北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
§7.3 基本不等式
— 五年高考 —
考点 基本不等式
1.(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
4
答案
5
1 1 8
2.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则 + + 的最小值为 .
2a 2b a+b
答案 4
(x+1)(2y+1)
3.(2019天津理,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则 的最小值为 .
√xy
答案 4√3
4.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的
总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
答案 30
4
5.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x>0)上的一个动点,则点P到
x
直线x+y=0的距离的最小值是 .
答案 4
以下为教师用书专用(1—9)
1.(2015陕西,理9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f( ),q=f(a+b),r=1(f(a)+f(b)),则下列关系式
√ab
2 2
中正确的是 ( )
A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q
a+b 1 a+b
答案 C 由题意得p=ln√ab,q=ln ,r= (ln a+ln b)=ln√ab=p,∵0<a<b,∴ >√ab,∴ln
2 2 2
a+b
>ln√ab,∴p=r<q.
2
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x y
2.(2015福建理,5,5分)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于 ( )
a b
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C 因为直线x+y=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以1+1=1.所以a+b=(a+b)·(1 1)=2+a+
+
a b a b a b b
b √a b
≥2+2 · =4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.
a b a
1 2
3.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足 + =√ab,则ab的最小值为 ( )
a b
A.√2 B.2 C.2√2 D.4
1 2 √ 2 2√2 1 2
答案 C 依题意知a>0,b>0,则 + ≥2 = ,当且仅当 = ,即b=2a时,“=”成立.因
a b ab √ab a b
1 2 2√2
为 + =√ab,所以√ab≥ ,即ab≥2√2,所以ab的最小值为2√2,故选C.
a b √ab
4.(2014重庆文,9,5分)若log (3a+4b)=log √ab,则a+b的最小值是 ( )
4 2
A.6+2√3 B.7+2√3 C.6+4√3 D.7+4√3
答案 D 由log (3a+4b)=log √ab,
4 2
得3a+4b=ab,且a>0,b>0,
4b
∴a= ,由a>0,得b>3.
b-3
4b 4(b-3)+12 12
∴a+b=b+ =b+ =(b-3)+ +7≥2√12+7=4√3+7,即a+b的最小值为7+4√3
b-3 b-3 b-3
.
5.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面
造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 ( )
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
答案 C 设底面矩形的长和宽分别为a m、b m,则ab=4.容器的总造价为
20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40√ab=160(当且仅当a=b时等号成立).故
选C.
6.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线
交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 .
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答案 9
解析 本题考查基本不等式及其应用.
依题意画出图形,如图所示.
易知S +S =S ,
△ABD △BCD △ABC
1 1 1
即 csin 60°+ asin 60°= acsin 120°,
2 2 2
1 1
∴a+c=ac,∴ + =1,
a c
∴4a+c=(4a+c)(1 1)=5+c+4a≥9,
+
a c a c
c 4a 3
当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.
a c 2
一题多解1 作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,
BA AD c
∴ = = ,
BC DC a
AD AE DE c
∵DE∥CB,∴ = = = ,
AC AB BC a+c
a c
∴⃗BE= ⃗BA,⃗ED= ⃗BC.
a+c a+c
a c
∴⃗BD= ⃗BA+ ⃗BC.
a+c a+c
∴ ⃗BD2 =( a ⃗BA+ c ⃗BC ) 2 ,
a+c a+c
∴1=( a ⃗BA ) 2+( c ⃗BC ) 2+2· a · c | ⃗BA |·| ⃗BC |×( - 1),
a+c a+c a+c a+c 2
∴1=(ac)2 ,∴ac=a+c,∴1+1=1,
(a+c)2 a c
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∴4a+c=(4a+c)(1 1)=5+c+4a≥9,当且仅当c=4a,即a=3,c=3时取“=”.
+
a c a c a c 2
一题多解2 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A(c √3 ),C(a √3 ).
, c ,- a
2 2 2 2
∵A,D,C三点共线,∴⃗AD∥⃗DC,
∴(
1-
c)(
-
√3
a
)+√3c(a
-1
)=0,
2 2 2 2
1 1
∴ac=a+c,∴ + =1,
a c
∴4a+c=(4a+c)(1 1)=5+c+4a≥9,当且仅当c=4a,即a=3,c=3时取“=”.
+
a c a c a c 2
x y
7.(2017山东,12,5分)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
a b
答案 8
1 2
解析 由题设可得 + =1,∵a>0,b>0,
a b
∴2a+b=(2a+b)(1 2)=2+b+4a+2≥4+2√b 4a=8
+ ·
a b a b a b
( b 4a ).
当且仅当 = ,即b=2a时,等号成立
a b
故2a+b的最小值为8.
(x+1)(2y+1)
8.(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则 的最小值为 .
xy
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9
答案
2
解析 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌
握程度,以及学生的推理、运算能力.
(x+1)(2y+1) 2xy+x+2y+1 2xy+5 5
= = =2+ .
xy xy xy xy
∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2√x·2y,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此
1 1 5 5 9 (x+1)(2y+1) 9
时 ≥ ,∴2+ ≥2+ = ,故 的最小值为 .
xy 2 xy 2 2 xy 2
5
思路分析 首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+ ,注意到x与2y
xy
的和为定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特别注意基本
不等式的使用条件“一正、二定、三相等”,注意等号是否成立.
9.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则√a+1+√b+3的最大值为 .
答案 3√2
解析 解法一:令t=√a+1+√b+3,
则t2=(√a+1+√b+3)2=a+1+b+3+2√a+1·√b+3≤9+a+1+b+3=18,
当且仅当√a+1=√b+3,
7 3
即a= ,b= 时,等号成立.
2 2
即t的最大值为3√2.
解法二:设√a+1=m,√b+3=n,
则m,n均大于零,
因为m2+n2≥2mn,
所以2(m2+n2)≥(m+n)2,
所以m+n≤ · ,
√2 √m2+n2
所以√a+1+√b+3≤√2·√a+1+b+3=3√2,
当且仅当√a+1=√b+3,
7 3
即a= ,b= 时,“=”成立,
2 2
所以所求最大值为3√2.
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— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点 基本不等式
1 1 2
1.(2020山东百师联盟测试二,6)已知x,y均为正数,且 , , 成等差数列,则x+y的最小值为
x 2 y
( )
A.4 B.3 C.2√2 D.3+2√2
答案 D
2.(2021重庆一模,6)已知a,b>0,ab=a+b+8,则ab的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.12 D.16
答案 D
1 n+3
3.(2020河北衡水中学第九次调研,6)设m,n为正数,且m+n=2,则 + 的最小值为 (
m+1 n+2
)
3 5 7 9
A. B. C. D.
2 3 4 5
答案 D
4 a+b b
4.(2021湖南衡阳联考(一),5)设a=log 3,b=log ,则 ,ab, 的大小关系为 ( )
2 2
3 2 a
a+b b a+b b a+b b b a+b
A.ab> > B. > >ab C. >ab> D.ab> >
2 a 2 a 2 a a 2
答案 C
B组 综合应用题组
时间 : 40 分钟 分值 : 60 分
一、单项选择题(每小题5分,共25分)
ab
1.(2021山东淄博二模,7)已知a,b为正实数,则“ ≤2”是“ab≤16”的 ( )
a+b
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
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答案 B
2.(2021上海静安一模,11)在平面直角坐标系xOy中,α、β是位于不同象限的任意角,它们的终
边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b,且
cos(α-β)≤0,则a+b的最大值为 ( )
A.1 B.√2 C.2 D.不存在
答案 B
3.(2021湖南六校4月联考,6)数学里有一种证明方法叫做Proofs without words,也称为无字
证明,一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题.由于这种证明方法的
特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示,在等腰直角△ABC中,点O为
斜边AB的中点,点D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设AD=a,BD=b,则该图形可以完成的
无字证明为 ( )
A.a+b≥ (a>0,b>0) B.a+b≤√a2+b2(a>0,b>0)
√ab
2 2 2
2ab
C. ≤√ab(a>0,b>0) D.a2+b2≥2√ab(a>0,b>0)
a+b
答案 B
4.(2020山东肥城一中模拟,8)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,
1 1
且t的最大值为b,若a>0,b>0,则 + 的最小值为 ( )
a+1 b
A.2 B.1 C.√2 D.2√2
答案 B
5.(2019广东惠州三调,10)在△ABC中,点D是AC上一点,且⃗AC=4⃗AD,P为BD上一点,向量
4 1
⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC(λ>0,μ>0),则 + 的最小值为 ( )
λ μ
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 A
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二、多项选择题(共5分)
6.(2021山东菏泽一模,9)下列结论正确的是 ( )
1
A.∀x∈R,x+ ≥2
x
B.若a<b<0,则(1) 3>(1) 3
a b
C.若x(x-2)<0,则log x∈(0,1)
2
1
D.若a>0,b>0,a+b≤1,则0<ab≤
4
答案 BD
三、填空题(每小题5分,共30分)
7.(2021湖南岳阳一模,14)已知点C(x,y)在线段AB:x+4y=1(x>0,y>0)上运动,则xy的最大值是
.
1
答案
16
1 4
8.(2020江苏扬州江都大桥高级中学月考,6)已知x,y为正数,且 + =1,则x+y的最小值为
2+x y
.
答案 7
4 9
9.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,14)已知a>0,b>0,a+4b=4,则 + 的最小值为 .
a b
答案 16
10.(2021广东揭阳4月联考,16)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
a=2,a2=2b2+c2,则△ABC的面积的最大值是 .
2
答案
3
11.(2021辽宁开原三模,16)如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要
求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C.已知AB=4,AD=3,那么当BM=
时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小值为 .
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答案 4;48
12.(2021湖南怀化一模,15)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3<x<4},则
c2+5
的取值范围为 .
a+b
答案 [4√5,+∞)
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)如图所示,在边长为2的正方形ABCD中,E为CD的中点,AE交BD于F.
1 2
若⃗AF=2x⃗AB+3y⃗AD,设正实数m,n满足6mx+9ny=1,则 + 的最小值为 ( )
m n
A.3 B.4 C.8 D.9
答案 D
2.(2021 5·3原创题)已知二次不等式ax2+2 x+b>0的解集为{ √2},则s=a2+b2-
√2 x|x≠-
a
2(a+b)的最小值为 ( )
A.2-4√2 B.2+4√2 C.4-4√2 D.4+4√2
答案 C
3.(2021 5·3原创题)已知正数a,b满足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意x∈(-∞,0]
恒成立,则实数m的取值范围为 ( )
A.[6,+∞) B.(-∞,6] C.[2,+∞) D.(-∞,2]
答案 C
4.(多选题)(2021 5·3原创题)若a,b>0且ab=a+b+3,则下列选项正确的有 ( )
A.ab≥9 B.a+b≥6
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1 1 2 1 1
C. + ≥ D. + ≥1
a b 3 a-1 b-1
答案 ABCD
5.(2021 5·3原创题)某化工厂为处理含有某种有害杂质的工业废水,需制造一个高为1米的无
盖长方体过滤装置箱(如图).废水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,宽度
为b米,已知流出的废水中该种有害杂质的质量分数与lg(a+b)成正比,现有制箱材料45平方
米,则当a,b各为 米时,经沉淀后流出的水中该种有害杂质的质量分数最小(A、B孔
的面积忽略不计).
答案 5,5
10 / 10
