第03 讲 等比数列
目 录
思维导图......................................................................................................................................................... 3
高考分析......................................................................................................................................................... 3
学习目标......................................................................................................................................................... 4
知识要点......................................................................................................................................................... 5
解题策略.......................................................................................................................................................14
题型归纳.......................................................................................................................................................15
题型01：等比数列的定义......................................................................................................................15
题型02：等比数列的判断与证明........................................................................................................... 17
题型03：等比中项的应用......................................................................................................................21
题型04：等比数列通项公式基本量的计算.............................................................................................22
题型05：等比数列的性质......................................................................................................................27
题型06：等比数列函数特征.................................................................................................................. 30
题型07：等比数列的单调性.................................................................................................................. 32
题型08：构造等比数列求数列的通项公式.............................................................................................36
题型09：等比数列前n 项和的基本量计算.............................................................................................40
题型10：等比数列片段和的性质........................................................................................................... 42
题型11：等比数列的奇数项与偶数项和................................................................................................43
题型12：等比数列前n 项和的性质.......................................................................................................46
题型13：an 与Sn 的关系.....................................................................................................................50
题型14： 等比数列“高斯”积.............................................................................................................52
题型15：“纠缠数列”........................................................................................................................53
题型16：比值型不定方程......................................................................................................................55
题型17：等比数列特性：前n 项积.......................................................................................................56
题型18：等比数列与1 比较型不等式判断.............................................................................................57
题型19：插入数型等比......................................................................................................................... 58
题型20：等比数列恒成立型求参........................................................................................................... 59
题型21：等比型下标数列......................................................................................................................61
题型22：等比数列求范围型.................................................................................................................. 62
题型23：等比数列与三角函数综合........................................................................................................63
题型24：等比数列的简单应用...............................................................................................................65
题型25：等比数列的奇偶项讨论问题....................................................................................................71
巩固提升.......................................................................................................................................................73
等比数列是高考数学的常考核心内容，和等差数列共同构成数列知识体系两大基石， 兼具基础性、综合
性与应用性，近三年高考中该知识点相关分值在5-17 分，是学生必须吃透的模块。
一、 考查定位与分值
1. 分值占比：单独考查或与其他知识点综合考查，分值5-17 分。选择题、填空题单独考查时分值多为5
分；解答题综合考查时，如2024 新高考Ⅱ卷第19 题，分值可达17 分。
2. 难度梯度：小题以基础题为主，侧重公式和性质的简单运用，属于保分题；解答题多为中档题，常位于
试卷17、18 题位置，是学生需力争满分的题型；偶尔会在压轴题中以综合形式出现，难度偏大。
3. 核心地位：是函数、不等式、解析几何等知识综合考查的重要载体，也是后续大学极限、无穷递缩等比
数列求和知识的基础，高考中考查频率极高且地位稳固。
二、 高频考查题型与内容
1. 基础小题（选择/填空）：核心考查基本量计算，围绕首项、公比、通项、前n 项和 这几个量考“知三求
二”；同时会考查等比中项、下标和性质、片段和性质，偶尔涉及奇偶项求和的简单计算，题目直白易得分。
2. 中档解答题：最经典考法是 证明数列是等比数列，再结合通项公式、前n 项和公式求解；还常与等差数
列结合出题，或是考查错位相减法求等差×等比型数列的和，是该模块核心解答题型。
3. 高阶综合题：多作为压轴或次压轴题的一部分，和函数结合研究数列单调性、最值；和不等式结合用放缩
法证明数列不等式、求参数范围；也会与解析几何、概率统计交叉命题，用来拉开分数差距。
4. 实际应用题：以指数增长/衰减为核心背景，考查复利计息、人口增长、放射性物质衰变等实际问题，核
心是让学生将实际场景抽象成等比数列模型求解，是近年命题热点。
三、 核心考查思想与能力
1. 数学思想：分类讨论思想是重中之重，使用前n 项和公式必须讨论公比q 是否为1；同时侧重考查方程思
想、函数与方程思想、转化与化归思想，比如将非等比数列构造转化为等比数列求解。
2. 核心素养：着重考查数学运算（公式求解、错位相减运算）、逻辑推理（等比数列的证明）、数学抽象
（实际问题建模）三大核心素养，运算的准确性和推理的严谨性是得分关键。
四、 命题趋势
1. ** 重通法轻技巧**：减少复杂繁琐的计算题型，更多考查公式本质、基础性质和通性通法，弱化特殊解题
技巧，强调对核心知识点的理解。
2. ** 强应用重建模**：越来越注重结合生活实际和科技场景出题，强化学生从实际问题中提炼等比数列模型
的能力，应用题占比有所提升。
3. ** 增开放探素性**：压轴题中频繁出现等比数列相关的新定义、新情景题，以及存在性、探索性问题，综
合性强，以此考查学生的创新思维和灵活解题能力。
结合高考考纲要求，分3 层设定学习目标，兼顾基础夯实、能力提升与高考适配，适配教学/备考需求
一、 基础目标（保底层，对应高考基础题，必拿分）
1. 牢记等比数列定义：能精准区分等差数列与等比数列本质差异。
2. 熟记核心公式，做到灵活套用：
3. 掌握2 个基础性质：会用等比中项；能运用下标和性质简化计算。
4. 搞定基本量运算：熟练完成“知三求二”，运算零失误，尤其注意q=1 的特殊情况讨论。
二、 能力目标（提分层，对应高考中档题，争满分）
1. 具备严谨推理能力：能根据定义证明一个数列是等比数列（定义法、等比中项法），步骤规范、逻辑严谨。
2. 掌握核心解题技法：熟练用错位相减法求“等差×等比”型数列的前n 项和（高考解答题高频考点）；会
用片段和性质快速解题。
3. 具备转化与构造能力：能通过变形构造等比数列，求解非等比数列的通项公式。
4. 突破分类讨论难点：主动规避易错点，在使用前n 项和、讨论奇偶项求和、求参数范围时，精准讨论
q=1、q=-1 的特殊情况。
三、 拔高目标（冲分层，对应高考综合/压轴题，拉差距）
1. 适配综合考查需求：能将等比数列与函数、不等式、解析几何等知识结合，解决单调性、最值、参数范围
问题。
2. 掌握高阶解题思想：熟练运用放缩法证明等比数列相关不等式；能用函数思想分析等比数列的项的变化规
律。
3. 具备建模应用能力：能从复利、人口增长、衰变等实际场景中，抽象出等比数列模型，完成实际应用题的
建模与求解。
4. 应对创新题型：能解读等比数列相关新定义、新情景题，解决探索性、存在性问题，提升解题灵活性与创
新思维。
知识点一：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
表示(显然
定义还可以叙述为：在数列
中，
若
(
为常数且
，则
是等比数列.
注意：
(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能为分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，
若数列中含有“0”，则该数列不可能是等比数列.
(2)“从第2 项起”是因为首项没有“前一项”.同时注意公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒.
(3)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2 项起，每一
项与它的前一项的比都是一个与
无关的常数，但是这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列.当且仅当这些常
数相同时，数列才是等比数列.
(4)若一个数列不是从第2 项起，而是从第
项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此
数列不是等比数列.
(5)对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列，各项都不为零的常数列既是等差数列，又
是等比数列.因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列.
（6）等比数列的公比：
，
，
，
知识点二：等比中项
如果在
与
中间插入一个数
，使
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项.
由等比中项的定义可知，
.反之，若
，则
，即
，
，
成等比数列.综上，
，
，
成等比数列
.
注意：
(1)在等比数列
中，任取相邻的三项
，
，
，则
是
与
的等比中项.由此可得等比数列的
第二种判定方法——等比中项法，即判断
是否成立.
(2) “
，
，
成等比数列”与“
”是不等价的.前者可以推出后者，但后者不能推出前者.如
，
，满足
，而
，
，不成等比数列.因此“
，
，
成等比数列”是“
”的充分不必要条件.
(3)等差中项与等比中项的区别：
①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0 时才存在等比中项；
②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数.
(4)由等比中项可知，等比数列的奇数项和偶数项的符号分别一致.
知识点三：等比数列的通项公式
1．等比数列的通项公式
设等比数列
的首项为
，公比为
，则这个等比数列的通项公式是
注意：
(1)已知首项
和公比
的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项.
(2)在通项公式中，有
，
，
，
四个基本量，如果已知其中的三个可求出第四个量.
(3)可以利用通项公式来判断数列是否为等比数列.
(4)在记忆通项公式时，要注意
的指数比项数小这一特点.
2．等比数列通项公式的推导
(1)方法一(归纳法)：由等比数列的定义可知，
，
，
，
，
，归纳得
.
当
时，上面的等式两边均为
，所以等式也成立，因此当
时，
成立.需要注意
的是上述过程不是证明的过程，我们以后可以用数学归纳法来完成证明.
(2)方法二(累乘法)：根据等比数列的定义，可知
，
，
，
，
.上述
个等式两边分别相乘，得
，所以
当
时等式也成立.
(3)方法三(迭代法)：由于数列
是等比数列，所以
当
时，等式也成立.
求等比数列通项公式的常用方法总结如下：
（1）.定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通
项公式.
（2）.公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式
来求。
（3）.递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种：
①是配常数转化为等比数列，从而再求通项
②取倒数转化为等比数列，从而再求通项.
（4）.利用
与
的关系：
与
的关系为
，把
转化为
的递推关系式，
再求通项.
（5）.实际问题中，根据题中的含义建立数列模型后，再研究
与
的关系，求等比数列的通项.等比
数列通项的求法很多，而且也比较灵活。但最根本一点是要抓住等比数列的定义去求通项。这样才能在
根本上解决问题.
3．等比数列通项公式的变形
∵
是等比数列，∴
∴
，∴
注意：
(1)在已知等比数列
中任一项
及公比
的前提下，可以利用
求等比数列中的任意一项
；
(2)已知等比数列
中的
和
两项，就可以使用
求公比，其中
可大于
，也可小于
.
知识点四：等比数列与指数函数的关系
等比数列的图象
等比数列
的通项公式
，还可以整理为
，当
且
时，等比数列
的第
项
是函数
当
时的函数值，即
.因此等比数列
的图象是函数
图象上的一些孤
立的点.
(n，an)组成如下图等比数列的图象．
当等比数列的公比q＝1 时等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点．
知识点五 等比数列的单调性
等比数列
中，
，若设
，则：
（1）当
时，
，等比数列
是非零常数列. 它的图象是在直线
上均匀排列的一群孤立的
点.
（2）当
时，等比数列
的通项公式
是关于
的指数型函数；它的图象是分布在
曲线
（
）上的一些孤立的点.
①当
且
时，等比数列
是递增数列；
②当
且
时，等比数列
是递减数列；
③当
且
时，等比数列
是递减数列；
④当
且
时，等比数列
是递增数列.
（3）当
时，等比数列
是摆动数列.
要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1 的等比数列.
等比数列{an}的增减性如下表．
a1
a1>0
a1<0
q 的范围
0<q
<1
q＝
1
q>1
0<q<
1
q
＝
q>1
1
数列{an}的增
减性
递减
数列
常
数
列
递增
数列
递增
数列
常
数
列
递减
数列
（4）等比数列{an}，当公比q<0 时，是摆动数列，即不递增也不递减，所有的奇数项（偶数项）同号，
奇数项与偶数项异号，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图)
注：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1 的等比数列.
知识点六：等比数列的性质
若数列
是公比为
的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质.
(1)
(2)若
，则
.
特别地：
①若
，则
;
②
；
③推广：若
，则
.
(3)若
成等差数列，则
成等比数列.
(4)数列
(
为不等于零的常数)仍是公比为
的等比数列；
数列
是公比为
的等比数列；
数列
是公比为
的等比数列；
若数列
是公比为
的等比数列，则数列
是公比为
的等比数列.
（5）数列
，
为等比数列，则数列
，
，
，
，
（
为非零常
数）均为等比数列。
（6）数列
为等比数列，每隔
项取出一项
仍为等比数列
（7）若
为等比数列，则数列
，
，
成等比数列
(8)在数列
中，依次每
项的和(或积)构成公比为
(或
的等比数列.
(9)已知
且
，如果数列
是以
为公差的等差数列，那么数列
是以
为公比的等比数
列.如果数列
是各项均为正且公比为
的等比数列，那么数列
是以
为公差的等差数列
.
知识点七：等比数列前n 项和公式
等比数列的前
项和公式：
关于此公式可以从以下几方面认识：
①不能忽视
成立的条件：
。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。
②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形.
如，公差为
的等差数列
，
，
则
，
相减得
，
当
时，
，
当
时 ，
；
③从函数角度看
是
的函数，此时
和
是常数。
知识点八：等比数列的前n 项和公式与函数的关系
当q=1 时，
是关于n 的正比例函数，点(n,
)是直线y=
x 上的一群孤立的点.
当q≠1 时，
.记A=
，则
=
+A 是一个指数式与一个常数的
和.当q>0 且q≠1 时，y=
是指数函数，等比数列前n 项和
的图象是是指数型函数y=
+A 图
象上的一群孤立的点.
Sn 与an 的关系
当公比q≠1 时，等比数列的前n 项和公式是
，它可以变形为
,
设
，则上式可以写成
的形式，则Sn 是an 的一次函数.
知识点九：等比数列及其前n 项和的性质
已知等比数列{
}的公比为q，前n 项和为
，则有如下性质：
(1)
.
(2) 若
为等比数列，则
①当
时，
为奇数，数列
，
，
，成等比数列
②当
时，数列
，
，
，成等比数列
(3) 若{
}共有2n(n
)项，则
=q；
若{
}共有(2n+1)(n
)项，则
=q.
(4)若
，则
成等比数列.
知识点十：等比数列的判断证明方法
（1）用定义：对任意的
，都有
为等比数列
（2）等比中项：
为等比数列
（3）通项公式：
为等比数列
（4）求和公式：
注意：
a.当q =1时，Sn=na1；当q≠1时，则Sn= a1(1−q
n)
1−q
= a1−anq
1−q
.
b.Sn+m= Sn+q
n Sm= Sm+q
mSn；当q≠1时，Sn
Sm
= 1−q
n
1−q
m .
c .Sk ,S2k−Sk ,S3k−S2k …，当q≠−1时为等比数列 .当q =−1时，若k为偶数，则不是等比数列；若k为奇
数，则是公比为1 的等比数列 .
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数
列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
拓展点一：方法技巧与总结
1．等比数列{
}的通项公式可以写成
，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{
}的前n 项和Sn 可以写成
(A≠0，q≠1,0).
③设项技巧——对称设项
（i）三个数成等比数列可设为：
，
，
或
，
，
；
（ii）四个数成等比数列可设为：
，
，
，
或
，
，
，
.
拓展点二：构造等比数列的常见类型
当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等比数列的通项公式，求
出包含
的关系式，进而求出
.常见的有如下类型.
(1)
可化归为
，当
时，数列
为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题，也可消去常数项：由
，
，两式相减，得
当
时，数列
为公比为
的等比数列.
(2)
，可化归为
,或将递推关系式两边同除以
化为
型，或两边同除以
运用累加法求通项公式.
(3)
，可化归为
，即
型.
（更多构造成正比在第04 讲通项公式中有详细讲解）
结合高考高频题型，分基础、中档、拔高三类题型给解题策略，附易错规避技巧，适配备考/教学需求
一、 基础题型解题策略（选择/填空保分，5 分稳拿）
基础题核心考基本量运算+基础性质，主打“快准狠”，优先用性质简化，再用公式计算
1. 基本量“知三求二”题：核心用方程思想，锁定a1,q 两个核心量，将已知条件全部转化为关于a1,q 的方
程/方程组求解；
2. 性质活用题（等比中项/下标和）：①等比中项题直接套an+1
2=anan+2，注意验证an+1≠0；②下标和题，
看到m+n=p+k，直接用aman=apak，秒简化计算，无需算通项。
3. 片段和相关题：用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比的性质，前提必须先判断q≠-1（若q=-1 且n 为偶数，片
段和为0，不成等比），优先用性质，比硬算Sn快3 倍。
二、 中档题型解题策略（解答题争满分，17 分主攻）
中档题核心考证明+求和+构造，主打“步骤规范+方法精准”，每一步踩准得分点
1. 等比数列证明题（2 大核心法，步骤必规范）
◦ 定义法（高考首选，得分率最高）：①作比an+1
an
；②化简证明比值为非零常数；③下结论（加a1≠0 前
提）。
◦ 等比中项法：证明an+1
2=anan+2（n≥1），且an≠0，需验证首项和第二项的比值，避免首项为0 的陷阱。
2. 错位相减法求和（等差×等比型，必考技法）
四步标准流程（规避漏项/符号错）：①写Sn表达式；②两边乘等比数列公比q，得qSn；③两式相减，对
齐同次项，注意符号（减号变号）；④化简，公比q≠1，最后验证首项，整理结果。
3. 构造等比数列求通项（an+1=kan+1+b 型）
核心转化法：设an+1+λ=k(an+1+λ)，解出λ（k≠1）；构造出{an+λ}是等比数列，先求该数列通项，再反推
an；k=1 时为等差数列，直接用等差公式。
三、 拔高题型解题策略（综合/压轴题拉差距）
拔高题核心考综合应用+思想方法，主打“知识联动+思想落地”
1. 等比数列+函数/不等式：①结合函数：把an、Sn看作关于n 的函数，用函数单调性求最值，注意
n∈N*；②结合不等式：用放缩法（常放缩为等比数列求和），如an≤b·q
n−1，再用无穷递缩等比数列求和
放缩证明。
2. 等比数列+参数范围题：①分类讨论q=1 和q≠1；②结合数列单调性（an+1>an）或Sn的范围，列不等
式求解；③验证参数是否满足an≠0、q≠0 的前提。
3. 实际应用题：三步建模法：①审题提取关键量，判断是“指数增长/衰减”，确定为等比数列模型；②
设首项a_1（初始量）、公比q（增长/衰减率）；③套通项或求和公式，结合实际意义（n 为正整数）求
解，验证结果合理性。
四、 高考易错点解题规避策略（反向保底，少丢分）
1. 3 大核心易错点规避
◦ 易错1：忽略前提条件→解题先写“等比数列中a_n≠0，q≠0”，用S_n 必先判q=1。
◦ 易错2：错位相减漏项→相减时逐行对齐，末尾补0，相减后检查中间项是否完整。
◦ 易错3：片段和性质误用→用前先验证q≠-1，若q=-1，分n 奇偶数讨论。
2. 运算易错规避：分式化简先因式分解，符号问题重点关注，结果必须化为最简形式（分数/整式）。
五、 解题核心思想总结（通法兜底）
1. 优先用性质，再用公式，能简化计算的绝不硬算；
2. 始终牢记分类讨论（q=1、q=-1），是等比数列解题的核心；
3. 遇非等比数列，优先想转化构造，遇综合题，优先拆分核心（先拆等比数列部分）。
题型01：等比数列的定义
【典型例题1】已知数列
的通项公式为
，则数列
中能构成等比数列的三项可以为 .
(只需写出一组)
【答案】
，，
（答案不唯一）
【解析】根据等差数列的通项公式，写出数列
的部分项，根据观察法，即可得出结果.
因为数列
的通项公式为
，
所以数列
中的项依次为
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，……，
显然
，
所以
，，
能构成等比数列.
故答案为：
，，
【典型例题2】已知数列
的通项公式为
，则数列
是（ ）
A．以1 为首项，
为公比的等比数列
B．以3 为首项，
为公比的等比数列
C．以1 为首项，3 为公比的等比数列
D．以3 为首项，3 为公比的等比数列
【答案】A
【解析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可.
因为
，
，所以数列
是以1 为首项，
为公比的等比数列.
故选：A
【变式训练1-1】若数列
对任意正整数n 都有
，则
（ ）
A．17
B．18
C．34
D．84
【变式训练1-2】已知数列
各项都是正数的数列，下列说法正确的是（ ）
A．若
是等差数列，则
是等差数列
B．若
是等比数列，则
是等比数列
C．若
是等差数列，则
是等比数列
D．若
是等比数列，则
是等差数列
【变式训练1-3】在公差大于
的等差数列中
，
，且
、
、
成等比数列，则数列
的前
项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-4】已知数列
满足
，若
是等比数列，则
．
【变式训练1-5】已知数列
的首项
，且
，那么
；数列
的通项
公式为
.
【变式训练1-6】已知数列
中，
，则数列
的通项公式为 .
【变式训练1-7】已知数列
满足
，若
，则
的值为 ．
【变式训练1-8】在各项均为负数的数列
中，已知
．且
．
（1）求
的通项公式；
（2）试问
是这个数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
【变式训练1-9】已知等比数列
的首项为
，公比
．
(1)求
；
(2)判断18 是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．
题型02：等比数列的判断与证明
【典型例题1】“数列{
}是等比数列”是“数列
是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】利用等比数列的定义说明充分性，举反例说明不必要即可得解.
若
是等比数列，设
的公比为q，则
，则数列
是公比为
的等比数列.
假设数列
是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，则数列
是等比数列，但是数列
不是等比数
列.
故数列“
是等比数列”是“数列
是等比数列”的充分不必要条件.
故选：A.
【典型例题2】已知数列{an}满足a1=2，则“{an}为等比数列”是“am⋅an=am+n（∀m，n∈N
*）”的
（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【解析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.
若{an}为等比数列，则an=2q
n−1，
所以am⋅an=2q
m−1×2q
n−1= 4 q
m+n−2，am+n=2q
m+n−1，
当q≠2时am⋅an≠am+n，故充分性不成立；
若am⋅an=am+n（∀m，n∈N
*），不妨令m=1，则a1⋅an=a1+n，又a1=2，
所以2an=an+1，即an+1
an
=2，所以{an}为公比为2的等比数列，故必要性成立；
故“{an}为等比数列”是“am⋅an=am+n（∀m，n∈N
*）”的必要不充分条件.
故选：B.
【典型例题3】（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若
满足
，则
一定是等差数列
B．若
满足
，则
一定是等比数列
C．若
，则
既是等差数列也是等比数列
D．若
成等比数列，则
【答案】AD
【解析】借助等差数列与等比数列的性质逐项判断即可得.
对A：由
满足
，则
是
的等差中项，
故
一定是等差数列，故A 正确；
对B：若
，满足
，但此时
不为等比数列，故B 错误；
对C：若
，满足
，但此时
不为等比数列，故C 错误；
对D：若
成等比数列，设公比为
，
则有
，
，则
，故D 正确.
故选：AD.
【典型例题4】已知数列
的首项
，且满足
，
.
(1)求证：数列
是等比数列；
【答案】(1)证明见详解
【解析】（1）因为
，
，
所以
，
，又
，
所以数列
是以1 为首项，以
为公比的等比数列.
【变式训练2-1】等差数列{an}的前项n和为Sn，且an∈N
∗，数列{bn}为等比数列，则下列说法错误的选项是
（ ）
A．数列{2
an}一定是等比数列
B．数列{ban}一定是等比数列
C．数列{
Sn
n }一定是等差数列
D．数列{bn+bn+1}一定是等比数列
【变式训练2-2】已知数列{an}满足a1=1，a2= 4，3an+2+an= 4 an+1，则下列是等比数列的是（ ）
A．{an+3}
B．{an−3}
C．{an+1+an}
D．{an+1−an}
【变式训练2-3】已知“正项数列{an}满足an+1⋅an= 4
n”，则“a2=2a1”是“数列{an}为等比数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式训练2-4】已知数列
的前
项和为
，若
，则有（ ）
A．
为等差数列
B．
为等比数列
C．
为等差数列
D．
为等比数列
【变式训练2-5】已知数列{an}满足a1=2，则“{an}为等比数列”是“am⋅an=am+n（∀m，n∈N
*）”的
（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【变式训练2-6】等差数列{an}的前项n和为Sn，且an∈N
∗，数列{bn}为等比数列，则下列说法错误的选项是
（ ）
A．数列{2
an}一定是等比数列
B．数列{ban}一定是等比数列
C．数列{
Sn
n }一定是等差数列
D．数列{bn+bn+1}一定是等比数列
【变式训练2-7】已知数列{an}满足a1=1，a2= 4，3an+2+an= 4 an+1，则下列是等比数列的是（ ）
A．{an+3}
B．{an−3}
C．{an+1+an}
D．{an+1−an}
【变式训练2-8】已知“正项数列{an}满足an+1⋅an= 4
n”，则“a2=2a1”是“数列{an}为等比数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式训练2-9】已知数列
的前
项和为
，前
项积为
，满足
，则
（ ）
A．45
B．50
C．55
D．60
【变式训练2-10】（多选）已知
是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-11】（多选）已知数列
和
是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．
是等比数列
B．
一定不是等差数列
C．
是等比数列
D．
一定不是等比数列
【变式训练2-12】（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，成等差数列，则
，
，
一定成等差数列
B．数列
的前
项和为
，若
，则
是等差数列．
C．如果数列
是等比数列，那么数列
也是等比数列；
D．数列
的通项公式为
，前
项和为
，则
中最大的是
或
【变式训练2-13】若数列
的前
项积为
，则
的前
项和
.
【变式训练2-14】（1）已知数列
，其中
，且数列
为等比数列，求常数p；
（2）设
，
是公比不相等的两个等比数列，
，证明：数列
不是等比数列．
题型03：等比中项的应用
【典型例题1】设
，
，则
与
的等比中项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用等比中项的定义可求得结果.
由题意可知，
与
的等比中项为
.
故选：C.
【典型例题2】若数列
是等比数列，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据等比中项的性质计算可得.
因为数列
是等比数列，
所以
，解得
或
，
当
时，不满足
，故舍去；
当
时，经检验符合题意，所以
.
故选：B
【变式训练3-1】若等比数列
的第4 项和第6 项分别是1 和16，则其第5 项为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【变式训练3-2】在等比数列
中，
，
，则
与
的等比中项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】正项等比数列
中，
是方程
的两根，则
的值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练3-4】设
是各项不为0 的无穷数列,“
”是“
为等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练3-5】在等比数列
中，
，
，则
和
的等比中项为（ ）
A．10
B．8
C．
D．
【变式训练3-6】在2 和8 之间插入3 个实数
，使得
成等比数列，则
的值为（ ）
A．
B．
或4
C．4
D．5
题型04：等比数列通项公式基本量的计算
【典型例题1】在等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据等比数列通项公式首先求得公比
，进而由
求得结果.
设等比数列
的公比为
，则
，解得：
，
.
故选：B.
【典型例题2】设
是等比数列，
，
，则
.
【答案】16
【解析】结合等比数列通项公式计算即可得.
设
，则
，故
.
故答案为：16.
【典型例题3】在等比数列
中，
，
，则
.
【答案】
【解析】利用等比数列的性质求出
，继而算出
，即可得到答案
因为数列
是等比数列，设其公比为
，
所以
又
，所以
，所以
，
，
所以
故答案为：
【典型例题4】已知数列
是等比数列，
，
（
）.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且满足
，
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）求出公比，得到通项公式；
（2）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到答案.
（1）设等比数列
的公比为q，
因为
，
，所以
，所以
，
所以
；
（2）等差数列
的公差为d，则
，
，
解得
，
，
所以数列
的前n 项和公式为
.
【典型例题5】在等比数列
中：
(1)若
，
，求
和
；
(2)若
，
，求
．
【答案】(1)
或
(2)
【解析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可.
（1）因为
，则
，解得
，
当
时，
；
当
时，
．
综上所述：
或
.
（2）因为
，则
，即
．
又因为
，则
，即
．
两式相除得
，所以
．
【变式训练4-1】已知等比数列{an}中，
，则
（ ）
A．384
B．768
C．788
D．1536
【变式训练4-2】已知等比数列
的各项均为正，且
，
，
成等差数列，则数列
的公比是
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】已知{an}是单调递增的等比数列，a4+a5=24 ,a3a6=128，则公比q的值是（ ）
A．2
B．−2
C．3
D．−3
【变式训练4-4】等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a5=（ ）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
【变式训练4-5】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4
S2
=5，则数列{an}的公比为（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．2
D．❑√2
【变式训练4-6】已知
为等比数列，公比
，则
（ ）
A．81
B．27
C．32
D．16
【变式训练4-7】已知数列
是首项为
的等比数列，且公比大于
，
，则
的通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-8】已知
，
，
，
，
成等比数列，且其中两项分别为1，9，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-9】若在1 和81 之间插入3 个数，使这5 个数成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【变式训练4-10】在各项均为正数的等比数列
中，
，若存在两项
，
使得
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式训练4-11】数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-12】已知数列
中，
（
且
，则数列
通项公式
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-13】等比数列{an}中，|a1|=1，a5=−8a2，a5<a2，则an=（ ）
A．(−2)
n−1
B．−(−2)
n−1
C．(−2)
n
D．−(−2)
n
【变式训练4-14】已知Sn为数列{an}的前n 项和，若an+1=2an−2,S2=10，则{an}的通项公式为（ ）
A．an=3
n−4
B．an=2
n+2
C．an=n
2+n
D．an=3n
2−1
【变式训练4-15】已知等比数列
的公比为q，且
，
，
，则
.
【变式训练4-16】已知数列
满足：
，则
.
【变式训练4-17】已知在递增的等比数列{an}中，a1a2a3=1，1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
= 7
2，则数列{an}的通项公式为
an=
【变式训练4-8】已知等比数列{an}满足：a2<|an|<a1（n=3,4,5,⋅⋅⋅），请写出符合上述条件的一个等比
数列{an}的通项公式： ．
【变式训练4-19】在等比数列
中，若
，
，则数列
的公比为 .
【变式训练4-20】在等比数列
中，
(1)已知
，求
(2)已知
，求
.
【变式训练4-21】在正项等比数列
中，
且
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【变式训练4-22】已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前项
和
.
【变式训练4-23】在正项等比数列
中，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
满足：
，求数列
的最大项．
题型05：等比数列的性质
【典型例题1】在等比数列
中，若
，
，则
（ ）
A．4
B．6
C．2
D．±6
【答案】A
【解析】应用等比数列通项公式性质求解即可.
因为
是等比数列，所以
.
故选：A.
【典型例题2】在等比数列
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质即可求解.
解：
，所以
，
故选：B.
【典型例题3】在等比数列
中，
，则
等于（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】A
【解析】根据题设知
和
为方程
的两个根，即可求得
或
，结合等
比数列通项公式求目标式的值.
因为
是等比数列，所以
，又
，
所以
和
为方程
的两个根，解得
或
.
若等比数列
的公比为
，则
，所以
或
.
故选：A.
【变式训练5-1】在等比数列
中，若
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式训练5-2】在等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．32
D．64
【变式训练5-3】已知数列
是等比数列，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．或
D．
或
【变式训练5-4】已知等比数列{an}满足
，且
，则当
时，
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-5】．（多选题）已知数列
为等比数列，则（ ）
A．数列
，
，
成等比数列
B．数列
，
，
成等比数列
C．数列
，
，
成等比数列
D．数列
，
，
成等比数列
【变式训练5-6】已知数列{an}是等比数列，且a2a3a4=64 ,则log2a3的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练5-7】若等比数列
满足
，则
等于（ ）
A．6
B．±6
C．5
D．±5
【变式训练5-8】在正项等比数列
中，
，则
的公比为（ ）
A．
或3
B．3
C．2 或
D．2
【变式训练5-9】在正项等比数列
中，已知
，则
．
【变式训练5-10】等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【变式训练5-11】设等比数列{an}的前n 项之积为Sn，若S3=1，S9=512，则a11=（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【变式训练5-12】在等比数列
中，
是方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-13】已知等比数列
满足
，
，则
（ ）
A．26
B．78
C．104
D．130
【变式训练5-14】设等比数列{an}的前
项和为Sn，若
，则
（ ）
A．65
B．66
C．67
D．64
【变式训练5-15】在各项均为正数的等比数列
中，若
，则
．
【变式训练5-16】在由正数组成的等比数列
中，若
，则
的值为 ．
【变式训练5-17】若等比数列
的各项均为正数，且
，则
，
.
【变式训练5-18】已知数列
为等比数列．
(1)若
，求
；
(2)若
，
，求公比
.
题型06：等比数列函数特征
【典型例题1】（多选）设等比数列
的公比为
，其前n 项和为
，前n 项积为
，且满足条件
，
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大项
D．
【答案】AB
【解析】
，
或
，
，
，
同号，
且
，
，即数列前
项大于，从第
项开始小于1，
对于A，
，且易知
，故
，A 正确，
对于B，易知
，故
，
，B 正确，
对于C，由题意知
是递减数列，且
，
，故
是数列
中的最大项，故C 错误，
对于D，
，故D 错误，
故选:AB
【典型例题2】（多选）设公比为
的等比数列
的前
项和为
，前
项积为
，且
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大值
D．
是数列
中的最小值
【答案】AB
【解析】当
时，则
，不合乎题意；
当
时，对任意的
，
，且有
，
可得
，可得
，此时
，
与题干不符，不合乎题意；故
，故A 正确；
对任意的
，
，且有
，可得
，
此时，数列
为单调递减数列，则
，
结合
可得
，
结合数列的单调性可得
，
，
故
，
，
∴
，故B 正确；
因为
，数列
为单调递减数列，
所以
是数列
中的最大值，故CD 错误.
故选：AB.
【变式训练6-1】（多选）已知各项均为正数的等比数列
的前
项积为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．对任意的正整数
，有
D．使得
的最小正整数
为4047
【变式训练6-2】（多选）关于递减等比数列
，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．
【变式训练6-3】已知数列
满足
记
，
为坐标原点，
则
面积的最大值为 .
【变式训练6-4】已知等比数列
均为正数，
，且
，（
为
的前
项和）
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
是数列
的前
项积，请求出
，及当
取最大值时对应的
的值.
题型07：等比数列的单调性
【典型例题1】已知数列{an}是无穷项等比数列，公比为q，则“q>1”是“数列{an}单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解.
若a1<0，q>1，则数列{an}单调递减，故q>1不能推出数列{an}单调递增；
若{an}单调递增，则a1>0，q>1，或a1<0，0<q<1，不能推出q>1，
所以“q>1”是“数列{an}单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【典型例题2】等比数列{an}公比为q(q≠1)，若T n=a1a2a3⋯an(n∈N
∗)，则“数列{T n}为递增数列”是
“a1>0且q>1”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】由等比数列及已知，要{T n}为递增数列只需a1q
n−1>1在n≥2上恒成立，讨论q<0、0<q<1、q>1，
结合a1的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
由题设T n
T n−1
=an=a1q
n−1且n≥2，要{T n}为递增数列，只需a1q
n−1>1在n≥2上恒成立，
当q<0，不论a1取何值，总存在a1q
n−1<0，不满足要求；
当0<q<1，
a1<0，则a1q
n−1<0，不满足要求；
a1>0，总存在0<a1q
n−1<1，不满足要求；
当q>1，
a1<0，则a1q
n−1<0，不满足；
0<a1<1，若a1= 1
3，q =2，显然a1q<1，即T 2<T 1，不满足；
a1≥1，则a1q
n−1>1在n≥2上恒成立，满足.
所以{T n}为递增数列有a1≥1且q>1.
所以，“数列{T n}为递增数列”是“a1>0且q>1”的充分不必要条件.
故选：B.
【典型例题3】已知数列{an}为等比数列，首项a1>0，公比q∈(−1,0)，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列{an}的最大项为a1
B．数列{an}的最小项为a2
C．数列{anan+1}为严格递增数列
D．数列{a2n−1+a2n}为严格递增数列
【解析】分别在n为偶数和n为奇数的情况下，根据项的正负和an+2−an的正负得到最大项和最小项，知AB 正
误；利用an+1an+2−anan+1=q(q
2−1)an
2>0和(a2n+1+a2n+2)−(a2n−1+a2n)<0可知CD 正误.
对于A，由题意知：当n为偶数时，an<0<a1；
当n为奇数时，an>0，an+2−an=an(q
2−1)<0，∴a1最大；
综上所述：数列{an}的最大项为a1，A 正确；
对于B，当n为偶数时，an<0，an+2−an=an(q
2−1)>0，∴a2最小；
当n为奇数时，an>0>a2；
综上所述：数列{an}的最小项为a2，B 正确；
对于C，∵anan+1=an
2q，an+1an+2=an+1
2
q，
∴an+1an+2−anan+1=q(an+1
2
−an
2)=q(q
2−1)an
2，
∵−1<q<0，∴q
2−1<0，∴an+1an+2−anan+1>0，
∴数列{anan+1}为递增数列，C 正确；
对于D，∵a2n−1+a2n=a2n−1(1+q)，a2n+1+a2n+2=a2n+1(1+q)，
∴(a2n+1+a2n+2)−(a2n−1+a2n)=(1+q)(a2n+1−a2n−1)=(1+q)(q
2−1)a2n−1；
∵−1<q<0，∴1+q>0，q
2−1<0，又a2n−1>0，
∴(a2n+1+a2n+2)−(a2n−1+a2n)<0，∴数列{a2n−1+a2n}为递减数列，D 错误.
故选：D.
【变式训练7-1】数列{an}是等比数列，则对于“对于任意的m∈ N
∗，an+2>an”是“{an}是递增数列”的
（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．不充分也不必要
【变式训练7-2】数列{an}是等比数列，则对于“对于任意的m∈ N
∗，an+2>an”是“{an}是递增数列”的
（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．不充分也不必要
【变式训练7-3】已知数列{an}为等比数列，首项a1>0，公比q∈(−1,0)，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列{an}的最大项为a1
B．数列{an}的最小项为a2
C．数列{anan+1}为严格递增数列
D．数列{a2n−1+a2n}为严格递增数列
【变式训练7-4】已知等差数列
公差不为0，正项等比数列
，
，
，则以下命题中正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-5】若数列
为等差数列，数列
为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-6】数列
是等比数列，首项为
，公比为q，则
是“数列
递减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练7-7】如果
是公比为q 的等比数列，
为其前n 项和，那么“
”是“数列
为单调数
列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练7-8】已知等比数列
的公比为
，则“
是递增数列”的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-9】数列
是等比数列，公比为
，“
”是“数列
是严格增数列”的（ ）条件.
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分也非必要
【变式训练7-10】设各项均为正数的等比数列
的公比为q，且
，则“
为递减数列”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练7-11】已知等比数列
满足
，公比
，且
，
，则当
最小时，
（ ）
A．1012
B．1013
C．2022
D．2023
【变式训练7-12】设等比数列
的公比为q，前n 项积为
，并且满足条件
，
，
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
没有最大值
【变式训练7-13】（多选题）已知等比数列
的首项为
，公比为
，则下列能判断
为递增数列的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-14】（多选题）在等比数列
中，已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练7-15】（多选题）已知数列
是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（ ）
A．当
时，数列
是递增数列
B．当
时，数列
是递减数列
C．当
时，数列
是递增数列
D．当
时，数列
是递减数列
【变式训练7-16】已知等比数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
是递增数列，若
，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
不是递增数列，
，求
的最小值．
题型08：构造等比数列求数列的通项公式
【典型例题1】已知数列
满足
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
是公差为
的等差数列
B．数列
是公差为2 的等差数列
C．数列
是公比为
的等比数列
D．数列
是公比为2 的等比数列
【答案】C
【解析】根据递推关系式，化简变形可得
即可判断数列
是公比为
的等比数列.
∵
，
∴
，
既不是等比数列也不是等差数列；
∴
，
∴数列
是公比为
的等比数列．
故选：C
【典型例题2】已知数
满足
，则数列
的通项公式
．
【答案】
构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列
【解析】由题意可得
，即
是以
为首项，为公比的等比数列，由等比数列
的通项公式求解即可.
由
可得：
，又
,
，
所以
是以
为首项，为公比的等比数列，
所以
，所以
.
故答案为：
【典型例题3】
（1）已知数列
满足
，求数列
的通项公式.
（2）已知数列
满足
，求数列
的通项公式.
【答案】（1）
，（2）
【解析】（1）根据递推关系构造数列
是等比数列，求出通项公式，进而求得
；
（2）根据递推关系构造数列
是等比数列，求出通项公式，进而求得
；
（1）
，
，
即
，又
，
，
所以数列
是首项为13，公比为3 的等比数列，
，
.
（2）
，
，
又
，
所以数列
是以32 为首项，2 为公比的等比数列，
，
.
【变式训练8-1】已知在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2】已知数列
满足
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-3】等比数列
为递减数列，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．6
【变式训练8-4】已知正项等比数列
的前
项积为
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式训练8-5】在数列
中，
，则
.
【变式训练8-6】写出同时满足下列条件的数列
的一个通项公式：
；
①数列
是递减数列，②
【变式训练8-7】等比数列
是递减数列，前n 项的积为
，若
，则
．
【变式训练8-8】已知数列
的前n 项和为
，若
，
，则
．
【变式训练8-9】已知数列
满足
，
，则
.
【变式训练8-10】数列
的前
项和为
，已知
，且对任意正整数
，都有
，若
恒成立，则实数的最小值为 .
【变式训练8-11】已知数列
满足
，则数列
的通项公式为 .
【变式训练8-12】数列
的前
项和
满足
，则数列
的通项公式
.
【变式训练8-13】已知数列
，
，证明数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式．
【变式训练8-14】已知数列
满足
，
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式.
【变式训练8-15】在数列
中，
，且
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式.
【变式训练8-16】已知数列
满足
，求数列
的通项公式.
【变式训练8-17】设数列{an}满足
．
（1）若
，求证：存在
（a，b，c 为常数），使数列
是等比数列，并求出
数列{an}的通项公式；
（2）若an 是一个等差数列{bn}的前n 项和，求首项a1的值与数列{bn}的通项公式．
题型09：等比数列前n 项和的基本量计算
【典型例题1】若等比数列
的前
项和
，则公比
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据
，依次求出
，依题即可求得公比.
由
，
时，
，
时，由
解得，
，
依题意，
.
故选：C.
【典型例题2】已知
为等比数列，
为其前
项和，若
，
，则
；
．
【答案】
【解析】由等比数列基本量计算即可得
，由等比数列前
项和公式可计算出
.
设
，则
，即
，
，即
，
故
.
故答案为：
；
.
【变式训练9-1】设等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2】设等比数列
的各项均为正数，
为其前
项和，若
，则
（ ）
A．6
B．8
C．12
D．14
【变式训练9-3】设等比数列
的公比为q，前n 项和为
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．8
【变式训练9-4】已知等比数列
满足
，
，若
的前n 项和
，则
．
【变式训练9-5】已知等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
．
【变式训练9-6】记
为等比数列
的前
项和，若
，则公比
为 .
【变式训练9-7】已知等比数列
满足
，
，则其前
项和
.
【变式训练9-8】已知等比数列
为递增数列，其前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，求数列
的通项公式及前
项和
.
题型10：等比数列片段和的性质
【典型例题1】已知
为等比数列
的前
项和，
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，
为等比数列
的前n 项和，
则
成等比数列，
由等比中项，得
，
即
，解得
或
（舍去）.
故选：C
【典型例题2】已知等比数列
的前
项和为
，
，
，则
．
【答案】
【解析】由于
，故
.
从而
，即
，故
.
所以
.
故答案为：
.
【变式训练10-1】设等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【变式训练10-2】记
为等比数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．48
B．81
C．93
D．243
【变式训练10-3】已知等比数列
的前
项和为
，且
，若
，
，则
（ ）
A．27
B．45
C．65
D．73
【变式训练10-4】若等比数列
的前
项和为
，且
，则
.
【变式训练10-5】已知等比数列
中，若前10项的和是10，前
项的和是
，则前
项的和是 ．
【变式训练10-6】设等比数列
的前
项和为
，则
.
【变式训练10-7】已知等比数列
的前
项和为
，且
，则
．
【变式训练10-8】已知
是正项等比数列
的前n 项和，
，则
的最小值为 ．
【变式训练10-9】设等比数列
的前
项和是
.已知
,
，则
.
题型11：等比数列的奇数项与偶数项和
【典型例题1】已知等比数列
有
项，
，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】因为等比数列有
项，则奇数项有
项，偶数项有
项，设公比为
，
得到奇数项为
，
偶数项为
，整体代入得
，
所以前
项的和为
，解得
.
故选：B
【典型例题2】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为
，偶数项之和为
，则这个数
列的项数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列
共有
项，公比为
，
则奇数项之和为
，
偶数项之和为
，
，
等比数列
的所有项之和为
，则
，
解得
，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
【典型例题3】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数
列的项数为
【答案】10
【解析】设等比数列项数为
项，公比为
，由题意可求出
，结合等比数列的性质和前
项和公式可知
，进而可求出项数.设等比数列项数为
项，公比为
，则
，
，
由
，
解得
，因为
是公比为
的等比数列，则
，
即
，解得
，
故答案为:10.
【典型例题4】正项数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为T n，4 Sn=an
2+2an+1，
4T n=bn
2+2bn+1
(1)求数列{an},{bn}的通项公式；
(2)已知数列{cn}满足cn=bn⋅an+1
anan+1
，求数列{cn}的前n项和H n．
【解析】（1）由an与Sn的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）求得cn后，讨论n 为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求.
（1）当n=1时，4 S1=a1
2+2a1+1，即4 a1=a1
2+2a1+1，(a1−1)
2=0，
所以a1=1，同理b1=1．
当n≥2时，an= Sn−Sn−1= 1
4 (an
2−an−1
2
)+ 1
2 (an−an−1)，化简得：
1
4 (an+an−1)(an−an−1−2)=0，因为an>0，所以an−an−1=2，
即an−an−1=2，故d =2，又a1=1，所以an=2n−1．
同理，bn+bn−1=0或bn−bn−1=2，
因为{bn}是等比数列，所以bn+bn−1=0，即q =−1，所以bn=(−1)
n−1．
（2）由（1）知cn=(−1)
n−1⋅an+1
anan+1
=(−1)
n−1⋅
2n
(2n−1)(2n+1) = (−1)
n−1
2 (
1
2n−1 +
1
2n+1)，
所以当n为奇数时，H n=c1+c2+⋅⋅⋅+cn
= 1
2[(1+ 1
3)−(
1
3 + 1
5)+⋅⋅⋅+(
1
2n−3 +
1
2n−1)+(
1
2n−1 +
1
2n+1)]，
= 1
2(1+
1
2n+1)，
同理当n为偶数时，H n= 1
2(1−
1
2n+1)．
所以H n=¿.
【变式训练11-1】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个
数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2
B．2，4
C．4，10
D．2，8
【变式训练11-2】等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则
这个等比数列的项数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式训练11-3】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这
个数列的项数为
【变式训练11-4】已知数列
的前
项和为
，
，
，等差数列
的前
项和为
，
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和.
【变式训练11-5】已知数列
满足
，
(1)记
，写出
，
，并证明数列
为等比数列；
(2)求
的前
项和
．
【变式训练11-6】记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1,n Sn+1−(n+1)Sn=n
2+n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)
nan+[(−1)
n+1]2
n，求数列{bn}的前2n项和T 2n.
【变式训练11-7】已知在正项数列{an}中，a3= 4 ,a2a5=32，且lnan,lnan+1,lnan+2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=an+(−1)
nlog2an+1，求数列{bn}的前n项和T n.
【变式训练11-8】若各项均为正数的数列{cn}满足cncn+2−cn+1
2
=k cncn+1（n∈N
*,k为常数），则称{cn}为
“比差等数列”.已知{an}为“比差等数列”，且a1= 5
8 ,a2= 15
16 ,3a4=2a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=¿，求数列{bn}的前n项和Sn.
题型12：等比数列前n 项和的性质
【典型例题1】已知等比数列
的前n 项和为
，其中
，则“
”是“
无最大值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由等比数列
中
等价于公比
或
，结合前
项和公式单调性的判定可得其是否具有
充分性，必要性方面举反例发现
无最大值不一定推得
,继而选项可定.
充分性：设等比数列
的公比为
，
，
，
，
可得
或
，
又
，
当
时，若
为奇数，
，
，
，
当
为奇数时
单调增，则
无最大值，
当
时
，
，
,
单调增, 则
无最大值；
必要性：当
时，
，又
，则
无最大值.
可得“
”不是“
无最大值”的必要条件；
由此可知“
”是“
无最大值”的充分不必要条件.
故选：A.
【典型例题2】设
是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为
.若存在无穷多个正整数
，
使
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对
进行分类讨论，结合等比数列前
项和公式求得正确答案.
依题意
，
，
若
，则
，
，此时不存在符合题意的
，所以
.
若
，则
，
当
为正偶数时，
，所以存在无穷多个正整数
，使
.
当
时，
，
其中
，
，所以
，此时不存在符合题意的
.
当
时，
，
其中
，当
是正奇数时，
，所以
，此时不存在符合题意的
；
当
是正偶数时，
，
，所以存在无穷多个正整数
，使
.
综上所述，
的取值范围是
.
故选：B
【变式训练12-1】若
是公比为
的等比数列，其前
项和为
，
，则“
”是“
单调递
增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不
必要条件
【变式训练12-2】在等比数列
中，
，公比
，记其前
项的和为
，则对于
，使得
都成立的最小整数
等于（ ）
A．6
B．3
C．4
D．2
【变式训练12-3】设等比数列{an}的前n项和为Sn,a5+a6=16,S6=21，则S2=（ ）
A．1
B．4
C．8
D．25
【变式训练12-4】在正项等比数列{an}中，Sn为其前n 项和，若S30=7 S10，S10+ S30=80，则S20的值为
（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40
【变式训练12-5】记Sn为公比小于1 的等比数列{an}的前n项和，S3=2，S12
S6 S9
= 5
14
，则S6=（ ）
A．6
B．3
C．1
D．1
3
【变式训练12-6】已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则
n=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练12-7】下列叙述中，
①等差数列
，
为其前n 项和，若
，
，则当
时，
最小；
②等差数列
的公差为d，前n 项和为
，若
，则
为递增数列；
③等比数列
的前n 项和为
，若
，则
有最小项；
④在等差数列
中，记
，若存在
，使得
，
则
为递增数列．
正确说法有 （写出所有正确说法的序号）
题型13：an 与Sn 的关系
【典型例题1】等差数列
的公差
，数列
的前
项和
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，由
与
关系求得
，再根据
是等比数列求得结论．
解：设
，则
，当
时，
，
，
又
，所以
，
所以
，
，
故选：C.
【典型例题2】已知数列{an}满足
，
，数列{bn}的前n 项和为Sn，且
．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）由已知条件得
，利用等差数列的通项公式即可得出an；再由
与
的关系得出{bn}
的通项公式；
（2）由（1）得
，利用分组求和求和即可.
（1）因为
，
，所以
为首项是1，公差为2 的等差数列
所以
．
又当
时，
，所以
，
当
时，
①
②
由
得
，即
（
），
所以
是首项为1，公比为
的等比数列，故
．
（2）由（1）得
，
所以
．
【变式训练13-1】已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)数列
满足
，
，设数列
的前
项和为
，证明：
.
【变式训练13-2】已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【变式训练13-3】已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
前
项和为
，求证：
．
【变式训练13-4】已知等比数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【变式训练13-5】已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)若
，求证数列
的前
项和
．
题型14： 等比数列“高斯”积
【典型例题1】已知等比数列
的前
项积为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设等比数列
的公比为
，利用反证法说明
，从而得到
，即可得到
，从而
得到
，
，
，再根据等比数列的性质判断即可.
设等比数列
的公比为
，
当
，则
，所以
，
，
，
若
，则
，
，
，不符合题意；
若
，则
单调（或为常数），此时不满足
，故不符合题意，所以
；
当
，
，此时
奇数项为负，偶数项为正，则
，
，
，不符合题意，
当
，
，此时
奇数项为正，偶数项为负，则
，
，
，不符合题意，
所以
，故A 错误，
又
，
，
又
，所以
，所以
，
故对任意的
，
，则对任意的
，
，故B 错误；
又
，
，所以
，
，
所以
，
，
，
所以
，故D 正确，C 错误．
故选：D．
【变式训练14-1】在由正数组成的等比数列
中，若
，则
的值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【变式训练14-2】已知各项均为正数的等比数列{
}，
=5，
=10，则
=
A．
B．7
C．6
D．
【变式训练14-3】设正项等比数列
的前
项和为
，
，
，若数列
的前
项积
有最大值，则当
取得最大值时，
的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．5 或6
【变式训练14-4】在等比数列
中，
，且
，
，则
等于（ ）
A．6
B．
C．
D．
题型15：“纠缠数列”
纠缠数列
等差数列某些项（包括复合型）成等比，或者等比数列某些项成等差，称之为“纠缠数列。纠缠数列处理思维
1.如果是等差数列中某些项成等比，则设公差和首项，解方程
2.如果是等比数列中某些项成等差，则设公比和首项，解方程
【典型例题1】等比数列{an}的前n 项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为
，则S5＝（ ）
A．29
B．31
C．33
D．36
【答案】B
【解析】由题设，结合等差中项的性质、等比数列通项公式得
，进而求q、a1，最后由等比
数列前n 项和公式求S5.
由题意，
，则
，可得q3＝
，∴q＝
，a1＝16，
∴S5＝
.故选：B
【变式训练15-1】已知等比数列
是递增数列，若
，且
，
，
成等差数列，则
的前4 项
和
（ ）
A．4
B．40
C．4 或40
D．15
【变式训练15-2】已知实数b 为a，
的等差中项，若
，b，
成等比数列，则此等比数列的
公比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-3】已知数列
为等比数列，且
，数列
为等差数列，
为等差数列
的前n
项和，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．﹣4
【变式训练15-4】等比数列
，
，
，
成公差不为0 的等差数列，
，则数列
的前10 项
和
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型16：比值型不定方程
【典型例题】设等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】直接利用等比数列的通项公式和前
项和公式即可
不妨设
的首项为
，公比为
，则有：
解得：
则有：
故选：D
【变式训练16-1】等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．8
C．1 或
D．
或
【变式训练16-2】已知数列
为各项都是正数的等比数列，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【变式训练16-3】已知等比数列
的前
项和为
，且
，
，
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【变式训练16-4】设等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型17：等比数列特性：前n 项积
类比前n 项和求通项过程来求数列前n 项积：
1.n=1，得a1
2.n
时，
所以
【典型例题】等比数列
的前
项之积为
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】利用等比数列的性质直接求解即可.
由等比数列的性质可得，
，所以
，则
.
故选：A
【变式训练17-1】已知等比数列
的前
项积为
，若
，
，则当
取最大值时，
的值为
（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
【变式训练17-2】已知{
}为等比数列，
，公比
.若
是数列{
}的前n 项积，则
取最大值时n
为（ ）
A．4
B．5
C．4 或5
D．5 或6
【变式训练17-3】已知{
}为等比数列，
，公比
.若
是数列{
}的前n 项积，则
取最大值时n
为（ ）
A．3
B．4
C．3 或4
D．4 或5
【变式训练17-4】已知等差数列
，等比数列
的前n 项和之积为
，设等差数列
的公差为d、等比数列
的公比为q，则以下结论正确的个数是（ ）
①
②
③
④
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型18：等比数列与1 比较型不等式判断
【典型例题1】设等比数列
的公比为q，前n 项和为
，前n 项积为
，并满足条件
，
，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1 B．
C．
D．
是数列
中的最大项
【答案】A
【解析】根据
并结合
，得到
，
，进而结合等比
数列的性质求得答案.
因为
，所以
或
，而
为等比数列，
，于
是
，
，则A 错误；
，则B 正确；
，则C 正确；
因为
，所以
是数列
中的最大项，则D 正确.
故选：A.
【变式训练18-1】在正项等比数列
中，
，
，记数列
的前n 项积为
，
，则n 的
最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式训练18-2】设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并满足条件
，
，
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
存在最大值
D．
是数列
中的最大值
【变式训练18-3】已知等比数列
的公比为
，其前
项之积为
，且满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的值是
中最大的
D．使
成立的最小正整数
的值为4042
【变式训练18-4】设
是公比为
的等比数列，其前
项的积为
，并且满足条件：
，
，
．给出下列结论：①
；②
；③
；④使
成立的最小的自然数n 等于
199．其中正确结论的编号是（ ）
A．①②③
B．①④
C．②③④
D．①③④
题型19：插入数型等比
【典型例题1】将等比数列
按原顺序分成1 项，2 项，4 项，…，
项的各组，再将公差为2 的等差数列
的各项依次插入各组之间，得到新数列
：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，新数列
的前
项和为
．若
，
，
，则S200= （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列
的前200 项中含有数列
的前7 项，含有数列
的前193 项，运用分组求和的方法可求得答案.
解：由已知得
，
，
，等比数列
的公比
．
令
，则
，
，
所以数列
的前200 项中含有数列
的前7 项，含有数列
的前193 项，
故
．故选：A．
【变式训练19-1】若在 1 和 16 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则公比
为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【变式训练19-2】已知等比数列
的首项是1，公比为3，等差数列
的首项是-5，公差为1，把
中
的各项按如下规则依次插入
的每相邻两项之间，构成新数列
：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，即在
和
两项之间依次插入
中n 个项，则
（ ）
A．1950
B．1951
C．1952
D．1953
【变式训练19-3】在3 和9 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的
和是
A．
B．
C．
D．
【变式训练19-4】已知数列
的通项公式为
，在
和
之间插入1 个数
，使
成等差数
列；在
和
之间插入2 个数
，使
成等差数列；…在
和
之间插入n 个数
，使
成等差数列．这样得到一个新数列
：
，记数列
的前项和为
，有下列结论：①
②
③
④
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型20：等比数列恒成立型求参
【典型例题1】设
，若数列
是无穷数列，且满足对任意实数
不等式
恒成立，
则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列
为单调递增的等差数列
B．存在数列
为单调递增的等比数列
C．
恒成立
D．
【答案】D
【解析】求出
，根据数列的性质可判断A、B，举例可判断C，利用数学归纳法判断D.
因为
，
，
当
时，
，解得
。
当
时，因为
，所以
，解得
。
因为无穷数列
，对任意实数
不等式
恒成立，
所以
。
对选项A，若
为单调递增的等差数列，设
，
则
，故A 错误；
对选项B，若
为单调递增的等比数列，设
，
则
，故B 错误；
对选项C，因为
，设
，取
，则
，
，显然
不成立；故C 错误；
对于选项D：当
时，由
，显然
恒成立，
假设当
时，
成立，则当
时，
故
恒成立，故D 正确.
故选：D
【变式训练20-1】已知数列
中，
，
是公比为
的等比数列，记
，若不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练20-2】已知数列
是公比为
的等比数列，
是其前
和，若
恒成立，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练20-3】已知等比数列
中，
，若
恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练20-4】已知
是数列
的前n 项和，则“
对
恒成立”是“
是公比为2
的等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型21：等比型下标数列
【典型例题1】已知递增数列
对任意
均满足
，记
，则数列
的前
项和等于
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
若
，那
矛盾，
若
，那么
成立，
若
，那
矛盾，
所以
，当
，
所以
，
即
，数列
是首项为2，公比为3 的等比数列，
所以前
项和为
.
故选：D.
【变式训练21-1】已知数列
中，
，且
（
），则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式训练21-2】已知数列
是以1 为首项，3 为公差的等差数列，
是以1 为首项，3 为公比的等比数
列，设
，
，当
时，n 的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式训练21-3】已知数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
是以为首项，
为公比的等比数
列，则
A．
B．
C．
D．
题型22：等比数列求范围型
【典型例题1】设实数
成等差数列，且它们的和为，如果实数
成等比数列，则
的取值范
围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
成等差数列和为得到
，在由
成等比数列，将
用
表示出来，利用二次函数即
可求出
的取值范围．
因为实数
成等差数列，且它们的和为，
，
，
，
因为实数
成等比数列，则
，且
，
，
当
时，最小值为
，故
的取值范围为
，故选C.
【变式训练22-1】设
，
，
，
成等差数列，
，
，
，
成等比数列，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练22-2】在圆
内，过点
有三条弦的长度成等比数列.则其公比的取值范围
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式训练22-3】设实数
成等差数列，且它们的和为9，如果实数
构成公比不等于
的等比数列，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练22-4】三个数
成等比数列，若有
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型23：等比数列与三角函数综合
中，
，
，
或
，
， 三边成等比，意味着角
，熟记此结论可以提高解小题的时间.
【典型例题1】△ABC 的内角
、
、
的所对的边
、
、成等比数列，且公比为
，则
的取值范围
为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：∵
，
，
成等比数列，∴
，
，再由正弦定理可得
，又∵
，根据二次函数的相关知识，可知
的取值范围是
.
【典型例题2】已知
中，
，
，
成等比数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，
成等比数列，得
，由正弦定理可得
.
由余弦定理可得
.
所以
.
令
.
,
.所以
.
.
故选A.
【变式训练23-1】在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边a、b、c 成等比数列.则
的取值范围
是.
A．(0,+∞)
B．
C．
D．
【变式训练23-2】设△ABC 的内角
的所对的边
成等比数列，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【变式训练23-3】设△ABC 的内角
的对边分别为
，
则角B 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
题型24：等比数列的简单应用
【典型例题1】某银行在1998 年给出的大额存款的年利率为
，某人存入
元（大额存款），按照复利，10
年后得到的本利和为
，下列各数中与
最接近的是（ ）
A．1.5
B．1.6
C．1.7
D．1.8
【答案】B
【解析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案.
存入
元（大额存款），按照复利，
可得每年末本利和是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，可得
.
故选：B.
【典型例题2】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，
羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，
马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5 斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：
“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（
）斗粟
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】牛主人应偿还x 斗粟，由题意列方程即可解得.
设牛主人应偿还x 斗粟，则马主人应偿还
斗粟，羊主人应偿还
斗粟，
所以
，解得：
.
故选：B
【典型例题3】“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图
形.如图所示，以边长为4 的正方形
的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直
角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积
为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（ ）
A．63
B．64
C．127
D．128
【答案】A
【解析】设第
次向外作的正方形的个数为
，数列
的前
项和为
，
由题意可得第
次向外作的正方形面积和与第
次向外作的正方形面积和相等，
即每次向外作的正方形面积和为
，而
，
故向外作了5 次正方形
又
，
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
则
，
则
，
所以“勾股树”上所有正方形的个数为
.
故选：A.
【典型例题4】在通信技术中由
和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个
序列的长度如
是一个长度为10的
序列长为
的
序列中任何两个不相邻的序列个数设为
，长度为
的
序列为：
，，都满足数列
，
长度为
且满足数列
的
序列为：
，
，10，
．
(1)求
，
(2)求数列
中
，
，
的递推关系
(3)记Sn是数列
的前
项和，证明：
为定值．
【解析】（1）由题意知，长为3 的
序列中任何两个不相邻的序列为：
，所以
.
设长为
的
序列中任何两个不相邻的序列有
个，考虑最后一个数：
若最后一位是
，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有
个；
若最后一位是，则倒数第二位是
，只要前
位任何两个不相邻即可，满足要求的序列有
个，
所以
；
（2）考虑长度为
的
序列最后一个数：
若最后一位是
，则只要前
位任何两个不相邻，则满足要求的序列有
个；
若最后一位是，则倒数第二位是
，只要前
位任何两个不相邻即可，则满足要求的序列有
个，
所以
；
（3）由（2）知，
，所以
，
所以
，
所以数列
是常数列，
所以
为定值.
【变式训练24-1】每年6 月到9 月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3 天
（第四天完全凋谢），池塘内共有2000 个花蕾，第一天有10 个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一
天的2 倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式训练24-2】第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作Rt△AOB，
OA =1，∠AOB =30°，再依次作相似三角形△BOC，△COD，△DOE，……，直至最后一个三角形的斜
边OM与OA第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（ ）
A．
❑√3
2 [(
2❑√3
3 )
11
−1]
B．
❑√3
2 [(
4
3)
11
−1]
C．
❑√3
2 [(
2❑√3
3 )
12
−1]
D．
❑√3
2 [(
4
3)
12
−1]
【变式训练24-3】某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10 年内每年此农产品的
销售额（单位：万元）等于上一年的1.3 倍再减去3.已知第一年（2023 年）该公司该产品的销售额为100 万元，
则按照计划该公司从2023 年到2032 年该产品的销售总额约为（参考数据：1.3
10≈13.79）（ ）
A．3937 万元
B．3837 万元
C．3737 万元
D．3637 万元
【变式训练24-4】中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百
里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，
则该马第五天走的里程数约为（ ）
A．2.76
B．5.51
C．11.02
D．22.05
【变式训练24-5】已知一小球从地面竖直向上射出到10m 高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的
处，则该小球第6 次落地时，经过的路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练24-6】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，
次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378 里，第一天健步行走，从
第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（ ）
A．80 里
B．86 里
C．90 里
D．96 里
【变式训练24-7】某牧场今年年初牛的存栏数为1200 头，预计以后每年存栏数的增长率为
，且在每年年
底卖出100 头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列
，
，则
大约为（参考数据：
（ ）
A．1420
B．1480
C．1520
D．1580
【变式训练24-8】如图所示，在等腰直角三角形
中，斜边
，过点
作
边的垂线，垂足为
，
过点
作
边的垂线，垂足为
，过点
作
边的垂线，垂足为
，…，依此类推．设
，
，
，…，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练24-9】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五
斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有
牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5 斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主
人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1 斗为10 升，
则马主人应偿还（ ）升粟.
A．
B．
C．
D．
【变式训练24-10】某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10 年内每年此农产品的
销售额（单位：万元）等于上一年的1.3 倍再减去3.已知第一年（2023 年）该公司该产品的销售额为100 万元，
则按照计划该公司从2023 年到2032 年该产品的销售总额约为（参考数据：1.3
10≈13.79）（ ）
A．3937 万元
B．3837 万元
C．3737 万元
D．3637 万元
【变式训练24-11】一个乒乓球从
高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的
，在第3
次着地时，乒乓球经过的总路程为
.
【变式训练24-12】十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性
思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间
均分为三段，去掉中间的区间段
，记为第一次操作：再将剩下的两个区间
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记
为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去
掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区
间长度之和小于
，则操作的次数
的最大值为 .
（参考数据：
）
【变式训练24-13】某牧场2015 年初牛的存栏数为1200 头，以后每年存栏数的增长率为
，且在每年年底
卖出90 头牛，那么在2024 年初牛的存栏数是多少 .（结果保留整数，参考数据：
，
，
）
【变式训练24-14】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从
它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1 的正三角形，
将每边3 等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图
（3），则第三个图形的边数 ；第
个图形的周长 ．
【变式训练24-15】京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木
参与碳交易，到2022 年年底该公司速生林木的保有量为200 万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于
速生林木的生长，计划每年砍伐17 万立方米制作筷子．设从2023 年开始，第
年年底的速生林木保有量为
万立方米．
(1)求
，请写出一个递推公式表示
与
之间的关系；
(2)是否存在实数
，使得数列
为等比数列，如果存在求出实数
；
(3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022 年底的200 万立方米翻两
番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据：
，
，
，
）
【变式训练24-16】某区域市场中
智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预
测，
商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术
更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有
转而采用
甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有
转而采用乙公司技术．设第
次技术更新后，该区域市场中采用
甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为
和
，不考虑其他因素的影响．
(1)用
表示
，并求使数列
是等比数列的实数
．
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到
以上？若能，则
至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．
题型25：等比数列的奇偶项讨论问题
【典型例题1】若各项均为正数的数列{cn}满足cncn+2−cn+1
2
=k cncn+1（n∈N
*,k为常数），则称{cn}为
“比差等数列”.已知{an}为“比差等数列”，且a1= 5
8 ,a2= 15
16 ,3a4=2a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=¿，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】（1）利用“比差等数列”的定义可得an+2
an+1
−an+1
an
=k，令dn= an+1
an
，则{dn}为常数列，
可得an+1
an
= 3
2，可求{an}的通项公式；
（2）分n为奇数与偶数两种情况求解可得数列{bn}的前n项和Sn.
（1）由{an}为“比差等数列”，
得anan+2−an+1
2
=k anan+1，
从而an+2
an+1
−an+1
an
=k.
设dn= an+1
an
，则dn+1−dn=k，
所以数列{dn}为等差数列.
因为d1= a2
a1
= 3
2 ,d4= a5
a4
= 3
2，
所以{dn}为常数列，
因此，dn=d1= 3
2，即an+1
an
= 3
2，
所以{an}是首项为5
8 ，公比为3
2的等比数列，
因此an= 5
8 ×(
3
2)
n−1
.
（2）当n为偶数时，Sn=b1+b2+⋯+bn=2(b1+b3+⋯+bn−1)+ n
2 =2¿
=2×
5
8[1−(
9
4)
n
2]
1−9
4
+ n
2 =(
9
4)
n
2 + n
2 −1=(
3
2)
n
+ n
2 −1；
当n为奇数时，
Sn= Sn+1−bn+1=(
3
2)
n+1
+ n+1
2
−1−(bn+1)=(
3
2)
n+1
+ n+1
2
−1−5
8 ×(
3
2)
n−1
−1= 13
12 ×(
3
2)
n
+ n−3
2
.
综上，Sn=¿.
【典型例题2】记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1,n Sn+1−(n+1)Sn=n
2+n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)
nan+[(−1)
n+1]2
n，求数列{bn}的前2n项和T 2n.
【解析】（1）根据题意，化简得到Sn+1
n+1 −Sn
n =1，得出数列{
Sn
n }为等差数列，求得Sn=n
2，进而求得{an}的
通项公式；
（2）由（1）得到，当n为奇数时，bn=1−2n；当n为偶数时，bn=2n−1+2
n+1，结合
T 2n=(b1+b3+b5+⋯+b2n−1)+(b2+b4+b6+⋯+b2n)，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.
（1）解：由n Sn+1−(n+1)Sn=n
2+n，可得n Sn+1−(n+1)Sn=n(n+1)，所以Sn+1
n+1 −Sn
n =1，
又由a1=1，所以S1
1 = a1
1 =1，所以数列{
Sn
n }是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以Sn
n =1+(n−1)×1=n，则Sn=n
2，
当n≥2时，Sn−1=(n−1)
2，所以Sn−Sn−1=an=n
2−(n−1)
2=2n−1，
又当n=1时，a1=1满足上式，
所以{an}的通项公式为an=2n−1.
（2）由（1）可知当n为奇数时，bn=−an=1−2n；
当n为偶数时，bn=an+2×2
n=2n−1+2
n+1，
所以T 2n=b1+b2+b3+b4+⋯+b2n
=(b1+b3+b5+⋯+b2n−1)+(b2+b4+b6+⋯+b2n)
=2n+2
3+2
5+2
7+2
9+⋯+2
2n+1 =2n+8(1+2
2+2
4+2
6+⋯+2
2n−2)
=2n+8× 1−4
n
1−4 =2n+ 2
3 ×4
n+1−8
3 .
【变式训练25-1】正项数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为T n，4 Sn=an
2+2an+1，
4T n=bn
2+2bn+1
(1)求数列{an},{bn}的通项公式；
(2)已知数列{cn}满足cn=bn⋅an+1
anan+1
，求数列{cn}的前n项和H n．
【变式训练25-2】已知在正项数列{an}中，a3= 4 ,a2a5=32，且lnan,lnan+1,lnan+2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=an+(−1)
nlog2an+1，求数列{bn}的前n项和T n.
【变式训练25-3】已知
是各项均为正数的等比数列，其前
项和为
，
，
.数列
满足
，
，且
为等差数列.
（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
.
一、单选题
1．已知等比数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
2．已知等比数列
的第二项为1，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数
，且与
互素的正整数的个数.例如
.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
是等比数列
D．
4．一只蜜蜂从蜂房
出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房
只能爬到号或
号蜂房，从号蜂房只能爬到
号或号蜂房……以此类推，用
表示蜜蜂爬到
号蜂房的方法数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.已知等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．4
6.等差数列
的首项为1，公差为
，若
成等比数列，则
（ ）
A．0 或
B．2 或
C．2
D．0 或2
7.已知等比数列
的公比
，且满足
，
，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
8.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a2 019＝（ ）
A．32 019＋1
B．32 019－1
C．32 019－2
D．32 019＋2
9.设等比数列
的各项均为正数，前n 项和
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．15
D．40
10.记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120
B．85
C．
D．
11．已知数列
是首项大于
的等比数列，记
的公比为
，前
项和为
. 设命题甲：
；命题乙：
对任意的
，
恒成立，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
12．已知数列
的前n 项和为Sn，且
，
，则
的值为 （ ）
A．949
B．1160
C．1276
D．2261
13．已知数列
满足：
，
对任意的
、
恒成立，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对
数列1，5 进行构造，第1 次得到数列1，6，5，第2 次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n 次得到数
列1，
5.记第n 次得到的数列的各项之和为
，则
的通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．若等比数列
满足
，则
（ ）
A．
B．1012
C．
D．1013
16．数列
中，已知对任意自然数
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
17．在数列
中，已知
，则
的前10 项和为（ ）
A．2040
B．2046
C．4040
D．4046
18．
为等比数列
的前n 项和，已知
，
，且公比
，若存在常数
，使得数列
是等比数列，则
的值为（ ）
A．3
B．1
C．
D．
19.记
为等比数列
的前
项和．已知
，
，则数列
A．无最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，无最小项
D．有最大项，有最小项
20.已知
为等比数列，下面结论中正确的是
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
21.在等比数列
中，
，公比
，记其前
项的和为
，则对于
，使得
都成立的最
小整数
等于
A．6
B．3
C．4
D．2
22.已知等比数列{an}的各项均为负数，记其前n项和为Sn，若S6−S4=−3,a6a7a8=−1
8
，则a2=（ ）
A．－8
B．－16
C．－32
D．－48
23.已知Sn是等比数列{an}的前n 项和，a1+a4+a7=2，a2+a5+a8= 4，则S9=（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
24.已知数列{an}的首项a1为常数且a1≠2
3
，an+1+2an= 4
n(n∈N
*)，若数列{an}是递增数列，则a1的取值范
围为（ ）
A．(−2
3 , 2
3)
B．(−2
3 , 2
3)∪(
2
3 , 4
3)
C．(0, 2
3)
D．(0, 2
3)∪(
2
3 , 4
3)
25.公元前1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比
前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．10×8
5
8
5+7
5 斗
B．10×8
6
8
5+7
5 斗
C．10×8
5
8
5−7
5 斗
D．10×8
6
8
5−7
5 斗
26.等差数列{an}和等比数列{bn}都是各项为正实数的无穷数列，且a1=b1，a2=b2，{an}的前n 项和为Sn，
{bn}的前n 项和为T n，下列判断正确的是（ ）
A．{an}是递增数列
B．{bn}是递增数列
C．Sn>T n
D．Sn≤T n
27.已知{ an }是无穷等比数列，其前n项和为Sn，a 1 =3 , S2= 3
2
．若对任意正整数n，都有
Sn−(−1)
n⋅A >0，则A的取值范围是（ ）
A．( −3 ,1 )
B．[ −2 ,1 )
C．( −3 , 3
2 )
D．[ −2 , 3
2 )
28.设等比数列{an}的前n项和为T n，前n项积为K n，若K 7> K 6>0，K 7= K 8> K 9>0，则下列结论不正确的
是（ ）
A．a8=1
B．对任意正整数n，an
2+an+2
2
>2an+1
2
C．K 10> K 6
D．数列{T 2n+2−T 2n}一定是等比数列
二、多选题
1.等比数列
的各项均为正数，公比为
，其前
项的乘积记为
．若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．当且仅当
时，
2.）已知等比数列
的公比为
，前
项积为
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.下列结论正确的是（ ）
A．若
是等差数列，则
是等比数列
B．若
是等比数列，则
是等比数列
C．若
是等比数列，则
是等比数列
D．若
是等差数列，则
是等比数列
4.已知
是等差数列，公差
不为0，若
成等比数列，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5.已知数列
满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
中存在连续三项成等差数列
C．
中存在连续三项成等比数列
D．数列
的前
项和
6.已知数列
满足：
，对任意的
成立，
，其前n 项和记为
，则（ ）
A．
是等比数列
B．
是等差数列
C．
D．存在实数
，使得
为等比数列
7.已知数列
满足
，且
，则下列正确的有（ ）
A．
B．数列
的前
项和为
C．数列
的前
项和为
D．若数列
的前
项和为
，则
8.已知数列
的首项为1，前
和为
，且
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．
是等比数列
C．
D．数列
的前
项和为
9.若数列{an} {bn}满足an+1=2an+bn，bn+1=2bn+an，且a1=1，b1=0，则下列结论中正确的是（ ）
A．a4=14
B．an+bn=3
n−2
C．∑
i=1
5
bi=58
D．若{an+ λbn}为等比数列，则λ =±1
10．）已知数列{a}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=¿，则下列选项正确的是（ ）
A．a4=5
B．数列{a2k−1}是公比为2 的等比数列
C．an=2
n+1
2 −1(n=2k −1,k ∈N
*)
D．Sn≤50的最大整数n的值为8
11．已知{an}是等比数列，Sn是其前n 项和，满足a3=2a1+a2，则下列说法正确的有（ ）
A．若{an}是正项数列，则{an}是单调递增数列
B．Sn,S2n−Sn,S3n−S2n一定是等比数列
C．若存在M >0，使|an|≤M对∀n∈N
+都成立，则{|an|}是等差数列
D．若an>0，且a1= 1
100
，T n=a1⋅a2⋯an，则n=7时T n取最小值
三、填空题
1.等比数列
中，若
，则
．
2.若数列
的首项
，且满足
，则数列
的通项公式为 .
3．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．
已知9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9 的数列
，该数列的前3 项成等差数列，后7 项成
等比数列，且
，则
；数列
所有项的和为 ．
4．记
为等比数列
的前
项和．若
，则
的公比为 ．
5．已知数列
满足
，且
，
，其前
项和为
，若对任意的正整数
，
恒成立，则
的取值范围是 .
6．已知数列
中，
，
，
，
为数列
的前项和，则数列
的通项公式
；
.
7．已知数列
满足
，
，则该数列的通项公式
．
8.已知等比数列
的公比
，且
，则使
成立的正整数
的最大值
为 ．
9.已知数列
的前
项和为
，满足对任意的
，均有
，则
.
10.已知四个整数
满足
．若
成等差数列，
成等比数列，且
，则
的值为 ．
11.等比数列{an}中，每项均为正数，且a4⋅a5=81，则log3a1+log3a8=
.
12.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5.数列{an}和{bn}中的所有项
分别构成集合A、B，将集合A ∪B中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，数列{cn}的前n项
和为Sn，则S20=
.
13.若数列{bn}、{cn}均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得bm∈[cn,cn+1]，则称数
列{bn}为数列{cn}的“M 数列”．已知数列{an}的前n 项和为Sn，则下列结论中正确的是
．
①存在等差数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M 数列”
②存在等比数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M 数列”
③存在等差数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M 数列”
④存在等比数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M 数列”
四、解答题
1.已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
2.记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
3.设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
4.已知数列
的前
项和为
，且
.在数列
中，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
是等比数列.
5.已知数列
的前
项和为
，
．
(1)求
的通项公式．
(2)是否存在正整数
使
，
，
成等比？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
6.已知数列
的各项均为正实数，
，且
（
）.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)若数列
满足
，求数列
中的最大项与最小项.
7．已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和为
；
(3)若
对任意
恒成立．求实数
的取值范围．
8．已知数列
，
，
，
为数列
的前
项和，且
.
(1)令
.
（i） 求证: 数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；
（ii） 求数列
的前
项和
；
(2)设数列
的前
项和
，对
，
恒成立，求实数
的取值范围.
9．已知数列
是首项为
的等比数列，各项均为正数，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，
为数列
的前
项和．若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．
10.已知等差数列的
的前
项和为
，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（1）求
的通项公式；
（2）若
是等比数列，
，
，求数列
的前
项和
．
①
；②
；③
．
11.公差不为零的等差数列
中，
是
和
的等比中项，且该数列前
项之和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项之和
的最小值．
12.设正项等比数列
满足
，
，
，
为数列
的前n 项和，
(1)求
的通项公式；
(2)当n 满足什么条件时，
恒成立？
13.某人购买某种教育基金，今年5 月1 日交了10 万元，年利率5%，以后每年5 月1 日续交2 万元，设从今年
起每年5 月1 日的教育基金总额依次为
，
，
，…….
(1)写出
和
，并求出
与
之间的递推关系式；
(2)求证：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式.
14.已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入n 个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3 项
，
，
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且4 Sn=5an−2．
(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)设bn=(−1)
n⋅log5
a2n+2
2
，求数列{bn}的前100 项和T 100．
16．已知桶A0中盛有3 升水，桶B0中盛有1 升水.现将桶A0中的水的2
3
和桶B0中的水的1
3
倒入桶A1中，再将桶
A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的2
3 和桶B1中的水的1
3 倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1
中剩余的水倒入桶B2中；如此继续操作下去.
(1)求操作1 次后桶B1中的水量；
(2)求操作n次后桶Bn中的水量；
(3)至少操作多少次，桶An(n∈N
∗)中的水量与桶Bn(n∈N
∗)中的水量之差小于1
64
升？（参考数据：
lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
17．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且{bn}的前n项和为Sn
，2a1=b1=2，a5=5(a4−a3)，在①
b5= 4(b4−b3)，②bn+1= Sn+2这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{
an
bn}的前n项和为T n，求T n.
18．设{an}是等差数列，其前n项和Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=3，a4=b2，S3=15.
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn=¿，求数列{cn}的前2n项和T 2n；
(3)若对于任意的n∈N
*不等式n(an+1)−λ(an−1)(n+2)−12<0恒成立，求实数λ的取值范围.
19．设有穷数列{an}的项数为m(m≥2)，若正整数k(2≤k ≤m)满足：∀n<k , an>ak，则称k为数列{an}的
“min点”．
(1)若an=(−1)
n(2n−3)(1≤n≤5)，求数列{an}的“min点”；
(2)已知有穷等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn．若数列{Sn+ 1
Sn}存在“min点”，求正数a1的取值范围；
(3)若an≥an−1−1(2≤n≤m)，数列{an}的“min点”的个数为p，证明：a1−am≤p．
