曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
6.2 平面向量的数量积及其应用
三年模拟
一、选择题
1
1.(2022河南大联考三模,3)已知向量a,b的夹角的余弦值为- ,且|a|=2,|b|=3,则a·(b-a)=(
3
)
A.-6 B.-4
C.2 D.4
答案 A a·(b-a)=a·b-a2=|a|·|b|·cos<a,b>-a2=2×3×( 1)-22=-6,故选A.
-
3
2.(2022陕西汉中第二次质检,4)已知向量a=( 1 √3) (√3 1),则下列关系正确
- , ,b= ,-
2 2 2 2
的是( )
A.(a+b)∥(a-b) B.(a+b)⊥b
C.(a+b)⊥(a-b) D.(a+b)⊥a
答案 C 由题意得|a|=|b|=1,
a·b=-1 √3 √3 ( 1) √3,
× + × - =-
2 2 2 2 2
(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以(a+b)⊥(a-b);
√3
(a+b)·a=a2+a·b=1- ≠0;
2
√3
(a+b)·b=a·b+b2=1- ≠0;
2
a+b=(√3-1 √3-1) ( √3+1 √3+1) √3-1·√3+1 √3-1·( √3+1)=1,
, ,a-b= - , , - -
2 2 2 2 2 2 2 2
故a+b与a-b不平行.只有C正确.故选C.
3.(2022郑州二模,9)在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,M是线段AC上任意一点,则⃗MB
· 的最小值是( )
⃗MC
1
A.- B.-1 C.-2 D.-4
2
答案 B 设⃗MC=λ⃗AC(λ∈[0,1]),⃗MB=⃗MA+⃗AB=-(1-λ)⃗AC+⃗AB,
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· =[-(1-λ) + ]·(λ )=-λ(1-λ) +λ ·
⃗MB ⃗MC ⃗AC ⃗AB ⃗AC ⃗AC2 ⃗AB ⃗AC
=-9λ(1-λ)+λ×2×3×cos 60°=9λ2-6λ=9( 1) 2-1,
λ-
3
1
故当λ= 时,⃗MB·⃗MC取最小值-1.
3
故选B.
9
4.(2022四川遂宁二模,5)已知向量a,b满足|a|=2,|a-b|=7,b在a方向上的投影为- ,则|b|=(
4
)
A.6 B.9 C.3√3D.3√6
9 9 9
答案 A 由b在a方向上的投影为- ,得|b|cos<a,b>=- ,所以a·b=- ,由|a-b|=7
4 4 2
得a2-2a·b+b2=49,所以4-2×( 9)+|b|2=49,解得|b|=6.故选A.
-
2
π
5.(2022陕西咸阳一模,5)已知向量a,b的夹角为 ,且|a|=4,|b|=2,则向量a与向量a+2b的夹
3
角等于( )
5 1 1 1
A. πB. πC. πD. π
6 2 3 6
π
答案 D a·b=|a||b|cos =4,
3
则a·(a+2b)=|a|2+2a·b=16+8=24,
|a+2b|= ,
√|a|2+4|b|2+4a·b=4√3
设向量a与向量a+2b的夹角为θ,
a·(a+2b) 24 √3 1
则cos θ= = = ,又θ∈[0,π],故θ= π.故选D.
|a||a+2b| 4×4√3 2 6
6.(2022四川攀枝花二模,9)平面四边形ABCD中,BC=1,CD=2,∠BCD=60°,且△ABD为正
三角形,则⃗CA·⃗BD=( )
3 3
A.-3 B.- C. D.3
2 2
答案 C 在△BCD中,BC=1,CD=2,∠BCD=60°,可得BD=√3,
所以BD2+BC2=CD2,
所以BC⊥BD.
又因为△ABD为正三角形,
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所以AB=BD=AD=√3,
以点B为原点,BC,BD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,可得A
( 3 √3) ),则 ( 5 √3), ),
- , ,B(0,0),C(1,0),D(0,√3 ⃗CA= - , ⃗BD=(0,√3
2 2 2 2
5 √3 3
所以⃗CA· ⃗BD=- ×0+ ×√3= .故选C.
2 2 2
7.(2022陕西省西安中学五模,7)在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=2√3,点M、
N是线段AC上的动点,且|MN|=2,则⃗BM·⃗BN的最小值为( )
A.12 B.8 C.6√3 D.6
答案 B 由已知得AC=4√3=2BC,所以∠BAC=30°,
作OB⊥AC于点O,则OB=3,OC=√3,OA=3√3,
如图,以O为原点建立平面直角坐标系,不妨设点N在点M的左侧,
设N(x,0),则M(x+2,0),x∈[-√3,3√3-2],
又B(0,3),
则⃗BM=(x+2,-3),⃗BN=(x,-3),
所以⃗BM·⃗BN=x(x+2)+9=(x+1)2+8≥8,
当且仅当x=-1时,⃗BM·⃗BN取最小值8.故选B.
8.(2022西城一模,6)已知向量a,b满足|a|=5,b=(3,4),a·b=0,则|a-b|=( )
A.5 B.5√2C.10D.10√2
答案 B ∵b=(3,4),∴|b|=5,又|a|=5,a·b=0,
∴|a-b|= .
√a2-2a·b+b2=√52+52=5√2
9.(2022顺义一模,4)已知|a|=|b|=1,且a⊥(a+3b),则向量a,b夹角的余弦值为( )
1 1 1 1
A.- B.- C. D.
3 5 5 3
答案 A 根据题意,设向量a,b的夹角为θ,若|a|=|b|=1,且a⊥(a+3b),则
1
a·(a+3b)=a2+3a·b=1+3cos θ=0,所以cos θ=- .
3
2π
10.(2022朝阳一模,3)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为 ,则|a+b|= (
3
)
A.√3B.√5C.√7 D.3
2π
答案 A |a+b|2=a2+2a·b+b2=4+2×2×1×cos +1=3,所以|a+b|=√3.
3
11.(2022朝阳期末,9)已知平面向量a,b满足|a|=2,a与a-b的夹角为120°,记m=ta+(1-
t)b(t∈R),则|m|的取值范围为( )
A.[√3,+∞)B.[√2,+∞)
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C.[1,+∞) D.[1 )
,+∞
2
答案 A 设a=⃗OA,b=⃗OB,因为a与a-b的夹角为120°,所以∠OAB=120°,因为m=ta+(1-
t)b(t∈R),且t+(1-t)=1,m,a,b的起点相同,所以它们的终点共线,即m的终点在直线AB上,
所以当m⊥
⃗AB时,|m|最小,最小值为√3,无最大值,所以|m|的取值范围为[√3,+∞).
1
12.(2022西城二模,6)已知e是单位向量,向量a满足 ≤a·e≤1,则|a|的取值范围是( )
2
A.(0,+∞) B.(0,1]
C.[1 ) [1 ]
,+∞ D. ,1
2 2
1
答案 C a·e=|a|·|e|·cos<a,e>=|a|·cos<a,e>,因为 ≤|a|·cos<a,e>≤1,所以cos<a,e>>0,
2
1 1 1
≤|a|≤ ,又0<cos<a,e>≤1,所以|a|≥ .
2cos<a,e> cos<a,e> 2
13.(多选)(2022河北神州智达省级联测,9)设0<θ<π,非零向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos
θ,1),则( )
1
A.若tan θ= ,则a∥b
2
3π
B.若θ= ,则a⊥b
4
C.存在θ,使2a=b
1
D.若a∥b,则tan θ=
2
答案 ABD 对于A,由0<θ<π,tan θ=
1 √5 2√5 (4 2√5) (2√5 ) 2√5b,∴a∥b,
,得sin θ= ,cos θ= ,∴a= , ,b= ,1 .∵a=
2 5 5 5 5 5 5
故A正确.
对于B,当θ=3π
时,a=
(
-1,-
√2)
,b=
(
-
√2
,1
),∵a·b=0,∴a⊥b.故B正确.
4 2 2
1
{sinθ= ,
对于C,若2a=b,则{2sin2θ=cosθ, 4
解得
2cosθ=1, 1
cosθ= .
2
∵此时sin2θ+cos2θ≠1,∴不存在θ,使2a=b.故C不正确.
{sin2θ=λcosθ, 1
对于D,若a∥b,则a=λb,λ∈R,则 解得cos θ=0(舍)或tan θ= ,故D
cosθ=λ, 2
正确.故选ABD.
二、填空题
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14.(2022山西朔州怀仁第一中学二模,13)已知向量a=(-3,k),b=(4,2),若(a+b)⊥b,则实数k=
.
答案 -4
解析 由题可知a+b=(1,k+2),由(a+b)⊥b,得(a+b)·b=(1,k+2)·(4,2)=4+2k+4=0,解得k=-4.
15.(2022四川南充三模,15)如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=3,⃗AM=2⃗MC,
1
⃗AN= ⃗AB,CN与BM交于点P,则cos∠BPN的值为 .
2
2√5
答案
5
解析 如图,以点A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,根据
题意可知B(2,0),N(1,0),M(0,2),C(0,3).
于是l
BM
:x
+
y=1⇒x+y-2=0,l
CN
:x+y=1⇒3x+y-3=0,联立{x+ y-2=0, ⇒P(1
,
3),则
2 2 3 3x+ y-3=0 2 2
(3 3), (1 3).
⃗PB= ,- ⃗PN= ,-
2 2 2 2
3 1 3 3
× + ×
⃗PB·⃗PN 2 2 2 2 2√5
所以cos∠BPN= = = .
|⃗PB||⃗PN| 3√2 √10 5
×
2 2
16.(2022通州一模,14)在矩形ABCD中,AB=2,BC=√3,点P在AB边上,则向量⃗CP在向量
上的投影向量的长度是 , · 的最大值是 .
⃗CB ⃗CP ⃗PD
答案 √3;-2
解析 由题意可知⃗CP在向量⃗CB上的投影向量即为向量⃗CB,而|⃗CB|=|⃗AD|=√3,∴向量
在向量 .设 =λ (0≤λ≤1),则 = - = -
⃗CP ⃗CB上的投影向量的长度是√3 ⃗AP ⃗AB ⃗CP ⃗BP ⃗BC ⃗AP ⃗AB
-⃗BC=(λ-1)⃗AB-⃗AD,⃗PD=⃗AD-⃗AP=⃗AD-λ⃗AB,∴⃗CP·⃗PD=[(λ-1)⃗AB-⃗AD]·(⃗AD-λ⃗AB)=λ(1-
λ)·|⃗AB|2+(2λ-1)·⃗AB·⃗AD-
1
|⃗AD|2=4λ(1-λ)-3=-4λ2+4λ-3=-(2λ-1)2-2,所以当λ= 时,⃗CP·⃗PD取得最
2
大值,为-2.
17.(2022海淀一模,14)已知e ,e 是单位向量,且e ·e =0.设向量a=λe +μe ,当λ=μ=1时,
1 2 1 2 1 2
<a,e >= ;当λ+μ=2时,|a-e |的最小值为 .
1 1
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π √2
答案 ;
4 2
解析 当λ=μ=1时,a=e
1
+e
2
,所以|a|2=(e
1
+e
2
)2=
e2
+2e
1
·e
2
+
1
a·e (e +e )·e √2.
e2=2,故|a|=√2,所以cos<a,e1>= 1 = 1 2 1 =
2 |a|·|e | |a|·|e | 2
1 1
π
又<a,e
1
>∈[0,π],所以<a,e
1
>= .
4
当λ+μ=2时,a-e =(λ-1)e +μe =(λ-1)e +(2-λ)e ,故 =(λ-1)2+(2-λ)2=2
1 1 2 1 2 |a-e |2
1
( 3) 2 1 3 √2.
λ- + ,当λ= 时,|a-e1|取最小值
2 2 2 2
18.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a=(-1,3),b=(2x,-x),其中x∈R,则|a-b|的最小值为
.
答案 √5
解析 解法一:因为a-b=(-1-2x,3+x),
所以|a-b|= ≥
√(-1-2x)2+(3+x)2=√5x2+10x+10=√5(x+1)2+5
√5,所以|a-b|min=√5.
解法二:设A(-1,3),B(2x,-x),O(0,0),
则a=⃗OA,b=⃗OB,|a-b|=|⃗OA-⃗OB|=|⃗BA|,
易知点B在直线x+2y=0上,所以 所求最小值为点 A 到直线 x+2y=0 的距离 ,该距离d=
|-1+2×3| ,
=√5
√12+22
所以|a-b| =√5.
min
19.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线
与BA的延长线交于圆O外一点D,若⃗OC=m⃗OA+n⃗OB,则m+n的取值范围为 .
答案 (-1,0)
解析 设 =k |⃗OC|<1,所以-1<k<0,又B,A,D三点共线,所以
⃗OC ⃗OD(k<0),则|k|= ⃗OD
|⃗OD|
=λ⃗OA+(1-λ)⃗OB,所以⃗OC=k⃗OD=kλ⃗OA+k(1-λ)⃗OB,即m⃗OA+n⃗OB=kλ⃗OA+k(1-λ)⃗OB,所以
m=kλ,n=k(1-λ),所以m+n=k,从而m+n∈(-1,0).
20.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC中,若AD是∠BAC的平分线,且D在边
AB BD
BC上,则有 = ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC
AC DC
中,AC=4,BC=6,AB=8,P是△ABC的内心,且⃗AP=x⃗AB+y⃗AC,则xy= .
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8
答案
81
解析 延长AP交BC于点D,∵P是△ABC的内心,
AB BD 8
∴ = = =2.
AC DC 4
2
∴⃗BD=2⃗DC,即⃗BD= ⃗BC,
3
2 1 2
∴⃗AD-⃗AB= (⃗AC-⃗AB),即⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC,
3 3 3
BA AP 8
∵BC=6,∴BD=4,∴ = = =2,
BD PD 4
2 2 4
∴⃗AP= ⃗AD,∴⃗AP= ⃗AB+ ⃗AC,又⃗AP=x⃗AB+y⃗AC,
3 9 9
2 4
∴x= ,y= ,
9 9
8
∴xy= .
81
21.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF中,点G为线段DF(含端点)上
的动点,若⃗CG=λ⃗CB+μ⃗CD(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是 .
答案 [1,4]
解析 如图,连接CF,设正六边形的中心为O,则O为CF的中点,连接OB,OD,
则 四边形 OBCD 为平行四边形 ,
∴⃗CO=⃗CB+⃗CD,
∴⃗CF=2⃗CO=2⃗CB+2⃗CD.
设⃗DG=x⃗DF(0≤x≤1),
则⃗CG-⃗CD=x(⃗CF-⃗CD),
∴⃗CG=x⃗CF+(1-x)⃗CD=x(2⃗CB+2⃗CD)+(1-x)⃗CD
=2x⃗CB+(1+x)⃗CD,
又已知⃗CG=λ⃗CB+μ⃗CD,
∴λ=2x,μ=1+x,∴λ+μ=1+3x.又知x∈[0,1],
∴λ+μ∈[1,4].
一年创新
1.(2022西安五校联考(二),9)设M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
1 1
①若⃗AM= ⃗AB+ ⃗AC,则M是边BC的三等分点;
2 2
②若⃗AM=2⃗AB-⃗AC,则点M在边BC的延长线上;
③若⃗AM=-⃗BM-⃗CM,则点M是△ABC的重心;
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1 1
④若⃗AM=x⃗AB+y⃗AC,且x+ y= ,则△MBC的面积是△ABC面积的 .
2 2
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
1 1 1 1 1 1
答案 D 对于①,因为⃗AM= ⃗AB+ ⃗AC,所以 ⃗AM- ⃗AB= ⃗AC- ⃗AM,即⃗BM=
2 2 2 2 2 2
,则M是边BC的中点,故①错;
⃗MC
对于②,因为⃗AM=2⃗AB-⃗AC,所以⃗AM-⃗AB=⃗AB-⃗AC,所以⃗BM=⃗CB,则点M在边CB的延
长线上,故②错;
对于③,设BC的中点为D,则⃗AM=-⃗BM-⃗CM=⃗MB+⃗MC=2⃗MD,由重心的性质可知③正
确;
1
对于④,由⃗AM=x⃗AB+y⃗AC及x+ y= 得2⃗AM=2x⃗AB+2y⃗AC,且2x+2y=1,设⃗AD=2⃗AM
2
,所以⃗AD=2x⃗AB+2y⃗AC且2x+2y=1,可得B、C、D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC
1
面积的 ,故④正确.故选D.
2
2.(2022江西景德镇三模,6)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,它是中国古老的传统民
间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际,人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆
和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,四个
半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图2),若点P在四个半圆的圆弧上运动,则
⃗AB·⃗OP的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-2√2,2√2]
C.[-3√2,3√2] D.[-4,4]
答案 D 根据数量积的几何意义知,⃗AB·⃗OP即|⃗AB|与⃗OP在向量⃗AB方向上的投影的积.
由于AB=2,所以圆弧所对应圆的直径是2,半径为1.
由题图2知,O点在直线AB上的射影是AB中点,
所以⃗OP在向量⃗AB方向上的投影的最大值是2,最小值是-2,
因此⃗AB·⃗OP的最大值是2×2=4,最小值是2×(-2)=-4,因此其取值范围为[-4,4].故选D.
2
3.(2022河东一模,15)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,P是对角线AC上一点,⃗AP= ⃗AC,过
5
点P的直线分别交DA的延长线、DC于M、N,则⃗DP·⃗BP= ,若⃗DM=m⃗DA,⃗DN
=n⃗DC(m>0,n>0),则2m+3n的最小值为 .
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6 24
答案 - ;
5 5
2 3 2
解析 由⃗AP= ⃗AC可得⃗DP= ⃗DA+ ⃗DC,
5 5 5
2 3 2 3
⃗BP= ⃗BC+ ⃗BA=- ⃗DA- ⃗DC,
5 5 5 5
6 6 6
∴⃗DP· ⃗BP=- ⃗DA2- ⃗DC2=- .
25 25 5
3 2 3 1 2 1
∵⃗DP= ⃗DA+ ⃗DC=
·
⃗DM+
·
⃗DN,
5 5 5 m 5 n
又P,M,N三点共线,
3 2
∴ + =1,又m>0,n>0,
5m 5n
∴2m+3n=1
(2m+3n)
(3
+
2)
=
1(
12+
9n
+
4m)≥1(
12+2
√9n
·
4m)
=
24,
5 m n 5 m n 5 m n 5
当且仅当2m=3n时“=”成立.
24
∴2m+3n的最小值为 .
5
4.(2022天津杨柳青一中适应性测试二,15)在△OAB中,已知|⃗OB|=√2,|⃗AB|
=1,∠AOB=45°,则∠OAB= ;若点P满足⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB(λ,μ∈R),其中,λ,μ满足
2λ+μ=3,则|⃗OP|的最小值为 .
3√5
答案 90°;
5
OB·sin∠AOB
解析 在△OAB中,由正弦定理可得sin∠OAB=
AB
=1,∴∠OAB=90°,∴OA= =1, · =0,
√OB2-AB2 ⃗OA ⃗AB
∵⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB=λ⃗OA+μ(⃗OA+⃗AB)=(λ+μ)⃗OA+μ⃗AB,又2λ+μ=3,⃗OA·⃗AB=0,
9
∴|⃗OP|2=(λ+μ)2+μ2=(3-λ)2+(3-2λ)2=5λ2-18λ+18,故当λ= 时,|
5
9 3√5
⃗OP|2取得最小值 ,∴|⃗OP|的最小值为 .
5 5
5.(2022天津三中二模,15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b=2,c=3,点O为
△ABC的外心,若⃗AO=λ⃗AB+μ⃗AC,则λ+μ= .
3
答案
7
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解析 如图所示,分别取AC,AB的中点D,E,连接OD,OE,∵O为△ABC的外心,
∴OD⊥AC,OE⊥AB,
1 1
∴⃗AO·⃗AB=|⃗AO||⃗AB|·cos<⃗AO,⃗AB>=|⃗AB||⃗AE|= ⃗AB2,同理⃗AO· ⃗AC= ⃗AC2,
2 2
由 =λ +μ
{⃗AO·⃗AB=λ⃗AB2+μ⃗AC·⃗AB,
⃗AO ⃗AB ⃗AC,∴
⃗AO·⃗AC=λ⃗AB·⃗AC+μ⃗AC2,
1
{ ⃗AB2=λ⃗AB2+μ⃗AC·⃗AB,
∴ 2
1
⃗AC2=λ⃗AB·⃗AC+μ⃗AC2,
2
又|⃗AB|=3,|⃗AC|=2,结合余弦定理可得⃗AB·⃗AC=|⃗AB||⃗AC|·cos<⃗AB,
⃗AB2+⃗AC2-⃗BC2 9
⃗AC>= = ,代入上述方程组,
2 2
4
{ λ= ,
整理可得{ 2λ+μ=1, 7 3.
解得 ∴λ+μ=
9λ+8μ=4, 1 7
μ=- ,
7
1 1
名题点睛 若△ABC的外心为O,则⃗AO· ⃗AB= ⃗AB2,⃗AO· ⃗AC= ⃗AC2,⃗AO·
2 2
1 1
⃗BC= ⃗AC2- ⃗AB2.
2 2
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