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2022 届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(21)
（正弦定理与余弦定理）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.在△ABC 中，已知
，则角A 大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由余弦定理知
，所以
, 故选:A.
2.在
中，角
所对的边分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【解析】因为在
中，
，所以
因为
，所以
，因为
，
或
，故选:D.
3.在
中，内角A，B，C 所对边分别为a，b，c，若
，
，
的面积为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，所以
，
由余弦定理可得：
得
又由正弦定理可得：
，所以
， 故选：A.
4.为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为
，同学们先在地面选择一点
，在该点处测得这座山在西偏北
方向，且山顶
处的仰角
为
；然后从
处向正西方向走140 米后到达地面
处，测得该山在西偏北
方向，山顶
处的仰角为
.同学们建立了如图模型，则山高
为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【答案】C
【解析】设山
的高度为
，在
中，
，
，
在
中，
，
，
在
中，
，
由余弦定理得，
；
即
，化简得
；
又
，所以解得
；
即山
的高度为
（米）. 故选:C。
5.
中，若
，则（ ）
A．
B．
C．
是直角三角形
D．
或
【答案】D
【解析】
中，∵
，∴
，代入
得，
，化简可得，
①，∵
，∴分两种情况讨论，
（1）当
时，①化为
，则
，∵
，∴
，则
；
（2）当
时，
，则
，综上可得，
或
，
故选:D。
6.已知
中，
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，
∴
，
∴
，可得：
，
整理可得：
，
又∵
，∴
，解得
，可得
为锐角，
∴
，可得：
，
，故选：A．
7.已知
中，
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，
∴
，
∴
，可得：
，
整理可得：
，
又∵
，
∴
，解得
，可得
为锐角，
∴
，可得：
，
，故选:A．
8.克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：
任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，
根据以上材料，完成下题：如图，半圆
的直径为2，
为直径延长线上的一点，
，
为
半圆上一点，以
为一边作等边三角形
，则当线段
的长取最大值时，
（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【解析】因为
，且
为等边三角形，
，
所以
，所以
，所以
的最大值为
，取等号时
，
所以
，不妨设
，
所以
，所以解得
，
所以
，所以
，故选：C．
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求,全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.对于
，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若
，则
是等腰三角形
B．若
是锐角三角形，则不等式
恒成立
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
，
，
，则
的面积为
或
【答案】BCD
【解析】对于
．
对A ，
，
，或
，解得
，或
，则
是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
对B，
是锐角三角形，
，
，化为
恒成立，因此正确；
对C，
，
，由正弦定理可得
，
，
为钝角，则
为钝角三角形，因此正确；
对
D
，
，
，
，
设
，
由
余
弦
定
理
可
得
，化为
，解得
或2 ．则
的面积
，或
的面积
，因此正确．
综上可得只有BCD 正确．故选:BCD．
10.在
中，已知
，且
，则（ ）
A．
、
、
成等比数列
B．
C．若
，则
D．
、
、
成等差数列
【答案】BC
【解析】因为
，
所以
，即
.
又因为
，
所以
，
即
，
.
对选项A，因为
，所以
、
、
成等比数列，故A 错误.
对选项B，因为
，
，所以
，
即
，故B 正确.
对选项C，若
，则
，
，
则
，
因为
，所以
.
故
，故C 正确.
对选项D，若
、
、
成等差数列，则
.
又因为
，则
.
因为
，设
，
，
，
，
则
，故D 错误. 故选:BC。
11.已知
的内角
，
，
的对边长
，
，
成等比数列，
，延
长
至
．则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
周长的最大值为
D．若
，则
面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】因为在
中，
，则
，
由
可得
，
即
，所以
①，
又
，
，
成等比数列，所以
，由正弦定理可得
②，
由①②可得
，则
，
所以
，则
，即
，
所以
，因为角
为三角形内角，所以
，则
；
又
，所以
；
角
，
为三角形内角，所以
，
，则
，
所以
，即
；即
为等边三角形；故A 错，B 正确；
延长
至
，连接
，则
，
若
，在
中，由余弦定理可得
，
即
，所以
当且仅当
时，等号成立，
此时
周长的最大值为
；故C 正确；
若
，设
，则
的高为
，
所以
的面积为
，
当且仅当
，即
时，等号成立；即
面积的最大值为
．故D 正确．
故选:BCD．
12.若△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足b﹣2a＋4asin2
＝0，则下列结
论正确的是（ ）
A. 角C 一定为锐角
B. a2＋2b2﹣c2＝0
C. 3tanA＋tanC＝0
D. tanB 的最小值为
【答案】BC
【解析】∵b﹣2a＋4asin2
＝0，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，故cosC＜0，∴角C 一定为钝角，A 错误；
∴
，B 正确；
∴
，C 正确；
，经检验“＝”取得到，D 错
误．故选：BC
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.在
中，
，
，
，则
边上的高的长度为__________．
【答案】
【解析】在
中，
，
，
，所以
，
由余弦定理可得
，
所以
边上的高为
．故答案为:
．
14.在
中内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
=__________；
的取值范围为___________.
【答案】2
【解析】由余弦定理得
，即
，
所以
，即
，
由正弦定理得
，即
，
所以
即
，
因为
，所以
或
(舍去)，所以
，即
；
因为
，所以
，
所以
，
令
，则
，
，
所以
在区间
上单调递增，
又
，所以
.
故答案为:2；
。
15.在三角形
中，角
的对边分别为
，
，
，
，点
是平面
内的一个动点，若
，则
面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】∵
，
，
，
∴由正弦定理
，可得：a
．
又
，
∴在三角形
中，令PB=m，令PC=n，
由余弦定理可得cos
=
，
∴
=mn
2mn-
，（当且仅当m=n=
时等号成立）
∴mn
，∴S=
mnsin
=
, 故答案为:
．
16.在锐角
中，
，则
的取值范围为________.
【答案】
【解析】
，利用余弦定理可得：
，
即
，
由正弦定理可得：
，
，
即
，即
又
为锐角三角形，
，即
，
，
又
，
令
，则
由对勾函数性质知，
在
上单调递增，
又
，
，
故答案为：
