第四章 整式的加减
知识点一 单项式及相关概念
1.
单项式定义
由数或字母的积组成的代数式叫做单项式；单独一个数字、单独一个字母也都是单项式。
❌ 注意：含有加减运算（如 𝑥+ 1）、分母中含字母的式子（如
2
𝑥）不是单项式。
2.
单项式的系数
单项式中的数字因数叫作单项式的系数。
系数包含前面正负号；
𝜋 是常数，算作数字系数，不是字母；
只含字母的单项式，系数为 1 或 ― 1（1 省略不写）。
3.
单项式的次数
单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数；常数单项式（纯数字）次数为 0。
知识点二 多项式及整式相关概念
1.
多项式定义
几个单项式的和叫做多项式。
2.
多项式的项
多项式中的每个单项式都叫做多项式的项；每一项必须自带前面符号；不含字母的项叫作常数项。
3.
多项式的次数
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
4.
整式概念
单项式和多项式统称为整式。
核心判定：分母不能含有字母，分母带字母属于分式，不属于整式。
知识点三 同类项及合并同类项
1.
同类项定义
所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项；所有常数项都是同类项。
✅ 判定要点：与系数大小无关、与字母排列顺序无关。
2.
合并同类项法则
同类项的系数相加，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变。
口诀：系数相加减，字母指数永不变
3.
合并步骤
① 标记找出所有同类项；
② 逆用乘法分配律，系数相加；
③ 写出化简结果，不同类项不能合并。
知识点四 去括号法则
依据：乘法分配律
1.
括号前面是正号 ( + )：去掉括号和正号，括号内各项符号都不改变；
2.
括号前面是负号 ― ：去掉括号和负号，括号内每一项全都变号（正变负，负变正）；
3.
拓展：括号前有数字因数，要把数字乘进括号内每一项。
知识点五 整式的加减
1.
整式加减运算本质：去括号与合并同类项
2.
通用解题步骤：
① 根据题意列出代数式；
② 按照去括号法则去掉所有括号；
③ 找出同类项，逐项合并同类项；
④ 结果化为最简整式（不含同类项）。
3.
求值题型固定流程：先化简，再代入数值计算
优势：简化式子，大幅降低计算出错概率。
4.
常见应用：求两个整式的和、差；化简求值。
易错点1 多项式系数、指数中字母求值
易错提醒
易错点总结
1. 看错题干条件：题目说明“几次几项式、不含某项、最高次项”，抓不住关键条件，乱列式。
2. 系数含参数时，忽略系数整体为0 的情况，漏解、错解。
3. 分不清“项的次数”和“多项式次数”，误把普通项当成最高次项。
4. 忽略隐藏条件：单项式、多项式中字母指数为非负整数，求出负数、分数不会舍去。
注意事项总结
1. 不含某一项 ⇒ 该项系数等于0（核心万能公式）。
2. 多项式次数 = 最高次项的次数，做题先锁定最高次项。
3. 求出参数后必须检验：字母指数必须是非负整数，不符合直接舍去。
4. 含参多项式求值，优先找：次数条件、缺项条件、常数条件列式。
【对点训练】1．已知多项式
2
3
2
3
4
m
x y
xy
x
+
-
+
的次数是5，n 是该多项式二次项的系数，求代数式
3
2m
n
-
的值．
【答案】2
-
【分析】多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，二次项的数字因数为二次项的系数，求出
,
m n 的值，
再代值计算即可．
【详解】解：因为多项式
2
3
2
3
4
m
x y
xy
x
+
-
+
的次数是5，
所以
5
2
3
m =
-
=
．
因为n 是该多项式二次项的系数，
所以
2
n =
，
所以
3
3
2
2 3
2
6
8
2
m
n
-
=
´ -
=
-
= - ．
易错点2 已知同类项求指数中字母或代数式的值
易错提醒
易错点总结
1. 同类项概念记不牢：只看字母相同，忽略相同字母指数必须完全相等。
2. 多个字母同类项，只列一个方程，漏列方程导致少解。
3. 解出字母值后，直接作答，忘记题目要求的是代数式整体的值（如 a+b、a-b）。
4. 混淆 π：把 π 当成字母，误参与同类项指数对比。
注意事项总结
1. 同类项铁律：字母全同、同字母指数全同，系数无关、顺序无关。
2. 几个不同字母就列几个方程，一一对应，不遗漏。
3. 做题步骤：先求字母值 → 再代入所求代数式计算，不要直接写字母答案。
4. π是常数，永远不算字母，不参与同类项对比。
【对点训练】2．已知：
2
2
2
2
4
3
,
3
2
M
x y
xy
N
x y
xy
=
-
=
-
．
(1)计算
2
M
N
-
的值；
(2)若单项式
1 2
6
2
x
a
b
+
-
与
5
2 4
5
y
a b -
是同类项，求
2
M
N
-
的值．
【答案】(1)
2
2
2x y
xy
-
+
；
(2)10
【分析】本题考查整式的加减运算以及同类项的定义，关键是掌握整式加减的去括号、合并同类项法则，
以及同类项中相同字母指数相等的性质．
（1）将已知的M 、N 代入
2
M
N
-
，通过去括号、合并同类项化简式子；
（2）根据同类项的定义列出关于x 、y 的一元一次方程，求解得到x 、y 的值后，代入（1）中化简的结果
计算最终数值．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
4
3
2 3
2
M
N
x y
xy
x y
xy
-
=
-
-
-
2
2
2
2
4
3
6
4
x y
xy
x y
xy
=
-
-
+
2
2
2x y
xy
= -
+
；
（2）解：∵单项式
1 2
6
2
x
a
b
+
-
与
5
2 4
5
y
a b -
是同类项，
∴1
2
5,2
4
6
x
y
+
=
-
=
，解得
2,
1
x
y
=
= - ，
∴原式
2
2
2 2
1
2 ( 1)
10
= - ´
´ -
+ ´ -
=
．
易错点3 整式加减中的无关型问题
易错提醒
易错点总结
1. 看不懂题意：不知道“与某字母取值无关”的含义，无从下手。
2. 化简不彻底，残留同类项未合并，导致系数找错。
3. 只令一次项系数为0，忘记二次项、高次项也要系数为0。
4. 符号错误，合并系数正负搞反，整题答案错误。
注意事项总结
1. 万能结论：与某个字母取值无关 ⇒ 该字母所有项的系数全部为0。
2. 解题固定步骤：先去括号 → 彻底合并同类项 → 令对应系数 =0 → 解方程。
3. 看清题目：与 x 无关、与 y 无关、不含二次项、不含一次项，精准对应系数。
4. 化简必须最简，残留任何一项都会导致题目出错。
【对点训练】3．已知代数式
2
2
3
5
7
3,
2
A
x
xy
y
B
x
xy
=
+
-
-
=
-
+
．
(1)化简：
3
2
3
A
A
B
-
+
；
(2)若
2
|
1|
3
0
x
y
+
+
+
=
，求
3
2
3
A
A
B
-
+
的值；
(3)若
3
2
3
A
A
B
-
+
的值与y 的取值无关，求x 的值．
【答案】(1)8
7
9
xy
y
-
-
(2)36
(3) 7
8
【分析】（1）利用整式的加减即可解答；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得
1,
3
x
y
= -
= - ，代入（1）中化简的结果即可；
（3）根据题意可得含有y 的项相加得零，即可解答．
【详解】（1）解：
3
2
3
A
A
B
-
+
3
2
3
A
A
B
=
-
-
3
A
B
=
-
2
2
3
5
7
3
3
2
x
xy
y
x
xy
=
+
-
-
-
-
+
2
2
3
5
7
3
3
3
6
x
xy
y
x
xy
=
+
-
- -
+
-
8
7
9
xy
y
=
-
-
；
（2）解：
2
1
3
0
x
y
+
+
+
=
Q
1
0,
3
0
x
y
\ + =
+
=
，
解得
1
x = - ，
3
y
-
=
，
把
1
x = - ，
3
y
-
=
代入，
3
2
3
8
7
9
8
1
3
7
3
9
24
21 9
36
A
A
B
xy
y
-
+
=
-
-
= ´ -
´ -
- ´ -
-
=
+
-
=
；
（3）解：∵
3
2
3
8
7
9
8
7
9
A
A
B
xy
y
x
y
-
+
=
-
-
=
-
-
，
且
3
2
3
A
A
B
-
+
的值与y 的取值无关，
8
7
0
x
\
-
=
，
解得
7
8
x =
．
易错点4 与单项式有关的规律探究问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会分开找规律：系数符号、系数绝对值、字母指数三项混在一起，找不到通项。
2. 符号规律最容易错：正负交替数列不会用( 1)n
-
或
+1
( 1)n
-
表示。
3. 指数规律数错，第 n 项指数和项数对应关系混乱。
4. 求第 n 项写成具体项，不会写通用通项公式。
注意事项总结
1. 单项式规律三步拆分法：符号、数字系数、字母指数分别找规律。
2. 符号规律：奇数项负、偶数项正用( 1)n
-
；奇数项正、偶数项负用
+1
( 1)n
-
。
3. 指数大多与项数 n 成等差关系，逐次对比列出。
4. 最后必须写出第 n 项通用公式，不能写具体数字式子。
【对点训练】4．有一串代数式：
x
- ，
2
2x ，
3
3x
-
，
4
4x ，…，
19
19x
-
，
20
20x
，…．
(1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律；
(2)写出第2011 个代数式；
(3)写出第n 个，第
1
n +
个代数式．
【答案】(1)这组单项式的系数的绝对值、x 的次数均为从1 开始的连续正整数，且奇数项系数为负，偶数项
系数为正．
(2)
2011
2011x
-
．
(3)第n 个代数式为
1
n
n
nx
-
，第
1
n +
个代数式为
1
1
1
1
n
n
n
x
+
+
-
+
．
【分析】（1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可；
（2）根据这串代数式的规律解答即可；
（3）根据这串代数式的规律解答即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
易错点5 与图形有关的规律探究问题
易错提醒
易错点总结
1. 只会数前几项，不会提炼通用公式，求第 n 项只能瞎猜。
2. 看错图形变化规律：增加数量、变化节奏判断错误。
3. 图形规律和代数式对应不上，列式结构错误。
4. 不验证，写出公式不代回前3 项检验，隐藏错误无法发现。
注意事项总结
1. 图形规律万能法：数第1、2、3、4 项数量 → 找等差/倍数规律 → 写通项。
2. 优先观察：每次增加几个、是否固定增量。
3. 公式写完必须检验：代入 n=1、n=2 验证是否和原图数量一致。
4. 图形规律最终全部转化为整式表达式作答。
【对点训练】5．如图，四边形ABCD 、四边形CFED 和四边形HGJI 都是正方形，点B、C、F 在同一直线
上，CD为正方形ABCD 与正方形CFED 的公共边，点G 是边CF 上的动点（不与点C、F 重合）．若
BH
HG
=
，
1
HC = ，记阴影部分①的面积为
1S ，阴影部分②的面积为
2
S ，阴影部分③的面积为
3
S ，则
1S ，
2
S ，
3
S 的数量关系为（ ）
A．
1
2
3
S
S
S
+
=
B．
1
2
3
2
S
S
S
+
=
C．
1
2
3
2S
S
S
-
=
D．
1
2
3
2
2
S
S
S
+
=
【答案】A
【分析】本题考查用代数式表示结合图形的面积，熟练掌握题意及图形中的面积计算是解题的关键．通过
设未知数表示出各个正方形的边长，进而分别求出阴影部分①、②、③的面积，最后找出它们之间的数量
关系．
【详解】解：设BH
HG
x
=
=
，
Q四边形HGJI 是正方形，
\ HI
GJ
HG
CK
x
=
=
=
=
，
Q
1
HC = ，
\
1
CG
x
=
- ，正方形ABCD 与正方形CFED 的边长为
1
x + ，
\阴影部分①中，
1
1
1
1
1
1
2
2
2
S
x
AD DK
x
x
x
+
=
×
×
=
+
+ -
=
，
阴影部分②中，
2
1
1
1
1
1
2
2
2
S
x
KJ DK
x
x
x
-
=
×
×
=
-
+ -
=
，
阴影部分③中，
3
1
1
2
1
2
2
2
JG GF
x
x
x
x
S
é
ù
=
×
×
=
× ×
+
-
=
ë
û
，
\
1
2
3
S
S
S
+
=
，
故选A．
易错点6 与数字有关的规律探究问题
易错提醒
易错点总结
1. 只会肉眼观察，不会用差值法找数列规律。
2. 正负交替数列符号规律总结错误。
3. 分数规律分子、分母不分开看，整体混乱。
4. 找规律只求具体数值，不会写通用规律式，大题直接扣分。
注意事项总结
1. 数字规律拆分技巧：整数、分数、符号、奇偶分开找规律。
2. 等差规律：后项减前项差固定，通项为一次整式 an+b。
3. 分数规律：分子单独数列、分母单独数列分别求解。
4. 所有规律题最终要求：写出第 n 项代数式，并代入检验。
【对点训练】6．【问题背景】在课本106
P
页的活动2 中，探究了“自然数被3 整除的规律”．以三位数为例，
假设一个三位数的百位，十位，个位数字分别为a，b，c，则可记为abc ，若a
b
c
+
+
能被3 整除，则这个
数能被3 整除．论证过程如下：
100
10
99
9
=
+
+
=
+
+
+
+
abc
a
b
c
a
b
a
b
c ．显然99
9
a
b
+
能被3 整除，因
此，若a
b
c
+
+
能被3 整除，则abc 就能被3 整除．
【拓展探究】同学们继续探究此类问题，在查阅资料后发现了自然数被7 整除的规律：
割尾法：一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2 倍，这样，一次次减下去，如果最
后的结果是7 的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7 整除．
举例1：判断812 是否为7 的倍数的过程如下：81
2
2
77
-
´
=
，因为77 可以被7 整除，所以812 是7 的倍
数；
举例2：判断5994 是否为7 的倍数的过程如下：599
2
4
59159
2 1
57
-
´
=
-
´ =
，
，因为57 不可以被7 整除，
所以5994 不是7 的倍数，其余类似的进行推理．
(1)请使用“割尾法”解决以下两个问题：
①仿照举例2，判断2026 是否可以被7 整除（写出判断过程）；
②若五位自然数m 能被7 整除，m 的后四位数为2026，求m 的所有可能取值．
(2)以三位数为例验证割尾法的正确性，请你试说明：若3
2
+
-
a
b
c 能被7 整除，则三位数abc 能被7 整除．
【答案】(1)①2026 不能被7 整除；②m 的可能值为：12026 或82026
(2)
证明：三位数
100
10
abc
a
b
c
=
+
+
10
10a
b
c
=
´
+
+
10
3
2
7
2
a
b
c
a
c
c
é
ù
´
+
-
+
+
+
ë
û
＝
10
3
2
70
20
a
b
c
a
c
c
=
´
+
-
+
+
+
10
3
2
70
21
a
b
c
a
c
=
´
+
-
+
+
10
3
2
7
10
3
a
b
c
a
c
=
´
+
-
+
´
+
，
∵3
2
+
-
a
b
c 能被 7 整除，
设3
2
7
a
b
c
n
+
-
=
（n 为整数），
∴
10 7
7
10
3
7
10
10
3
abc
n
a
c
n
a
c
=
´
+ ´
+
=
´
+
+
，即abc 是7 的倍数，
∴abc 能被7 整除．
【分析】本题主要考查整式加减运算的应用，读懂所给材料是解题的关键．
（1）①仿照阅读材料中的方法求解即可；
②仿照阅读材料中的方法可得10
17
7
x
k
-
=
（k 为整数），然后逐一验证x 即可解答；
（2）依照阅读材料中的方法，将abc 变形为
10
3
2
7
10
3
a
b
c
a
c
´
+
-
+
´
+
，进而完成解答．
【详解】（1）解：①202
6
2
19019
0
2
19
-
´
=
-
´
=
，
，
∵19 不是7 的倍数．
∴2026 不能被7 整除；
②设五位自然数m 的首位数字为x（x 为1 9
～的正整数），则
10000
2026
m
x
=
+
．
按割尾法对m 逐步计算：
1000
202
6
2
1000
190
x
x
+
-
´
=
+
；
100
19
0
2
100
19
x
x
+
-
´
=
+
；
10
1
9
2
10
17
x
x
+
-
´
=
-
；
若五位自然数m 能被7 整除，则
10
17
x -
是7 的倍数（x 为1 9
～的正整数），即：10
17
7
x
k
-
=
（k 为整数），逐一验证x：
当
1
x = 时，10
1
17
7
´ -
= - ，7
- 是7 的倍数，符合题意；
当
2
x =
时，20 17
3
-
=
，3 不是7 的倍数，不符合题意；
当
3
x =
时，30
17
3
-
= 1 ，13 不是7 的倍数，不符合题意；
当
4
x =
时，40
17
3
-
= 2 ，23 不是7 的倍数，不符合题意；
当
5
x =
时，50
17
3
-
= 3 ，33 不是7 的倍数，不符合题意；
当
6
x =
时，60
17
3
-
= 4 ，43 不是7 的倍数，不符合题意；
当
7
x =
时，70
17
3
-
= 5 ，53 不是7 的倍数，不符合题意；
当
8
x =
时，80
17
3
-
= 6 ，63 是 7 的倍数，符合题意；
当
9
x =
时，90
17
3
-
= 7 ，73 不是7 的倍数，不符合题意．
∴
1
x = 或
8
x =
，对应的m 为：
当x＝1 时，
12026
m =
；
当
8
x =
时，
82026
m =
．
综上，m 的可能值为：12026 或82026．
（2）略
一、单选题
1．有理数a，b，c 满足
0
a
b
c
+
+
=
，且c
b
a
<
<
，则下列结论正确的是（ ）
A．b
c
>
B．
0
a =
C．
0
abc >
D．c
b
a
+
=
【答案】D
【分析】本题考查有理数加法、绝对值的性质，根据
0
a
b
c
+
+
=
和c
b
a
<
<
，可推得b、c 同号，a 与b、c
异号，结合绝对值性质分析各选项即可．
【详解】解：A、∵
0
a
b
c
+
+
=
，且c
b
a
<
<
，
∴a、b、c 三个数不同号，且都不为0，且a
b
c
=
+
，
若b、c 异号，
则b
c
b
c
b
a
+
=
-
<
<
，
与a
b
c
=
+
矛盾，
∴b、c 同号，a 与b、c 异号，
可得b
c
b
c
a
+
=
+
=
，
当a 为正，b、c 为负时，
∵b
c
>
，
∴b
b
c
c
= -
< -
=
，
∴A 选项b
c
>
不成立，
∴A 错误；
B、∵
0
a
b
c
+
+
=
，且c
b
a
<
<
，
∴a、b、c 三个数不同号，且都不为0，且a
b
c
=
+
，
∴B 选项错误；
C、当
0
0
0
a
b
c
>
<
<
，
，
时，
0
abc >
；
当
0
a < ，b>0，c>0时，
0
abc <
．
∴
0
abc >
不恒成立，
∴C 错误；
D、∵
0
a
b
c
+
+
=
和|
| |
| |
|
c
b
a
<
<
，
当
0
0
0
a
b
c
>
<
<
，
，
时，
∴
c
b
b
c
b
c
a
a
+
= - -
= -
+
=
=
．
∴D 正确．
2．有下列说法：①m
-
一定是负数；②若a
a
= - ，则a 是负数；③
2
πm n
-
的系数是1
- ；④多项式
3
2
4
1
x y
xy
y
-
-
- 是四次四项式，其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】本题需逐个分析每个说法，依据负数定义、绝对值性质、单项式系数定义、多项式次数和项数的
定义判断对错，统计正确个数后得出答案．
【详解】解：①：当m 是正数时，m
-
是负数，当
0
m =
时，
0
m
-
=
，当m 是负数时，m
-
是正数，所以m
-
不一定是负数，该说法错误；
②：若a
a
= - ，则
0
a £
，当
0
a =
时，a
a
= - 成立，但a 不是负数，该说法错误；
③：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，在
2
πm n
-
中，数字因数是π
-
，所以它的系数是π
-
，而
不是1
- ，该说法错误；
④：在多项式
3
2
4
1
x y
xy
y
-
-
- 中，各项分别为
3x y 、2xy
-
、4y
-
、1
- ，一共有四项，
多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，
3x y 的次数是3 1
4
+ =
，2xy
-
的次数是1 1
2
+ =
，4y
-
的次数
是1，1
- 的次数是0，所以该多项式是四次四项式，该说法正确，
综上，正确的说法只有1 个，
故选：A．
3．如图，长为x 、宽为y 的长方形被分割为7 块，包括5块完全相同的空白长方形和2 块阴影长方形Ⅰ，
Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4 ，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（ ）
A．4
8
y +
B．4
8
x +
C．2
4
y +
D．2
4
x +
【答案】A
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，由题意可知长为x 、宽为y 的长方形面积5
- 块形状、大小完
全相同的空白长方形面积
2
=
块阴影长方形、的面积之和，设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长
边长为z ，列出等式
2 4
3 4
4 3
4 2
2
3 4
2
xy
z
z
x
y
y
z
é
ù
é
ù
- ´ ´ - ´ ´
=
- ´
- ´
´ +
-
+ ´
´
ë
û
ë
û
，从而有
12
z
x
=
-
，
又2 块阴影长方形的周长之和为
3 4
2 4
2
3 4
2
x
y
y
z
é
ù
é
ù
- ´
+
- ´
´
+
-
+ ´
´
ë
û
ë
û
，再化简代入即可求解，掌握
知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，长为x 、宽为y 的长方形面积5
- 块形状、大小完全相同的空白长方形面积
2
=
块
阴影长方形、的面积之和，
设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z ，
∴可得
2 4
3 4
4 3
4 2
2
3 4
2
xy
z
z
x
y
y
z
é
ù
é
ù
- ´ ´ - ´ ´
=
- ´
- ´
´ +
-
+ ´
´
ë
û
ë
û
，
解得：
12
z
x
=
-
，
∴2 块阴影长方形的周长之和为
3 4
2 4
2
3 4
2
x
y
y
z
é
ù
é
ù
- ´
+
- ´
´
+
-
+ ´
´
ë
û
ë
û
2
12
8
2
12
x
y
y
z
=
-
+
-
+
-
+
2
20
2
12
x
y
y
z
=
+
-
+
-
+
2
2
40
2
2
24
x
y
y
z
=
+
-
+
-
+
2
4
2
16
x
y
z
=
+
-
-
，
2
4
2
12
16
x
y
x
=
+
-
-
-
2
4
2
24 16
x
y
x
=
+
-
+
-
4
8
y
=
+ ，
故选：A ．
4．“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n 按如下规律进行操作：第1 次操作后得到整式串
, ,
m n n
m
-
；第2 次操作后得到整式串
, ,
,
m n n
m
m
-
-
；第3 次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，
都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026 次操作后得到的整式串各项
之和是（ ）
A．n
m
-
B．6
C．2n
m
-
D．0
【答案】D
【分析】本题考查整式的加减运算，规律探究，先依次计算每次操作后整式串的各项之和，找出和的循环
周期，再根据周期计算第2026 次操作后的和即可．
【详解】∵ 第1 次操作后整式串各项之和：
2
m
n
n
m
n
+
+
-
=
，
第2 次操作后整式串各项之和：
2
2
n
m
n
m
+ -
=
-
，
第3 次操作新增项为
m
n
m
n
-
-
-
= - ，各项之和：
2n
m
n
n
m
-
+ -
=
-
，
第4 次操作新增项为
n
m
m
n
- - -
=
-
，各项之和：
0
n
m
m
n
-
+
-
=
，
第5 次操作新增项为
m
n
n
m
-
- -
=
，各项之和：0
m
m
+
=
，
第6 次操作新增项为
m
m
n
n
-
-
=
，各项之和：m
n
m
n
+
=
+
，
第7 次操作新增项为n
m
-
，各项之和：
2
m
n
n
m
n
+
+
-
=
，
∴各项之和以2 ,2
,
,0,
,
n
n
m n
m
m m
n
-
-
+
为周期循环，周期为6，
∵2026
6
337
4
¸
=
LL ，余数为4
∴第2026 次操作后整式串各项之和与第4 次操作后的和相同，即为0；
故选D．
5．观察下列关于x 的单项式，探究其规律：
3
5
7
9
11
13
3 ,6
9
12
15
18
21
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
，
，
，
，
，
，…，按照上述规律，
第1013 个单项式是（ ）
A．
2025
3039x
B．
2024
2026x
-
C．
2025
3039x
-
D．
2024
2026x
【答案】C
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可
解决问题．
【详解】解：∵
3
5
7
9
11
13
3 ,6
9
12
15
18
21
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
，
，
，
，
，
，…，
∴第n 个单项式可表示为：
2
1
1
3
n
n
nx
-
-
，
当
1013
n =
时，第1013个单项式是：
2025
3039x
-
．
故选C．
二、填空题
6．下列四个结论中：
①若单项式
2
5
n
m
b a
-
与
4
2
8a b 是同类项，则
2
m
n
=
=
；
②若关于x 的多项式
2
2
2
3
1
6
5
ax
x
x
x
a
-
+
-
+
+
的运算结果中不含
2
x 项，则常数项为1
- ；
③若
0
c
b
a
<
<
<
，则
0
a
b
c
a
c
b
-
-
-
+
-
=
；
④若
0
a
b
c
+
+
=
，且
0
abc ¹
，则
b
abc
b
c
c
a
a
c
c
abc
- -
-
+
+
+
的运算结果只有一种．
其中正确的是_________．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据同类项的定义可判断①；根据整式的加减可判断②；根据化简绝对值可判断③④．
【详解】解：①∵单项式
2
5
n
m
b a
-
与
4
2
8a b 是同类项，
∴2
4,
2
m
n
=
=
，
∴
2,
2
m
n
=
=
，
∴
2
m
n
=
=
，故①正确；
②
2
2
2
3
1
6
5
ax
x
x
x
a
-
+
-
+
+
2
2
2
3
3
3
6
5
ax
x
x
x
a
=
-
-
+ -
-
2
2
3
6
8
3
a
x
x
a
=
-
-
+ -
∵运算结果中不含
2
x 项，
∴3
6
0
a -
=
，
解得，
2
a =
，
此时，常数项为
2
2
3
3
2
3
4
1
a
-
=
-
=
-
= - ，故②正确；
③∵
0
c
b
a
<
<
<
，
∴
0
a
b
-
>
，
0
c
a
-
<
，
0
c
b
-
<
，
∴a
b
c
a
c
b
-
-
-
+
-
a
b
c
a
c
b
=
-
+
-
-
-
a
b
c
a
c
b
=
-
+ -
- +
0
=
；故③正确；
④∵
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc ¹
，
∴, ,
a b c 中至少有一个是负数，
当a
0,b
0,c
0
<
>
>
时，
0
abc <
，
,
a
b
c a
c
b
= - -
+
= - ，
∴
b
abc
b
c
c
a
a
c
c
abc
- -
-
+
+
+
a
b
c
abc
a
b
c
abc
-
=
-
+
+
-
-
1 1 1 1
= - + + -
0
=
；
当
0,
0,
0
a
b
c
>
<
>
时，
0
abc <
，
,
a
b
c a
c
b
= - -
+
= - ，
∴
b
abc
b
c
c
a
a
c
c
abc
- -
-
+
+
+
a
b
c
abc
a
b
c
abc
-
-
=
-
+
+
-
1 1 1 1
= - + -
0
=
；
当
0,
0,
0
a
b
c
>
<
<
时，
0
abc >
，
,
a
b
c a
c
b
= - -
+
= - ，
∴
b
abc
b
c
c
a
a
c
c
abc
- -
-
+
+
+
a
b
c
abc
a
b
c
abc
-
=
-
+
+
-
-
1 1 1 1
= - - +
0
=
；
当
0,
0,
0
a
b
c
>
>
<
时，
0
abc <
，
,
a
b
c a
c
b
= - -
+
= - ，
∴
b
abc
b
c
c
a
a
c
c
abc
- -
-
+
+
+
a
b
c
abc
a
b
c
abc
-
=
-
+
+
-
-
1 1 1 1
= + - -
0
=
；
当
0,
0,
0
a
b
c
<
<
>
时，
0
abc >
，
,
a
b
c a
c
b
= - -
+
= - ，
∴
b
abc
b
c
c
a
a
c
c
abc
- -
-
+
+
+
a
b
c
abc
a
b
c
abc
-
=
-
+
+
-
-
1 1 1 1
= - - + +
0
=
；
当
0,
0,
0
a
b
c
<
>
<
时，
0
abc >
，
,
a
b
c a
c
b
= - -
+
= - ，
∴
b
abc
b
c
c
a
a
c
c
abc
- -
-
+
+
+
a
b
c
abc
a
b
c
abc
=
-
+
+
-
-
-
1 1 1 1
= - + - +
0
=
；
综上，若
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc ¹
，则
b
abc
b
c
c
a
a
c
c
abc
- -
-
+
+
+
的结果只有一种．
故④正确，
∴正确的说法是①②③④．
7．已知a，b，c 为有理数，且
0
abc >
，
0
a
b
c
+
+
=
，
a
b
c
x
b
c
a
c
a
b
=
+
+
+
+
+
，
a
b
c
abc
y
a
b
c
abc
=
+
+
+
，则
x
y
+
= ______．
【答案】1
【分析】由题意可得a，b，c 中有两个负数，一个正数，不妨设
0
a >
，则
0
b <
，
0
c <
，由
0
a
b
c
+
+
=
得
出b
c
a
+
= - ，a
c
b
+
= - ，a
b
c
+
= - ，再结合绝对值的性质求出x 、y 的值，即可得出结果．
【详解】解：∵a，b，c 为有理数，且
0
abc >
，
0
a
b
c
+
+
=
，
∴a，b，c 中有两个负数，一个正数，
不妨设
0
a >
，则
0
b <
，
0
c <
，
∵
0
a
b
c
+
+
=
，
∴b
c
a
+
= - ，a
c
b
+
= - ，a
b
c
+
= - ，
∴
1 1 1
1
a
b
c
a
b
c
x
b
c
a
c
a
b
a
b
c
-
-
=
+
+
=
+
+
= - + + =
+
+
+
-
-
-
，
1 1 1 1
0
a
b
c
abc
a
b
c
abc
y
a
b
c
abc
a
b
c
abc
-
-
=
+
+
+
=
+
+
+
= - - + =
，
∴
1 0
1
x
y
+
= +
= ．
8．正整数,a b 都是两位数，将数a 放在数b 的左边组成一个四位数，交换两数,a b 的位置，又得到一个四位
数，如果这两个四位数的差是一个整数的平方，则称数a ，b 是“理想数对”．例如：
46,
35
a
b
=
=
，则
2
4635
3546
33
-
=
，所以46 和35 是“理想数对”．请判断21 和10_____（填“是”或“不是”）“理想数对”．“理
想数对”一共有__________对．
【答案】
是
215
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，有理数的乘方运算，对于第一空，求出对应的两个四位数，再
表示出它们的差，进而根据定义可得结论；对于第二空，设两位数c 和d 是“理想数对”，且c
d
³
，根据定
义可推出可得
99 c
d
-
需为完全平方数，设
2
11
c
d
k
-
=
（k 为非负整数），讨论k 的值，从而确定c 的值，
进而可得答案．
【详解】解：将21 放在10 左侧组成的四位数为2110，将10 放在21 左侧组成的四位数为1021，
2110 1021
1089
-
=
，
2
33
1089
=
∴21 和10 是“理想数对”；
设两位数c 和d 是“理想数对”，且c
d
³
，
则组成的两个四位数分别为100c
d
+
，100d
c
+
，
100
100
99
99
99
99
c
d
d
c
c
d
c
d
c
d
+
-
+
=
-
=
-
=
-
，
根据题意可得
99 c
d
-
需为完全平方数，
∵
2
99
3
11
=
´
，
∴
11 c
d
-
必须为完全平方数．
∵11 是质数，
∴
c
d
-
需为11与某个完全平方数的乘积，
设
2
11
c
d
k
-
=
（k 为非负整数）
又∵,c d 是两位数，即10
99
c
£
£
，10
99
d
£
£
∴
0
89
c
d
£
-
£
，
当
0
k =
时，
0
c
d
-
=
，即c
d
=
，此时c 可取10 到99 的所有两位数，共99
10
1
90
-
+ =
对；
当
1
k = 时，
2
11 1
11
c
d
-
=
´
=
，此时c 可取21到99的所有的两位数，共99
21 1
79
-
+ =
对；
当
2
k =
时，
2
11 2
44
c
d
-
=
´
=
，此时c 可取54到99的所有的两位数，共99
54 1
46
-
+ =
对；
当
3
k ³
时，
2
11 3
99
c
d
-
=
´
=
，不符合题意，舍去．
∴所有符合题意的“理想数对”有90
79
46
215
+
+
=
对，
故答案为：215 ．
9．如图，将六个长为a，宽为
3
b a
b
¹
的小长方形不重叠地放置在一个大长方形ABCD 中，未被覆盖的部
分（阴影部分）是两个长方形①②，其周长分别为
1
C 和
2
C ，面积分别为
1S 和
2
S ，且
2
1
C
C
-
与
2
1
S
S
-
的数值
相等．边BC 的长为______，
1
2
C
C
+
的值为______．
【答案】
4
16
【分析】本题考查整式的加减运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．设BC
x
=
，根据图
形，用a、b、x 表示出两个长方形①②的长和宽，进而表示出
1
C 和
2
C ，
1S 和
2
S ，利用
2
1
C
C
-
与
2
1
S
S
-
的
数值相等求出x 值即可解答．
【详解】解：设BC
x
=
，
根据题意，长方形①的长为3b，宽为x
a
-
，长方形②的长为a ，宽为
3
x
b
-
，
则
1
2 3
6
2
2
C
b
x
a
b
x
a
=
+
-
=
+
-
，
1
3
3
3
S
b x
a
bx
ab
=
-
=
-
；
2
2
3
2
2
6
C
a
x
b
a
x
b
=
+
-
=
+
-
，
2
3
3
S
a x
b
ax
ab
=
-
=
-
,
∴
2
1
2
2
6
6
2
2
4
12
C
C
a
x
b
b
x
a
a
b
-
=
+
-
-
-
+
=
-
，
2
1
3
3
3
3
S
S
ax
ab
bx
ab
ax
bx
-
=
-
-
+
=
-
，
∵
2
1
C
C
-
与
2
1
S
S
-
的数值相等，
∴4
12
3
a
b
ax
bx
-
=
-
，即
4
3
3
a
b
a
b x
-
=
-
，
∵
3
a
b
¹
，即
3
0
a
b
-
¹
，
∴
4
x =
，即
4
BC =
；
∴
1
2
6
2
2
2
2
6
4
16
C
C
b
x
a
a
x
b
x
+
=
+
-
+
+
-
=
=
，
故答案为：4，16．
10．一个三位正整数M，如果满足各数位上的数字各不相同且均不为0，个位上的数字是十位数字减1 之差，
那么称这个数是“三差数”．用这个“三差数”减去各数位数字之和的差，再除以9 的商记为
F M ．例如：
254
M =
，
254
2
5
4
254
27
9
F
-
+ +
=
=
．则
476
F
= ______；如果将一个“三差数”M 的各数位数字放在
任意数位上后可以得到6 个不同的三位数（包含M 本身），把这6 个三位数的和记为
F M ¢ ，且
37
F M
F M
¢ -
为整数，则满足条件的M 的最大值是______．
【答案】
51
687
【分析】本题考查了新定义的理解与应用及整式的运算．第一问直接计算
476
F
；第二问设M 的百位、十
位、个位数字分别为a、b、c，根据条件
1
c
b
=
- ，推导出
11
F M
a
b
=
+
，
222
F M
a
b
c
¢ =
+
+
，代入得
37
F M
F M
¢ -
的表达式，化简为26
36
37
a
b
+
需为整数，由2
9
b
£
£
，枚举所有的整数情况，找到满足条件的
6
a =
，
8
b =
，故
687
M =
．
【详解】解：第一问：∵
476
M =
，
∴各位数字之和为4
7
6
17
+
+
=
，
∴
476 17
476
51
9
F
-
=
=
；
第二问：设
100
10
M
a
b
c
=
+
+
，
∵a、b、c 为数字，且各不相同均不为0，
1
c
b
=
- ，
∴
100
10
99
9
11
9
9
a
b
c
a
b
c
a
b
F M
a
b
+
+ -
+
+
+
=
=
=
+
，
∴所有数字排列之和
100
10
100
10
100
10
100
10
100
10
100
10
F M
a
b
c
a
c
b
b
a
c
b
c
a
c
a
b
c
b
a
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
¢
222
222
222
a
b
c
=
+
+
222 a
b
c
=
+
+
222
2
1
a
b
=
+
-
，
∴
222
2
1
11
211
443
222
37
37
37
F M
F M
a
b
a
b
a
b
-
+
-
+
+
-
=
=
¢
-
，
∵该式为整数，
即211
443
222
a
b
+
-
能被37 整除，
又∵211
37
5
26
=
´ +
，443
37 11
36
=
´
+
，222
37
6
=
´ ，
∴原式
26
36
5
11
6
37
a
b
a
b
+
=
+
-
+
，
∴26
36
37
a
b
+
需为整数，
由2
9
b
£
£
，枚举所有的整数情况：
①当
2
b =
时，没有a 的值满足条件；
②当
3
b =
时，没有a 的值满足条件；
③当
4
b =
时，
3
a =
满足整除条件，但此时
1
3
c
b
=
- = ，与a 重复，不满足各数位上的数字各不相同，故舍
去；
④当
5
b =
时，没有a 的值满足条件；
⑤当
6
b =
时，没有a 的值满足条件；
⑥当
7
b =
时，没有a 的值满足条件；
⑦当
8
b =
时，
6
a =
满足条件；
⑧当
9
b =
时，没有a 的值满足条件，
∵M 为最大值，
∴仅有
8
b =
，
6
a =
的情况满足题意，
此时
1
7
c
b
=
- =
，
∴满足条件的M 为687，即最大值为687，
故答案为：51，687．
三、解答题
11．已知两个多项式A 和B，其中
2
1
B
a
ab
= -
+
+ ，小勤在计算
2
A
B
-
时，误看成了“
2
A
B
+
”，求得的结果
为6
2
1
ab
a
-
+ ．
(1)求多项式A ；
(2)若
4
3
2
A
A
B
-
-
的值与a 无关，求b 的值．
【答案】(1)
2
2
4
2
1
a
ab
a
+
-
-
(2) 1
3
【分析】本题考查了整式的加减以及整式加减中的无关型问题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键
（1）由
2
A
B
+
的结果为6
2
1
ab
a
-
+ 得：
2
6
2
1 2
1
A
ab
a
a
ab
=
-
+ -
-
+
+
，利用整式减法进行计算即可；
（2）先化简求出
4
3
2
6
2
1
A
A
B
ab
a
-
-
=
-
+ ，
4
3
2
A
A
B
-
-
的值与a 无关，可列6
2
0
b -
=
，然后解方程
即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
2
6
2
1 2
1
A
ab
a
a
ab
=
-
+ -
-
+
+
2
2
2
6
2
1
2a
a
ab
a
b
=
-
-
+
-
+
2
2
2
2
6
2
1
a
ab
ab
a
=
-
+
+
-
-
2
2
4
2
1
a
ab
a
-
+
-
=
；
（2）解：∵
2
2
4
2
1
A
a
ab
a
=
+
-
- ，
2
1
B
a
ab
= -
+
+ ，
∴
4
3
2
A
A
B
-
-
4
3
2
A
A
B
=
-
+
2
A
B
=
+
2
2
2
4
2
1
2
1
a
ab
a
a
ab
=
+
-
- +
-
+
+
2
2
2
4
2
1 2
2
2
a
ab
a
a
ab
=
+
-
- -
+
+
2
2
2
2
2
2
4
2
1
a
ab
a
a
ab
=
-
+
-
-
+
+
6
2
1
ab
a
=
-
+
6
2
1
b
a
=
-
+ ，
∵
4
3
2
A
A
B
-
-
的值与a 无关，
∴6
2
0
b -
=
，
∴
1
3
b =
．
12．（1）已知
2
1
1
0
2
a
b
-
+
+
=
，求
2
2
2
2
2
1
2
7
5
2
3
4
4
7
4
7
a
a
ab
b
a
ab
b
æ
ö
-
+
-
+
+
+
ç
÷
è
ø
的值．
（2）已知多项式
4
5
3
2
4
5
6
m
m
A
mx
x
mx
mx
x
+
-
=
-
+
-
-
+ ，
4
4
3
2
4
2
3
4
2
1
m
B
x
x
mx
x
mx
+
=
+
-
+
+
- ，若A
B
+
为五次六项
式，求m 的值．
【答案】（1）
1
4
-
；（2）
1
m =
【分析】本题考查整式加减的化简求值；
（1）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可；
（2）先计算出
4
5
3
2
4
4
4
2
2
5
5
m
m
A
B
m
x
x
mx
m x
x
m
x
+
-
+
=
+
-
+
+
-
+
+
-
+ ，再根据A
B
+
为五次六项式，
求m 的值即可．
【详解】（1）解：∵
2
1
1
0
2
a
b
-
+
+
=
，
∴
1
0
a- =
，
1
0
2
b +
=
，
∴
1
a = ，
1
2
b
-
=
，
∴
2
2
2
2
2
1
2
7
5
2
3
4
4
7
4
7
a
a
ab
b
a
ab
b
æ
ö
-
+
-
+
+
+
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
1
2
7
5
2
3
4
4
7
4
7
a
a
ab
b
a
ab
b
=
-
-
+
+
+
+
2
2
2
2
2
1
7
2
5
2
3
4
4
4
7
7
a
a
a
ab
ab
b
b
=
-
+
-
+
+
+
2
ab
b
=
+
2
1
1
1
2
2
æ
ö
æ
ö
= ´ -
+ -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
2
4
= -
+
1
4
= -
；
（2）解：∵
4
5
3
2
4
5
6
m
m
A
mx
x
mx
mx
x
+
-
=
-
+
-
-
+ ，
4
4
3
2
4
2
3
4
2
1
m
B
x
x
mx
x
mx
+
=
+
-
+
+
- ，
∴
4
5
3
2
4
4
3
2
4
5
6
4
2
3
4
2
1
m
m
m
A
mx
x
mx
mx
x
x
x
B
mx
x
mx
+
-
+
=
-
+
-
-
+
+
+
+
+
-
+
-
4
4
5
4
3
3
2
2
4
2
4
3
4
5
2
6 1
m
m
m
mx
x
x
x
mx
mx
mx
x
x
mx
+
+
-
=
+
-
+
+
-
-
+
-
+
+
-
4
5
3
2
4
4
4
2
2
5
5
m
m
m
x
x
mx
m x
x
m
x
+
-
=
+
-
+
+
-
+
+
-
+
，
∵A
B
+
为五次六项式，
∴
4
4
m
m
x
+
+
和
5 m
x -
-
中一个是五次单项式，
当
4
4
m
m
x
+
+
是五次单项式时，
4
5
m +
=
，
1
m = ，此时
5
4
3
2
4
5
4
3
2
5
3
2
3
5
5
3
3
5
x
x
x
x
x
x
x
x
A
x
x
B
x
=
-
+
+
+
-
+
=
+
+
+
+
-
+
是五次六项式；
当
5 m
x -
-
是五次单项式时，5
5
m
-
=
，
0
m =
，此时
4
5
2
4
5
4
2
4
4
2
5
5
6
4
5
5
x
x
x
x
x
A
x
B
x
x
x
=
-
+
+
-
+
-
+
-
+
=
+
+
是五次五项式，不合题意；
∴
1
m = ．
13．已知：
2
2
2
3
A
a
ab
b
=
-
-
，
2
2
4
6
B
a
ab
b
=
+
-
．
(1)计算2
3
A
B
-
的表达式；
(2)若代数式
2
2
2
6
2
3
5
1
x
ax
y
bx
x
y
+
-
+
-
-
+
-
值与字母x 的取值无关，求代数式2
3
A
B
-
的值．
【答案】(1)
2
2
8
5
12
a
ab
b
-
-
+
(2) 45
-
【分析】本题考查了整式的加减以及运算后与某系数无关的问题，解题的关键是将代数式进行化简，通过
最终的化简结果进行判断．
（1）根据题意将A 、B 代入，再去括号合并同类项即可得到答案；
（2）先将代数式进行化简，然后根据代数式的值与字母x 的取值无关，所以含x 的项的系数是0，据此求
出a 、b 的值，再代入2
3
A
B
-
的代数式求值即可．
【详解】（1）解：2
3
A
B
-
2
2
2
2
2 2
3
3 4
6
a
ab
b
a
ab
b
=
-
-
-
+
-
2
2
2
2
4
2
6
12
3
18
a
ab
b
a
ab
b
=
-
-
-
-
+
（去括号）
2
2
8
5
12
a
ab
b
= -
-
+
（合并同类项）
故2
3
A
B
-
的表达式为
2
2
8
5
12
a
ab
b
-
-
+
．
（2）解：
2
2
2
6
2
3
5
1
x
ax
y
bx
x
y
+
-
+
-
-
+
-
2
2
2
6
2
3
5
1
x
ax
y
bx
x
y
=
+
-
+
-
+
-
+ （去括号）
2
2
2
3
6
7
b x
a
x
y
=
-
+
+
-
+
（合并同类项）
若其最终值与x 的取值无关，则2
2
0
b
-
=
、
3
0
a +
=
，
解得
3
a = - ，
1
b = ，
代入
2
2
2
2
2
3
8
5
12
8
3
5
3
1 12 1
45
A
B
a
ab
b
-
= -
-
+
= - ´ -
- ´ -
´ +
´
= -
，
故代数式2
3
A
B
-
的值为45
-
．
14．【主题】研究幻方
【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是
一个三阶幻方（图1），将9 个数填在3 3
´ （三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对
角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．
【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9 个数，每个横行，每个
竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3 倍．
小嵊给出了数学证明：
如图2，设这9 个数依次为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i ，
因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都
记为S ，
则第二行：d
e
f
S
+ +
=
①，
第二列：b
e
h
S
+ +
=
②，
对角线分别：a
e
i
S
+ + =
③，c
e
g
S
+ +
=
④，
将①＋②＋③＋④，得：
4
4
a
b
c
d
e
f
g
h
i
S
+
+ +
+
+
+
+
+ =
M
所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3 倍．
(1)请完成“M ”中小嵊未显示的推理过程．
(2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中a ，b ，c 之间的关
系．
【答案】(1)见解析
(2)2a
b
c
=
+
【分析】（1）将a
b
c
S
+
+
=
、d
e
f
S
+ +
=
、g
h
i
S
+
+ =
整体代入
4
4
a
b
c
d
e
f
g
h
i
S
+
+ +
+
+
+
+
+ =
化简即
可解答；
（2）设中间格的值为x ，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为3x，据此补全幻方，并根据
其定义解答即可．
【详解】（1）证明：∵a
b
c
S
+
+
=
，d
e
f
S
+ +
=
，g
h
i
S
+
+ =
，
∴3
3
4
S
e
S
+
=
，
∴
3
S
e
=
．
（2）解：设中间格的值为x ，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为3x，则有：
∴3
3
x
c
a
x
a
b
- +
=
-
+
，即2a
b
c
=
+ ．
15．阅读下列材料．
我们知道
(
0)
0
0
(
0)
x x
x
x
x x
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式
1
2
x
x
+
=
-
时，可令
1
0
x + = 和
2
0
x -
=
，分别求得
1
x = - 和
2
x =
（称1
- ，2 分别为
1
x + 与
2
x -
的零点
值）．在有理数范围内，零点值
1
x = - 和
2
x =
可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
1
x
-
<
；
1
2
x
- £
<
；
2
x ³
，从而在化简
1
2
x
x
+
+
-
时，可分以下三种情况：
①当
1
x
-
<
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
= -
+
-
-
= -
+ ；②当1
2
x
- £
<
时，原式
1
2
3
x
x
=
+
-
-
=
；
③当
2
x ³
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
=
+
+
-
=
- ；
2
1(
1)
1
2
3( 1
2)
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
ì-
+
< -
ï
\
+
+
+
=
- £
<
í
ï
-
³
î
，通过以上阅读，解决问题：
小学
初中
(1)直接写出
3
x -
的零点值是x =；
(2)化简
1
5
x
x
- -
+
；
(3)直接写出代数式
3
2
1
x
x
x
-
+
+
+
+
的化简结果
【答案】(1)3
(2)
6(
5)
1
5
2
4( 5
1)
6
1
x
x
x
x
x
x
ì
< -
ï
-
-
+
= -
-
- £
<
í
ï-
³
î
(3)
3 (
2)
4( 2
1)
3
2
1
6( 1
3)
3
3
x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
-
< -
ì
ï- +
- £
< -
ï
-
+
+
+
+
= í +
- £
<
ï
ï
³
î
【分析】本题解题的关键是找出各个绝对值表达式中的零点值，将数轴划分为若干区间，在每个区间内去
掉绝对值符号，化简代数式，最后合并结果．
(1)直接根据定义求零点值；
(2)涉及两个绝对值之差，需分情况讨论；
(3)包含三个绝对值之和，涉及三个零点值，需划分四个区间进行讨论．
【详解】（1）解：令
3
0
x -
=
，解得
3
x =
，
因此
3
x -
的零点值是
3
x =
．
（2）解：令
1
0
x - =
和
5
0
x +
=
，
解得
1
x = 和
5
x = - ．
这两个值将实数轴分为三个区间：
5
5
1
1
x
x
x
< -
-
£
<
³
，
，
．
当
5
x < - 时，
1
0
5
0
x
x
- <
+
<
，
，
1
1
1
x
x
x
\
-
= -
-
= - + ，
5
5
5
x
x
x
+
= -
+
= - - ，
原式
1
5
1
5
6
x
x
x
x
= - +
- - -
= - + +
+
=
．
当5
1
x
- £
< 时，
1
0
5
0
x
x
- <
+
³
，
，
1
1
x
x
\
-
= - + ，
5
5
x
x
+
=
+ ，
原式
1
5
1
5
2
4
x
x
x
x
x
= - +
-
+
= - + -
-
= -
-
．
当
1
x ³ 时，
1
0
5
0
x
x
- ³
+
³
，
，
1
1
x
x
\
-
=
- ，
5
5
x
x
+
=
+ ，
原式
1
5
1
5
6
x
x
x
x
=
-
-
+
=
- -
-
= - ．
6
5
1
5
2
4( 5
1)
6(
1)
x
x
x
x
x
x
ì
< -
ï
\
- -
+
= -
-
- £
<
í
ï
-
³
î
（3）解：令
3
0
2
0
1
0
x
x
x
-
=
+
=
+ =
，
，
，解得
3
2
1
x
x
x
=
= -
= -
，
，
．因此分成四个区间：
2
2
1
1
3
3
x
x
x
x
< -
-
£
< -
- £
<
³
；
；
；
．
当
2
x
-
<
时，
3
0
2
0
1
0
x
x
x
-
<
+
<
+ <
，
，
，
3
3
x
x
\
-
= - + ，
2
2
x
x
+
= - - ，
1
1
x
x
+
= - - ，
原式
3
2
1
3
0
3
x
x
x
x
x
= - +
+ - -
+ - -
= -
+
= -
．
当2
1
x
- £
< - 时，
2
0
x +
³
，但
1
0
3
0
x
x
+ <
-
<
，
，
3
3
x
x
\
-
= - + ，
2
2
x
x
+
=
+ ，
1
1
x
x
+
= - - ，
原式
3
2
1
3
2 1
4
x
x
x
x
x
x
x
= - +
+
+
+ - -
= - +
-
+
+
-
= - +
．
当1
3
x
- £
< 时，
1
0
2
0
3
0
x
x
x
+ ³
+
³
-
<
，
，
，
3
3
x
x
\
-
= - + ，
2
2
x
x
+
=
+ ，
1
1
x
x
+
=
+ ，
原式
3
2
1
3
2 1
6
x
x
x
x
x
x
x
= - +
+
+
+
+
= - +
+
+
+
+
=
+
．
当
3
x ³
时，此时所有表达式非负，
3
3
x
x
\
-
=
- ，
2
2
x
x
+
=
+ ，
1
1
x
x
+
=
+ ，
原式
3
2
1
3
0
3
x
x
x
x
x
=
-
+
+
+
+
=
+
=
．
3
2
3
2
1
4( 2
1)
6( 1
3)
3 (
3)
x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
ì
ï
-
< -
ïï
\
-
+
+
+
+
= - +
- £
< -
í
ï
+
- £
<
ï
³
ïî
