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第 04 讲 双曲线（含直线与双曲线的位置关
系）
目录
题型一：双曲线定义..................................................1
题型二：双曲线中的焦点三角形问题....................................4
题型三：双曲线的离心率..............................................8
题型四：双曲线中的渐近线问题.......................................14
题型五：直线与双曲线的位置关系判断.................................18
题型六：双曲线中点弦问题...........................................21
题型七：双曲线弦长（面积）问题.....................................24
题型八：双曲线中定点、定值问题.....................................30
题型九：双曲线中定直线问题.........................................39
题型十：双曲线中向量问题...........................................45
题型一：双曲线定义
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的下、上焦点分别为 ， ， 是双曲线上
一点且 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为 ， ，
所以设双曲线的方程为 ，半焦距为 ；
又因为 是双曲线上一点且 ，
所以 ，即 ，则 ；
所以双曲线的标准方程为 .
故选：C.
例题2．（2023秋·高二课时练习）已知动点 满足 ，则动点P的轨
迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
【答案】C
【详解】解：因为 的几何意义是动点 到点 与 的
距离之差为2，
又因为 ，
所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．
故选：C
例题3．（2023·全国·高二随堂练习）在相距2000m的两个观察站A，B先后听到远处传来的爆炸声，已知
A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s．建立适当的平面直角坐标系，判断爆炸点可能分布在什么样
的轨迹上，并求该轨迹的方程．
【答案】爆炸点 在以 为焦点的双曲线上（左半支），轨迹方程为
【详解】如图，以 的中点 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 ，
设爆炸点为 ，由题意可得： ，
所以爆炸点 在以 为焦点的双曲线上（左半支），
设双曲线的焦距为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，
可得 ，则 ，
所以爆炸点 的轨迹方程为 .
精练核心考点
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且
长轴长为26，若曲线 上的点到椭圆 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 的标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】在椭圆 中，由题知 ，解得 ，
所以椭圆 的焦点为 ， ，
因为曲线 上的点到 ， 的距离的差的绝对值等于8，且 ，
所以曲线 是以 ， 为焦点，实轴长为8的双曲线，
所以曲线 的虚半轴长为 ，
故 的标准方程为： .
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 上一点P到焦点 的距离为9，则它到另一个焦点
的距离为（ ）
A．15 B．5 C．3或5 D．3或15
【答案】D
【详解】由双曲线的定义可知 ，而 ，所以 ，或 ，由 ，
双曲线上的点到焦点的距离最小值为 ，
显然 和 都符合题意，
故选：D
3．（2023·全国·高二课堂例题）已知 ，动点P满足 ，求动点P的轨迹方
程．
【答案】
【详解】因为 ，所以根据双曲线的定义可知，
一定在 1， 2且焦点在x轴上的双曲线的右支上，则 ，
这就是说，点P的坐标 一定满足 ．
另一方面，由 可知 ，因此P的横坐标要大于零，
从而可知P的轨迹方程为 ．
题型二：双曲线中的焦点三角形问题
典型例题
例题1．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左焦点为 ，过原点 的直线
与 的右支交于点 ，若 为等腰三角形，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【详解】设双曲线 的右焦点为 ，由题意可得 ，连接 ，则有 ， ，
若 为等腰三角形，则 （线段 与 显然不相等），
所以 ，又 为 的中点，所以 ，
则有 ．
由双曲线的定义得 ，
所以 ，
设点 到 轴的距离为 ，则 ．
故选：A．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： 的左､右焦点分别是 ， ，
是双曲线 上的一点，且 ， ， ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设双曲线 的半焦距为 .
由题意，点 在双曲线 的右支上， ， ，
由余弦定理得 ，
解得 ，即 ， ，
根据双曲线定义得 ，
解得 ，故双曲线 的离心率 .
故选：D
例题3．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线 的焦点为 ， ，点M在双曲线上，且
轴，求 到直线 的距离.
【答案】
【详解】
由题可得， ，
所以 ,
设 ，则 ，解得 ,
由于对称性，不妨取 ，所以
根据双曲线的定义可得， ，解得 ，
设 到直线 的距离为 ，
在直角三角形 中， ，
所以 .
精练核心考点
1．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ，
，直线 与 交于 ， 两点， ，且 的面积为 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】如图，若 在第一象限，因为 ，所以 ，由图形的对称性知四边形 为矩形，因为 的面积为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
在 中， ，解得 ．
故选：B
2．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）设 、 分别是双曲线 ： 的左、右两
个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】A
【详解】由 ，
所以 是以原点为圆心， 为半径的圆与双曲线 的交点，
又 ，即它们也在 点所在的圆上，且 为直径，
所以 为直角三角形， ，
如上图， ，且 ，
所以 ，
则 ，故 的面积为 .
故选：A3．（2023秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为
， ，离心率为 ， 为双曲线右支上一点，且满足 ，则 的周长为
.
【答案】 /
【详解】由题意可得 ， ，
，
， ，
为双曲线右支上一点，
，
又 ，
，
则 的周长为 ．
故答案为： ．
题型三：双曲线的离心率
典型例题
例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知 ， 是双曲线 的左、右焦
点，若双曲线上存在点P满足 ，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D【详解】设 ，双曲线的半焦距为c，则有 ， ， ，
于是 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号，则 ，即 ，离心率 ，
所以双曲线离心率的最小值为 .
故选：D
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，过
的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上， ， 平分 ，则C的离
心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
可知， ，得
设 ，则 ，由双曲线的定义可知： .
因为 平分 ，所以 ，故 ，
又 ，
即有 ， ， ， ， ，
在 ， 中，由余弦定理可得，
， ，由 ，
可得 .
故选：C.
例题3．（多选）（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线 的上焦点为 ，
过焦点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，并与另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离
心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】当 时，两渐近线的斜率为 ，此时直线 与另一渐近线平行，不满足题意.
当 时，如图1所示，
.
，又 ，解得 ，
， ，
，即渐近线 的斜率为 ，
当 时，如图2所示，设 与 轴交于点P，， ，
又 ，解得
，即渐近线 的斜率为 ，
综上，双曲线 的离心率为 或 .
故选：AC.
例题4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C： ，过其右焦点F作直线
交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.设 为坐标原点，若 的
面积为 面积的2倍，且 ，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【详解】双曲线的焦点为 ，渐近线方程为 ，
依题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 解得 ，即 ，同理可求得 ，
由于 的面积为 面积的2倍，所以 ，
，解得 ，
此时 ，由于 ，
所以 ①，由于 ，
所以①可化为 ，
两边除以 得 ，
即 .
故答案为：
精练核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 （ ， ），直线 的斜率为 ，且过点
，直线 与 轴交于点 ，点 在 的右支上，且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】D
【详解】由题意知直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 ．又因为 ，不妨设 ，所以有 ，
解得 ，所以 ，将其代入双曲线方程 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
所以 的离心率 ．
故选：D.
2．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知双曲线 ： ，
是直线 上任意一点，若圆 与双曲线 的右支没有公共点，
则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】双曲线 的一条渐近线方程为 ，即 ，
则直线 与直线 的距离为
，
因为点 是直线 上任意一点，
且圆 与双曲线 的右支没有公共点，
所以 ，即 ，得离心率 ，
因为 ，所以双曲线的离心率的取值范围为 ，
故选：A.
3．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别
为 ，过双曲线 上一点 向 轴作垂线，垂足为 ，若 且 与 垂直，则双曲线 的
离心率为 .
【答案】【详解】设双曲线 焦距为 ，不妨设点 在第一象限，
由题意知 ，由 且 与 垂直可知，四边形 为菱形，且边长为 ，而
为直角三角形， ，
故 ，则 ，
则 ，
故 ，
即离心率 .
故答案为: .
4．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，坐标原点为
，若在双曲线右支上存在一点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为 .
【答案】
【详解】如图，因为 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
，
，
解得 .
故答案为：题型四：双曲线中的渐近线问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 的离心率为 ，若点 与点
都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由点 在双曲线 上，得 ，
则 ，即 ，整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，此时方程 无解，
当 时， ，而 ，解得 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 .
故选：B
例题2．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）双曲线 的离心率为2，
则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由于双曲线 的渐近线为 ，
且注意到双曲线的离心率为 ，
又在双曲线中有平方关系： ，
所以离心率为 ，
又由题意 ，
所以有 ，解得 ，
即双曲线的渐近线的斜率为 ，
由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是 或 .
故选：B.
例题3．（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知 ， 为双曲线 的焦点，过 作
垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且 ，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】设 ， ，则 ，解得 ，
∴ .
在 中， ，则 ①.
由双曲线的定义，得 ②.
由①②得 .
∵ ，∴ ，即 .
∴ .
∴双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）过原点的直线l与双曲线E：
交于A，B两点（点A在第一象限）， 交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且 ，则
双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 直线过原点，所以 关于原点对称，设 ，
因为 与 轴垂直，所以 ，
设 ，
则 ，
而
所以， ，
所以，
所以渐近线方程为 .
故选：D2．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线 的左焦点F作C的其中一条渐近线的
垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，设双曲线右焦点为 ，OM，ON为双曲线的两条渐进线.
由题意可知， ，又 ，则M为FN中点，则 为等腰三角形，
则 ，又 ，则 .
所以双曲线的渐进线方程为： .
故选：B
3．（2023·江苏·高二假期作业）设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右
支上存在一点P满足 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】作 于点 ，如图所示，
因为 ，所以 为 的中点，由双曲线的定义知| ，所以 ，
故 ，因为 ，所以 ，
即 ，得 ，所以 ，得 ，
故双曲线的渐近线方程为 ，即 .
故选：B
题型五：直线与双曲线的位置关系判断
典型例题
例题1．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知点 和双曲线 ，过点 且与双曲线
只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【答案】A
【详解】由题意可得，双曲线 的渐近线方程为 ，点 是双曲线的顶点.
①若直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时，直线 与双曲线 只有一个公共点，合乎题意；
②若直线 的斜率存在，则当直线平行于渐近线 时，直线 与双曲线只有一个公共点.
若直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，此时直线 为双曲线 的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点 与双曲线只有一个公共点的直线 共有 条.
故选：A.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 ，直线 ，若直线与双曲线的交点
分别在两支上，求 的范围 ．
【答案】
【详解】联立双曲线、直线方程，消去 整理得 ，
由题意，设方程的两根为 ，则 ，解得 ．故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ，直线 ，试确定实数k的取值范
围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【答案】(1) 或 或 ；
(2) 或
(3) 或
【详解】（1）联立 ，
消 整理得 ，（*）
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
所以 ，整理得
解得： 或 或 .
（2）当 即 时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为 ，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当 时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，
则 ，解得 ；
综上， 或 .（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，
所以 ，
解得： 或 .
精练核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线 与曲线 仅有三个交点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得曲线 ，即 ，可得 ；
当 时得到 即 ；
当 时得到 ；
由以上可得曲线 的如图中所示，
易知直线 与双曲线 的一条渐近线 平行；
把直线 向上平移到 点时，即 与曲线 有两个交点，此时 ；
继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点．
当直线与椭圆的上半部分相切时，
联立直线与椭圆的方程 代入整理得
即 或 （舍），由图示可得 ；
综上可知 .
故选：C2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知双曲线 的方程为 ，点 、 分别在 的左支和右
支上，则直线 斜率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设点 、 ，则 ，则直线 的斜率为 存在，
设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
所以， ，解得 .
因此，直线 的斜率的取值范围是 .
故答案为： .
题型六：双曲线中点弦问题
典型例题
例题1．（2023秋·高二课时练习）设A，B为双曲线 右支上的两点，若线段AB的中点为
，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，
则有 ，两式相减，得 ，
因为线段AB的中点为 ，
所以 ，因此由 ，
即直线AB的斜率为 ，方程为 ，
代入双曲线方程中，得 ，
因为 ，
所以线段AB存在，
故选：C
例题2．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为 ，
过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为 ，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率 ．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为 ，则 ．
设 ， ，则 ， ， ．
由 ， 得 ，
即 ，∴ ，易得 ， ， ，
∴双曲线C的离心率 ．
故选：B．
例题3．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线相交于A，B两
点，P能否是线段AB的中点？为什么？
【答案】不能，证明见解析.
【详解】当直线l垂直x轴时，因为过点 ，所以直线l方程为x=1，
又双曲线 ，右顶点为（1,0）在直线l上
所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意；
当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设 ，且 ，因为A、B在双曲线上，
所以 ，两式相减可得 ，
所以 ，
若点 为线段AB的中点，
则 ，即 ，代入上式，
所以 ，则直线l的斜率 ，
所以直线l的方程为 ，即 ，
将直线l与双曲线联立 ，可得 ，
，故方程无解
所以不存在这样的直线l，
综上，点P不能是线段AB的中点.
精练核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）过点 作斜率为1的直线，交双曲线 于A，B
两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设点 ，
则有 ，两式做差后整理得 ，
由已知 ，
，又 ，，
得
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知倾斜角为 的直线l与双曲线C： 交于A，B两点，且线段
的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．
【答案】
【详解】设 ， ， 中点的坐标为 ，
则 ①， ②，
②－①得， ，即 ，
又 ，所以 ，
所以直线l的方程为 ，即 .
联立 ，得 ，则 ，
综上，直线l的方程为 .
3．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线 ，过点 作直线 交双曲线于 ， ，若线
段 的中点在直线 上，求直线 的斜率．
【答案】
【详解】由题意可设 的方程为 ，
联立 ，消去 整理得 ．
显然 ，设 ， ，则 ，解得 ，
由 解得 ，显然 不适合， 适合，
所以 ．题型七：双曲线弦长（面积）问题
典型例题
例题1．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线 ，
焦点到渐近线的距离为 ，且离心率为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线交于 两点，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为 ，设焦点坐标为 ，
焦点到渐近线的距离 ，
又离心率 ， ，解得： ，
双曲线 的方程为： .
（2）由 得： ，则 ，解得： 且 ，
设 ，则 ， ，
，
即 ，解得： 或 ，均满足 且 ，
或 .
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知 ， 分别为双曲线 ： 的左、右焦点， 是 上一
点，线段 与 交于 点.
(1)证明： ；
(2)若 的面积为8，求直线 的斜率.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意 在双曲线左支上， 在右支上，令 且 ，
而 ，则线段 中点为 ，又 ，则 ，
所以 ，则中点 在双曲线上或外部，
即 ，仅当 重合时等号成立，故 .
（2）若 ，则 ，
令 ， ，联立双曲线 ，则 ，而 ，则 ， ，
所以 ，故 ，可得 （负值舍），
所以 ，故直线斜率为 .
例题3．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）已知双曲线C：
的左右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，点 ， ， ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 经过点 ，且与双曲线 相交于 ， 两点，若 的面积为 ，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2) 或 .
【详解】（1）解：由题意可得： ， ， ，
解得 ， ， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）解：由题意可知，直线 的斜率不为0，
设 ： ，设 ， ，
联立 ，消 ，得 ，
由 ，解得 ，则 .
所以 ，
所以 的面积 ，
由 ，整理得 ，
解得 ， ，所以直线 的方程为 或 .
精练核心考点
1．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 的斜率
之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，求 的
面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设点 的坐标为 ，
因为 ， ，所以 ，
化简得：
所以 的方程为： .
（2）当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意；
设 ， ，直线 方程为 ，
与 联立得： ，
由 且 ，解得 且 ，
由韦达定理得 ，因为线段 中点 在第一象限，且纵坐标为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以直线 为 ，
所以 ，
所以 ，
点到直线 的距离 ，
所以 .
2．（2023·全国·高一专题练习）已知双曲线 与 有相同的渐近线， 为 上一点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 且倾斜角为 的直线与 相交于 、 两点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设双曲线 的方程为 ，将点 代入方程中得 ，
所以双曲线 的方程为 ，即双曲线 的方程为 .
（2）解：在双曲线 中， ， ，则 ，
则 ，所以直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，由韦达定理可得 ， ，
则 ，
所以， .
3．（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知双曲线 ： 与双曲线
的渐近线相同，且经过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，直线 经过 ，倾斜角为 ， 与双曲线 交于 两点，
求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，设所求双曲线 方程为 ，
代入点 得 ，即 ，
所以双曲线 方程为 ，即 ．
（2）由（1）得 ，则 ， ， ，
又直线 倾斜角为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
设 ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ， ，
由弦长公式得 ，
又点 到直线 的距离 ，所以 ．
题型八：双曲线中定点、定值问题
典型例题
例题1．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点 在双曲线
上．
(1)点 ， 为 的左右顶点， 为双曲线 上异于 ， 的点，求 的值；
(2)点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足，证明：存在定点 ，使得 为定值．
【答案】(1) ;
(2)证明见解析.
【详解】（1）解：因为点 在双曲线 上，
所以 ，解得 ，
所以双曲线 ，则 ．
设 点坐标为 ，则 ，
所以 ．
因为点 在曲线 上，
所以 ，
所以 ，
所以 的值为 ．
（2）证明：依题意，直线 的斜率存在，
故设其方程为 ，设 ，联立 ，消 得 ，
显然 ，否则不可能有两个交点，
，
由韦达定理得 ，
因为直线 的斜率之积为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，
易知 恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 且直线 过定点 ，（如图所示）
又因为 为垂足，所以 为直角三角形， 为直角，
所以当点 为斜边 的中点 时， 为定值 ．
综上所述，存在定点 ，使得 为定值 ．
例题2．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点 和点 在双曲线
上，双曲线 的左顶点为 ，过点 且不与 轴重合的直线 与双曲线
交于 ， 两点，直线 ， 与圆 分别交于 ， 两点.(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)直线 过定点 ,证明见解析.
【详解】（1）因为点 和点 在双曲线上，
所以 ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 .
（2）由题可知，直线 的斜率不等于零，故可设直线 的方程为 ，
设 ，
联立 ，整理得 ，
若 ，即 ，直线 的斜率为 ，与渐近线 平行，
此时直线 与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以 ，
所以
，
，
因为 ,所以，所以 .
（3）（i）当 轴时， 且 ，
所以 ，则 ，
联立 ，整理得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 ，
由于对称性， ，此时直线 过定点 ；
（ii）当 不垂直于 轴时，以下证明直线 仍过定点设为 ，
因为 ，所以联立 ，
即 ，所以 ，
解得 或 ，
当 时， ，
所以 ,
同理，将上述过程中 替换为 可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 三点共线，即此时直线 恒过定点 ，
综上直线 过定点 .
例题3．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右
顶点分别为 、 ， 为双曲线上异于 、 的任意一点，直线 、 的斜率乘积为 ．双曲线 的焦
点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设不同于顶点的两点 、 在双曲线 的右支上，直线 、 在 轴上的截距之比为 ．试问直
线 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点，定点坐标为
【详解】（1）设 ，
由 可得 ，又 ，
，
又焦点到其一条渐近线 的距离为 ，解得： ．
所以双曲线 的方程： .
（2）设直线 的方程为 ，如图，
由 得 ，
，
，直线 ，则直线 在 轴上的截距为 ，直线 ，则直线 在 轴上的截距为 ，
由题得： ，又 ，
所以 ．
所以 ，则 ，
，
，
，化简得： 或 ．
若 ，直线 过顶点，舍去． ．
则直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 ．
精练核心考点
1．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知双曲线 的焦距
为 ，点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)点 是双曲线 上异于点 的两点，直线 与 轴分别相交于 两点，且 ，求
证：直线 过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【详解】（1）由题意知 ，解得 ， ， ，
双曲线 的方程为 .
（2）证明：设直线 的方程为 ，联立方程组 ，消去 ，得 ，
则 ，
，
所以直线 方程为 ，
令 ，则 ，
同理直线 方程为 ，
令 ，则 ，
由 ，可得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
当 时， ，
此时直线 方程为 ，恒过定点 ，不符合题意；
当 时，直线 方程为 ，恒过定点 符合题意，
综上所述，直线 过定点 .2．（2023·全国·高二专题练习）双曲线C： 的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂
直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且 是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k，k，若 ，试问：直线MN是否经过
1 2
定点？证明你的结论．
【答案】(1)
(2)过定点，理由见解析
【详解】（1）根据题意可得 ， ，半焦距 ，则
当 时， ， ，
所以 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
，解得 或 （舍去），
所以 ，
所以双曲线方程为 ，
（2）由题意可知直线 的斜率不为零，所以设直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
由（1）知 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，解得 或 ，
因为M，N是C右支上的两动点，所以 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，所以直线 恒过定点
3．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知直线 与双曲线 的右支交于不同的两
点 和 ，与 轴交于点 ，且直线 上存在一点 满足 （ 不与 重合）．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明：当 变化时，点 的纵坐标为定值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）将直线方程 代入双曲线方程 ，化简整理得 ，
，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足，
解得 ；
（2）设 ，
则由（1）知： .
由 ，得： ，
所以 .
又 ，
所以点D的纵坐标为定值 .
题型九：双曲线中定直线问题
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ： ， ， 为Γ的左、右顶点， 为Γ上一点， 的斜率与 的斜率之积为 ．过点 且不垂直于x轴的
直线l与Γ交于M，N两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F为直线 上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．
【答案】(1) ；
(2)详见解析.
【详解】（1）由题意得 ，又 为Γ上一点， 的斜率与 的斜率之积为
，
所以 ，解得 ，
所以双曲线Γ的标准方程为 ；
（2）设直线MN的方程为 ，
由 ，可得 ，则
， ，
设 ， ， ， ， ，
所以 ，
直线 ： ， ： ，
联立两方程，可得：
，
解得 ，
当直线 与x轴重合时，则 ，： ， ： ，联立可得 ，
综上，直线ME与NF的交点在定直线 上.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 过点 ，离心率为 ，直
线 交 轴于点 ，过点 作直线交双曲线 于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)设 是直线 上关于 轴对称的两点，直线 与 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【答案】(1)
(2) 或
(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析
【详解】（1）由题意得： ， ， .
解得 ， ，所以双曲线 的标准方程为 .
（2）方法1：设 ，则
依题意有 解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
方法2：设直线 的方程为 ，与双曲线的方程 联立得：
.
当 时
设 ， ，得 ， .
又因为 ，所以 ， ，解得 .
此时 ，所以直线MN的方程为 或 .（3）方法1：设 ， ，
直线PM的方程为 ，直线ON的方程 ，
联立两方程，可得 ①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故 .
所以直线PM与QN的交点在定直线 上.
方法2设直线MN的方程为 ，与双曲线的方程 联立得：
.
设 ， ， ， ，由根与系数的关系，得
， .
： ， ： ，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线 上.
精练核心考点
1．（2023春·云南红河·高三开远市第一中学校校考阶段练习）设双曲线 ，其虚轴长为 ，且离心率为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点 、 ，在线段 上取点 使得
，证明：点 落在某一定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：设双曲线 ，其虚轴长为 ，且离心率为 ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ， ，∴双曲线 的方程为 ．
（2）解：设点 ，A， 的坐标分别为 ， ， ，且 ，
∵ ，∴ ，
即 ，①
设直线 的方程为 ，②
将②代入 中整理，得 ，
∴ ， ，代入①，
整理可得，得 ，联立②消 得，
∴点 落在某一定直线 上．
2．（2023秋·全国·高二期中）已知点A为圆 上任意一点，点 的坐标为
，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设轨迹E与 轴分别交于 两点（ 在 的左侧），过 的直线 与轨迹 交于 两点，直
线 与直线 的交于 ，证明： 在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析【详解】（1）由 得 ，其半径为4，
因为线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，
故 ，则 ,
而 ，故点 的轨迹 为以 为焦点的双曲线，
则 ，
故点 的轨迹 的方程为 .
（2）证明：由题意知 ，
若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；
故直线l的斜率不能为0，故设其方程为 ，
联立 ，得 ， ，
故 ，
设 ，则直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，故 ，
则 ，
即 ，解得 ，
故直线 与直线 的交点 在定直线上.
题型十：双曲线中向量问题
典型例题
例题1．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知双曲线 的
两条渐近线分别为 ， .
(1)求双曲线 的离心率；
(2) 为坐标原点，过双曲线上一点 作直线 分别交直线 ， 于 ， 两点（ ， 分别在第
一、第四象限），且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为双曲线 的渐近线分别为 ， ，
所以 ， ，
所以双曲线 的离心率为 ；
（2）由（1）得 ，
则可设双曲线 ，
因为 在双曲线上，所以 ，则双曲线 的方程为 ，
又点 ， 分别在 与 上，
设 ， ，
因为 ，
所以 ，
则 ， ，
又 ，同理得 ，
设 的倾斜角为 ，且 ，则 ，
所以 .
例题2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为
，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）双曲线 的渐近线 化为 ，设双曲线 的方程为 ，
即 ，又双曲线 的右焦点 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）由（1）知， ，设直线 的方程为 ，显然 ，
由 消去 整理得 ，显然 ， ，而 ，则
，
化简得 ，即 ，而 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
精练核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 的离心率为2，焦点到一条渐近线的
距离为 ．
(1)求双曲线 的方程．
(2)若过双曲线的左焦点 的直线 交双曲线于 ， 两点，交 轴于 ，设 ．试判断
是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【答案】(1)
(2) 为定值
【详解】（1）不妨取双曲线的一条渐近线方程为 ，右焦点为 ，
因为焦点 到一条渐近线 的距离为 ，
所以 解得 .
又 ，且 ，解得 .
所以双曲线 的方程为 .（2）由（1）可知左焦点 .
由题意可知，直线 的斜率存在，且不等于 .如图所示
设直线 的方程为 则 .
因为 ，
所以
可得
由 ，消去 整理得
所以
所以 为定值 .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线： ，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C
的左、右顶点，直线 与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.
(1)若点 ， ，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求 的面积；
(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.① ；②
；③ .注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知可得， ， .
因为点 ，直线 的斜率为 ，所以直线 的垂线 的方程为 ，
整理可得， .
设点 ， ，
联立直线 与双曲线的方程 可得， ，
则 ，且 ，
所以， .
原点 到直线 的距离为 ，
所以， 的面积为 .
（2）
①②为条件，③为结论
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 .
又 ，所以点 的坐标为 ，
所以直线 的斜率为 .
又 ，所以 .
设点 ，
因为直线 的斜率 ，所以 ，
所以 ；
①③为条件，②为结论
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 .
又 ，所以点 的坐标为 ，
又 ，点Q在x轴正半轴上，所以 ，
所以 .
又 ，
所以 ，
所以， ；
②③为条件，①为结论
令点 ， ，且 ，不妨设 .
因为 三点共线，
所以 ，且 .
因为 ，点Q在x轴正半轴上，所以 .
因为 ，所以 .
又 ，
所以， ，且 ，
所以，，即.
