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专题08 幂、指数、对数函数（七大题型+模拟精练）
目录：
01 幂函数的相关概念及图像
02 幂函数的性质及应用
03 指数、对数式的运算
04 指数、对数函数的图像对比分析
05 比较函数值或参数值的大小
06 指数、对数（函数）的实际应用
07 指数、对数函数的图像与性质综合及应用
01 幂函数的相关概念及图像
1．（2024 高三·全国·专题练习）若幂函数
的图象经过点
，则
＝（ ）
A．
B．2
C．4
D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.
【解析】设幂函数
，因为
的图象经过点
，所以
，解得
，
所以
，所以
.
故选：C
2．（2024 高三·全国·专题练习）结合图中的五个函数图象回答问题：
1
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(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.
【解析】（1）数形结合可知，
的图象关于
轴对称，故其为偶函数；
的图象关于原点对称，故都为奇函数.
（2）数形结合可知：
的定义域是
，值域为
；
的定义域都是
，值域也是
；
的定义域为
，值域也为
；
的定义域为
，值域为
.
2
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（3）数形结合可知：
的单调增区间是：
，无单调减区间；
的单调增区间是：
，无单调减区间；
的单调减区间是：
和
，无单调增区间；
的单调减区间是
，单调增区间是
.
（4）数形结合可知：
幂函数均恒过
点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.
对幂函数
，当
，其一定在
是单调增函数；当
，在
是单调减函数.
3．（2022 高一上·全国·专题练习）如图所示是函数
（m、
且互质）的图象，则（ ）
A．m，n 是奇数且
B．m 是偶数，n 是奇数，且
C．m 是偶数，n 是奇数，且
D．m，n 是偶数，且
【答案】B
【分析】
根据图象得到函数的奇偶性及
上单调递增，结合m、
且互质，从而得到答案.
【解析】由图象可看出
为偶函数，且在
上单调递增，
故
且
为偶数，又m、
且互质，故n 是奇数.
故选：B
02 幂函数的性质及应用
4．（2023 高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数
在
上单调递减，则实数
3
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的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．1
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义，求得
或
，结合幂函数的单调性，即可求解.
【解析】由函数
为幂函数，可得
，
即
，解得
或
，
当
时，函数
在
上单调递减，符合题意；
当
时，函数
在
上单调递增，不符合题意.
故选：A.
5．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出
的值，可得出函数
的解析式，再利用二次函数的单调性
可得出关于实数
的不等式，即可解得实数
的取值范围.
【解析】因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是定义域为
的奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意.
所以，
，则
，其对称轴方程为
，
4
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因为
在区间
上单调递增，则
，解得
.
故选：B．
6．（23-24 高三上·上海静安·阶段练习）已知
，若
为奇函数，且在
上单
调递增，则实数a 的取值个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】
时，不满足单调性，
或
时，不满足奇偶性，当
或
时，满足要求，得到
答案.
【解析】当
时，
在
上单调递减，不合要求，
当
时，
，故
为偶函数，不合要求，
当
时，
的定义域为
，不是奇函数，不合要求，
当
时，
，
为奇函数，
且
在
上单调递增，满足要求，
当
时，
，故
为奇函数，
且
在
上单调递增，满足要求.
故选：B
7．（22-23 高三下·上海·阶段练习）已知函数
，则关于的表达式
的解集
为 .
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【解析】由题意可知，
的定义域为
，
5
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所以
，
所以函数
是奇函数，
由幂函数的性质知，函数
在函数
上单调递增，
由
，得
，即
，
所以
，即
，解得
，
所以关于的表达式
的解集为
.
故答案为：
.
8．（23-24 高三上·河北邢台·期中）已知函数
是幂函数，且在
上单调递减，
若
，且
，则
的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
【答案】B
【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.
【解析】由
得
或
，
时，
在
上是增函数，不合题意，
时，
，在
上是减函数，满足题意，
所以
，
，则
，
，
是奇函数，因此
，
所以
，即
，
故选：B.
6
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9 ．（2023· 江苏南京· 二模）幂函数
满足：任意
有
，且
，请写出符合上述条件的一个函数
．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】
取
，再验证奇偶性和函数值即可.
【解析】取
，则定义域为R，且
，
，
，满足
.
故答案为：
.
10．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数
，
（1）当
时，求
的值域；
（2）若对
，
成立，求实数
的取值范围；
（3）若对
，
，使得
成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）[0,9]；（2）
；（3）
.
【分析】（1）由二次函数的性质得出值域；
（2）将问题转化为求
在
的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数
的取值范
围；
（3）将问题转化为
在
的最大值小于或等于
在
上的最大值9，从而得出实数
的取值范
围．
【解析】（1）当
时，函数
，
7
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的值域
（2）对
，
成立，等价于
在
的最小值大于或等于1．
而
在
上单调递减，所以
，即
（3）对
，
，使得
成立，
等价于
在
的最大值小于或等于
在
上的最大值9
由
，
03 指数、对数式的运算
11．（23-24 高三上·山东泰安·阶段练习）（1）计算
的值；．
（2）
；
（3）
【答案】（1）
；（2）2；（3）4
【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.
【解析】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
8
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.
12．（23-24 高一上·湖北恩施·期末）（1）计算：
.
（2）已知
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；
（2）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.
【解析】（1）由对数的运算公式，可得原式
.
（2）因为
，所以
，可得
，所以
，
可得
，所以
.
04 指数、对数函数的图像对比分析
13．（2024·四川·模拟预测）已知函数
，
，
在同一平面直角坐标系的图象如图所示，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得
的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质
判断即可.
9
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【解析】因为
图象过
，故由图象可得
，
又
图象过
，故由图象可得
，
又
图象过
，故由图象可得
.
故
，
，
，故
.
故选：B
14．（2024 高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝
，y＝loga（x＋
）（a＞0，且
a≠1）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】略
15．（2024·陕西·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
10
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【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入
判断C 错误，则可得到D 正确.
【解析】根据函数
的图象， 知
， 而对A 选项
排除A；
对B 选项
，因为
，则
，
则
，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B；
根据C 选项的解析式，
， 而根据函数
的图象， 知
， 排除 C.
故选：D.
16．（23-24 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数
，对数函数
的图象如图所示，则下列关
系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到
的范围，从而得到结果.
【解析】由图象可得，指数函数
为减函数，
对数函数
为增函数，
所以
，
即
.
故选：B
17．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数
的图象大致为（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.
【解析】因为
，所以
，定义域为
；
因为
，所以
，故
，所以
为奇函数，排除B，
当
趋向于正无穷大时，
、
均趋向于正无穷大，但随
变大，
的增速比
快，
所以
趋向于，排除D，
由
，
，则
，排除C.
故选：A.
05 比较函数值或参数值的大小
18．（2024·全国·模拟预测）已知
，则实数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到
，得到
，求
出
，根据单调性得到
，从而得到答案.
12
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【解析】令
，其在R 上单调递减，
又
，
由零点存在性定理得
，
则
在
上单调递减，
画出
与
的函数图象，
可以得到
，
又
在R 上单调递减，画出
与
的函数图象，
可以看出
，
因为
，故
，故
，
13
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因为
，故
，
由
得，
．
综上，
．
故选：D．
【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系；
（2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，
从而间接地得出要比较的数的大小关系；
（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，
从而确定所比两值的大小关系．
19．（2023·江西赣州·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，得到
，画出图象，数形结合得到答案.
【解析】令
，则
，
，其中
，
在同一坐标系内画出
，
故
故选：D
14
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20．（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数
，
，正实数a，b，c 满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
可得
，结合
可判断b 的范围，再由
可
得
，结合
可判断a，c 大小关系，进而可得答案.
【解析】由题得，
，
由
，得
，即
，所以
．
由
，得
，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，所以
．
由
，得
，即
．
易知
，所以
，所以
，故
．
又
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
．
故选：B．
【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：
（1）同构函数，利用单调性比较；
（2）取中间值进行比较；
（3）利用基本不等式比较大小；
（4）利用作差法比较大小.
21．（2023·浙江绍兴·二模）已知
是定义域为
的偶函数，且在
上单调递减，
，
15
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，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，利用导数求得
在
单调递增，得到
，得到
，
再由对数函数的性质，得到
，再由函数
的单调性与奇偶性
，即可求解.
【解析】令
，可得
，所以
在
单调递增，
又由
，所以
，即
，可得
，
又由
，所以
，
因为
是定义域为
的偶函数，且在
上单调递减，
则
在
上单调递增，且
，
所以
，即
，
所以
.
故选：A.
06 指数、对数（函数）的实际应用
22．（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称
做半衰期，记为
（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为
．开始记录
时，这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的
，则
满足的关系式为（ ）
A．
B．
16
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C．
D．
【答案】B
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512 天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即
可得答案．
【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512 天后，甲的质量为：
，乙的质量为：
，
由题意可得
，
所以
．
故选：B．
23．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有
关规定：
血液中酒精含量达到
的驾驶员即为酒后驾车，
及以上认定为醉酒驾车．假
设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
．如果停止喝酒以后，他血液中
酒精含量会以每小时
的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数
据：
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】设经过
个小时才能驾驶，则
，再根据指数函数的性质及对数的运算计
算可得.
【解析】设经过
个小时才能驾驶，则
即
.
由于
在定义域上单调递减，
.
他至少经过4 小时才能驾驶.
故选：D.
07 指数、对数函数的图像与性质综合及应用
24．（2024·山东聊城·二模）已知函数
为
上的偶函数，且当
时，
，则
17
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义可得
，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.
【解析】因为
为偶函数，所以
，
则
.
故选：A
25．（2023·江西南昌·三模）设函数
，
，若存在实数
满足：①
；②
，③
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由①
，②
解出
，
，解出
；结合③转化为
线性规划问题解出
.
【解析】函数
，
，
若存在实数
满足：①
；②
，
即
，且
，则
，
则
，且
，
，所以
，
又因为③
，
18
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则
，令
，
不防设
，
，则转化为线性规划问题，
在
点处取最小值.
由
解得
，
代入解得
.
故选：
.
26．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数
且
．
(1)若
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若
且存在
，使得
成立，求
的最小整数值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，得到
在
上是增函数，且
，即可求解；
（2）由
，的得到
，把不等式
，转化为
，结合题意，即可求解.
19
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【解析】（1）解：由函数
，设
，
由
且
，可得函数
在
上是增函数，所以
，
又由函数定义域可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
（2）解：由
，可得
，
又由
，可得
，
所以
，即
，
因为存在
，使得
成立，可得
，
所以实数
的最小整数值是．
27．（23-24 高二下·湖南·阶段练习）已知函数
，若
的值域是
，则的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算
可得正确结果.
【解析】当
时，
，
因为
的值域是
，又
在
上单调递减，
所以
.
故选：C.
20
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28．（22-23 高一上·辽宁本溪·期末）若不等式
（
，且
）在
内恒成立，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析出
时，不成立，当
时，画出
，
的图象，数形结合得到
实数a 的取值范围.
【解析】若
，此时
，
，而
，故
无解；
若
，此时
，
，而
，
令
，
，
画出两函数图象，如下：
故要想
在
内恒成立，
则要
，解得：
.
21
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故选：B.
29．（2022 高二下·浙江·学业考试）已知函数
，对于任意的
，都存在
，使
得
成立，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解
【解析】
，
，
由题意得
故答案为：
30．（21-22 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
且
经过定点
，函数
且
的图象经过点
．
(1)求函数
的定义域与值域；
(2)若函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)定义域为
，值域为
；
(2)[1，+∞）
【分析】（1）根据对数函数的性质，求得定点
，代入函数
，求得
，进而求得
，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；
22
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（2）由（1）知，化简得到函数
，设
，则
，转化为
在
上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【解析】（1）解：令
，解得
，所以
，所以函数
过点
，
将点
的坐标代入函数
，可得
，解得
，
又由函数
，
由
，解得
，所以函数
的定义域为
，
又由
，所以函数
的值域为
.
（2）解：由（1）知，函数
在
上有两个零点，
设
，则
，
因为为关于
的单调递增函数，所以
在
有两个零点，
等价于函数
在
上有两个零点，
①当
时，由
，可得
，函数
只有一个零点，所以
不合题意；
②当
时，由
，解得
；
③当
时，由
，此时不等式组的解集为空集，
23
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综上可得，实数
的取值范围是
.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·二模）已知函数
的图象经过原点，且无限接近直线
，但又不与该直线
相交，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
且
，求出a，即可求解.
【解析】因为函数
图象过原点，所以
，
得
，又该函数图象无限接近直线
，且不与该直线相交，
所以
，则
，
所以
.
故选：C
2．（2024·上海闵行·二模）已知
，
为奇函数，当
时，
，则集合
可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性可得不等式
等价于
，再求出函数解析式，利用对数函数
单调性解不等式可得结果.
【解析】因为
为奇函数，所以
等价于
，即
；
当
时，
，即
，解得
；
24
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当
时，
，可得
，所以
，
解不等式
，可得
，
综上可得集合
可表示为
.
故选：D
3．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：
月）的关系式为
（
，且
），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4 个月后，面积超过30 平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3 平方米、4 平方米、12 平方米所经过的时间分别是
，
，
，则
．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】由已知可得出
，计算出萍蔓延1 月至2 月份增长的面积和2 月至3 月份增长的面积，可判
断①的正误；计算出浮萍蔓延4 个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断
③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【解析】由已知可得
，则
.
对于①，浮萍蔓延1 月至2 月份增长的面积为
（平方米），
浮萍蔓延2 月至3 月份增长的面积为
（平方米），①错；
25
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对于②，浮萍蔓延4 个月后的面积为
（平方米），②对；
对于③，浮萍蔓延第
至
个月的增长率为
，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是
，③错；
对于④，若浮萍蔓延到3 平方米、4 平方米、12 平方米所经过的时间分别是
，
，
，
则
，
，
，所以
，④错.
故选：B.
4．（2024·天津红桥·二模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.
【解析】
，
，而
，
所以a，b，c 的大小关系为
.
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数
且
在区间
上单调递减，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对数函数的单调性与底数有关，分
和
两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义
域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间
上
单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得
的取值范围.
【解析】设函数
，则
．
①若
，则
在定义域上单调递减．
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又
在区间
上单调递减，所以
在区间
上单调递增，故
对任意的
恒成立．
又
，所以对任意的
显然成立．
又因为
对任意
恒成立，所以
0，故
．
②若
，则
在定义域上单调递增．
又
在区间
上单调递减，所以
在区间
上单调递减，故
对任意的
恒成立．
因为抛物线
的开口向上，所以
不可能对任意的
恒成立．
所以
的取值范围为
．
故选：A．
6．（2024·宁夏固原·一模）已知函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
27
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【分析】利用
在
上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用
在
上的单调性排除
D，从而得解.
【解析】对于B，当
时，
，易知
，
，
则
，不满足图象，故B 错误；
对于C，
，定义域为
，
又
，则
的图象关于
轴对称，故C 错误；
对于D，当
时，
，
由反比例函数的性质可知，
在
上单调递减，故D 错误；
检验选项A，
满足图中性质，故A 正确.
故选：A.
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】判断函数
的单调性，再利用单调性解不等式即可.
【解析】
，易知
在
单调递减，
28
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在
单调递减，且
在
处连续，故
在R 上单调递减，
由
，则
，解得
,
故不等式
的解集为
.
故选：A
8．（2024·甘肃兰州·一模）已知
是定义在
上的奇函数，且对于任意
均有
，
当
时，
，若
（是自然对数的底），则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在
上的函数图象，结合图象可知在
内要
满足
，只需
，即可求出
的范围，再结合周期性即可得解.
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，所以
且图象关于原点对称，
又
，所以
，
所以
，
，
，
所以函数的周期为
且函数图象关于
和
对称，
又当
时，
，
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所以
在区间
上的图象如下所示：
由图可知，在
内要满足
，
则
，即
，
再根据函数的周期性可知
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为
且函数图象关于
和
对称，再结合函数在
上的图象.
二、多选题
9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得
，
由指数函数的性质可得
，即可判断．
【解析】解：对于
，因为
，所以
，所以
错误；
对于
，因为
，所以
正确；
30
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对于
，因为
，所以
，所以C 正确；
对于D，因为
，所以
，所以D 正确.
故选：BCD．
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b 满足
，则下列关系式中可能正确的
是（ ）
A．
，使
B．
，使
C．
，有
D．
，有
【答案】ABC
【分析】由原方程可得
，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的
值域判断A；令
，代入原方程转化为判断
是否有解即可判断B；条件变形放缩后构
造函数，利用函数的单调性得出
大小，判断CD.
【解析】由
得
，
令
，则
分别在
和
上单调递增，
令
，则
分别在
和
上单调递增，
当
时，
的值域为
，当
时，
的值域为
，
所以存在
，使得
；
同理可得，存在
，使得
，
因此
，使
，故选项A 正确．
令
，则方程
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可化为
，
由换底公式可得
，
显然关于b 的方程在
上有解，所以
，使
，故选项B 正确．
当
时，因为
，所以
．
又
在
上单调递增，所以
．
因为
，
令
，则
在
上单调递增．
因为
，所以
，
从而
，所以
．
综上所述，
，故选项C 正确．
当
时，因为
，所以
．
又
在
上单调递增，所以
．
因为
．
令
，则
在
上单调递增，
因为
，所以
，
从而
，所以
．
综上所述，
，故选项D 错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.
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11．（2024·重庆·三模）已知函数
，
.下列选项正确的是（ ）
A．
B．
，使得
C．对任意
，都有
D．对任意
，都有
【答案】BCD
【分析】根据
，
即可判断A；根据
，令
，结合零
点的存在性定理即可判断B；由
、
，结合复合函数
的单调性可得
和
的单调性，即可判断C；由选项BC 的分析可得
，分类
讨论当
、
时
与
的大小，进而判断D.
【解析】A：因为
，所以
，
.
因为
，
，
所以
，故A 错误；
B：若
，则
，即
，
，可得
，
令
，因为
，
，
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所以
，使得
，即
，故B 正确；
C：因为
，
且
在
上单调递减，所以
也单调递减，
可得
，
因为
.
又
在
上单调递增，所以
也单调递增，
得
，即
，
因此，对于任意的
，都有
，故C 正确；
D：由B 可知：
，使得
，
结合C 的结论，可知当
，
，
，即
，
当
时，
，
，即
，
因为
，
，得
，即
，
当
时，有
，
因为
，所以
，所以
，
因此可得
，即
，
当
，有
，
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因为
，所以
，可得
，即
，
因此，对于任意的
，都有
，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如
的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令
，利用导数或基本函数的单调性求得函数
的单调性与最小值，
只需
恒成立即可；
2、参数分离法：转化为
或
恒成立，即
或
恒成立，只需利用导数求
得函数
的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数
的图象在
的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
三、填空题
12．（2023·河南·模拟预测）已知幂函数
满足
，则
．
【答案】4
【分析】由幂函数的定义结合导数求得
，进而可得答案.
【解析】由幂函数的定义可得
，解得
或
，
当
时，
，
，
符合题意；
当
时，
，
，
，不符合题意．
故
，
．
故答案为：4.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，则
与
的图象交点的纵
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坐标之和为 ．
【答案】2
【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.
【解析】对于
，可以把
的图象看作：
由
的图象向上平移1 个单位长度得到，
而
的图象可看作由
的图象向右平移1 个单位长度得到；
对于
的图象可看作由
的图象向上平移1 个单位长度得到，
而
的图象可看作由
的图象向右平移1 个单位长度得到．
易知
与
都为奇函数，
则易知
与
的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．
因为将函数图象向右平移不改变
与
两函数图象交点处函数值的大小，
所以
与
的图象交点的纵坐标之和为0，
又将函数图象向上平移1 个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，
则
与
的图象的两个交点的纵坐标与
与
的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，
故
与
的图象交点的纵坐标之和为2．
故答案为：2
14．（2024·全国·模拟预测）已知定义在
上的函数
，对于定义域内任意的x，y，都有
，且
在
上单调递减，则不等式
的解集为 .
【答案】
或
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【分析】由
，利用赋值法，得到函数
的奇偶性，构造函数
，研究其单调性和奇偶性，再由
，将不等式
转化为
求解.
【解析】由
，令
，得
，所以
.
令
，得
.令
，得
，所以函数
为偶函数.
构造函数
，因为
，所以
为偶函数，且在
上为减函数.
因为
，
所以不等式
等价于
，
所以
，即
，所以
或
，
故不等式
的解集为
或
.
故答案为：
或
.
37
