🌈
⾼三冲刺笔记-平⾯向量（三）
考点归纳：奔驰定理与三⻆形“四⼼”
A
⼀
、奔写驶定理
:
1
. 定义
:
P 为LABC 内⼀点
,
则有
c
c
pbsp
SA
SA
' PA
+ SB
- PB
' +
scpis
B
a
c
( 2 )
ax PA
'
+
bxPB '
t
c
.pD
=
3Ri
"
)
, SA
: SB
: Sc
:
a
:
b
:
c
( 3 )
SA
a
SB
Sc
c
S< ABC
=
a + b + C
,
SUABC
:
+ b + c
,
S<ABc
:
atytc
2
. 延明
!
正如图
AQ
=
AA
,
S < ABC
A
PQ
即
:
☆BC .
ADIBC
, PP ,
=
ScpBc
c
c !
b
∴
AQ
S
B
t
Sc
t Sa
∴
δ a
: ⑮
Q
=
Sa
贺
:
SDABc
∅
.
:
AQ
- AP
=
SCABC
-
SB
-
Sc
1
.
服
=
1
-
sBtss
即
B
Q
P
, A
,
c
AQ
SDABc
SDABC
θ
SB + Sc
,
筋
:
SB + ss
, AP :
SB + SC
- AQ
SLABC
SLABC
SLABC
:
筋吧
1,
A
5 '+
1
a 0 ”
( BE
1
' AC
:
8 B
.
ABT rsp'Ac'
“
燕尾定理
”
燕尾定理⼈
”
sptsc
Q
裂ac
。
= 浆
,
聚炎:
裂+ 乳
,
炎
:
SB + ss
Sc
2 :
AP
'
=
SB +篮
ABC' AQ
:
SB + C[
号scA15
'+ gtsc. Ac]
SAABC
:
Ap
'
: 聚ABc
( AP
+ PB )
+
sc
SUABC
'
( AP
+ PE
)
:
SA+ SBtSc
, AP
:
RABc
( AP
+ PB )
+
乳ABC
'
( AP
+
P>
)
SDABC
.
:
SB
.
PB
'
+
SC
.
Rδ
-
SA
- AP
'
=
0
即
SA PA
+ SB PB + ScPC
= 0
1
.
重⼼
⼆
. 奔驰定理与三⻆形四⼼
; :
∴∴
LABC
三条中线的交点以定义
:
( 2 ) 结论
:
若
α : b
:
c = 1
则G
为奔驰定理⾍重⼼
,
O'
:
3 (
OA'
+ OB '
+x ]
( 0 为外⼼
θ
:
重⼼到J 顶点距离与重⼼到对边中点距离之以为
α
i
1 ( AG :GD =
2 :
y
θ :
重⼼和三⻆形3
↑顶点组成的3 个三⻆形⾯积相等,
( SA : SB :
sc =
1
:
1 :
DC
GA
'
+
GB
'
+
GC
= 0
荐则
G 为LABC 重⼼
d
;
GD
: x
=
ADe
:
⼆⾔
( 同理
, 其它两个三⻆开形⾯积也是⼤三⻆形⾯积的☆
了
f
:
O为平⾯上⼀点任意
0
'
= OI
+λ
( AB + A δ )
, λ
E
( 0 t ∞)
.
则阵轨迹过
LABC 的重⼼
。
( 注
.
□为平⾯上任意⼀定点并⾮上述结论中的外⼼了
⼋P
证:
:
OP: OA'
T
λ CAB'
+
AE1
且
OP '
:
OA
'
T AP
A
. " AP
:
λ ( AB
'
+
Aδ
)
>
"
表示
BC边上中线所在直线向量
0
了
∠
」
P 轨迹⼀定过DABc 重⼼
。
B
①
c
λ
( AB +AC
"
)
V
σ→=
0A
+λ ( 崩sinpt
| sinc ),
n σ
(
o +∞) ,
则为平⾯上⼀点已陈轨迹之任意
LABC 重⼼
。
延∵
AB
1
sinc
,
AB ' - sinB
= Adisinc
' t
( Ac
)
=
SinB
0
7 A
θ
"
op
:
OA '
+
λ
'
[ .
(
A 1 B'
+
A δ )
, ⽽
AB'
+ AE
= 2 AD
。
>
“ 表示与AD 共线的何量APP
√
0DV
了
iP ⼏迹⼀定过DABC 重⼼
。
B
c
A
2
.
内⼼
;
c
D
,c
< Fb
( )
定义
: LABC 三条⻆平分线的交点
.
⼯
SB
SA
( 2 ) 结论:
B
7
c
E
a
a
: 三⻆形的内⼼到三边距相等
, 且等于内切圆半径γ
b
:
SA
' S B
:
Sc
=
a
:
b
:
c
C
:
IA
'
+
bIB
'
+
CID
=
Da
>
⼯为
4ABC 内⼼
I还:
:
IB= IA
+ AB
, IE
= IAT AE
则(
a +b+ C ) IA '+ bAB' + CAE
: 0
' " bAB '
+ CAE
: IAC AB '
+ |AB
' - A
δ
: |A
δ
1 /AB '
}(Ap + , ]
∴AI ' :符b +
c . (
崩+ ]
A
∵
州与⿏分别为
AB 和
ACP ⽅向上的单位向量
,
[
v
c
>
:
AP 与< BAC 平⽅线共线
. 即AF 平分∠BAC
B
c
同理
:
BI 平分
∠ABC
.
CI 平分
α CAB
. I 为LABC 内⼼
。
d
—
当λ
c
(0 +∞) 时P 的轨迹过∠ABC 内必
P
= 0A ' +λ[
愉+ 棚
} ,θ为平⾯上任意⼀点
之近
:
∵: 0
P
:OA +
AP
'
: AP =λ {
篇+ 崩
] : 当λ
ε
( 0
,
t ∞)
,
AP 表示LBAC 平分线所在直线向量
。P 轨迹过∠ABC 内⼼
3
. 重⼼
:
以定义
:
Δ ABC 三条⾼线的交点
。
b
( 2 ) 结论
:
⑪c
SA
: SB
: Sc
:
tan A
: tunB
:
tansa
b :
tanA
.
HA
'
t
tan B
.
H 13
'
+tanc
1HD
=
0
'
C
:
OH :
OA
'
T OB
TO
8 LO 为AK
⼼
d
:
HA' . HB
'
= HB ,HE
= HE HA
(
H 为垂⼼了
e
:
↑
:
A
'
+ n[翩csB +
崩| 。sc
]
λ←co ,t ∞
) P 的轨迹过的ABC
就
。
为平⾯上⼀定点
Ol
f
:
HATIP +| BEP
-
1
IF
THHB CA
'
K
=
IH δP + IAB' F
之证
:
HA ' HB
' = HB' , HC: HDHA CH 为垂⼼
:
HA
. HB
= HB
HE
,
HB
.
C HA'
-
HE )
= 0
即
H
1B
. CA
'
= 0
HxcA I理
Hi
- AN ,HItBe
!∴
…
☆,
“
π
:
A
+
⼊( 酬cosB
+ H
| cosc ]
λ
c
( o
, t∞)
P 的轨迹过LABC
重就
00
证
为平⾯上⼀定点
Ol
∵OP
:
O☆
+ AP
,
AP
'
: Op -
OA
= n[HcsB
+ 崩
| cosc ]
A)
, "Ap
'
,
B )
:
B δ
, ⼊( AcosB+
IAE) cosc ) =
-
11 Bc' 1
+
1 Bito
.
: AP + Bi
:
P 在
BC ⾼线上
.
P 轨迹过⼈ABC 垂⼼,
证: HATP +| BPP
:
1
↑
+ HHB
CA
''
= 11Hδ P
+ IABF
A
>
:
IHA' 13
-
( HB 1
R
= ICA ]
:
- IBε→<
e
7
c
.
: ( H + HB' ]
.
BA
'
=
CCA
'
+
CB' )
.
BA
'
B
得
( HA'
+ HB
'
- CA '- CB ),BA '
= 0
即( HE + H
δ
)
- BA =
0 . : AB
-HE
同理
:
AE
+ HB
'
,BOI
HA
'
∴H 为LABC 垂⼼,
什
: 外⼼
A
(
以定义
: ∠ABC 外接圆的圆⼼
, 即中垂线交点,
(2 ) 结论
Q
:
SA
' SB
:
SC
=
Sin < BoC
:
Sin LAOC
:
Sin LAOB
B…
c
b
;
SA
: SB
:
SC
=
Sin 2A
:
Sin 2 B
:
Sin 2 c
C
:
Sin 2A
OA'
t
Sin 2 p
.
oB
+
sinac
.
oc
>
=
0
'
d
:
o☆
1
:
1 01B
1 :
c
1 , 则o
为外
iw
,
e
;
为平⾯上⼀定点
,
P
:
2+λ( 州。p
+ 箱cs )
, λ c
( 0
, ∞
)
005+x →
则P 轨迹过DABC 外⼼
。
📍
题型训练：奔驰定理与三⻆形“四⼼”
🌶
🌶
🌶
🌶
;
为云⾯上⼀定点
,
p
=
2+λ{
箱→o …
] ncc 切
oo
β+ x
正
则P 阵轨迹过DABC 外⼼
。
B
∵ap
:
②1 B +0
δ +λ( ⿏, p
+ 筋|…
)
∵op
:
0 D
' +λ (⿏a↓→k ,a }
÷
0 p + Dp
β
亻
⑩
D
P
Ac
x
A
即
DP :
λ [ 崩。xB
+ ⿏coc ]
、
同乘Bi
' :DP ,B
[
= λ
(ABBB
1
. cosB
⼗
Ac
.
B δ
}
| AP )
. cosc
=λ
AB
蹦.
cosp) |
1 . co) (π
- B )
⼗
AD
.
Bil
1
. coss
]
=λ ( -BC +
( BƩ
1 )
[
| AP 1
. cosc
=
0
: DP + BC
.
:
P 在
BC 垂直平分线上
,
即P过∠ABC 外⼼
A
E
8 A
0
B
ε
B
F
解
:
: QOA
+ b oB '
+ coc
=
c1
B
' : 013
'
-oc
'
:OA
'
d
+ ( b " ) OB '
+ cc . ) 0
c =
j
.
∴O
为∠DEF 重⼼:SCOAB :SCOAC :SOOBC
= ( C +1
)
: Cb
- )
;
a
A
解
:
∵
θ为重⼼
A
,
∴OP ? LIOA
+ IOB + 20D )
= 3 ( OE + 20δ]
E
0
F
∵2￡P
= OcP
. : Op
' :
5
x ( 4 E
'
+ OE )
= EO
B
D
P在AB 边的中线上是中线的
C
三等分点
、
⾮重⼼。
🌶
🌶
🌶
🌶
D
D
c
c
D
A
解
: 取AB 中点D
.
α OD
'
:
OA
'
+ OB
00
<
D
。
' : op
: 3 I
(
1
- ⼊I
O☆+
C 1 - λ
]OB
+
( 1 + 2RDδ]
Δ
量
c
" Op
'
:
为I ( 1- λ
) - 20p
+
(
1 + 2 D )
OC
' ]
B
=⑤( 1
- λ ) 0 D
'
+
3
+⼊
acp
2 (
1
-) 3
+
3
+ 2 D
=
1
.
⽽
3
:
P
C
.
D
三点共绅
P 不过重⼼最多P
与D 重合。
🌶
🌶
🌶
B
7
外⼼
, 解分线
A
A
解
:
由题AB
+ AE
与AD 共线
.
∴
BC 边上中线与AD 重合
:
∠ABC为等腰三⻆形,
.
且AB
= AC
= 后
,
响
. G
BD
: CD
=
1
,
AD
=
13
-
1
=
3
.
Bv
7
b
c
⼜:
GA
+
GB
+
GE
=
0
.
: G 为重⼼
D↓
2
,
: AG = 2 G
D
. :
D
G
=
1CG
=
H
= V2
.
AB + Ax
数宫
= 5
B
解:
GA + 2 GB
+ 3GE
= 2GAT
2GB
T 2GE
+ AG
tGC
→= Ax
c
解
:
以重⼼
( 21
垂⼼
( ) 内⼼(
⼭)
.
外⼼
🌶
解
A
:
OAD
B
:
由题SAOB
=
之
, .
2 .
2 .Sin
5"
=
1
= Sc
⼜: 2 OA + 3OB + 4O[ =②
F
三
E
. SA :
SB
; Sc
:
2
:
3
: 4
.
α
C@
: SB
= 4
,
SA
= D
: SLABC = 9
.
D
C
;
SA = IBC
.
5
.
SB
= IAC
.
γ
,
SC : IAB
,
γ
V
:
SA
:
SB
:
Sc
=
3
:
4
: 5
×
: BC
:
AC
: AB
=
3
: 4
: 5
: ∠ABC 为
Rt
<
与题⼲⽭值
D
: 延A
0 交BC 于D . 延⻓Bo 交AC 于E 延⻓CO 交AB于F
'
: SLABC : SAt SBt Sc
且
SA
:
SB
:
Sc
=
3
:
4 :
5
.
O 为DABC 垂⼼
∵SLABC
: S < AOC : 世设OZ
=
m
.
OB = 2 m
.
同理SCABC
: S< BOC :
3
= 4
,
设OD
=
n
.
则
OA
= 3 n
,
cos < BO )
= M
=
Cos < AOE
= ⿏
. ∵2
m
2
= 3
n
2
.
: cos LBOD
= ⑥
,
Cos ∠AOB
=
CosL
(π
-
IBOD]
=
- EE :
D
V
.
3
个
A
解: :
M .
G .
N 三点共线
。
M
N
存在m .
AE
=
m AM
+
(
1
- m ) AN
G
=
m AB
+
( 1 - m
)
Y
-A
B
D
c
→
⼜
:
G 为重⼼
: AE
: 5 ( AB
+ AD)
=
Mx AB+
(
1
- m ) YAC
:
mx
= 3
,
(
1
-
m )
y
= 3
∵成+
3y
=
1
.
即为
+ y
: 3
,
:
x + Y
=
(x+ y) .
5 (
* + y
) =
B ( 2 +
步+
号
) ≥
5 ( 2 +
2
步步
)
: 5
🌶
🌶
🌶
上
3
解
:
AE
: 3
( AI + AE ]
MG
= AG
- AM
→
→
: ☆( ABTAC
→→
]
- XAB
)
= 5
-X IAB
+ 3 AE
,
GT : AN
- AE
=
YAE
- AG
)
: YAE .
-
3 (ABtAC
)
→
= (
Y - 5 ]A
- 5 AB
: ME →
与
G
π共线.
∴
ME=λ GR→
即
( 5XIAB
+ 5 AE
=
⼊ICY - 5 A8
- 5 ABJ
5
-
x :
- 3
Di
: λ ( y
-5 )
→
x + y
- 3 xy = 0
:
X + y
=
3 xy
: 荊
= 3
{
重
解
:
设BC 中点为M
.
2 λ PA
=OB -
OP+
O
∞-
O
即2 λPA
=P + RE
= 2 RM
: PM
:
λ PA
:
PAM 三点共线
: P在
AM上对重⼼
1
n 5
垂
