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专题 03 函数的值域与最值（一题多变）
【典例展示】（1）已知关于x的函数 的定义域为D，若存在区
间 ，使得 的值域也是 ，则当t变化时， 的最大值是______．
（2）已知 ， ，且 ，求 的最值．
【思路分析】
解答（1）题，应通过确定函数的值域，结合已知条件，确定 的表达式，进一步求其
最值.具体的，由于函数的单调性较为明确，故根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应
得出a、b满足的方程．此方程有两个相异实根，由 且 得出t的取值范围，由韦达
定理得到 关于t的二次函数，运用配方法求最值．
对于第（2）题，求二元函数的最值，常用消元法化归为一元函数来处理.思路一，利用代
入法，将 转化成二次函数在指定范围的值域；思路二，利用数形结合思想，把
可看作线段 上的点与原点的距离，
【精细解析】（1） 是 ， 上单调递增函数，有
或 ．
由单调性及题设得 即a、b是方程 在 或 上的两个不相
等的实数根．
即 满足 且 ，得 且 ，∴ ．
当 时， 取得最大值， ，又 ，故
（2）解法一由 ．
∴ ，
在 内递减，在 内递增，显然有 ， ．
解法二（几何法） 可看作线段 上的点与原点的距离，
易得 ，故 ， ．
【题后反思】本题均与“二次”问题相关，易于使人联想配方法、判别式法，但对于
（1）题，需首先根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出a、b满足的方程．再由
且 得出t的取值范围，由韦达定理得到 关于t的二次函数，运用配方法求
最值．
对于第（2）题，从数的角度出发，易于想到代入消元法.而对于解法二，则需牢固树立数
形结合的转化意识，从“形”的角度出发，化数的问题为“形”的问题，化抽象为直观.
【追根溯源】
一、在函数 中，自变量x对应的函数值的集合 叫做函数的值域．
二、函数 在 处的函数值是 ，如果对于定义域内任意x，不等式
恒成立，那么 就是函数 的最小值，记作 ；如果对于
定义域内任意x，不等式 恒成立，那么 就是函数 的最大值，记作 ．
三、求函数的值域与求函数的最值是有其内在联系的，解法也是相通的．这类数学问题的
技巧性较强，且常常可以一题多解，解题的关键在于变更问题和构造模型，常用的方法主
要有以下几种：
1．配方法
适用于二次函数或可转化为二次函数型的函数，要特别注意自变量的取值范围．
2．判别式法
适用于可化为关于x的二次方程的函数 ，由 ，求出y的取值范围，要检验函
数的这个最值在定义域内是否有相应的x值．
3．均值不等式法
利用均值不等式求函数值域或最值时，一定要注意满足“一正二定三相等”的原则．
4．换元法
根据函数解析式的特点常用三角换元、整体代换，常可以使解析式复杂的问题转化为简单
易求解的问题．当然，用换元法求函数值域或最值时，要注意新变量的取值范围．
5．数形结合法
从理解或构造函数的几何意义着手，看能否与距离、斜率及对称问题等相通．
6．函数单调性质法
利用函数在相应区间上的单调性，由于值域或最值是对函数的总体而言．若需对问题分段
讨论，最后必须加以整合．
7．导数法
设 的导数为 ，由 的符号确定区间上的单调性，由 可求得极值
点坐标，若函数定义域为 ，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小
值．
在实际数学问题中，求函数的最值或值域，提问的角度不同，解答方式也会有所差异，求
函数最值时也要注意函数的定义域，若定义域为开区间，则在区间端点不可能出现最值．
【变化角度】改变函数的表达形式，通过等价变形“构造”二次型函数，应用配方法求解.求函数 的值域.
【思路分析】本题是分式函数，分子分母是“同次”的，因此可以通过分子、分母同除以
x，是分子为常数，只需讨论分母的“值域”，如解法一；另外注意到分母为根式，且可以
变形为 ，联想同角三角函数公式，而运用“三角换元法”，将问题
转化成求三角函数的值域，即解法二.
【详解】解法一（分类讨论法）当 时 ；
当 时， ，由 知
，∴ ；
当 时， ．
∵ ．∴ ．
综上所述，函数的值域为 ．
解法二（换元法）∵ ，
故可设 ， ．
于是 ．
由 ，知 ．∴
【变换角度】改变所求二元表达式的结构，利用均值不等式求函数的最值.已知 ， ，且 ，求xy的最小值．
【思路分析】根据限制条件，有两种思路，思路一直接从限制条件入手，应用均值不等式，
求得最小值.
思路二，从限制条件出发，应用代入消元的方法，将问题转化成“一元函数”--分式函数，
利用“分离常数法”，创造应用均值不等式的条件求最值.如果在“分离常数”后，应用
“对勾函数”的单调性，也是一种可行的方法.
思路三，代入消元转化成一元分式函数后，应用判别式法.
【详解】解法一：（圴值不等式法） ， ， ，∴ ，
解得 ，当且仅当 且 ，即 ， 时，xy有最小值6．
解法二：（消元后配凑运用均值不等式）由 得 ， ∴
．
即 ．
∵ ，∴ ，当且仅当 ，即为 时等号成立，此时 ．
解法三：（判别式法）由解法二知 ，令 ，整理得
，
此方程有大于1的根的必要条件是 ．
∵ ， ．反之当 时，方程 的两根都大于1．故 （此时
， ）．【变换角度】改变分式函数分子、分母的次数，应用“化部分分式法”转化求解.
设 为常数，求函数 的最小值．
【思路分析】 本题分子参数高于分母次数，因此采用“化部分分式法”，转化应用均值不
等式或“对勾函数”的单调性求解.
【详解】 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
当 时， ， 时， ，
当 时， 不成立．此时，令 ， ．由单调性的定义
可以证
明 是 上的增函数．∴当 ，即 时， ．
综上，当 时， ；当 时， ．
【变换角度】变具体函数为抽象函数关系式，与求函数解析式与求函数值域综合考查.
已知函数 满足 ，求 的值域．
【思路分析】首先利用函数方程法，将f(x)作为一个未知数来考虑，通过给自变量“赋
值”，建立方程（组），消去另外的未知数得到 ．接下来可采用判别式
法或基本不等式法求其值域．
【详解】 ． ①用 替代 ，得 ．②
①×2+②，得 ，整理得 ．③
（ⅰ）用判别式法求③的值域：令 ．∵ 且 ．
故 ．
∴ 或 ， 的值域为 ．
（ⅱ）用基本不等式求③的值域：当 时， ∵ ，∴ ，即
；
当 时， ， ，则 ．∴ ，即
．
∴ 的值域为 ．
（2024高三·全国·专题练习）
1．函数 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2024·湖南岳阳·三模）2．已知函数 ， 不存在最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一上·陕西西安·期末）
3．已知正实数 满足 则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2024高三·全国·专题练习）
4．(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－ ，－4]，则实数m的取值
范围可以是（ ）
A．[0，4] B．[ ，2]
C．[ ，2] D．[1，2]
（2024高三·全国·专题练习）
5．已知函数 在 上的最大值比最小值大 ，则 .
（2021高三·全国·专题练习）
6．若x，y为实数且满足 ，试分别求x、y的最值.
