平移3 个单位长度,再向下平移1 个单位长度,即得到所求函数,故选C.
1．函数
的图象如图所示,则函数
的图象为（ ）.
A B C D
【答案】D
【详解】将函数
的图象作以
轴为对称轴的翻折变换,得到函数
的图象,再将图象向右平移1 个
单位长度,即可得到函数
的图象.
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2．若函数
的反函数为
，则函数
与
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
和
关于
对称是反函数的重要性质；而将
的图象向右平移
个单位
后，得到的图象的解析式为
而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．
【详解】函数
是由
向右平移一个单位得到，
由
向右平移一个单位得到，
而
和
关于
对称，从而
与
的对称轴也是由原对称轴向右平移一个
单位得到即
，排除B，D；
A，C 选项中各有一个函数图象过点
，则平移前的点坐标为
，则反函数必过
点
，平移后的反函数必过点
，由此得A 选项有可能，C 选项排除；
【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的
掌握水平和分析推理能力. 用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．
3．函数
的图象与
的图象关于
轴对称,再把
的图象向右平移1 个单位长度后得
到函数
的图象,则
.
【答案】
【详解】由题意可知
,把
的图象向右平移1 个单位长度后得
.
考点
四
、
函数图象的应用
1．（2023 年贵州省黔南州模拟（理科））已知函数
，
.若
存在2
个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】题目转化为函数
的图象与直线
有2 个交点，画出图象，根据图象知
，解
得答案.
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【详解】
存在2 个零点，令
，
即
，故函数
的图象与直线
有2 个交点，
画出函数图象，如图，平移直线
，可以看出当且仅当
，
即
时，直线
与函数
的图象有2 个交点.
2．（2023 年上海市模拟）已知函数
，若方程
恰有四个不同的
实数解，分别记为
，
，
，
，则
的取值范围是____________.
【答案】
【分析】明确分段函数
两段的性质，进而作出其图像，将方程
恰有四个不同的实数解转化为
的图象与直线
有4 个不同的交点，由图象确定
，
，
，
的范围，结合对勾函数单调性性质，即可求得答案.
【详解】由题意知
，
当
时，
，令
，则
；
当
时，
；当
时，
，
令
，则
或4；令
，则
或2；
由此可作出函数
的图象如图：
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由于方程
恰有四个不同的实数解，分别记为
，
，
，
，
故
的图象与直线
有4 个不同的交点，由图象可知
，
不妨设
，则
，
且
关于
对称，所以
，
又
即
，则
，
故
，
由于
在
上单调递增，故
，
所以
，
故
的取值范围是
，
【点睛】关键点睛：本题综合考查函数与方程的应用知识，涉及到知识点较多，综合性强，解答的关键时
要明确分段函数的性质，进而作出其图象，数形结合，即可求解.
3．（2019 年上海市模拟）已知函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数
的零点可得出
，从而得出
，再由
时
可得出
的取值范围，进而得出实数
的范围.
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【详解】
函数
的三个零点分别为、、
，
则
，
.
当
时，
，
，
，则
.
因此，
.
1．（2023 年浙江省模拟）已知函数
，若
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】画出函数
的图象，根据图象分析可得
的值，再由的取值范围即可得出答案.
【详解】画出函数
的图象如图，
若
，由
，即
，
即
，即
，所以
，
当
时，
单调递增，且
，
令
，则
，所以
，
.
2．（2023 年重庆市模拟）设常数
，函数
.若方程
有三个不相等的实
数根
，且
，则
的取值范围为__________，
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】第一空，将方程根的个数转化为函数图像交点问题，画出图像即可得到答案；
第二空，通过计算得到
，从而研究
的范围即可得到答案.
16
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【详解】画出函数
的图像如下：
因为方程
有三个不相等的实数根
，且
，
所以
图像与直线
有三个不同的交点，
所以实数
的取值范围为
.
令
，得
，所以
.
由图可知，
，所以
，
由
，得
，
即
，所以
所以
,故答案为：
【点睛】此类方程的根的个数问题，要善于转化为图像交点问题，通过研究函数图象从而快速求解得到答
案.
3．若函数
的图象如图所示，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定的函数图象，利用导数探讨极值情况及
即可求解作答.
【详解】函数
的定义域为R，求导得
，
观察图象得函数
有两个极值点，则函数
有两个变号零点，即
有两个不等实根，因此
，
又
，解得
，从而
，
17
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所以a 的取值范围是
.
考点
五
、
函数零点所在区间的判断
1．（2023 年浙江省衢州市模拟）函数
零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在定理求解答案即可.
【详解】由
，则函数图像是连续的且单调递增，
则
，
，
由函数零点存在定理可得函数零点所在区间为
.
2．(2023 年山东泰安模拟)设
,
,则函数
存在的零点所在的区
间一定为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
的零点等价于方程
的根,即函数
与
图象的
交点的横坐标.作出
与
的大致图象,如图所示,从图象可知它们仅有一个交点A,其横坐标的范围为
.
3．(2023 年绍兴模拟)若方程
的解在
内,则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】令函数
,则易得
在
上是增函数.由方程
的解在
内,得
,即
,解得
,又当
时,
.
综上,实数
的取值范围是
.
18
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1．（2023 年黑龙江省模拟）已知函数
，则
的零点所在的区间为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用零点存在性定理判断即可.
【详解】因为
，
，
所以由零点存在性定理知，
的零点所在的区间为
.
2．函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用零点存在定理代入区间端点处的值判断即可得出结果.
【详解】易知函数定义域为
，且函数
单调递增，
又
，所以
上没有零点；
，
，由零点存在定理可知
，
所以零点所在区间是
.
3．已知方程
的解在
内，则
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【分析】构造函数
，利用函数零点的意义结合零点存在性定理推理作答.
【详解】令函数
，显然函数
在
上单调递增，
而
，
，因此函数
的零点
，
所以方程
的解在
内，即
.
考点
六
、
函数零点个数的判断
1．函数
的零点个数为（ ）.
A．3
B．2 C．7
D．0
19
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【答案】B
【详解】由
得
得
或
.因此函数
共有2 个零点.
2．（2023 年湖北省部分名校模拟）已知函数
在
恰有两个零点，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数零点的意义把问题转化为直线
与函数
的图象在
上有两个交点求解
作答.
【详解】依题意，
在
恰有两个解，即直线
与函数
的图象在
上有两
个交点，
令
，则
，当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，
，
，显然
，
因此当
时，直线
与函数
的图象在
上有两个交点，
所以
时，函数
在
恰有两个零点.
3．（2023 年江苏省模拟）已知函数
是定义在R 上的偶函数，且
，当
时，
，则函数
的零点个数为（ ）
A．6
B．7 C．8
D．9
【答案】D
【分析】根据已知得出函数的周期，由已知作出函数
的图象，以及
的图象，结合图象，以
及函数值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，所以
周期为2.
又函数
是定义在R 上的偶函数，当
时，
，
根据已知，作出函数
的图象，以及
的图象
20
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因为
，
，由图象可知，
与
交点的个数共有9 个，
所以，函数
的零点个数为9.
【点睛】方法点睛：作出函数的图象，根据图象，即可得出函数零点的个数.
1．函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【分析】求出
为奇函数，并得到
，考虑
时无零点，
时，求导，得到
函数极值和最值情况，结合零点存在性定理得到零点，结合函数的对称性求出零点个数.
【详解】
定义域为R，
，
又
，故
为奇函数，
当
时，由于
恒成立，故
恒成立，无零点，故
时，也不存在零点，
当
时，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
在
处取得极大值，也时最大值，
，显然
，
，
故由零点存在性定理知，在
上存在一零点，
结合函数为奇函数，在
上存在一零点，
综上，
一共有3 个零点.
2．（2023 年湖南省考前适应性训练）已知函数
的定义域为
，且
，
函数
在区间
内的所有零点为
（i=1，2，3，…，n）．若
，则实数a 的取
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值范围是________．
【答案】
【分析】函数
的零点转化为函数
的图象与函数
的图象的交点的横坐标，
作出它们的图象，观察图象可得结果.
【详解】函数
的零点即为函数
的图象与函数
的图象的交点的横坐标，先
作出函数
在区间
上的图象，
又当
时，
，所以当
时，
，
再作出函数
的图象，如图所示：
由图象可得：
，
，
，…，
，则
，
若
，得
，则实数a 的取值范围是
.
3．（2023 年四川南充模拟）若函数
满足
,且
时,
,
已知函数
则函数
在区间
内的零点的个数为( ).
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【详解】∵
,∴
,
故函数
是在R 上的周期为2 的函数,作出函数与
的图象,如图所示,
由图象可知函数
在区间
内的零点个数为12.
考点
七
、
函数零点的应用
22
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1．（2015 年全国普高招生统一考试理科（安徽卷））函数
的图象如图所示，则下列结论成
立的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】C
【详解】试题分析：函数在
处无意义，由图像看
在
轴右侧，所以
，
，
由
即
，即函数的零点
，故选C．
考点：函数的图像
2．（2023·宁夏回族自治区石嘴山市名校模拟）已知函数
，若方程
有
四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】方程
有四个不同的实数根，即直线
与曲线
，作出函数图象，即
转化为
在
有两个不等实根，可得答案.
【详解】设
，该直线恒过点
，方程
有四个不同的实数根
如图作出函数
的图象，
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结合函数图象，则
，
所以直线
与曲线
有两个不同的公共点，
所以
在
有两个不等实根，
令
，实数
满足
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
3．已知函数
在区间
上有零点，则
的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可.
【详解】设
为
在
上的一个零点，则
，
所以
在直线
上，
又
为坐标原点，
易知
.令
，
则
，所以
在
上单调递增，所以
.
24
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所以
的最小值为
.
【点睛】关键点睛：根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构造函数求最值是解题的关键.
1．（2023 年陕西省模拟）已知函数
与
的图象上不存在关于
轴对
称的点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将问题转化为方程
在
上无解，参变分离得
在
上无解，从而求函数
在
上的值域，即可
得实数
的取值范围.
【详解】函数
与
的图象上不存在关于
轴对称的点，
直线
关于
轴对称的直线方程为
，
则方程
在
上无解，即
在
上无解，
又函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
时，
，
时，
，
时，
，所以
的值域为
，故实数
的取值范围是
.
2．已知函数
的两个零点分别为
和
，且
，则
的最小值为_________．
【答案】
【分析】先将
和
用
去表示，可将
转化为
，构造函数
，利用导数求最小值即可.
【详解】当
时，
，当
，时
，
由题意
，
，
，所以
，
，故
设
，
，则
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
当
时，
，
在区间
上单调递增，故
，
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故
的最小值为
.
3．已知函数
，
，记函数
，若函数
恰有三个不同的
零点
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件画出函数图像，得到
与
的交点的横坐标一个在
上，另一个在
上，转化为研究
，
的最值问题，利用导数研究即可解决.
【详解】由
的解析式，可知
在
上单调递增，
且值域为
，在
上单调递增，且值域为
，
函数
的图像如图所示，
所以在
的值域
上，任意函数值都有两个
值与之对应，
在值域
上，任意函数值都有一个
值与之对应.
要使
恰有三个不同的零点
，
则
与
的交点的横坐标一个在
上，另一个在
上，
由
的图像开口向上且对称轴为
，易知
，
此时
，且
，
结合
的图像及
，得
，
则
，
所以
，且
，
令
，
，则
.
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当
时，
单调递增；当
时，
单调递减.
所以
，故
的最大值为
.
【点睛】思路点睛：本题考查函数与导数的综合问题.复合函数要层层分析，通过图像加以辅助，多变量问
题要寻找变量之间的关系，实现消元，从而解答.
考点
八
、用函数图象刻画实际问题的变化过程
1．（2023 年海南省模拟）某研发团队研究出了一种新型智能产品，经过调研发现该产品推出市场的时间
（单位：年）与市场占有率
可近似用函数
来描述，其中
，
是常数．已知该产品市
场占有率为
时，需要1 年；市场占有率为
时，需要1.5 年，则市场占有率达到
时约需
（ ）（
，
）
A．2.32 年
B．2.43 年
C．2.58 年
D．2.81 年
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程得到
，再求得
，即可求解.
【详解】由题意，当
，
，可得
① ；
当
，
，可得
②；
当
，可得
，
①
②可得，
，可得
，
①
②
，可得
，解得
，
所以
（年）.
2．（2023 年陕西省模拟）某购物网站在
年
月开展“全部折”促销活动，在
日当天购物还可以
再享受“每张订单金额（折后）满
元时可减免
元”．某人在
日当天欲购入原价
元（单价）
的商品共
件，为使花钱总数最少，它最少需要下的订单张数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件计算每张订单打折前原金额不少于
元，确定每张订单订单至少
件，由此可求得答
案.
【详解】为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额（折后）满
元时可减免
元”，
27
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即每张订单打折前原金额不少于
元，
因为
，由于每件原价
元，因此每张订单至少
件，
而要购入商品共
件，且
，所以最少需要下的订单张数为张.
3．（2023 年安徽省模拟）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，
某种绿茶用
的水泡制，再等到茶水温度降至
时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研
究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是
，经过
后的温度
是
，则
，其中
表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量
得到，刚泡好的绿茶水温度是
，放在
的室温中，
以后茶水的温度是
，在上述条件下，
大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？结果精确到
，参考数据
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列出关于
的方程组可得答案.
【详解】由题意可得方程组：
，化简可得：
，所以
，
大约需要放置
能达到最佳饮用口感．
1．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：
），
鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现
，当
时，鲑鱼的耗氧量的单位数为
51200，则当
时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ）
A．400
B．800
C．1600
D．3200
【答案】B
【分析】根据题意得到
和
，两式相除得到
，即可求解.
【详解】因为
时，鲑鱼的耗氧量的单位数为
，所以
，
当
时，可得
，
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两式相除，可得
，即
，可得
，
解得
.
2．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设
为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级
可定
义为
．2021 年3 月13 日下午江西鷹潭余江区发生里氏3.1 级地震，2020 年1 月1 日四川自贡发
生里氏4.3 级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的________倍．
【答案】100
【分析】根据题意得到方程组，两式相减后得到答案.
【详解】设里氏3.1 级地震所散发出来的能量为
，里氏4.3 级地震所散发出来的能量为
，则
①，
②，
②-①得：
，解得：
．
3．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：
金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，
映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形
轮廓部分可用函数
的图像来刻画，满足关于
的方程
恰有三个不同的实数根
，且
（其中
），则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先确定函数
的对称性，然后根据函数的对称性确定根，从而列出关于
的方程组，解方程
组即可求解.
【详解】因为
，
所以
关于
对称，所以
的根应成对出现，
又因为
的方程
恰有三个不同的实数根
且
，
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所以该方程的一个根是
，得
，
所以
，
由
得
，
当
，即
时，
，①
则
，②
由①
②可求出
，所以
；
当
，即
时，
，③
，④
由③
④得方程组无实数解；
综上，方程组的解为
，所以
．
考点
九
、
已知函数模型解决实际问题
1．（2023 年贵州省（全国甲卷押题卷三）（理））已知火箭推进系统的燃料携带量与速度的关系为
，其中
为速度改变量，
为喷气速度，
为火箭本体质量，
为燃料质量，若某一火箭
发射时携带的燃料质量
，记携带燃料剩余质量为
，
时
的值分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题设的公式结合对数的性质可计算得到
.
【详解】因为
，故
，
当携带燃料剩余质量为
时，故此时
；
同理当携带燃料剩余质量为
时，
；
30
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2．（2023 年福建省模拟）已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素
的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精
确到0.1）
A．7.6 年
B．7.8 年
C．6.2 年D．6.6 年
【答案】D
【分析】按每年10%衰减，得出每年剩余90%，列出方程，根据对数运算得出结果.
【详解】最初的质量是500g，经过一年后，质量变为
，
经过2 年后，质量变为
，
经过t 年后，质量变为
，
令
，则
，
则
，
.
则这种元素的半衰期
年.
3．（2000 年普高招生考试试题（广东卷））《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪
金所得不超过800 元的部分不必纳税，超过800 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进
计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500 元的部分
5%
超过500 元至2000 元的部分
10%
超过2000 元至5000 元的部分
15%
…
…
某人一月份交纳此项税款26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A．
元
B．
元
C．
元D．
元
【答案】C
【分析】首先根据所得税的征收方式，分别计算个人当月在不同工资段的最大值即可确定工资额.
【详解】解：设收入为元，税款为
元
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
有题设可知：
故可知：
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1．（2023 年重庆市模拟）2020 年12 月17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定
区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实
现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的
速率为
，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上
一次的
，若要使石片的速率低于
，则至少需要“打水漂”的次数为（ ）
（参考数据：取
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】设石片第
次“打水漂”时的速率为
，则
，由于
，可得
，
再结合对数公式，即可求解．
【详解】设石片第
次“打水漂”时的速率为
，
则
，
，
，则
，即
，
解得
，故至少需要“打水漂”的次数为10．
2．（2023 届北京市部分名校模拟）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一
种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中
表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，
表示衰减系数，
表示训练
迭代轮数，
表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
，衰减速度为
，且当训
练迭代轮数为
时，学习率为
，则学习率衰减到
以下（不含
）所需的训练迭代轮数至少为（参
考数据：
）（ ）
A．75
B．74
C．73
D．72
【答案】C
【分析】由已知可得
，再由
，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．
【详解】由题设可得
，则
，
所以
，即
，
所以所需的训练迭代轮数至少为
次．
3．（2023 年河南省九师联盟考前预测押题理科）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量
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应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为
和保护对象的水雾喷头数量N 计算公式为
计算确定，其中P 为水雾喷头的工作压力
（单位：MPa），K 为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S 为保护对象的保护面积，W 为保
护对象的设计喷雾强度（单位：L/min·m2），水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如
不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P 为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K 为
24.96，保护对象的保护面积S 为14m2，保护对象的设计喷雾强度W 为20L/min·m2 时，保护对象的水雾喷
头的数量N 约为（ ）（参考数据：
）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
【答案】C
【分析】根据已知公式和数据代入计算即可.
【详解】由水雾喷头的工作压力P 为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K 为24.96，
得
，
再由保护对象的保护面积S 为14m2，保护对象的设计喷雾强度W 为20L/min·m2，
得
，即保护对象的水雾喷头的数量N 约为个.
考点
十
、
构建函数模型解决实际问题
1．声压级（
）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为
（分贝）.人类产生
听觉的最低声压为
（微帕），通常以此作为声压的基准值.声压级的计算公式为：
，
其中
是测量的有效声压值，
声压的基准值，
.由公式可知，当声压
时，
.若测得某住宅小区白天的
值为
，夜间的
值为
，则该小区白天与夜间的有效
声压比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知公式
，分别计算出白天和夜间的有效声压值，即可求得答案.
【详解】由题意可设该小区白天的有效声压值为
,则
,
设该小区夜间的有效声压值为
,则
,
33
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故
,
2．（2023·北京名校模拟）在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：
x
0
1.0
2.0
3.0
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x、y 的函数关系与下列哪类函数最接近（其中a、b 为待定系数）？（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据数据变化趋势及单位增量（
的增长率）判断符合要求的函数.
【详解】由表格数据知：
从
到
，对应
值依次增大，排除A、C；
变化
到
到
到
到
到
由上，随
增大，
逐渐变大，即
的变化不为定值，排除B.
3．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作
了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价
（单位：元）与上市
时间
（单位：天）的数据如下表.
上市时间
/天
2
6
32
市场价
/元
148
60
73
(1)根据上表数据，从①
，②
，③
中选取一
个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解
析式；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
【答案】(1)
，
(2)当该纪念章上市12 天时，市场价最低，最低市场价为每枚48 元.
【分析】（1）根据表中数据的关系可选③来描述每枚纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系，而根据
表中数据可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.
（2）利用基本不等式可求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
【详解】（1）每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数，故选
.
34
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分别把
，
代入
，得
解得
，
，
∴
，
.此时该函数的图象恰经过点
，∴
，
.
（2）由（1）知
，
当且仅当
，即
时，
有最小值，且
.
故当该纪念章上市12 天时，市场价最低，最低市场价为每枚48 元.
1．某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在
内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中
的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量
与
服药后的时间
之间近似满足如图所示的曲线，其中
是线段，曲线段
是函数
（
，
是常数）的图象，且
.
(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量
关于时间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于
时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8 点，为保
持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？
(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达
时，此刻该人每毫升血液中药物
含量为多少
？（参考数据：
）
【答案】(1)
；(2)13 点；(3)
【分析】（1）根据函数图象分段求解函数解析式即可；
（2）根据题意列出不等式，求解出答案即可；
（3）分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.
【详解】（1）当
时，
，
35
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当
时，把
代入
是常数
得：
，解得：
（2）设第一次注射药物后最迟过小时注射第二次药物，其中
.则
，
解得：
第一次注射药物
后开始第二次注射药物，即最迟13 点注射药物.
（3）第二次注射药物
后，
每毫升血液中第一次注射药物的含量：
每毫升血液中第二次注射药物的含量：
，
所以此时两次注射药物后的药物含量为：
.
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似
地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：利用散点图看增长趋势确定函数，法二：结合表中数据，根据函数的性质判断.
【详解】法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随
变大增长率变小，只有B 符合；
法二：对于A，函数
是指数函数，增长速度很快，且在
时
，
时
，代入值偏差较大，不符合要求；
对于B，函数
，是对数函数，增长速度缓慢，
且在
时
，
时
，基本符合要求；
对于C，函数
是二次函数，且当
时
，
时
，
代入值偏差较大，不符合要求；
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对于D，函数
，当
时
，代入值偏差较大，不符合要求，
3．某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6 小时内每毫升
血液中含药量
（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当
时，
曲线是二次函数图象的一部分，当
时，曲线是函数
图象的一部分，
根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2 微克时，治疗有效.
(1)试求服药后6 小时内每毫升血液中含药量
与时间之间的函数关系式；
(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据
）
【答案】(1)
；(2)0.3 小时后，5.2 小时
【分析】（1）当
时，设
，再将
代入即可求出
的值，当
时，将点
的坐标代入函数表达式
即可求出
的值，则可写出答案；
（2）分段求出
时，对应的
的取值范围，即可写出答案.
【详解】（1）当
时，由图象可设
，
将点
的坐标代入函数表达式，解得
，即当
时，
，
当
时，将点
的坐标代入函数
，
得
，解得
，所以
，
故
.
（2）当
时，
，
令
，即
，解得
，即
，
又
，∴
，故服药0.3 小时之后开始有治疗效果，
当
时，
，令
，即
，解得
，
又
，∴
，
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综上，
，所以服药后的治疗效果能持续5.2 小时.
【基础过关】
1．（2020 年河南省部分名校模拟（文））函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数图象的平移解题，函数
可以看成是把函数
的图象向左平移了个单位，
从选项中选择正确的即可.
【详解】函数
图象是由函数
的图象向左平移了个单位得到，而函数
的图象在二、
四象限且是单调下降的两支图象，只有B 选项符合.
【点睛】本题考查函数图象的平移变换，属于基础题.
2．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
x=0 时，
故函数图象过原点，可排除A 又∵
，故函数的单调区间呈周期性变化
分析四个答案，只有C 满足要求.
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3．（2020 年浙江省高考试卷）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在
处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为
，则
，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD 错误；
且
时，
，据此可知选项B 错误.
4．（2015 年全国普高招生考试文科（浙江卷））函数
（
且
）的图象可
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，故函数是奇函数，所以排除A，B；取
，
则
，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
5．函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据函数
过
排除A;
根据
过
排除B、D.
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6．已知函数
,函数
,函数
,函数
,四个函数的图象如图
所示,则
,
,
,
的图象依次为（ ）.
A. ①②③④
B.①②④③ C.②①③④
D.②①④③
【答案】A
【详解】由
的定义域为
可知,图②为
的图象;
由
可知
为奇函数,则图③为
的图象;
由
可得
为偶函数,则图④为
的图象;
故图①为
的图象.
7．函数
的零点为________．
【答案】4
【分析】根据对数函数的定义及函数零点的定义计算即可.
【详解】依题意有
，
所以
.
8．（2023 年重庆市模拟）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用零点存在定理代入区间端点处的值判断即可得出结果.
【详解】易知函数定义域为
，且函数
单调递增，
又
，所以
上没有零点；
，
，由零点存在定理可知
，
40
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所以零点所在区间是
.
9．(2019 年全国Ⅲ卷)函数
在
的零点个数为( ).
A.2 B.3
C.4
D.5
【答案】B
【详解】由
,即
,得
.
又
,由
,得
,
,
,由
,得
,
,∴
有三个实根,
为
,
,
,即
在
上有三个零点.
10．（2023 年河北省模拟）下列函数零点能用二分法求解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.
【详解】对于A 选项，
在
上单调递增，且与
轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可
用二分法求解；
对于B 选项，
在
单调递增，且与
轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二
分法求解；
对于C 选项，
恒成立，所以不能用二分法求解；
对于D 选项，
，在
单调递增，
单调递减，所以
，则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解.
11．已知函数
在
上有零点，则实数a 的取值范围是______________．
【答案】
【分析】分
和
两种情况，根据零点的定义结合分式不等式运算求解.
【详解】当
时，函数
，无零点，不合题意；
当
时，由
，解得
，
所以
，即
，解得
或
；
综上所述：实数a 的取值范围是
.
41
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12．已知函数
，若方程
的实根在区间
上，则k 的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据x 的取值范围不同，分别解出
根即可得出答案.
【详解】当
时，
，当
时，解得
；
当
时，
，其中
，
，
当
时，解得
，综上k 的最大值是1.
13．（2023 年河北省卓越联盟模拟）若函数
，在其定义域上只有一个零点，则
整数a 的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】先根据零点存在定理判断出在
上
有唯一实数根，于是
时，
无解，根据导数
可判断
时，
有最小值，只需最小值大于零即可.
【详解】根据指数函数性质
在
上单调递增，故当
时，则
在
上单调递
增，
，根据零点存在定理，
在
存在唯一零点，
则当
时，
无零点.
时，
，
令
，则
，
时，则
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
于是
时，
有最小值
依题意，
，解得
，所以最小整数为.
【能力提升】
1．作出下列函数的图象：（1）已知函数
．
42
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（2）用分段函数表示
．
【分析】（1）分离常数，然后根据值域和单调性即可得函数图象.
（2）转化为分段函数，即可作出图象，得到值域.
（1）【详解】
，
因为
，所以
，所以
，
又
和
都是增函数，所以
为增函数，
故函数
的图象如图所示.
（2）【详解】
，图象如图所示，
2．（2022 年高考天津卷数学真题）函数
的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
的定义域、奇偶性、单调性及其在
上的函数值符号，结合排除法可得出合
适的选项.
【详解】函数
的定义域为
，
且
，
函数
为奇函数，A 选项错误；
又当
时，
，C 选项错误；
当
时，
函数单调递增，故B 选项错误；
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3．（2019 年宁夏模拟）函数
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点
，排除
，
求得函数的导数
，
由
得
，
得
或
，此时函数单调递增，排除
，故选D.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题
方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方
面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
时函数
图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
4．函数
的部分图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知，函数
为奇函数，故排除B；当
时，
，故排除D；当
时，
，故排除A．故选C．
点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选
择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值
等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
5．函数
在的零点所在区间是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】因为函数
和
在
上都是单调递减，
所以
在
上单调递减，
又
，
，
，
，
，
故
，
所以函数
的零点所在区间是
.
6．设函数
的定义域为R，
，
，当
时，
，则函数
在区间
上零点的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】分析函数
的性质，结合幂函数的图象，作出
在
上的图象，再作出
在
上的图象，求出两图象的交点个数作答.
【详解】由
，得
的图象关于y 轴对称，由
，得
的图象关于直线
对称，
令
，得
，函数
是周期为1 的偶函数，当
时，
，
在同一坐标系内作出函数
在
上的图象，函数
在
上的图象，如图，
观察图象知，函数
与
的图象在
上的交点有7 个，
45
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所以函数
在区间
上零点的个数为7.
7．（2022 年北京市模拟）已知定义在R 上的函数
是周期为3 的奇函数.当
时，
，
则函数
在区间
上的零点个数是______.
【答案】17
【分析】根据奇函数的定义，结合题意中的函数解析式，可求得当
时，函数解析式，利用函数
的周期性以及零点的定义，可得答案.
【详解】由于定义在R 上的函数
是周期为3 的奇函数，
当
时，
，由于当
时，
，
则有
，又
，即有
，
由于
，则有
，
令
，解得
或
，
所以在
时，
，
，即一个周期内有3 个零点.
在区间
上，
，
，
，
，
，
，
，
，又
，可得
，
，
则
在
内共有8 个零点；
由
的图象关于原点对称，可得
在
内也有8 个零点，
所以
在
上共有8+8+1＝17 个零点.
8．（2023 年福建省质量检测）已知函数
，
，设
为实数，若存在
实数
，使得
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】求解函数
的值域，根据存在实数
，使得
成立，即可求解实数
的取值范围．
【详解】当
时，
．
令
，由于
且
，所以
或
，所以
的取值范围是
；
当
时，
，
的取值范围是
，
；
综上可得
的取值范围是
，
；
要存在实数
，使得
成立，则函数
，
故
.
9．（2023 年江西省模拟）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促
进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总
书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为
全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：
）与肥料费用
（单位：
元）满足如下关系：
其它总成本为
（单位：元），已知这种农作物的市场售
价为每千克5 元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为
（单位：元）．
(1)求
的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当投入的肥料费用为6 元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52 元
【分析】（1）根据利润
毛收入
成本可得结果；
（2）分段求出最大值，再两者中的更大的为最大值.
【详解】（1）由题意可得，
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所以函数
的函数关系式为
（2）当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，所以
，
当
时，
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
综上：当投入的肥料费用为6 元时，单株农作物获得的利润最大为52 元.
10．在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：
）和所携带的燃料的质量M（单
位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足
．当携带的燃
料的质量和飞行器（除橪料外）的质量相等时，v 约等于
，当携带的燃料的质量是飞行器（除
燃料外）的质量3 倍时，v 约等于
．
(1)求a，b 的值；
(2)问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该
飞行器最大速度超过第二宇宙速度
．（参考数据：
）
【答案】(1)
，
；(2)
【分析】（1）结合
和
，得到
，解出
，再计算
即可；
（2）根据
，化简整理得到
，由此得到
，即可得到答
案．
【详解】（1）当
时，
；当
时，
；
解得
，即
，解得
或
（舍去），则
；
（2）由
，即
，即
，
故
，即携带的燃料的质量与飞行器（除燃料外）的质量之比超过63 时，该飞行器最大速度不小于
第二宇宙速度
．
11．（2023 年上海模拟）函数
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(1)当
时，是否存在实数c，使得
为奇函数；
(2)若函数
过点
，且函数
图像与
轴负半轴有两个不同交点，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)不存在；(2)
且
【分析】（1）将
代入得
，先考虑其定义域，再假设
为奇函数，得到方程
无解，从而得以判断；
（2）先半点
代入
求得
，从而得到
，再利用二次函数的根的分布得到
关于
的不等式组，解之可得
，最后再考虑
的情况，从而得到
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
假设
为奇函数，则
，而
，则
，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数
为奇函数；
（2）
图像经过点
，则代入得
，解得
，
所以
，定义域为
，
令
，则
的图像与
轴负半轴有两个交点，
所以
，即
，解得
，
若
，即
是方程
的解，
则代入可得
，解得
或
.
由题意得
，所以实数
的取值范团
且
.
12．（2023 年甘肃省模拟）已知函数
，若函数
恰有三个零点，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【分析】
的零点问题转化为
的图象的交点问题，画出
的图象，分
,
和
结合图象求解即可.
【详解】由题意画出函数
的图象，
恰有三个零点转化为
的图象恰有三个交点，
当
和
时，由图可知函数
的图象恰有三个交点，
当
时，由
，得
，
所以
在
处切线斜率为
，
设过原点与
相切的直线为
，切点为
，
由
，得
，则
，解得
，
由图可知当
时，只有
时，函数图象有3 个交点，
综上，实数
的取值范围是
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
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13．已知函数
.若函数
恰有4 个零点，则k 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，根据题意将问题等价转化为
与
的图象恰有4 个不同交点，其中
一个交点为
，令
，
，即函数
与
的图象有3 个交点，分
和
两种情况，利用数形结合进行讨论即可求解.
【详解】由题意知
为函数
的一个零点.
令
，函数
恰有4 个零点，
即
与
的图象恰有4 个不同交点，其中一个交点为
，
当
时，由
可得
；
当
时，由
可得
；
令
，
，
也即函数
与
的图象有3 个交点.
若
时，如图所示，
函数
与
的图象有3 个交点，所以
符合题意.
若
，如图所示，
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需证当
时，函数
与
的图象有2 个交点，
当
时，
，
，令
，则
，
因为有两个交点，所以
，即
，解得
.
设两交点横坐标分别为
，且
，
由求根公式可得
，所以
，故
满足题意，
综上，当
或
时，函数
恰有4 个零点，
【点睛】函数零点问题的突破点：
1.数形结合法.将函数解析式（方程）适当变形，转化为图象，易得到函数与一个参数的函数差（等式），
在同一坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质以及图象求解；
2.分离参数法.将参数分离，化为
的形式，进而转化为求函数最值的问题；
3.直接法.直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的范围.
【真题感知】
1．（2023 年全国高考甲卷数学（理）试题）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得
，再作出
与
的部分大致图像，考
虑特殊点处
与
的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为
向左平移
个单位所得函数为
，
所以
，而
显然过
与
两点，
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作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为.
2．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数
在区间
恰有三个极值点、两
个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
的取值范围得到
的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得
，因为
，所以
，
要使函数在区间
恰有三个极值点、两个零点，又
，
的图象如下所示：
则
，解得
，即
．
3．（2022 年北京市高考数学试题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨
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临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和
的关系，其中T 表示温度，单位是K；P 表示压强，单位是
．下列结论中正确的是（ ）
A．当
，
时，二氧化碳处于液态
B．当
，
时，二氧化碳处于气态
C．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
D．当
，
时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据
与
的关系图可得正确的选项.
【详解】当
，
时，
，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.
当
，
时，
，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.
当
，
时，
与4 非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错
误.
当
，
时，因
, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.
4．（2021 年天津高考数学试题）函数
的图像大致为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当
时，
，排除D，即可得解.
【详解】设
，则函数
的定义域为
，关于原点对称，
又
，所以函数
为偶函数，排除AC；
当
时，
，所以
，排除D.
5．（2021 年浙江省高考数学试题）已知函数
，则图象为如图的函数可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，
，则
，
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当
时，
，与图象不符，排除C.
6．（2020 年天津市高考数学试卷）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图
象.
【详解】由函数的解析式可得：
，则函数
为奇函数，其图象关于坐标原点对
称，选项CD 错误；
当
时，
，选项B 错误.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
7．（2022 年高考天津卷数学真题）设
，对任意实数x，记
．若
至少有3 个零点，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【分析】设
，
，分析可知函数
至少有一个零点，可得出
，求出
的取值范围，然后对实数
的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数
的不等式，综合可求
得实数
的取值范围.
【详解】设
，
，由
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
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①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
8．（2021 年北京市高考数学试题）已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，
恰 有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
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④存在正数
，使得
恰有3 个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由
可得出
，考查直线
与曲线
的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当
时，由
，可得
或
，①正确；
对于②，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，存在
，使得
只有一个零点，②正确；
对于③，当直线
过点
时，
，解得
，
所以，当
时，直线
与曲线
有两个交点，
若函数
有三个零点，则直线
与曲线
有两个交点，
直线
与曲线
有一个交点，所以，
，此不等式无解，
因此，不存在
，使得函数
有三个零点，③错误；
对于④，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，当
时，函数
有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
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（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
9．（2020 年北京市高考数学试卷）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，
排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为
，用
的大
小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的
关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在
这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在
时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在
时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在
这三段时间中，在
的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】
表示区间端点连线斜率的负数，
在
这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力
比乙企业强；①正确；
甲企业在
这三段时间中，甲企业在
这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在
的污水治理能力最强．④错误；
在
时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企
业强；②正确；
在
时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确；
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
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