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综合训练 05 三角函数（16 种题型 60 题专练）
一．扇形面积公式（共3小题）
1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆
术”．如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上，CD⊥AB．“会圆
术”给出 的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+ ．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3， ，圆O 内切于扇
1
形OAB（圆O 和OA，OB，弧AB均相切），作圆O 与圆O ，OA，OB相切，再作圆O 与圆O ，
1 2 1 3 2
OA，OB 相切，以此类推．设圆 O ，圆 O ，…的面积依次为 S ，S …，那么 S +S +⋯+S ＝
1 2 1 2 1 2 n
．
3．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺
复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造
型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图， 所在圆的圆心O在线段AB上，若
∠CAB＝ ，|AC|＝m，则扇形OAC的面积为 ．
α二．任意角的三角函数的定义（共2小题）
4 ． （ 2023• 重 庆 模 拟 ） 若 点 在 角 的 终 边 上 ， 则 cos2 ＝
． α α
5．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，将线段OA绕原点顺时针旋转
得到线段OB，则点B的横坐标为 ．
三．三角函数线（共1小题）
6．（2022•甲卷）已知a＝ ，b＝cos ，c＝4sin ，则（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
四．三角函数的周期性（共4小题）
7．（2023•日照一模）已知函数 的最小正周期为 ，其
π
图象关于直线 对称，则 ＝ ．
8．（2023•佛山一模）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（其中 ＞0， ）．T为f（x）的最小正
ω φ ω
周期，且满足 ．若函数f（x）在区间（0， ）上恰有2个极值点，则 的取值范围
是 ． π ω
9．（2023•河南模拟）已知函数 的图象关于点 中
心对称，其最小正周期为T，且 ，则 的值为 ．
10．（2023•浙江模拟）写出一个满足下列条件的正弦型ω函数，f（x）＝ ．
①最小正周期为 ；
π②f（x）在 上单调递增；
③ x R，|f（x）|≤2成立．
五．运∀用∈诱导公式化简求值（共1小题）
11．（2023•韶关二模）已知锐角 满足 ，则sin（ ﹣ ）＝ ．
六．正弦函数的图象（共12小题）α π α
12．（2023•咸阳模拟）已知函数 ．对于下列四种说法：
①函数f（x）的图像关于点 成中心对称；
②函数f（x）在（﹣ ， ）上有8个极值点；
π π
③函数f（x）在区间 上的最大值为 ；
④函数f（x）在区间 上单调递增．
其中正确的序号是 ．
13．（2023•北海模拟）已知函数 的图象关于点 对称，
则 ＝ ．
14．（φ2023•新疆模拟）以函数y＝sin x（ ＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是正三角形，
则 ＝ ．ω ω
ω
15．（2023•惠州一模）函数 的非负零点按照从小到大的顺序分别记为
x ，x ，…，x ，…，若 ，则x 的值可以是 ．（写出符合条件的
1 2 n n
一个值即可）
16．（2023•攀枝花一模）若函数 （ ＞0）在 上单调，且在
ω
上存在极值点，则 的取值范围为 ．
ω
17．（2023•株洲一模）已知f（x）＝sin x（ N+），若在区间 上存在两个不相等的实数a，
ω ω∈b，满足f（a）+f（b）＝2，则 可以为 ．（填一个值即可）
ω
18．（2022•全国）已知函数f（x）＝sin（2x+ ）．若f（ ）＝f（﹣ ）＝ ，则 ＝（ ）
φ φ
A．2k + （k Z） B．2k + （k Z）
π ∈ π ∈
C．2k ﹣ （k Z） D．2k ﹣ （k Z）
π ∈ π ∈
19．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T．若 ＜T＜ ，且
ω ω π
y＝f（x）的图像关于点（ ，2）中心对称，则f（ ）＝（ ）
A．1 B． C． D．3
20．（2022•甲卷）设函数f（x）＝sin（ x+ ）在区间（0， ）恰有三个极值点、两个零点，则 的取
值范围是（ ） ω π ω
A．[ ， ） B．[ ， ） C．（ ， ] D．（ ， ]
21．（2023•金昌二模）若函数 ，又A（ ，2），B（ ，0）是函数f
α β
（x）的图象上的两点，且|AB|的最小值为 ，则 的值为 ．
22．（2023•榆林三模）已知函数f（x）＝tan2x与 的图象在区间[﹣ ， ]上的交点个
数为m，直线x+y＝2与f（x）的图象在区间[0， ]上的交点的个数为n，则m+n＝ π π．
π
23．（2023•山西模拟）已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象是由
ω φ ω
的图象向右平移 个单位长度得到的．
（1）若f（x）的最小正周期为 ，求f（x）的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
π
（2）若f（x）在 上有且仅有一个零点，求 的取值范围．
ω七．正弦函数的单调性（共7小题）
24．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ x+ ）（ ＞0， （0，2 ））的一条对称轴为 ，且f
ω φ ω φ∈ π
（x）在 上单调，则 的最大值为 ．
ω
25 ． （ 2023• 湖 南 模 拟 ） 已 知 函 数 ， x R ， 若
∈
，且f（x）在 上单调递增，则 的值为 ．
ω
26．（2023•吉林模拟）规定： 设函数f（x）＝Max{sin x，cos x}（ ＞
ω ω ω
0），若函数f（x）在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ．
ω
27．（2023•湛江二模）若函数 在 上具有单调性，且
为f（x）的一个零点，则f（x）在 上单调递 （填增或减），函数y＝f
（x）﹣lgx的零点个数为 ．
28．（2023•汕头二模）已知函数 ．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若 ，求函数f（x）的单调区间．
29．（2023•南京二模）已知f（x）＝sin x﹣ cos x， ＞0．
ω ω ω（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，求f（ ）的值；
（2）若函数f（x）的图象关于（ ，0）对称，且函数f（x）在[0， ]上单调，求 的值．
ω
30．（2023•全国）已知函数 ，则（ ）
A． 上单调递增 B． 上单调递增
C． 上单调递减 D． 上单调递增
八．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
31．（2023•四川模拟）写出曲线 的一条对称轴的方程： ．
32．（2023•湖北模拟）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0），若 是函数y＝f（x）的图像的一
ω φ ω
条对称轴， 是函数 y＝f（x）的图像的一个对称中心，则 的最小值为
． ω
九．余弦函数的图象（共5小题）
33．（2023•绵阳模拟）已知函数f（x）＝4cos（2x+ ）﹣3，则f（x）在（﹣ ， ）上的零点个数
为 ．
34．（2023•安康模拟）已知函数 f（x）＝cos x（ ＞0）的图象关于点 对称，且在区间
ω ω
单调，则 的一个取值是 ．
ω
35．（2023•山东模拟）若G（x，y）是函数y＝cosx图象上的任意一点，则 是函数f（x）
＝Acos（ x+ ）（A＞0， ＞0，0＜ ＜ ）图象上的相应的点，那么 ＝ ．
ω φ ω φ π36．（2023•拉萨一模）已知函数 在[﹣ ，0]上有且仅有两个零点．若
m，n [0， ]，且f（m）＜f（n），对任意的x [0， ]，都有[f（x）﹣f（πm）][f（x）﹣f（n）]≤0，则
满足条∈件的πm的个数为 ． ∈ π
37．（2023•承德模拟）已知 ＞1，函数 ．
（1）当 ＝2时，求f（x）ω的单调递增区间；
ω
（2）若f（x）在区间 上单调，求 的取值范围．
ω
一十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
38 ． （ 2023• 石 家 庄 模 拟 ） 曲 线 f （ x ） ＝ （ cosx≠ 0 ） 的 一 个 对 称 中 心 为
（答案不唯一）．
一十一．函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换（共7小题）
39．（2023•咸阳模拟）已ω知φ函数f（x）＝sin xcos x﹣ x（ ＞0）的最小正周期为 ，对于下
ω ω ω ω π
列说法：
① ＝1；
ω
②f（x）的单调递增区间为 ，（k Z）；
∈
③将f（x）的图象向左平移 个单位长度后所得图象关于y轴对称；
④ ．
其中正确的序号是 ．
40．（2023•乌鲁木齐三模）已知函数 的部分
图象如图所示，若将函数f（x）图象上所有的点向右平移 个单位长度得到函数g（x）的图象，则的值为 ．
41．（2023•龙岩模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA﹣bsinB＝2sin（A﹣
B），且a≠b．
（1）求c；
（2）把y＝sinx的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象向上平移c个单位长度，得到函数y＝f
（x）的图象，若函数y＝f（ x）（ ＞0）在x （0， ）上恰有两个极值点，求 的取值范围．
ω ω ∈ π ω
42．（2023•济南三模）已知f（x）＝sin x（ ＞0），其图象相邻对称轴间的距离为 ，若将其图象向
ω ω
左平移 个单位得到函数y＝g（x）的图象．
（1）求函数y＝g（x）的解析式及图象的对称中心；
（2）在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ，求
的取值范围．
43．（2023•济宁二模）已知函数 ．（1）求函数f（x）在 上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数
g（x）的图象关于点 成中心对称，在 上的值域为 ，求 的取值范围．
α
44．（2022•甲卷）将函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，
若C关于y轴对称，则 的最小值是（ω ） ω
ω
A． B． C． D．
45．（2022•浙江）为了得到函数 y＝2sin3x的图象，只要把函数 y＝2sin（3x+ ）图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
一十二．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式（共3小题）
ω φ
46．（2023•威海二模）已知偶函数 的部分图
象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点．
（1）证明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若 ，CD＝2， ，求f（x）的解析式．
47．（2023•全国二模）已知函数 的部分图像
如图所示，其中f（x）的图像与x轴的一个交点的横坐标为﹣ ．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在区间 上存在零点，求实数a的取值范围．48．（2023•南昌二模）如图是函数 的部分图象，已知
．
（1）求 ；
ω
（2）若 ，求 ．
φ
一十三．三角函数的最值（共2小题）
49．（2023•佛山模拟）已知函数 在区间 上存在最大值，则实
数a的取值范围为 ．
50．（2023•芜湖模拟）已知函数f（x）＝asin2x+cos2x，且 ．
（1）求f（x）的最大值；
（2）从①②中任选一个作答．若选择多个分别作答．按第一个解答计分．
①A为函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C为函数f（x）图象的最高点或者最低点，求△ABC面积
的最小值．
②O为坐标原点，复数z ＝﹣2﹣4i，z ＝﹣2+f（t）i在复平面内对应的点分别为A，B，求△OAB面积
1 2
的取值范围．一十四．两角和与差的三角函数（共5小题）
51．（2023•天津一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知a＝1，c＝2，sinB＝
2sinA．
（1）求cosC的值；
（2）求sinA的值；
（3）求sin（2C﹣A）的值．
52．（2023•天津模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a＞c），已知bcosC＝（3a﹣
c）cosB， ．
（1）求cosB；
（2）求a，c的值；
（3）求sin（B﹣C）的值．
（多选）53．（2023•海口模拟）已知锐角 ， ， 满足 + + ＝ ，则（ ）
A．tan ，tan 可能是方程x2﹣3x﹣4＝0α的两β根γ α β γ π
B．若α＞ ，β则sin ＞sin
α β α β
C．
D．tan +tan +tan ＝tan •tan •tan
α β γ α β γ
54．（2023•杭州模拟）已知锐角 ， 满足 ， ，则 + ＝
． α β α β55．（2022•新高考Ⅱ）若sin（ + ）+cos（ + ）＝2 cos（ + ）sin ，则（ ）
A．tan（ ﹣ ）＝1 α β α βB．tan（ + ）＝α 1 β
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
一十五．三角α函β数中的恒等变换应用（共1小题） α β
56（2023•安徽模拟）已知函数
为奇函数
且其图象相邻两对称轴间的距离为 ．
（1）求 和 ；
ω φ
（2）当 时，记方程 的根为x ，x ，x （x ＜x ＜x ），求
1 2 3 1 2 3
的范围．
一十六．三角函数应用（共4小题）
57．（2023•宝鸡三模）我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由
物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 y（m）和时间t
（s）的函数关系为y＝sin（ t+ ）（ ＞0，| |＜ ），如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到
达同一位置的时间分别为t ，ωt ，φt （0＜ωt ＜t ＜φt ）π，且t +t ＝2，t +t ＝5，则1分钟内阻尼器由其它位
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3
置摆动经过平衡位置的次数最多为（ ）A．19 B．40 C．20 D．41
58．（2023•滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产
中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车
抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P 处开始运动，OP 与水平面的
0 0
所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：
s）之间的函数关系式的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
59．（2023•广东模拟）如图，均匀的圆面绕圆心 O作逆时针方向的匀速旋转，圆面上一初始位置为 A点，
t秒后转到点B，旋转的角速度为 ，在旋转圆面的右侧有一固定相机C（C，O两点分
别在AB的异侧），且OA＝5m，AC＝7m．
（1）记旋转角为 ，若 （（2n+1） ，2（n+1） ）（n N），求t的取值范围及弦AB的长度；
（2）在（1）的条θ件下，θ∈若t＝110s，BπC＝8m，求OπC的长∈．60．（2023•南昌一模）潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周
期性变化人们可以利用潮汐进行港口货运．某港口具体时刻t（单位：小时）与对应水深y（单位：米）
的函数关系式为y＝3sin t+10（0≤t≤24）某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的
距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次最长时间不超
过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸货，要及时驶入深水区域
则该船第一次停止卸货的时刻为 ．
