文档文本内容
【第3 讲：不等式的性质及基本不等式】
【知识点清单】
1．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
题型梳理
总览
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒n√a＞
n√b（ n∈N，且n＞1）．
2．不等式比较大小
【知识点的认识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
3．运用基本不等式比较大小
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为：a+b
2
≥❑√ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b
2
）2或者a+b≥2❑√ab
．
【解题方法点拨】
运用均值不等式比较大小时，需要将待比较的数值代入不等式．例如，要比较两个数a 和 b 的大小，可
以使用 a+b
2
≥❑√ab在具体题目中，通常会将两个数构造成可以应用均值不等式的形式，然后进行比较．
例如，比较 x
2+ 1
x
2 和 2 的大小，可以利用均值不等式得出 x
2+ 1
x
2 ≥2
4．运用基本不等式求最值
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为：a+b
2
≥❑√ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b
2
）2或者a+b≥2❑√ab
．
【解题方法点拨】
在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式 x+ 1
x
的最小值，可以利用均值不等式 x + 1
x ≥2从而得出最小值为 2，并且在 x＝1 时取到最小值．需要注意
的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．
5．运用“1”的代换构造基本不等式
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为：a+b
2
≥❑√ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b
2
）2或者a+b≥2❑√ab
．
【解题方法点拨】
在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，
从而构造均值不等式，简化问题．
【命题方向】
运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．
已知实数x，y∈R+，且x+y＝4，求1
x + 3
y 的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，
∴1
x + 3
y = x + y
4 x + 3( x + y)
4 y
= 1
4 + y
4 x + 3 x
4 y + 3
4 ≥1+
❑√3
2 ，当且仅当y
4 x = 3 x
4 y ，即y = ❑√3 x时取等号，
∴1
x + 3
y 的最小值为：1+
❑√3
2 ．
故答案为：1+
❑√3
2 ．
6．分式不等式
【知识点的认识】
分式不等式指的是含有分式的数学不等式．解分式不等式时，关键是注意分母不为零．
【解题方法点拨】
将分式不等式转化为普通不等式，并限定分母部分不为零，找出符合不等式的区间．综合各区间解，写出
最终解集．
7．指、对数不等式的解法
【知识点的认识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b 解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：
8．不等式的综合
【知识点的认识】
1、不等式的性质
2、不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
3、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”．
4、常用不等式
5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法．
比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1 的大小，然后作出
结论．
常用的放缩技巧有：
6．常系数一元二次不等式的解法：判别式﹣图象法
步骤：（1）化为一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；
（2）求根的情况：ax2+bx+c＝0
→
能否因式分解
△＞0（＝0，＜0）；
（3）由图写解集：考虑y＝ax2+bx+c（a＞0）图象得解．
7．简单的一元高次不等式的解法：标根法：
其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶回）；
（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集．
8．分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高
次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去
分母．
9．绝对值不等式的解法：（了解）
（1）分域讨论法（最后结果应取各段的并集）
（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；（4）两边平方．
10、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．
②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．
含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法．
一般地，设关于x 的含参数a 的一元二次形式的不等式为：
．
（1）第一级讨论：讨论二次项系数f（a）是否为零；
（2）第二级讨论：若f（a）≠0 时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；
（3）第三级讨论：若f（a）≠0 时，△＞0 时，先观察两根x1，x2大小是否确定，否则讨论两根的大小．
注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“＞”，“＝”，“＜”，应做到不重不漏．
11．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合
法．
1）恒成立问题
若不等式f（x）＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f（x）min＞A，
若不等式f（x）＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f（x）max＜B．
10．二维形式的柯西不等式
【知识点的认识】
柯西不等式的二维形式
1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（a1
2+a2
2）（b1
2+b2
2）≥（a1b1+a2b2）2 （当且
仅当a1b2＝a2b1时，等号成立）．
2．柯西不等式的向量形式：设α，β 为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α•β|．
3．二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么❑√x1
2+ y1
2+
❑√x2
2+ y2
2≥
❑√( x1−x2)
2+( y1−y2)
2．
【解题方法点拨】
柯西不等式的形式特点
从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标
运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”．
11．平均值不等式
【知识点的认识】
平均值不等式
1．定理1（重要不等式）：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b 时，等号成立．
2．定理2（基本不等式）：如果a，b 是正数，那么a+b
2
≥❑√ab，当且仅当a＝b 时，等号成立．
3．我们常把叫做正数a+b
2
的算术平均，把叫做正数❑√ab的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个
正数的算术平均值不小于（即大于或等于）它们的几何平均值．
4．关于用不等式求函数最大、最小值
（1）若x≥0，y≥0，且xy＝p（定值），则当x＝y 时，x+y 有最小值2❑√p．
（2）若x≥0，y≥0，且x+y＝s（定值），则当x＝y 时，xy 有最大值s
2
4 ．
5．定理3：对任意三个正数a，b，c，有 a3+b3+c3≥3abc（此式当且仅当a＝b＝c 时取“＝”号）．
6．定理4：对任意三个正数a，b，c 有a+b+c
3
≥
3√abc （此式当且仅当a＝b＝c 时取“＝”号）．
1 ．均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为
Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过
平方平均数．
2．特殊情形：
①对实数a，b，有a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b 时取＝号）；
②对非负实数a，b，有a+b≥2❑√ab，即a+b
2
≥❑√ab；
③对非负实数a，b，有（a+b）≥2❑√ab；
④对实数a，b 有a（a﹣b）≥b（a﹣b）；
⑤对实数a，b 有a2+b2≥(a+b)
2
2
≥2ab；
⑥对实数a，b，c 有a2+b2+c2≥(a+b+c)
2
3
；
⑦对非负数a，b 有，a2+ab+b2≥3
4 (a+b)
2；
特殊到一个简单结论：
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/3 10:22:25；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663
一．等式与不等式的性质（共4 小题）
1．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．（a﹣b）c2≥0
B．ac＞bc
C．a+b≥b﹣c
D．c
2
a−b ＞0
【考点】等式与不等式的性质．
版权所有
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：因为a＞b，所以a﹣b＞0，所以（a﹣b）c2≥0，故A 一定成立；
取c＝0，ac＝bc，可判断选项B 不一定成立；
取a＝﹣1，c＝0，可判断选项C 不一定成立；
取c＝0，则c
2
a−b =0，可判断选项D 不一定成立；
故选：A．
知识讲解与常考题型
题型分类
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
2．已知x＜0，﹣1＜y＜0，则（ ）
A．xy＜xy2＜x
B．xy2＜x＜xy
C．x＜xy＜xy2
D．x＜xy2＜xy
【考点】等式与不等式的性质．
版权所有
【分析】根据x＜0，﹣1＜y＜0，结合作差法比较大小即可判断各式大小关系得结论．
【解答】解：因为x＜0，﹣1＜y＜0，则xy＞0，1﹣y＞0，1+y＞0
所以xy﹣xy2＝xy（1﹣y）＞0，xy﹣x＝x（y﹣1）＞0，xy2﹣x＝x（y+1）（y﹣1）＞0
则xy＞xy2，xy＞x，xy2＞x，所以x＜xy2＜xy．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
B．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
C．若1
a ＜1
b ，则a＞b
D．若a＞b＞c＞0，则a
b ＞a+c
b+c
【考点】等式与不等式的性质．
版权所有
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，A 错误；
当c＝0 时，B 显然错误；
当a＝﹣1，b＝1 时，C 显然错误；
若a＞b＞c＞0，则a（b+c）﹣b（a+c）＝（a﹣b）c＞0，
所以a（b+c）＞b（a+c）＞0，
所以a
b ＞a+c
b+c ，D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
（多选）4．下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b，c＞d，则a﹣c＜b﹣d
C．若a＞b，则1
a ＜1
b
D．若a3＞b3，则a＞b
【考点】等式与不等式的性质．
版权所有
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：当c＝0 时，A 显然错误；
由a＜b，c＞d 可得﹣c＜﹣d，则a﹣c＜b﹣d，B 正确；
当a＝1，b＝﹣1 时，C 显然错误；
若a3＞b3，则a＞b 一定成立，D 正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
二．不等关系与不等式（共4 小题）
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．若a＞b＞0＞c＞d，则ab＞cd
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b＞0 且c＜0，则c
a
2 ＞c
b
2
D．若a＞b 且1
a ＞1
b，则ab＜0
【考点】不等关系与不等式．
版权所有
【分析】列举反例可判断A 选项，根据不等性质可判断BCD 选项．
【解答】解：A 选项：取a＝2，b＝1，c＝﹣3，d＝﹣4，A 选项显然错误；
B 选项：若ac2＞bc2，又c2＞0，则a＞b，B 选项正确；
C 选项：若a＞b＞0，则a2＞b2＞0，则1
a
2 ＜1
b
2，又因为c＜0，由不等式的性质可得c
a
2 ＞c
b
2，C 选项
正确；
D 选项：若a＞b 且1
a ＞1
b，则1
b −1
a = a−b
ab ＜0，所以ab＜0，D 选项正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
6．设a，b∈R，则a＜b 的一个必要不充分条件是（ ）
A．1
a ＞1
b
B．a3＜b3
C．a2＜b2
D．a3b2≤a2b3
【考点】不等关系与不等式；必要不充分条件的判断．
版权所有
【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可．
【解答】解：对于A，当a＜0＜b 时，1
a ＜1
b ，由1
a −1
b = b−a
ab ＜0，∴当ab＞0 时，b＜a，∴1
a ＞1
b
是a＜b 的既不充分也不必要条件，选项A 错误；
对于B，y＝x3在R 上为增函数，由a3＜b3得a＜b，当a＜b 时，a3＜b3，∴a3＜b3是a＜b 的充要条件，
选项B 错误；
对于C，由a2＜b2得|a|＜|b|，∴0＜a＜b 或0＞a＞b，∴a2＜b2是a＜b 的既不充分也不必要条件，选项C
错误；
对于D，由a3b2﹣a2b3＝a2b2（a﹣b）≤0 得a≤b，当a＜b 时，a3b2﹣a2b3＝a2b2（a﹣b）≤0，即
a3b2≤a2b3，∴a3b2≤a2b3是a＜b 的必要不充分条件，选项D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，是基础题．
7．设x，y，z＞0，a= 4 x + 1
y ，b= 4 y + 1
z ，c = 4 z + 1
x ，则a，b，c 三个数（ ）
A．都小于4
B．至少有一个不大于4
C．都大于4
D．至少有一个不小于4
【考点】不等关系与不等式．
版权所有
【分析】将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥12，从而推出a，b，
c 的范围
【解答】解：∵a+b+c＝4x+ 1
y +4y+ 1
z +4z+ 1
x =4x+ 1
x +4y+ 1
y +4z+ 1
z ≥4+4+4＝12，
∴a，b，c 至少有一个不小于4．
则关于a、b、c 三个数的结论中，只有答案D 对．
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式，基本不等式是高考重点考查的知识点之一，应用基本不等式时，要
熟练掌握不等式成立的条件与重要不等式的变形．
8．若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等关系正确的是（ ）
A．ab＞ab2＞a
B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2
D．a＞ab＞ab2
【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．
版权所有
【分析】利用作差法比较即可得到答案．
【解答】解：因为a＜0，﹣1＜b＜0，
所以ab＞0，1﹣b＞0，b﹣1＜0，b+1＞0
所以ab﹣ab2＝ab（1﹣b）＞0，
即ab＞ab2，ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）＞0，
所以ab＞ab2＞a．
故选：A．
【点评】本题考查用作差法解不等式，属于基础题．
三．不等式比较大小（共5 小题）
9．当0＜x＜y＜1 时，下列不等式中正确的是（ ）
A．(1−x)
1
y ＞(1−x)
y
B．（1+x）x＞（1+y）y
C．(1−x)
y＞(1−x)
y
2
D．（1﹣x）x＞（1﹣y）y
【考点】不等式比较大小；幂函数的图象．
版权所有
【分析】根据不等式的性质，结合幂函数以及指数函数的单调性，逐项检验，可得答案．
【解答】解：对于A，由0＜x＜y＜1，则1﹣x＜1，1
y ＞1＞y，
易知函数f（t）＝（1﹣x）t在R 上单调递减，所以(1−x)
y＞(1−x)
1
y，故A 错误；
对于B，由0＜x＜y＜1，则1＜1+x＜1+y＜2，
易知（1+y）y＞（1+x）x，故B 错误；
对于C，由0＜x＜y＜1，则1﹣x＜1，y ＞y
2 ，
易知函数f（t）＝（1﹣x）t在R 上单调递减，所以(1−x)
y＜(1−x)
y
2，故C 错误；
对于D，由0＜x＜y＜1，则1＞1﹣x＞1﹣y＞0，
易知函数f（t）＝（1﹣x）t在R 上单调递减，函数g（t）＝ty在（0，+∞）上单调递增，
所以（1﹣x）x＞（1﹣x）y＞（1﹣y）y，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式性质、利用幂函数、指数函数思维单调性比较大小，属于中档题．
10．已知a＝3π，b＝eπ，c＝πe，则它们的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
【考点】不等式比较大小．
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【分析】由f（x）＝xπ在区间（0，+∞）上为单调递增函数，可得到a＞b，设g（x）＝x﹣elnx，利用
导数求得函数在（e，+∞）单调递增，可得b＞c，即可求解．
【解答】解：由幂函数的性质知，f（x）＝xπ在区间上（0，+∞）单调递增，
由0＜e＜3，得3π＞eπ，即a＞b，
设g（x）＝x﹣elnx，可得g′（x）＝1−e
x ，
令g′（x）＞0，解得x＞e，
当x＞e 时，g（x）＝x﹣elnx 单调递增，可得g（π）＞g（3），
即π﹣elnπ＞e﹣elne＝0，即π＞elnπ，
两边取e 为底的指数，得eπ＞πe，即b＞c，
所以a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题考查了利用幂函数的单调性判断大小的应用问题，是基础题．
11．a=e
−ln3，b=lo g2
3
2 ，c = ❑√2−1，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
【考点】不等式比较大小．
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【分析】结合对数恒等式化简a，结合对数函数单调性确定b 的范围，即可比较a，b，c 的大小．
【解答】解：a＝e﹣ln3=e
ln 1
3 = 1
3
，b＝log23
2 ＞log2
❑√2= 1
2，c= ❑√2−1∈（1
3 ，1
2），
故b＞c＞a．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数恒等式及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
12．已知a，b 满足0＜a＜b＜e，则ab+ lna
a 与ba+ lnb
b 的大小关系为（ ）
A．ab+ lna
a ＞ba+ lnb
b
B．ab+ lna
a =ba+ lnb
b
C．ab+ lna
a ＜ba+ lnb
b
D．不能确定
【考点】不等式比较大小．
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【分析】通过求对数即可得出：比较ab 和ba 的大小关系等价于比较lna
a 与lnb
b 的大小关系，然后设
f ( x)= lnx
x ，然后根据导数符号即可判断f（x）在（0，e）上是增函数，从而可得出lna
a ＜lnb
b ，从而
可得出正确的选项．
【解答】解：∵ln a
b−ln b
a=blna−alnb=ab( lna
a −lnb
b )，且ab＞0，
∴比较ab和ba的大小关系等价于比较lna
a 与lnb
b 的大小关系，
设f ( x)= lnx
x ，f ′( x)= 1−lnx
x
2
，
∴x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，且0＜a＜b＜e，
∴f（a）＜f（b），即lna
a ＜lnb
b ，
∴a
b+ lna
a ＜b
a+ lnb
b ．
故选：C．
【点评】本题考查了对数的运算性质，构造函数解决问题的方法，根据导数的符号判断函数单调性的方
法，考查了计算能力，属于难题．
（多选）13．若a＞b＞0，则（ ）
A．aa＞bb
B．2a2＞b2+ab
C．blna＞alnb
D．aa+1＞bb+1
【考点】不等式比较大小．
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【分析】对于B，由不等式的性质即可判断；对于ACD，构造不同的函数，求导得函数单调性，由函数
单调性比较大小即可．
【解答】解：对于B，因为a＞b＞0，所以a2＞ab＞b2，则2a2＞b2+ab，B 正确；
对于A，若aa＞bb，则alna＞blnb，
设f（x）＝xlnx，则f′（x）＝lnx+1，
f′（x）＞0 不恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上不单调递增，alna＞blnb 不恒成立，A 错误；
对于C，若blna＞alnb，则lna
a ＞lnb
b ，
设g( x)= lnx
x ，则g′( x)= 1−lnx
x
2
，
g′（x）＞0 不恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上不单调递增，lna
a ＞lnb
b 不恒成立，C 错误．
对于D，若aa+1＞bb+1，则（a+1）lna＞（b+1）lnb．
设h（x）＝（x+1）lnx，则ℎ′( x)=lnx + x +1
x
=lnx + 1
x +1，
令u（x）＝h′（x），则u′( x)= 1
x −1
x
2 = x−1
x
2 ．
当x∈（0，1）时，u′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，
所以u（x）＝h′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
u（x）＝h′（x）≥u（1）＝2，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
（a+1）lna＞（b+1）lnb 恒成立，D 正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了函数单调性和函数导数符号的关系，是中档题．
四．运用基本不等式比较大小（共5 小题）
14．已知a＞0，b＞0，则a+b
2
，❑√ab，❑√
a
2+b
2
2
，2ab
a+b 中最大的是（ ）
A．❑√
a
2+b
2
2
B．❑√ab
C．a+b
2
D．2ab
a+b
【考点】运用基本不等式比较大小．
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【分析】利用基本不等式，先比较2ab
a+b与❑√ab，然后比较❑√ab与a+b
2
，再比较a+b
2
与❑√
a
2+b
2
2
，由此
确定出正确选项．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a+b≥2❑√ab，当且仅当a＝b 时取等号，
所以2ab
a+b ≤2ab
2❑√ab = ❑√ab，
❑√
a
2+b
2
2
=
❑√
2(a
2+b
2)
4
≥
❑√
(a+b)
2
4
= a+b
2
，当且仅当a＝b 时，等号成立，
则2ab
a+b ≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
（多选）15．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a
2+b
2≥1
2
B．2a﹣b＞2
C．log2a+log2b≥﹣2
D．❑√a+ ❑√b≤❑√2
【考点】运用基本不等式比较大小．
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【分析】对于选项A，将b＝1﹣a 代入不等式中化简可验证其正确性；对于选项B，将b＝1﹣a 代入不
等式中利用指数函数的单调性验证即可；对于选项C、D，化简不等式，利用基本不等式的性质验证即
可．
【解答】解：a＞0，b＞0，且a+b＝1，
对于A：a
2+b
2=a
2+(1−a)
2=2a
2−2a+1=2(a−1
2 )
2
+ 1
2 ≥1
2，
当且仅当a=b= 1
2时，等号成立，故A 正确；
对于B：由题意可得，0＜a＜1，
则a﹣b＝2a﹣1＞﹣1，所以2a﹣b＞2﹣1，故B 错误；
对于C：lo g2a+lo g2b=lo g2ab≤lo g2( a+b
2
)
2
=lo g2
1
4 =−2，当且仅当a=b= 1
2时，等号成立，故C
不正确；
对于D：因为(❑√a+ ❑√b)
2=1+2❑√ab≤1+a+b=2，所以❑√a+ ❑√b≤❑√2，
当且仅当a=b= 1
2时，等号成立，故D 正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）16．已知xy＞0 且2x+y＝2，则（ ）
A．0＜x＜1
B．2
x + 1
y ≤9
2
C．16x×4y＝16
D．16x+4y≥8
【考点】运用基本不等式比较大小．
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【分析】由已知条件求x，y 的取值范围，即可判断A；由指数幂的运算判断C；利用基本不等式判断
B、D．
【解答】解：对于A，因为xy＞0 且2x+y＝2，可知x＞0，y＞0，所以y＝2﹣2x＞0，
即0＜x＜1，故A 正确；
对于B，2
x + 1
y = 1
2 ( 2
x + 1
y )(2 x + y)= 1
2 (4+ 2 y
x + 2 x
y +1)≥1
2 (4 +2❑√
2 y
x ⋅2 x
y +1)= 9
2，
当且仅当2 y
x = 2 x
y 时，即x＝y= 2
3取等号，故B 错误；
对于C，16x×4y＝42x×4y＝42x+y＝16，故C 正确；
对于D，16
x+ 4
y = 4
2 x+ 4
y≥2
❑√4
2 x⋅4
y =2
❑√4
2 x + y =8，
当且仅当42x＝4y时，即y= 1
2，x= 1
4 取等号，故D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
（多选）17．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列结论正确的是（ ）
A．2a•2b＝16
B．❑√ab≤2
C．log2a+log2b≥2
D．1
a + 1
b ≥1
【考点】运用基本不等式比较大小．
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【分析】结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：对于A，2a•2b＝2a+b＝24＝16，故A 正确；
对于B，
❑√ab≤a+b
2
=2，当且仅当a＝b＝2 时，等号成立，故B 正确；
对于C，log2a+log2b=lo g2ab≤lo g2
(a+b)
2
4
=2，故C 错误；
对于D，a＞0，b＞0，且a+b＝4，
则1
a + 1
b = 1
4 (a+b)( 1
a + 1
b )= 1
4 (2+ a
b + b
a )≥1
4 (2+2❑√
a
b ⋅b
a )= 1
4 (2+2)=1，当且仅当a＝b＝2 时，等
号成立，故D 正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题．
18．已知α、β、γ 均为锐角，在sinαcosβ、sinβcosγ、sinγcosα 三个值中，大于1
2的个数的最大值为m，小
于1
4 的个数的最大值为n，则m+n＝
5
．
【考点】运用基本不等式比较大小．
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【分析】由题意可得sinαcosβ ≤sin
2α +co s
2 β
2
，sinαcosβ+sinβcosγ+ sinγcosα ≤3
2，从而可求得m 的值，
举例可得n 的值，即可得出答案．
【解答】解：由α，β，γ 为锐角，得sinαcosβ ≤sin
2α +co s
2 β
2
，当且仅当sinα＝cosβ 时取等号，
同理sinβcosγ ≤sin
2 β +co s
2γ
2
，当且仅当sinβ＝cosγ 时取等号，
sinγcosα ≤sin
2γ +co s
2α
2
，当且仅当sinγ＝cosβ 时取等号，
则sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤sin
2α +co s
2 β + sin
2 β +co s
2γ + sin
2γ +co s
2α
2
= 3
2，
因此不可能有3 个数都大于1
2，即最多2 个数大于1
2，例如α ＝45° ，β ＝30° ，γ ＝60° ，
sinαcosβ =
❑√6
4 ＞1
2，sinβcosγ = 1
4 ＜1
2 ，sinγcosα =
❑√6
4 ＞1
2，m＝2；
取α＝β＝γ＝80°，则sinαcosβ＝sinβcosγ= sinγcosα = 1
2 sin160°＜1
2 sin150° = 1
4 ，
因此三个数均可能小于1
4 ，则n＝3；
所以m+n＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了不等式a2+b2≥2ab 的运用，是中档题．
五．运用基本不等式求最值（共9 小题）
19．已知x＞1，x +
2
x−1的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．2❑√2+1
D．5
【考点】运用基本不等式求最值．
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【分析】由题意有x +
2
x−1 = x−1+
2
x−1 +1，利用均值不等式即可求解．
【解答】解：x＞1，所以x﹣1＞0，
所以x +
2
x−1 =( x−1)+
2
x−1 +1≥2❑√2+1，当且仅当x−1=
2
x−1，即x = ❑√2+1时取等号．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式求最值的方法，是基础题．
20．已知a＞0，b＞0 且a+b＝1，则16a+9b
ab
的最小值是（ ）
A．49
B．50
C．51
D．52
【考点】运用基本不等式求最值．
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【分析】由题意及“1”的活用及基本不等式可得代数式的最小值．
【解答】解：a＞0，b＞0 且a+b＝1，则16a+9b
ab
= 16
b + 9
a =（16
b + 9
a）（a+b）
＝16+9+ 16a
b + 9b
a ≥25+2❑√
16a
b ⋅9b
a =25+24，当且仅当16a
b
= 9b
a ，即4a＝3b，而a+b＝1，
即a= 3
7 ，b= 4
7 时取等号．
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
21．已知ln（x+4y）＝2lnx+lny，则12
x + 1
y 的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．4 ❑√2
【考点】运用基本不等式求最值；对数的运算性质．
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【分析】由已知结合对数运算性质可得y 与x 的关系，代入到所求式子，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为ln（x+4y）＝2lnx+lny＝lnx2y，
所以x+4y＝x2y，x＞0，y＞0，
所以y=
x
x
2−4 ，
则12
x + 1
y = 12
x + x
2−4
x
= 8
x + x ≥2❑√x⋅8
x =4❑√2，
当且仅当x= 8
x ，即x＝2❑√2时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
22．若x2+y2＝8（x＞1，y≠0），则
1
x
2−1
+ 36
y
2 的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．12
D．49
【考点】运用基本不等式求最值．
版权所有
【分析】根据已知有x2﹣1+y2＝7 且x2﹣1＞0，y2＞0，再应用基本不等式“1”的代换求最小值．
【解答】解：若x2+y2＝8，
所以
1
x
2−1
+ 36
y
2 = 1
7 (
1
x
2−1
+ 36
y
2 )( x
2−1+ y
2)= 1
7 [37+
y
2
x
2−1
+ 36( x
2−1)
y
2
]≥1
7 （37+2❑√36）＝7，
当且仅当
y
2
x
2−1
= 36( x
2−1)
y
2
，即x= ❑√2，y=± ❑√6时取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
23．函数y = x
2+3 x +3
x +1
( x＜−1)的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．﹣1
【考点】运用基本不等式求最值．
版权所有
【分析】由已知先进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：当x＜﹣1 时，x+1＜0，
则
y = x
2+3 x +3
x +1
= ( x +1)
2+( x +1)+1
x +1
=−[−( x +1)+
1
−( x +1) ]+1≤−2❑√[−( x +1)](−
1
x +1 )+1=−1，
当且仅当x +1=
1
x +1 =−1，即x＝﹣2 等号成立，此时函数取得最大值﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件，属于基础题．
24．若正实数x，y 满足xy+x﹣3y＝﹣1，则x﹣y 的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【考点】运用基本不等式求最值．
版权所有
【分析】整理等式，根据基本不等式，可得答案．
【解答】解：由xy+x﹣3y＝﹣1 得x = 3 y −1
y +1 ＞0，
所以y＞1
3，所以y+1＞4
3 ，
则x−y = 3 y −1
y +1 −y = 4−[
4
y +1 +( y +1)]≤0，当且仅当x＝y＝1 时，等号成立．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
25．已知a，b 为正数，1
a + 2
b =1，则ab+a+b 的最小值为（ ）
A．4 ❑√3
B．8
C．7+ 4 ❑√3
D．8+ 4 ❑√3
【考点】运用基本不等式求最值．
版权所有
【分析】ab+a+b＝3a+2b，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可．
【解答】解：因为a，b 为正数，1
a + 2
b =1，所以ab＝b+2a，
所以ab+a+b=3a+2b=(3a+2b)( 1
a + 2
b )=7+ 2b
a + 6a
b ≥7+2❑√
2b
a × 6a
b =7+ 4 ❑√3，
当且仅当b= ❑√3a，即a＝1+ 2❑√3
3
，b＝2+ ❑√3时等号成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
26．已知实数x、y 满足x＞y＞0，且x+y＝2，则
2
x +3 y +
1
x−y 的最小值为（ ）
A．3+2❑√2
B．3+2❑√2
4
C．3−2❑√2
D．3−2❑√2
4
【考点】运用基本不等式求最值．
版权所有
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：∵x+y＝2，x＞y＞0，
则2 x +2 y
4
= ( x +3 y)+( x−y)
4
=1，
2
x +3 y +
1
x−y = ( x +3 y)+( x−y)
4
(
2
x +3 y +
1
x−y )= 1
4 [3+ 2( x−y)
x +3 y + x +3 y
x−y ]≥1
4 [3+2❑√
2( x−y)
x +3 y ⋅x +3 y
x−y ]=
当且仅当x +3 y = ❑√2( x−y)时，等号成立．
故选：B．
【点评】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中档题．
27．若x，y∈[0，+∞），且2x﹣y＝4﹣xy，则
1
x−1 +
2
y +2的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．2
C．❑√2
D．
❑√2
2
【考点】运用基本不等式求最值．
版权所有
【分析】由2x﹣y＝4﹣xy 变形得x =
2
2+ y +1，最后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为2x﹣y＝4﹣xy，所以x = 4+ y
2+ y =
2
2+ y +1，即x−1=
2
y +2，
所以
1
x−1 +
2
y +2 = y +2
2
+
2
y +2 ≥2❑√
y +2
2
⋅
2
y +2 =2，
当且仅当y +2
2
=
2
y +2，即y＝0 时，等号成立，
所以
1
x−1 +
2
y +2的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查由基本不等式求最值，属于中档题．
六．运用“1”的代换构造基本不等式（共4 小题）
28．已知正数x，y 满足1
x + 1
y =1，则x+4y 的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
版权所有
【分析】根据题意，利用“1 的整体代换”，结合基本不等式的性质即可求解．
【解答】解：由题意得x + 4 y =( x + 4 y)( 1
x + 1
y )=1+ x
y + 4 y
x + 4≥5+2❑√
x
y ⋅4 y
x =9，
当且仅当x
y = 4 y
x ，即x＝2y＝3 时取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查了乘1 法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
29．已知3x＞y＞0，且7x+5y＝1，则
1
3 x−y +
2
2 x +3 y 的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
版权所有
【分析】合理变形，再利用乘“1”法计算即可．
【解答】解：因为3x＞y＞0，
则
1
3 x−y +
2
2 x +3 y =
1
3 x−y +
4
4 x +6 y =(
1
3 x−y +
4
4 x +6 y )(3 x−y + 4 x +6 y)
=5+ 4 x +6 y
3 x−y + 4(3 x−y)
4 x +6 y ≥5+2❑√
4 x +6 y
3 x−y ⋅4(3 x−y)
4 x +6 y =9，
当且仅当2（3x﹣y）＝4x+6y，即x = 4
33 ，y = 1
33时取等号，
此时
1
3 x−y +
2
2 x +3 y 的最小值为9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
30．已知x＞0，y＞0，且xy＝2x+y，则3x+2y 的最小值为 7+ 4 ❑√3 ．
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
版权所有
【分析】由已知可得1
x + 2
y =1，利用基本不等式中“1 的妙用”求出最小值．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且xy＝2x+y，∴1
x + 2
y =1，
则(3 x +2 y)( 1
x + 2
y )=7+ 2 y
x + 6 x
y ≥7+ 4 ❑√3，
当且仅当y = ❑√3 x，即x =1+ 2
3
❑√3，y =2+ ❑√3时取等号．
故答案为：7+ 4 ❑√3．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
31．已知正实数x，y 满足x+y＝1，则6 x +2
xy
的最小值为
18
．
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
版权所有
【分析】由题意得6 x +2
xy
=10+ 8 x
y + 2 y
x ，结合基本不等式即可得解．
【解答】解：正实数x，y 满足x+y＝1，
则6 x +2
xy
= 6 x +2( x + y)
xy
= 8
y + 2
x = 8( x + y)
y
+ 2( x + y)
x
=10+ 8 x
y + 2 y
x ≥10+2❑√16=18，等号成立当且仅当y =2 x = 2
3．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
七．不等式的综合（共5 小题）
32．已知a＞0，b∈R，若关于x 的不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣6）≥0 在区间（0，+∞）上恒成立，则4a﹣
b 的最小值是（ ）
A．2
B．2❑√2
C．3
D．3 ❑√2
【考点】不等式的综合．
版权所有
【分析】根据f（x）＝ax﹣2 的单调性推算出g（x）＝x2+bx﹣6 的零点，由此建立关于a、b 的等式，然
后运用基本不等式求出4a﹣b 的最小值，可得答案．
【解答】解：由a＞0，可知函数f（x）＝ax﹣2 在区间（0，+∞）上单调递增，
当x∈(0，2
a )时，f（x）＜0；当x∈( 2
a ，+ ∞)时，f（x）＞0．
令g（x）＝x2+bx﹣6，若关于x 的不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣6）≥0 在区间（0，+∞）上恒成立，
则g（x）＜0 在x∈(0，2
a )时成立；g（x）＞0 在x∈( 2
a ，+∞)时成立．
由此可得g( 2
a )=0，即4
a
2 + 2b
a −6＝0，整理得b=3a−2
a，
所以4 a−b=a+ 2
a ≥2❑√2，当且仅当a= 2
a，即a= ❑√2时取等号，
综上所述，a= ❑√2且b=2❑√2时，4a﹣b 的最小值为2❑√2．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的性质、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、
等价转化的数学思想，属于中档题．
33．若不等式(m x
2−2 x
3)ln
1
x +n ≥0恒成立，则m2+4n2的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．4
D．6
【考点】不等式的综合；运用基本不等式求最值．
版权所有
【分析】由不等式(m x
2−2 x
3)ln
1
x +n ≥0恒成立可得m+2n＝2，然后由基本不等式可得答案．
【解答】解：(m x
2−2 x
3)ln
1
x +n ≥0⇒x
2(2 x−m)ln( x +n)≥0⇒(2 x−m)ln( x +n)≥0．
由题可得¿
¿，令¿
¿，可得x1= m
2 ，x2=1−n．
注意到1﹣n＞﹣n，则若m
2 ≠1−n，总存在x0∈（﹣n，1﹣n），
使（2x0﹣m）ln（x0+n）＜0，则m
2 +n=1⇒m+2n=2．
则（m+2n）2＝m2+4n2+4mn＝4⇒m2+4n2＝﹣4mn+4．
注意到2mn≤(m+2n)
2
4
=1⇒−4 mn≥−2，则m2+4n2 ＝﹣4mn+4≥2 ，当且仅当m ＝2n ，即
m=1，n= 1
2时取等号．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的运用，属于中档题．
34．已知不等式ln（x+1）a＞x3﹣2x2（其中x＞0）的解集中恰有三个正整数，则实数a 的取值范围是（
）
A．（3，8]
B．[3，8）
C．[ 9
ln 4 ，32
ln5 )
D．( 9
ln 4 ，32
ln5 ]
【考点】不等式的综合．
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【分析】通过移项化简所给不等式，再设为函数，经过求导判断函数单调性进而求出极值点，在列出不
等式组求解即可．
【解答】解：不等式ln（x+1）a＞x3﹣2x2可化为aln（x+1）＞x3﹣2x2，
因为x＞0，所以ln（x+1）＞0，则a＞0．
令f（x）＝aln（x+1），g（x）＝x3﹣2x2，x＞0．
所以f ′( x)=
a
x +1，g'（x）＝3x2﹣4x＝x（3x﹣4）．
当0＜x＜4
3 时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞4
3 时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
因为解集中恰有三个正整数，
所以这三个正整数为1，2，3．
f（1）＝ln2，g（1）＝﹣1；
f（2）＝aln3，g（2）＝﹣4；
f（3）＝aln4，g（3）＝﹣9．
要使不等式成立，需满足{
f (3)＞g(3)
f (4)＜g(4))，即{
aln4＞27−18
aln5≤64−32)，
解得：
9
ln 4 ＜a≤32
ln5．
故选：D．
【点评】本题考查不等式与导数结合，属于中档题．
35．设a＝log34+log43，3a+4a＝5b，则（ ）
A．a＞b＞2
B．a＞2＞b
C．b＞a＞2
D．b＞2＞a
【考点】不等式的综合．
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【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，并构造函数，结合放缩法，即可求解．
【解答】解：a＝log34+log43＞2❑√lo g34⋅lo g43=2，
∵3a+4a＝5b，
∴5b＝3a+4a＞32+42＝52，即b＞2，
令g（x）＝3x+4x﹣5x（x＞2），
g（x）＝32•3x﹣2+42•4x﹣2﹣52•5x﹣2＜（32+42）4x﹣2﹣52•5x﹣2＝25（4x﹣2﹣5x﹣2）＜0，
∴g（x）＝3x+4x﹣5x＜0，
∴3a+4a﹣5a＜0，
∴3a+4a＜5a，即5b＜5a，
∴b＜a，
∴a＞b＞2．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的综合，考查转化能力，属于中档题．
（多选）36．若a＞1，b＞1，且ab＝e2，则（ ）
A．2e≤a+b＜e2+1
B．0＜lna•lnb≤1
C．2❑√2−1≤lna+lo gab＜2
D．alnb的最大值为e
【考点】不等式的综合；对数的运算性质；对数值大小的比较；基本不等式及其应用．
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【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若a＞1，b＞1，且ab＝e2，则a= e
2
b ，设f（x）＝x+ e
2
x ，
易得f（x）在区间（0，e）上递减，在区间（e，e2）上递增，则有f（e）≤f（x）≤f（e2），即2e≤f
（x）＜e2+1，
故有2e≤a+b≤e2+1，A 正确；
对于B，若a＞1，b＞1，且ab＝e2，则有lnab＝lne2，即lna+lnb＝2，
又由a＞1，b＞1，则lna＞0 且lnb＞0，则有lna•lnb≤（lna+lnb
2
）2＝1，当且仅当a＝b＝e 时，等号
成立，
综合可得：0＜lna•lnb≤1，B 正确；
对于C，当a＝b＝e 时，lna+logab＝1+1＝2，C 错误；
对于D，设λ＝alnb，则lnλ＝lnalnb＝lnalnb，由B 的结论，lnλ＝lnalnb≤1，变形可得λ≤e，当且仅当a
＝b＝e 时，等号成立，D 正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查函数与不等式的关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．
八．二维形式的柯西不等式（共5 小题）
37．已知，m，n∈R+，满足m2n+2mn2﹣4m﹣n＝0，则m+2n 的最小值为（ ）
A．2❑√2+1
B．❑√15
C．3 ❑√6
2
D．4 ❑√2+9
【考点】二维形式的柯西不等式．
版权所有
【分析】本题利用基本不等式即可求出结果．
【解答】解：因为m2n+2mn2﹣4m﹣n＝0 ①，
令m+2n＝t＞0，则m＝t﹣2n，代入①式整理后得
2tn2﹣（t2+7）n+4t＝0，该方程有正实数根，
令f（n）＝2tn2﹣（t2+7）n+4t，结合t＞0，
只需Δ＝（t2+7）2﹣32t2≥0，
即t
2−4 ❑√2t +7≥0，解得t≤2❑√2−1（舍）或t≥2❑√2+1，
所以t 的最小值为2❑√2+1．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用判别式法解决给定等量关系的条件下求最值的问题，属于中档题．
38．若a，b，c＞0 且a（a+b+c）+bc＝7﹣2❑√10，则2a+b+c 的最小值为（ ）
A．2❑√3+2
B．2❑√3−2
C．2❑√5+2❑√2
D．2❑√5−2❑√2
【考点】二维形式的柯西不等式．
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【分析】由题意得7﹣2❑√10=a （a+b+c ）+bc ＝a2+ab+ac+bc= 1
4 （4a2+4ab+4ac+4bc ）≤1
4
（4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2），进而可求．
【解答】解：因为a，b，c＞0，
因
为
7﹣
2❑√10=a
（
a+b+c
）
+bc
＝
a2+ab+ac+bc= 1
4 （
4a2+4ab+4ac+4bc
）
≤1
4
（4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2），
当且仅当b＝c 时取等号，
所以（2❑√5−2❑√2）2≤（2a+b+c）2，
所以2a+b+c≥2❑√5−2❑√2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
39．已知x2﹣3xy+2y2＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（ ）
A．❑√10−6
B．❑√10+6
C．2❑√10+6
D．2❑√10−6
【考点】二维形式的柯西不等式．
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【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设x﹣y ＝t ，x−2 y = 1
t （t≠0 ），从而表达出
x =2t −1
t ，y =t −1
t ，结合基本不等式可求最小值；
法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值．
【解答】解：法一：∵x2﹣3xy+2y2＝（x﹣y）（x﹣2y）＝1，
∴可设x﹣y＝t，x−2 y = 1
t （t≠0），
∴x =2t −1
t ，y =t −1
t ，
代入所求式子得，x
2+ y
2=(2t −1
t )
2+(t −1
t )
2=5t
2+ 2
t
2 −6≥2❑√
5t
2⋅2
t
2 −6=2❑√10−6，
当且仅当5t
2= 2
t
2，t
2=
❑√10
5
时等号成立．所以x2+y2的最小值为2❑√10−6．
法二：设x2+y2＝t2，x＝tcosθ，y＝tsinθ，
代入已知等式得，t2cos2θ﹣3t2sinθcosθ+2t2sin2θ＝1，
∴
1
t
2 =co s
2θ−3 sinθcosθ+2sin
2θ =1−3
2 sin 2θ+ 1−cos2θ
2
3
2 −1
2 (3sin 2θ+cos2θ)= 3
2 −
❑√10
2
sin(2θ+φ)≤3+
其中sinφ =
❑√10
10 ，cosφ = 3 ❑√10
10
．
∴t
2≥
2
3+ ❑√10 =2❑√10−6，所以x2+y2的最小值为2❑√10−6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式及三角函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．
40．已知a2+2ab﹣b2＝1，则a2+b2的最小值为
❑√2
2 ．
【考点】二维形式的柯西不等式．
版权所有
【分析】设a2+b2＝t2，得到{
a=tcosθ
b=tsinθ)（0≤θ＜2π），化简得到t2=
1
cos2θ+sin 2θ ，结合三角函数的
性质即可求解．
【解答】解：设a2+b2＝t2，得到{
a=tcosθ
b=tsinθ)（0≤θ＜2π），
因为a2+2ab﹣b2＝1，可得t2cos2θ+2t2sinθsosθ﹣t2sin2θ＝1，即t2[（cos2θ﹣sin2θ）+2sinθcosθ]＝1，
得t2（cos2θ+sin2θ）＝1，得❑√2t2sin（2θ+ π
4 ）＝1，t2=
1
❑√2sin(2θ+ π
4 )
≥1
❑√2 =
❑√2
2 ，
当且仅当sin（2θ+ π
4 ）＝1，即θ = π
8 时，等号成立．
所以a2+b2的最小值为
❑√2
2 ．
故答案为：
❑√2
2 ．
【点评】本题考查进行三角代换求不等式的最小孩子，属于中档题．
41．已知x，y∈R，且满足x2+2y2+2xy＝5．
（1）求x+2y 的取值范围；
（2）求3x2+xy+2y2的取值范围．
【考点】二维形式的柯西不等式．
版权所有
【分析】（1）由5＝x2+2y2+2xy＝（x+2y）2﹣2y2﹣2xy＝（x+2y）2﹣2y（x+y），利用基本不等式得
（x+2y）2≤10，从而求出x+2y 的取值范围．
（
2
）
讨
论
x
＝
0
时
，
求
出
3x2+xy+2y2
的
值
，
x≠
0
时
，
由
3 x
2+ xy +2 y
2= 5(3 x
2+ xy +2 y
2)
x
2+2 xy +2 y
2
=
5(3+ y
x + 2 y
2
x
2 )
1+ 2 y
x + 2 y
2
x
2
，令y
x =t，3x2+xy+2y2化为关于t 的解析式，再求
取值范围．
【
解
答
】
解
：
（
1
）
因
为
5
＝
x2+2y2+2xy
＝
（
x+2y
）
2﹣
2y2﹣
2xy
=( x +2 y)
2−2 y( x + y)≥( x +2 y)
2−2( y + x + y
2
)
2= 1
2 ( x +2 y)
2，
所以（x+2y）2≤10，解得−❑√10≤x+2y≤❑√10，当且仅当{
y = x + y
x
2+2 y
2+2 xy =5)，即{
x =0
y =
❑√10
2 )
时x+2y 取
到最大值，{
x =0
y =−
❑√10
2 )
时x+2y 取到最小值．
所以x+2y 的取值范围是[−❑√10，❑√10]．
（2）①当x＝0 时，2y2＝5，所以3x2+xy+2y2＝5；
②当x≠0 时，3 x
2+ xy +2 y
2= 5(3 x
2+ xy +2 y
2)
x
2+2 xy +2 y
2
=
5(3+ y
x + 2 y
2
x
2 )
1+ 2 y
x + 2 y
2
x
2
，
令y
x =t，3 x
2+ xy +2 y
2= 5(2t
2+t +3)
2t
2+2t +1
= 5(2t
2+2t +1+2−t )
2t
2+2t +1
=5(1+
2−t
2t
2+2t +1
)，
令2﹣t＝a，1+
2−t
2t
2+2t +1
=1+
a
2(2−a)
2+2(2−a)+1
=1+
a
2a
2−10a+13．
（Ⅰ）当a＞0 时，1+
a
2a
2−10a+13
=1+
1
2a+ 13
a −10
≤1+
1
2❑√26−10 = 7+ ❑√26
2
，
当且仅当2a= 13
a ，即a=
❑√26
2
时，取等号，所以1＜1+
1
2a+ 13
a −10
≤7+ ❑√26
2
；
（Ⅱ）当a＝0 时，1+
a
2a
2−10a+13
=1；
（Ⅲ）当a＜0 时，1+
1
2a+ 13
a −10
≥1+
1
−2❑√26−10 = 7−❑√26
2
，当且仅当2a= 13
a ，
即a=−
❑√26
2
时，等号成立，所以
7−❑√26
2
≤1+
1
2a+ 13
a −10
＜1；
综上，3x2+xy+2y2的取值范围是[ 35−5 ❑√26
2
，35+5 ❑√26
2
]．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是难题．
九．平均值不等式（共4 小题）
42．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的．其具体内容为：设
an＞0，bn＞0，n∈N
∗，m＞0，则
a1
m+1
b1
m + a2
m+1
b2
m + a3
m+1
b3
m +⋯+ an
m+1
bn
m ≥(a1+a2+a3+⋯+an)
m+1
(b1+b2+b3+⋯+bn)
m ，
当且仅当
a1
b1
= a2
b2
= a3
b3
=⋯= an
bn
时，等号成立．根据权方和不等式，若x∈(0，π
2 )，当3 ❑√3
sinx +
1
cosx 取
得最小值时，x 的值为（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．5 π
12
【考点】平均值不等式．
版权所有
【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可．
【解答】解：由题意得，sinx＞0，cosx＞0，
则3 ❑√3
sinx +
1
cosx =
3
3
2
(sin
2 x)
1
2
+
1
3
2
(co s
2 x)
1
2
≥
(3+1)
3
2
(sin
2 x +co s
2 x)
1
2
= 4
3
2 =8，
当且仅当
3
sin
2 x
=
1
co s
2 x ，即cosx = 1
2时等号成立，所以x = π
3 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查给定的权方和不等式定义，属于基础题．
43．已知α，β∈（0，π
2 ），sin（2α+β）＝2sinβ，则tanβ 的最大值为（ ）
A．
❑√3
3
B．2
3
C．1
D．
❑√3
2
【考点】平均值不等式．
版权所有
【分析】将已知条件sin（2α+β）＝2sinβ，变换为sin[（α+β）+α]＝2sin[（α+β）﹣α]，结合三角函数
的两角和与两角差公式，可得tan（α+β）＝3tanα，再结合均值不等式，即可求解．
【解答】解：∵α，β∈（0，π
2 ），sin（2α+β）＝2sinβ，
∴sin[（α+β）+α]＝2sin[（α+β）﹣α]，
∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝2[sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα]，即3cos（α+β）sinα＝sin
（α+β）cosα，
∴tan（α+β）＝3tanα，即tan（α+β）=
tanα +tanβ
1−tanα ⋅tanβ =3tanα，
化简整理，可得tanβ =
2tanα
1+3tan
2α
=
2
1
tanα +3tanα
≤
2
2❑√
1
tanα ⋅3tanα
=
❑√3
3 ，当且1
tanα =3tanα，
即tanα =
❑√3
3 ，等号成立，tanβ 取得最大值
❑√3
3 ．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的两角和与两角差公式，以及运用均值不等式求最值，需要学生熟练掌握
公式，属于中档题．
44．在△ABC 中，已知角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2＝bc，则A＝ π
3 ；若a＝
2，则△ABC 面积的最大值为 ❑√3 ．
【考点】平均值不等式．
版权所有
【分析】根据已知条件，运用正弦定理，可得A 的值，再结合不等式公式，即可求解△ABC 面积的最大
值．
【解答】解：∵b2+c2﹣a2＝bc，
又∵由余弦定理，可得b2+c2﹣a2＝2bc•cosA，
∴cosA= 1
2，
∵A 为三角形的内角，
∴A = π
3 ，
∵a＝2，
∴b2+c2＝4+bc≥2bc，
∴bc≤4，
当bc 取得最大值4 时，△ABC 的面积最大，即S△ABC = 1
2 bc⋅sinA = 1
2 ×4×
❑√3
2 = ❑√3．
故答案为：π
3 ，❑√3．
【点评】本题考查了余弦定理，以及不等式公式的使用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
45．在①asinB+ ❑√3bcosA＝0，②（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，③bsin2A+asinB＝0 这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且____．
（1）求A；
（2）若角A 的角平分线AD＝1，且c≥3，求△ABC 面积的最小值．
【考点】平均值不等式．
版权所有
【分析】选①，（1）根据已知条件，结合正弦定理，可得tanA=−❑√3，结合A 角的范围，即可求解．
选②，（2）根据已知条件，结合余弦定理，可得cosA=−1
2，结合A 角的范围，即可求解．
选③，（3）根据已知条件，结合余弦定理，进行边角互化，可得cosA=−1
2，结合A 角的范围，即可
求解．
（2）根据三角形面积公式，可得b=
c
c−1，S△ABC = 1
2 bcsinA =
❑√3c
2
4(c−1)，再结合函数的单调性，即可
求解．
【解答】解：选①，
（1）∵asinB+ ❑√3bcosA =0，
∴由正弦定理可得，sinAsinB+ ❑√3 sinBcosA =0，
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
∴sinA+ ❑√3cosA =0，
∴tanA=−❑√3，
∵0＜A＜π，
∴A= 2π
3 ．
选②，
（1）∵（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，
∴a2﹣b2﹣2bc﹣c2＝﹣bc，即﹣bc＝b2+c2﹣a2，
∴cosA = b
2+c
2−a
2
2bc
=−1
2，
∵0＜A＜π，
∴A= 2π
3 ．
选③，
∵bsin2A+asinB＝0，
∴由正弦定理，可得2sinBsinAcosA+sinAsinB＝0，
∴2cosA+1＝0，即cosA=−1
2，
∵0＜A＜π，
∴A= 2π
3 ．
（2）∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴1
2 AB⋅AC ⋅sin 2π
3 = 1
2 AB⋅AD⋅sin π
3 + 1
2 AC ⋅AD⋅sin π
3 ，
∵AD＝1，
∴b+c＝bc，即b=
c
c−1，
∴S△ABC = 1
2 bcsinA =
❑√3c
2
4(c−1)，
设y=
❑√3c
2
4(c−1)，
设t＝c﹣1，t≥2，则y＝f（t）=
❑√3
4 ⋅(t +1)
2
t
=
❑√3
4 (t + 1
t )，
∵当t≥2 时，f（t）单调递增，
∴f (t )min= f (2)=
❑√3
4 ×(2+ 1
2 )= 9 ❑√3
8
，
∴△ABC 面积的最小值9 ❑√3
8
．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属
于中档题．
一、单选题
1．（2022·上海·高考真题）若实数
、
满足
，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·福建·模拟预测）已知
，
，则使
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．（2025·福建泉州·二模）若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·北京·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·浙江·模拟预测）已知实数
满足
，当
取到最小值时，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·福建宁德·模拟预测）若正实数a，b 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为2
B．
的最大值为4
C．
的最小值为1
D．
的最小值为
二、多选题
8．（2025·浙江温州·模拟预测）已知实数a，b 满足
，则（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
9．（2020·福建三明·模拟预测）若
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．（23-24 高一上·江苏盐城·期末）设
，
，已知
，
，则下列说法正确
的是（ ）
A．
有最小值
B．
没有最大值
C．
有最大值为
D．
有最小值为
12．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·山东·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
15．（2020·江苏·高考真题）已知
，则
的最小值是 ．
16．（2021·上海·高考真题）已知函数
的最小值为，则
.
17．（2021·天津·高考真题）若
，则
的最小值为 ．
18．（2025·上海·高考真题）设
，则
的最小值为 ．
19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数
满足
，若
的最小值为4，则实数
的取值范围是 ．
20．（2020·天津·高考真题）已知
，且
，则
的最小值为
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
C
D
D
ABC
BC
AC
题号
11
12
13
14
答案
ABD
ACD
ABD
BC
1．A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为
，则
，故
，A 对B 错；
，即
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，CD 都错.
故选：A.
2．C
【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件的定义逐项分析判断即得.
【详解】对于A，令
，显然有
，而
，A 不是；
对于B，当
，
时，
，B 不是；
对于C，当
，
时，由
，得
，
当且仅当
时取等号，反之取
，满足
，而
不成立，
因此
是
成立的一个充分不必要条件，C 是；
对于D，令
，不等式
成立，而
，D 不是.
故选：C
3．A
【分析】根据题意可得
，利用基本不等式求解.
【详解】由
可得
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，此时
符合题意.
所以
的最小值为
.
故选：A.
4．B
【分析】分析可知，
，
，将代数式
与
相乘，展开后可求
出
的最小值.
【详解】因为
，
，则
，
，由题意可知
，则
，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以
的最小值是.
故选：B.
5．C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当
时，
，故A 错误；
对于BD，取
，此时
，
，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得
，故C 正确.
故选：C.
6．D
【分析】由已知可得
，结合二次函数的性质可知
，进而得解.
【详解】因为
，
所以
，
当
，
取到最小值，此时可得
．
故选：D
7．D
【分析】利用基本不等式即可求解ABC，利用二次函数的性质即可求解D.
【详解】因为正实数
，
满足
，
由基本不等式
，当且仅当
时取等号，A 错误；
因为
，当且仅当
时取等号，
即
的最大值2，B 错误；
因为
，所以
，当且仅当
时取等号，C 错误；
，
，
根据二次函数的性质可知，当
时，取得最小值
，D 正确．
故选：D．
8．ABC
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】由
可知
，
，故AB 正确，
由于
，故
，C 正确，
时
，故D 错误，
故选：ABC
9．BC
【分析】利用特殊值可判断选项A；由对勾函数的单调性，即可判断选项B；由不等式的性质及指数函数
的性质，即可判断选项 C；利用特殊值法，可判断选项D．
【详解】因为
时，
，故A 错误；
由对勾函数
在
上为增函数可知，当
时，
，即
，故B 正确；
由
，可知
，
，而
，则
， 故C 正确；
令
，
，则
，则
，故D 错误．
故选：BC．
10．AC
【分析】对A 和C 利用不等式性质即可判断，对B 和D 举反例即可反驳.
【详解】对A，因为
，则两边同乘
得
，两边同乘
得
，
则
，故A 正确；
对B，当
时，
，故B 错误；
对C，因为
，则
，又因为
，所以
，故C 正确；
对D，举例
，则
，而
，
此时两者相等，故D 错误.
故选：AC.
11．ABD
【分析】利用基本不等式直接判断
与
的最值情况.
【详解】
，
，
，
当且仅当
即
时等号成立，故A 正确，B 正确；
又
，
时，
，即
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故C 错误，D 正确.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二
次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关
系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误.
【详解】对于A，
，当且仅当
，等号成立，则
，故A 正确；
对于B，由
，则
，由
，则
，
所以
，故B 错误；
对于C，
，当且仅当
，等号成立，故C 正确；
对于D，由B 易知
，当且仅当
，等号成立，则
，故D 正确.
故选：ACD.
13．ABD
【分析】根据
，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学
运算的核心素养.
14．BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为
（
R），由
可变形为，
，解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B 正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等号，所
以C 正确；
因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D 错误．
故选：BC．
15．
【分析】根据题设条件可得
，可得
，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴
且
∴
，当且仅当
，即
时取等号.
∴
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一
正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值
（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参
数否在定义域内，二是多次用
或
时等号能否同时成立）.
16．
【分析】配方得
，结合基本不等式即可求解
【详解】
，当且仅当
时等号满足，
故答案为：9
17．
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
18．4
【分析】灵活利用“1”将
展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知
，
当且仅当
，即
时取得最小值.
故答案为：4
19．
【分析】由题意可得
，将
化为
，再利用基本不等式可求得
的范围．
【详解】因为
为正实数，所以
，
因此
的最小值为4，故存在
，即
时使得等号成立，
此时
，又因为
，所以
在
上有解，
所以由基本不等式可知
时等号成立，
所以
，故实数
的取值范围是
．
故答案为：
.
20．4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为
，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
,
，当且仅当
=4 时取等号，
结合
,解得
，或
时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
