文档文本内容
第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
目录
第一部分：基础知识..............................................................1
第二部分：高考真题回顾..........................................................3
第三部分：高频考点一遍过........................................................4
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）............................4
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）......................................7
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系...................10
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题.......................................15
角度1： 上恒成立（优选 法）......................................15
角度2： 上成立（优选 法）.........................................16
角度3： 上恒成立（优选分离变量法）................................16
角度4： 上成立（优选分离变量法）..................................17
角度5：已知参数 ，求 取值范围（优选变更主元法）...................17
高频考点五：分式不等式.....................................................23
高频考点六：一元二次不等式的应用...........................................25
第四部分：典型易错题型.........................................................28
备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。...............................28
备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。.........................29
第五部分：新定义题（解答题）...................................................29
第一部分：基础知识
1、二次函数
（1）形式：形如 的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数 的图象与 轴交点的横坐标是方程 的实根.
②当 且 ( )时，恒有 ( )；当 且 ( )时，恒有 (
).
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3. 或 型不等式的解集
不等式 解集4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数
的图象
有两相等实数根
一元二次方程 有两相异实数根 ，
没有实数根
的根
( )
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式（1）
（2）
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·统考高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．
故选：C．
2．（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
典型例题
例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，解一元二次不等式即可，利用指数函数单调性即可解.
【详解】设 ，则不等式可化为 ，
解得 ，
所以 ，解得 .
故选：A
例题2．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）设函数 ，关于 的一元二次不等式
的解集为 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2) ．
【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可.
（2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可.
【详解】（1）因为一元二次不等式 的解集为 ，
所以 和1是方程 的两个实根，则 ，
解得 ．因此所求不等式即为： ，解集为 或 ．
（2） 可化为： ，当 时显然成立；当 时， 对 恒成立，
令 ，则 ，
当 ，即 时 ，
所以 ，即 ．
例题3．（2024上·湖南长沙·高一校考期末）解下列关于x的不等式：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由 ，得 ，
即 ，所以 ，
所以不等式的解集为 ；
（2）由 ，得 ，
则 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 .
练透核心考点
1．（2024上·广东江门·高一统考期末）一元二次不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】转化为标准一元二次不等式后，分解因式直接解不等式即可.
【详解】由 可得 ，
即 ，
解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：2．（2024上·湖南岳阳·高一校考期末）已知不等式 的解集为 ，设不等式
的解集为集合 .
(1)求集合 ；
(2)设全集为R，集合 ，若 是 成立的必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得 和 是方程 的两根，代入求得 ，化简所求不等式，求解
即可；
（2）将 是 成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为不等式 的解集为 ，
则 和 是方程 的两根，
所以 ，解得 ，
所以不等式 为不等式 ，
解得 ，即集合 .
（2）因为 是 成立的必要条件，所以 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
3．（2024上·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）已知集合
．
(1)若 ，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 或
(2) 或【分析】（1）解不等式得出A，代入 得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案；
（2）根据已知可推得 A，分 以及 ，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答
案.
【详解】（1）解 可得， 或 ，
所以， 或 .
当 时， ，
所以 或 .
（2）由“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所以， .
又 或 ， .
当 ，有 ，即 ，显然满足；
当 时，有 ，即 .
要使 A，
则有 或 ，
解得 或 .
综上所述， 或 .
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
典型例题
例题1．（2024上·四川南充·高一统考期末）已知函数 .
(1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 ， 的值；
(2)求关于 的不等式 的解集.
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由不等式解集可得 是 的两个根，利用根与系数关系求参数值；
（2）由题意有 ，讨论 、 、 求不等式解集.【详解】（1）由题设 的解集为 ，即 是 的两个根，
所以 .
（2）由题意 ，
当 时，解得 或 ，故解集为 ；
当 时，解得 ，故解集为 ；
当 时，解得 或 ，故解集为 ；
例题2．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的零点；
(2)当 时，求不等式 的解集.
【答案】(1) 或
(2)答案见解析
【分析】（1）直接解二次方程即可得解；
（2）分类讨论 的取值范围，解二次不等式即可得解.
【详解】（1）当 时， ，
令 ，得 ，解得 或 ，
故 的零点为 或 .
（2）因为 ，
当 时，不等式 可化为 ，解得 ；
当 时，不等式 可化为 ，
又 ，故解得 或 ；
综上，当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 .
例题3．（2024上·甘肃庆阳·高一校考期末）已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，由 ，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，得到 ，结合一元二次不等式不等式的解法，即可求解.
【详解】（1）由函数 ，因为 ，可得 ，解得 .
（2）因为 ，可得 ，即 ，
当 时，解得 ，所以不等式 的解集为 ；
当 时，解得 或 ，所以不等式 的解集为 ，
综上可得，当 时，解集为 ；当 时，解集为 .
练透核心考点
1．（2024上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设 为实数，则关于 的不等式 的
解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分类讨论解不等式 ，判断不可能的解集.
【详解】关于 的不等式 ，
若 ，不等式为 ，解得 ，此时解集为 ；
若 ，方程 ，解得 或 ，
时，不等式 解得 或 ，此时解集为 ；
时， ，不等式 解得 ，此时解集为 ；
时， ，不等式 解集为 ，
时， ，不等式 解得 ，此时解集为 ；
所以不等式 的解集不可能是 .
故选：B2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知集合 ，集合
．
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式不等式化简集合，即可根据并集的运算求解，
（2）根据包含关系即可列不等式求解.
【详解】（1）由 解得 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 ．
3．（2024上·福建宁德·高一统考期末）已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求关于 的不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)详见解析.
【分析】（1）根据函数的对称性求参数 的值；
（2）分解因式，对 的值进行分类讨论即可求解.
【详解】（1）由 得函数对称轴为： ，
由 .
（2）由 .当 时，可得： ;
当 时，可得： ；
当 时，可得：
综上，当 时，原不等式的解集为： ；
当 时，原不等式的解集为：
当 时，原不等式的解集为：
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
典型例题
例题1．（多选）（2024上·湖南娄底·高一统考期末）已知关于x的不等式 （
， ）的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用二次不等式的解集得方程 的两根为 和 ，结合韦达定理得
，从而判断A，再利用基本不等式计算判断BCD.
【详解】由题意，不等式 的解集为 ，
可得 ，且方程 的两根为 和 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ，所以A正确；
因为 ， ，所以 ，可得 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 ，所以B正确；由 ，
当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为 ，所以C错误；
由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，所以D正确.
故选：ABD
例题2．（2024上·江西萍乡·高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式 的解集为 ，
则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】由题可得a，b是关于 的一元二次方程 的两个不同的实数根，由根与系数的关系
可求出 的值，进而可得 ，再由不等式“1”的代换即可求出答案.
【详解】因为区间 是关于 的一元二次不等式 的解集，
则a，b是关于 的一元二次方程 的两个不同的实数根，
则有 ， ， ， ，
所以 ，且a，b是两个不同的正数，
则有
，
当且仅当 时即 ，等号成立，
满足 ，故 的最小值是 .
故答案为： .
例题3．（2023上·江苏南京·高一期末）已知不等式 的解集为 ，设不等式
的解集为集合 .
(1)求集合 ；(2)设全集为R，集合 ，若 是 成立的必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得 和 是方程 的两根，代入求得 ，化简所求不等式，求解
即可；
（2）将 是 成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为不等式 的解集为 ，
则 和 是方程 的两根，
所以 ，解得 ，
所以不等式 为不等式 ，
解得 ，即集合 .
（2）因为 是 成立的必要条件，所以 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
练透核心考点
1．（多选）（2024上·山东临沂·高一统考期末）已知关于 的一元二次不等式 的解集为{
或 }，则（ ）
A． 且 B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
【答案】AC
【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可.【详解】由题意可知 ，所以 且 ， ，故A
正确，B错误；
不等式 ，故C正确；
不等式 ，
即 ，所以 或 ，故D错误.
故选：AC
2．（2024上·湖南·高一校联考期末）已知 .
(1)若不等式 的解集是 ，求实数 的值；
(2)若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系可得参数 ；
（2）这个不等式恒成立，首先讨论 时，能不能恒成立，其次在 时，这是二次不等式，结合二次
函数的性质可求解．
【详解】（1）由题意可知， 和3是方程 的两根，且 ，
所以 ，解得 .
（2）由题可得 ，即 对一切实数 恒成立，
当 时，不等式化为 ，不符合题意；
当 时，有 解得 ，
综上可知，实数 的取值范围为 .
3．（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知二次函数 ．
(1)若关于 的不等式 的解集是 ，求实数 ， 的值；
(2)若 ， ，解关于 的不等式 ．
【答案】(1) ， ；(2)答案见解析.
【分析】（1）根据给定的解集，借助一元二次方程根与系数的关系列式计算即得.
（2）分类讨论解一元二次不等式即得.
【详解】（1）由不等式 的解集是 ，
得 和 是一元二次方程 的两个实数根，且 ，
于是 ，解得 ， ，
所以 ， .
（2） ，不等式 化为 ，即 ，
当 ，即 时，解不等式 ，得 或 ；
当 ，即 时，不等式 的解为 ；
当 ，即 时，解不等式 ，得 或 ，
所以当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度1： 上恒成立（优选 法）
典型例题
例题1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式 的解集为R，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】分类讨论 ，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时需满足 ，即 ，求得 ，
所以实数 的取值范围是
故选：C
例题2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）不等式 （ ）恒成
立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分 和 两种情况讨论求出 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当 时， ，得 ，与题意矛盾，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述， ，
所以不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.
故选：A.
角度2： 上成立（优选 法）
典型例题
例题1．（2023上·广东珠海·高一校联考期中）命题 ： ， 为真命题，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据条件将问题转化不等式 在 上有解，利用判别式求解.
【详解】因为命题 ： ， 为真命题，
所以不等式 在 上有解，
当 时，不等式可化为 ，得 ，符合题意；当 时，由题意得 ，即 ，
解得 ，结合 ，得 ，
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为：
角度3： 上恒成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知 ， ， ，则实数m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先将不等式转化为关于 的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】因为 ， ，则 ，所以 ，
又 ，可得 ，令 ，
则原题意等价于 ， ，即 ，
，当 时， 取到最大值 ，
所以实数m的取值范围是 ．
故选：C
角度4： 上成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023上·浙江·高二校联考期中）若关于x的不等式 在 上有解，则实数m
的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．6 D．
【答案】B【分析】先通过分离参数得到 ，然后利用基本不等式求解出 的最小值，则 的最小值可
求.
【详解】因为 在 上有解，所以 在 上有解，
所以 ，
又因为 ，当且仅当 即 时取等号，
所以 ，所以 ，即 的最小值为 ，
故选：B.
角度5：已知参数 ，求 取值范围（优选变更主元法）
典型例题
例题1．（2024上·福建福州·高一福建省长乐第一中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的解集；
(2)是否存在实数 ，使得不等式 对满足 的所有 恒成立？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求解一元二次不等式即可；
（2）关于 的不等式恒成立问题转化为关于 的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨
论求解即可.
【详解】（1） 时，函数 ，
不等式 即为 ，
即 ，
解得 ，
∴不等式 的解集为 .
（2）设 ， ，根据题意知， 在 上恒成立，
①当 时，解得 ，
若 ，则 在 上单调递增，
则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，
则 ，不符合题意；
②当 ，即 时， 的图像为开口向下的抛物线，
要使 在 上恒成立，需 ，
即 ，解得 或 ，
又∵ ，∴此时无解；
③当 ，即 或 时， 的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为 ，
（i）当 ，即 时， 在 上单调递增，
∴ ，解得 或 ，
∵ ， ，∴此时无解；
（ii）当 ，即 或 时， 在 上单调递减，在 上
单调递增，
∴ ，此时无解；
（iii）当 ，即 时， 在 上单调递减，
∴ ，解得 或 ，
∵ ， ，∴此时无解；
综上，不存在符合题意的实数 .
练透核心考点
1．（2023上·湖南张家界·高一慈利县第一中学校考期中）（1）若关于 的不等式 在上有解，求实数 的取值范围；
（2）若 不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）题目转化为 ，利用均值不等式计算最值得到答案.
（2）变换得到 ，计算函数的最小值得到答案.
【详解】（1）当 时， 有解，
即 在 上有解，
又 ，于是 等价于 ，
故 ，又 ，
当且仅当 即 ，即 时等号成立，所以
所以实数 的取值范围是
（2）当 时， 恒成立．
因为 ，且当 时有最大值为 ，
所以 等价于 ．
在区间 上的最小值为 ，故只需 即可，
所以实数 的取值范围是 ．
2．（2024上·福建南平·高一统考期末）设函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式即可得解；（2）由题意得 ， 恒成立，对 分类讨论即可求解.
【详解】（1）当 ， ，不等式 即为 ，
解得 或 ，
所以 的解集为 或 ．
（2）因为 ，
所以不等式 可化为 ，
依题意对 ， 恒成立．
所以当 时， ，不符合要求；
当 时，由一元二次函数性质，可知 ，即 ，解得 ，
因此实数 的取值范围是 ．
3．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）设函数 ，关于 的一元二次不等式 的解
集为 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2) ．
【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可.
（2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可.
【详解】（1）因为一元二次不等式 的解集为 ，
所以 和1是方程 的两个实根，则 ，
解得 ．因此所求不等式即为： ，解集为 或 ．
（2） 可化为： ，当 时显然成立；
当 时， 对 恒成立，
令 ，则 ，当 ，即 时 ，
所以 ，即 ．
4．（2024上·四川内江·高一统考期末）已知二次函数 的最小值为 ，且 是其一个零点， 都
有 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最小值；
(3)若关于x的不等式 在区间 上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；
（2）分 和 讨论即可；
（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出 的范围.
【详解】（1）因为对 都有 ，
所以 的图象关于直线 对称，
又因为二次函数 的最小值为 ，
所以可设二次函数的解析式为 ，
又因为 是其一个零点，
所以 ，解得 ，
所以 的解析式为 .
（2）由（1）可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，当 时， ，
当 时， ，
.
（3）因为关于 的不等式 在区间 上有解，
即不等式 在 上有解，所以 ，记 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为4，
所以 ，即 ，
故存在实数 符合题意，所求实数 的取值范围为 .
5．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设定义域为 的奇函数 ，（其中 为实
数）．
(1)求 的值；
(2)是否存在实数 和 ，使不等式 成立？若存在，求出实数 的取值范
围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）由 是定义在 的奇函数，利用 ，即可求出 的值，再利用定义验证.
（2）先证明函数单调性脱去不等式中的 ，转化为不等式恒成立问题，通过分离参数转化为函数最值问
题求解.
【详解】（1）由 是定义在 的奇函数，则有 ，得 ，把 代入函数得
，
而 ，所以 符合题意.
（2） ，因为函数 且在 单调递增，
所以 在 上单调递减，从而 在 上单调递减.
因为 在 上单调递减. 所以
设函数 ，要想满足题意，只需 大于 在 上的最小值或者小于 在 上的最
大值即可，由双勾函数的性质可知 在 递减，在 递增，在 上递减，
所以 在 上的最小值为 ，在 上的最大值为 .
所以存在 .
高频考点五：分式不等式
典型例题
例题1．（2024上·山东滨州·高一统考期末）已知集合 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时，求出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 ；
（2）由题意可得 ，分 、 两种情况讨论，根据题意可得出关于实数 的不等式（组），
综合可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）解：当 时， ，
由 可得 ，解得 ，则 ，
因此， .
（2）解：因为 ，所以 .
当 时， ，得 ，满足题意；
当 时，则 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围是 .
例题2．（2024上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）已知集合 ，集合.
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解；
（2）由 ，得到 ，分 ， ， ，讨论集合A求解.
【详解】（1）当 时，集合 ,
，
，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
当 时， ，
则 ，解得 ，此时 ；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，
则 ，解得 ，此时无解；
综上：实数 的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知集合 ，集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据 ，分别求出集合 、 ，即可求出 ；
（2）根据 是 的充分条件，课确定 ，然后分 和 分别确定 的取值范围，再
合并在一起.
【详解】（1）由 ，即 解得： ，所以 .
当 时， ，所以 .
（2）因为 是 的充分条件，所以 .
当 时， ，解得： ；
当 时，要满足题意需 ，解之得： .
综上：实数 的取值范围为 .
2．（2024上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）设全集 ，集合 ，
．
(1)求 ；
(2)已知集合 ，若 ，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合 ，根据集合的交集运算得解；
（2）讨论 ，由 建立不等式求解即可.
【详解】（1） ， ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
因为 ，
当 时， ，解得 ，
当 时，则 或 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 .高频考点六：一元二次不等式的应用
典型例题
例题1．（2023上·贵州贵阳·高一校考阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这
条流水线生产的摩托车数量 （单位：辆）与创造的价值 （单位：元）之间有如下的关系：
.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应
该生产 （填写区间范围）辆摩托车？
【答案】51~59
【分析】依据题意列出不等关系，解不等式再根据实际意义即可求出需生产51~59辆摩托车.
【详解】根据题意可知 ，
转化为不等式 ，即可得 ，
解得 ；
所以应该生产51~59辆摩托车.
故答案为：51~59
例题2．（2024上·全国·高一专题练习）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，
且 年内的总维修保养费用为 万元，该项目每年可给公司带来200万元的收
入.设到第 且 年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为
万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.
(1)求实数 的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
(2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润 年数）最大？并求出最大值.
【答案】(1) ，该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元.
(2)到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为 万元
【分析】（1）根据已知条件，由 的值求得 ，由 解不等式求得正确答案.
（2）利用函数的单调性求得 的最大值，以及此时对应的 .
【详解】（1）依题意可得， ，
已知 ，
且 .
令 ，解得 .该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元.
（2）年平均利润为 ，
令 且 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 .
到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为 万元
练透核心考点
1．（2024下·西藏·高一开学考试）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星
网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（ ）万元，现把研发部人员分成两
类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入
增加4x%，技术人员的年人均投入为 万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少
人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总
投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)75人
(2)存在，7
【分析】（1）由题意列不等式 ，求解即可；
（2）由技术人员的年人均投入始终不减少得 ，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整
后技术人员的年总投入得 ，综合得 ，根据 的范
围由不等式恒成立求得 值.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为 ，年人均投入为 万元，
则 ，
解得 ，
又 ， 所以调整后的技术人员的人数最多75人;
（2）假设存在实数 满足条件.由技术人员年人均投入不减少得 , 解得 .
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
,
两边同除以 得 ,
整理得 ,
故有 ,
因为 , 当且仅当 时等号成立, 所以 ,
又因为 , 所以当 时, 取得最大值7, 所以 ,
，即存在这样的m满足条件，其值为7.
2．（2023上·陕西宝鸡·高一宝鸡市渭滨中学校考阶段练习）如图，在长为 ，宽为 的矩形地面的四周
种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的
一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？
【答案】花卉的宽度至少为
【分析】设花卉带的宽度为 ，根据已知条件求出 的取值范围，求出草坪的长和宽，根据题意可得出关
于 的不等式，解之即可得出结论.
【详解】解：设花卉带的宽度为 ，则 ，可得 ，
所以，草坪的长为 ，宽为 ，
则草坪的面积为 ，
因为草坪的面积不超过总面积的一半，则 ，
整理可得 ，解得 ，又因为 ，可得 .
所以，花卉的宽度至少为 .第四部分：典型易错题型
备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。
1．（2023上·湖南永州·高一校考阶段练习）一元二次不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】C
【分析】把不等式的二次项系数化为正数，然后因式分解以便确定相应方程的根，从而写出不等式的解
集．
【详解】原不等式可化为 ，即 ．∴ ．
故选：C．
备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。
2．（2023上·吉林·高一吉化第一高级中学校校考阶段练习）不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】将分式不等式化为 求解集.
【详解】由 ，
所以不等式解集为 .
故答案为：
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等“ ”：对
于任意实数a，b，都有 ，通过研究发现新运算满足交换律： .小颖提出了两个猜想： ， ， ，① ；② .
(1)请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想
都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）
(2)设 且 ， ，当 时，若函数
在区间 上的值域为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）无论选①还是选②，均要根据新运算定义分别计算两个猜想等式的两边，比较其结果，即
可证明结论；
（2）根据新运算定义化简可得 的表达式，根据复合函数的单调性判断其单调性，结合其值域可得关
于 的方程，继而推出 是 在 上的两个不同的根，结合方程根的
分布列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）若选① ，猜想正确；
证明： ，
，
故 ；
若选② ，猜想成立；
证明： ，
而 ，
故 ；
（2）由题意可知
，
令 ，其图象对称轴为 ，
故 在 上单调递减，
因为 在区间 上的值域为 ，
故 ，而 ，故 ，
此时 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
即 ，整理得 ，
即 ，将 代入 ，
得 ，同理得 ，
即 是 在 上的两个不同的根，
令 ，则 ，
解得 ，故 .
【点睛】难点点睛：本题给出了新运算的定义，解答时要理解其含义，并根据新定义去运算，解答的难点
在于第二问，要结合新运算求得 的表达式，并判断其单调性，进而结合值域得到关于参数的方程，
再利用方程根的分布求解即可.
