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01 圆锥曲线中的求方程问题
一、必备知识：
1.圆锥曲线方程：
(1)椭圆的标准方程
x2 y2
+ =1 (a>b>0)
焦点在x轴上的椭圆标准方程为：
a2 b2
y2 x2
+ =1 (a>b>0)
y轴上的椭圆标准方程为：
a2 b2
焦点在
(2)双曲线的标准方程
x2 y2
− =1 (a>0,b>0)
焦点在x轴上的标准方程为：
a2 b2
y2 x2
− =1 (a>0,b>0)
焦点在y轴上的标准方程为：
a2 b2
(3)抛物线的标准方程
焦点 x轴正半轴 x轴负半轴 y
轴正半轴
y
轴负半轴
位置
图形
标准
y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py
方程
2.求轨迹方程的5种常用方法：
(1)直接法: 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做
直接法。
(2)定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求
轨迹方程的方法叫做定义法。
(3)相关点法: 用动点 的坐标 表示相关点 的坐标 ，然后代入点 的坐标
M x，y P (x 、y ) P
0 0所满足的曲线方程，整理化简便得到动点 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
(x 、y ) Q
0 0
（用未知表示已知，带入已知求未知)
(4)参数法: 当动点坐标 x、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 x、y 与某一变数 t 的关系，
再消去参变数 t ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
(5)交轨法: 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种
求轨迹方程的方法叫做交轨法。
二、题组：
题组一：求椭圆的标准方程
1.已知椭圆C： 的离心率为 ,且过点 ,则椭圆 的方程为 .
2.已知平面上动点 到两个定点 和 的距离之和等于 ，则动点 的轨迹方程为 ．
3.已知椭圆C上任意一点 都满足关系式 ，则椭圆C的标准方程为
.
4.已知B( ，0)是圆A： 内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与
AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 .
5．一个动圆与圆 外切，与圆 内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为
．
变式训练：1．已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ，则椭圆C的方程为
．
2．已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，则C的方
程为 .
3．若 ， ，点P到 ， 的距离之和为10，则点P的轨迹方程是 .
4． 已知 ， 是圆 上一动点，线段 的垂直平分线交 于点 ，则动
点 的轨迹方程为 .
5．已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并与圆 内切，则圆心 的轨
迹方程为 .
6.一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
题组二：求双曲线的标准方程
1.已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ，则双曲线C的方程 为
.2．已知双曲线C的焦点为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支交于A，B两点．若
， ，则C的方程为 ．
3.在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 的轨迹为 ，则
的方程为 .
4. 的坐标满足方程： ，则M的轨迹方程为 .
5.已知圆 ，圆 ，若动圆M与圆 均外切，则动圆圆心的轨迹方
程为 .
变式训练：
1．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ，则 C的方程
.
2．已知双曲线 ： 的焦点为 ， ，离心率为 ，若 上一点 满足
C C P
，则 的方程为 ．
C3．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 为该双曲线上一点， 为其左、
右焦点，且 ， ，则该双曲线的方程为 ．
4．已知平面内两定点 ， ，动点M满足 ，则点M的轨迹方程是 .
5．已知圆C ：（x＋3）2＋y2＝1和圆C ：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆
1 2 1 2
圆心M的轨迹方程为 .
6．在平面直角坐标系中，已知圆 ： ，点 ， 是圆 上任意一点，线段 的
垂直平分线与直线 相交于点 ，设点 的轨迹为曲线 ，则曲线 的方程为 .
题组三：求抛物线的标准方程
1．抛物线的准线方程是 ，则其标准方程是 .
2．已知点 是抛物线 的焦点， 为坐标原点，若以 为圆心， 为半径的圆与直线 相切，则抛物线 的方程为 ．
3.过拋物线 ： 焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点， ，O为坐标原点，
且 的面积为 ，则抛物线C的标准方程为 .
△
4.已知抛物线 上横坐标为1的点到顶点的距离与到准线的距离相等，则该抛物线的方程为
.
5.在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 ．则 的方
程 ．
变式训练：
1．准线方程为 的抛物线的标准方程为 .
2．焦点与双曲线 右焦点相同的抛物线方程是 ．
3．已知直线 与抛物线 ： 的准线相交于点A，O为坐标原点，若 则抛物线
的方程为 .4．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，点 是抛物线 上一点， 到准
线的距离为 ，且 ，则抛物线 的方程为 .
5．已知双曲线 ，则以双曲线C的中心为顶点，以双曲线C的右焦点为焦点的抛物线方程为
．
6．平面上动点M到定点 的距离比M到 轴的距离大3，则动点M满足的方程为 .
三、综合检测:
1．抛物线 的准线方程为 ，则抛物线的标准方程是 ．
2．已知椭圆 的左、右焦点为 ，且过点 则椭圆标准方程为
．
3．如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O， 为C的左焦点，P为C上一点，且满足 ，，则椭圆C的标准方程为 ．
4．已知双曲线的两个焦点分别为F（﹣ ，0），F（ ，0），P是双曲线上的一点，且PF⊥PF，|
1 2 1 2
PF|•|PF|＝2，则双曲线的标准方程是 ．
1 2
5．已知双曲线 的左、右焦点为F、F， P是双曲线右支上，以PF 为直径的
1 2 1
圆 过点F，则双曲线方程为 ．
2
6．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是 .
7．已知双曲线C： 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条
渐近线交于M，N两点，若 ，则以 （e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物线的标准方
程为 .
8．已知两定点 ， ，曲线上的点 到 、 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为
．
9．已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足 ， ，8成等差数列，则点P的轨迹方程为 .
10．已知 ，B是圆 （F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于
P，则动点P的轨迹方程为 .
11．在平面直角坐标系 中，动圆 与圆 内切，且与圆 ：
外切，记动圆 的圆心的轨迹为 .则轨迹 的方程为 .
12．已知动圆P过点 ，且与圆 外切，则动圆P圆心 的轨迹方程为 .
13．若动圆与两定圆 及 都外切，则动圆圆心的轨迹方程是 .14．已知双曲线 的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：①双曲线 的离
心率为 ； ②双曲线 与椭圆 共焦点； ③双曲线右支上的一点 到 的距离之差是虚
轴长的 倍.请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线 的方程为 .
