文档文本内容
第 01 讲 函数的概念及其表示(精讲）
目录
第一部分：知识点必背............................................................2
第二部分：高考真题回归..........................................................3
第三部分：高频考点一遍过........................................................5
高频考点一：函数的概念......................................................5
高频考点二：函数定义域......................................................7
角度1：具体函数的定义域.................................................7
角度2：抽象函数定义域...................................................8
角度3：已知定义域求参数.................................................9
高频考点三：函数解析式.....................................................12
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）....................................12
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）..................................13
角度3：待定系数法......................................................15
角度4：方程组消去法....................................................16
高频考点四：分段函数.......................................................20
角度1：分段函数求值....................................................20
角度2：已知分段函数的值求参数..........................................21
角度3：分段函数求值域（最值）..........................................22
高频考点五：函数的值域.....................................................26
角度1：二次函数求值域..................................................26
角度2：分式型函数求值域................................................27
角度3：根式型函数求值域................................................30
角度4：根据值域求参数..................................................31
角度5：根据函数值域求定义域............................................33
第四部分：高考新题型...........................................................39
①开放性试题...............................................................39
②探究性试题...............................................................40
第五部分：数学思想方法.........................................................41
①函数与方程的思想.........................................................41
②数形结合思想.............................................................42
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、函数的概念
设 、 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在
集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么称 为从集合 到集合 的一个函数，记作
， .
其中： 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域
与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法
就是把变量 ， 之间的关 就是把 ， 之间的关系绘
就是将变量 ， 的取值列
系用一个关系式 来 制成图象，图象上每个点的
成表格，由表格直接反映出
表示，通过关系式可以由 坐标就是相应的变量 ，
两者的关系.
的值求出 的值. 的值.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4) 的定义域是 .
(5) ( 且 )， ， 的定义域均为 .
(6) ( 且 )的定义域为 .
(7) 的定义域为 .5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如 ( )的函数分离常数，变形过程为：
，再结合 的取值范围确定 的取值范围，从而确定
函数的值域.
（2）换元法：
如 ： 函 数 ， 可 以 令 ， 得 到 ， 函 数
可以化为 ( )，接下来求解关于t的二次函数的值域问
题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高考真题回归
1．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是_________．
【答案】
【详解】解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
2．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 若 ，则 ___________.
【答案】2
【详解】 ，故 ，
故答案为：2.3．（2022·浙江·高考真题）已知函数 则 ________；若当 时，
，则 的最大值是_________．
【答案】 ##
【详解】由已知 ， ，
所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
4．（2022·北京·高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
________；a的最大值为___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【详解】解：若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题
目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）已知集合 ，下
列对应关系中从 到 的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，在对于关系 中，当 时， ，则集合 中没有元素和 对应，不是从
集合 到集合 的函数，故A错误，
对于B，在对于关系 中，当 时， ，则集合 中没有元素和 对应，不是从集合 到
集合 的函数，故B错误，
对于C，在对于关系 中，当 时， ，则集合 中没有元素和 对应，不是从集合 到
集合 的函数，故C错误，
对于D，在对于关系 中，因为 ，所以 ，且则集合 中任意一个
元素 在集合 中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合 到集合 的函数，故D正确，
故选：D．
例题2．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合 ，集合 ，下列图象
能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】对选项A：存在点使一个 与两个 对应，不符合，排除；
对选项B：当 时，没有与之对应的 ，不符合，排除；
对选项C： 的范围超出了集合 的范围，不符合，排除；
对选项D：满足函数关系的条件，正确.
故选：D
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）下列图象中，以 为定义域， 为值域的函数
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于 ，其对应函数的值域不是 ， 错误；
对于 ，图象中存在一部分与 轴垂直，即此时 对应的 值不唯一，该图象不是函数的图象， 错误；
对于 ，其对应函数的定义域为 ，值域是 ， 正确；
对于 ，图象不满足一个 对应唯一的 ，该图象不是函数的图象， 错误；故选： ．
2．（多选）（2023·高一课时练习）下列对应中是函数的是（ ）.
A． ，其中 ， ，
B． ，其中 ， ，
C． ，其中y为不大于x的最大整数， ，
D． ，其中 ， ，
【答案】BCD
【详解】对于A， ，其中 不满足一个自变量 有唯一一个实数 与之对应，
例如 时， ；不满足定义，故A不正确；
对于B， ，其中 ， ， ，
时， ， 时， ，
时， ， 时，， ，
满足定义，故B正确；
对于C， ，其中y为不大于x的最大整数， ， ；满足定义，故C正确；
对于D， ，其中 ， ， 满足定义，故D正确，
故选：BCD.
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）函数 的定义域
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数 要有意义，需满足 ，解得 ，且 ，
故函数定义域为： ，
故选：B
例题2．（2023春·北京·高三校考阶段练习）函数 的定义域为__________.
【答案】
【详解】由已知得 ，解得 且 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023春·全国·高一校联考开学考试）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得： ，即 的定义域为 .
故选：A.
2．（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）函数 的定义域为_____________．
【答案】
【详解】由已知得 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为： .
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）函数 的定义域为 ，则 的定义域为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得
解得 且 .
故选：D
例题2．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）已知函数 的定义域为 ，则
函数 的定义域为______．
【答案】
【详解】因为函数 的定义域为 ，则 ，
所以 ，则有 ，解得： ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以要使 有意义，则
，解得 且 ，
所以原函数的定义域为 ，
故选：C．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 的定义域为 ，则 ，解得 ，则 ，所以
的定义域为 .
故选：B
角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）函数 的定义
域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，定义域不为 ；
当 时，若函数 的定义域为 ，
则 ，解得
故选：A.
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知函数 的定义域为 ，则实
数 的值是______．
【答案】2
【详解】由题意，要使函数 有意义，
则 ，即 ，所以 ，此时由 ，可得 ，符合题意.
故答案为：2.
例题3．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数 的定义域是 ，则实数 的
取值范围是_______.
【答案】
【详解】 时， 满足题意，
时，由 恒成立得 得 ，
综上 的取值范围是 ．
故答案为： ．
例题4．（2023·高一课时练习）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
______．
【答案】
【详解】函数 的定义域为 ，
当 时， ，满足；
当 时，需满足 ，解得 .
综上所述： .
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则 （ ）
A． 3 B．3 C．1 D． 1
【答案】A
【详解】由 ，得 ，由题意可知上式的解集为 ，
所以 为方程 的一个根，
所以 ，得 ，
故选：A
2．（2023·河北·高三学业考试）函数 的定义域为 ，则实数 的值为______．
【答案】
【详解】 的定义域满足： ，解集为 ，
故 且 ，解得 .
故答案为：
3．（2023·上海·高一专题练习）已知函数 在 上有意义，则实数m的范围是
____________．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则 （ ），
解得 ，所以函数的定义域为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以实数m的范围是 .
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 定义域为R，则实数k的取值范围为______.
【答案】
【详解】解：因为函数 定义域为R，
所以 在R上恒成立，
所以 ，解得 .
故答案为： .高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意 ，
故 ，
故选：D
例题2．（2023·高一课时练习）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 ，
则 ， .
综上：只有B正确.
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 ，则函数 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 .
从而 ，
当 时， 取得最小值，且最小值为 .故选：D
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）已知函数 满足 ，
则 解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设 ，故 ，则 ，
所以 .
故选：A
例题2．（2023·高一课时练习）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ， ；
所以 .
故选：D.
例题3．（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）若函数 ，且 ，则实
数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：B.
例题4．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知 ，则 _________．
【答案】 （ 且 ）【详解】由 ，
令 ，（ 且 ， 且 ），
则 ，（ 且 ），
∴ （ 且 ）,
∴ （ 且 ）.
故答案为： （ 且 ）.
例题5．（2023·高一课时练习）如果 ，则当 且 时， _____．
【答案】
【详解】由题意，令 ，则 且 ，
因为 ，所以 ，其中 且 ，
所以 ．
故答案为 ．
角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知二次函数 满足 ，则 （
）
A．1 B．7 C．8 D．16
【答案】B
【详解】设 ，
因为 ，
所以 ，化简可得： ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
例题2．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数 是一次函数，且
，则一次函数 的解析式为________.
【答案】 或
【详解】 函数 是一次函数，
设 .
，
，解得 或 ，
故答案为： 或 .
例题3．（2023·高一课时练习）若二次函数 满足 ， ，求 .
【答案】 .
【详解】因为二次函数 满足 ；所以设 ，
则： ；
因为 ，
所以 ；
∴ ；∴ ；∴ ， ；
∴ .
故答案为： .
例题4．（2023·高一课时练习）（1）已知 是一次函数，且满足 ，求
的解析式．
（2）若二次函数 满足 ， ，且图象过原点，求 的解析式．
【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.
【详解】（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，∴ 解得 ∴f（x）＝－2x－9.
（2） 设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，
∴ 解得
∴g（x）＝3x2－2x.
角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数 满足 ---①
所以 ---②
联立①②，得 ，解得 ，
∴
故选：A
例题2．（2023·高一课时练习）已知 ，则 ______．
【答案】 .
【详解】因为 ①，
把 换成 有：
②，
联立①②式有： ，解得 .
故答案为： .
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的解析式___________.
【答案】 ， .
【详解】因为 ，
所以 ，
消去 解得 ，
故答案为： ， .
例题4．（2023·高一课时练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，则
________．
【答案】
【详解】在 中，将x换成 ，则 换成x，
∴ ，
将该方程代入已知方程消去 ，得 ．
故答案为： ．
练透核心考点
1．（2023春·高一校考开学考试）已知一次函数 满足 ，则 （ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【详解】设 ，则 ,
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）若函数 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． 或 C． D．3
【答案】B
【详解】令 （ 或 ）， ， ，
， .
故选；B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 __________.
【答案】 ，
【详解】
又 当且仅当 ，即 时等号成立.
设 ，则 ，所以
所以
故答案为： ，
4．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博第六中学校考期末）设定义在 上的函数 满足
，则 ___________.
【答案】
【详解】因为定义在 上的函数 满足 ，
将 换成 可得： ，将其代入上式可得：
，所以 ，
故答案为： .
5．（2023·高一课时练习）（1）已知函数 ，求函数 的解析式
（2）已知 为一次函数，若 ，求 的解析式.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【详解】（1）函数 ，则 ，
所以函数 的解析式是 .
（2）因 为一次函数，设 ，
则 ，而 ，
于是得 ，解得 或 ，
所以 或 .
6．（2023·高一课时练习）已知二次函数 满足 ，且 ．
(1)求 的解析式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：根据题意，设 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
因为 ，
所以 ，解得 .
所以高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）已知函数 ，则 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．e
【答案】C
【详解】 ，
故选：C
例题2．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数 ，若 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， ．
故选：D．
例题3．（2023·河北·高三学业考试）已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】 ， ， .
故选：D
例题4．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）若 ，则
____________.
【答案】3【详解】由 ， .
故答案为：3
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知函数 ，若 ，则实数 的值等于
（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【详解】 ，据此结合题意分类讨论：
当 时， ，
由 得 ，解得 ，舍去；
当 时， ，
由 得 ，解得 ，满足题意.
故选：A．
例题2．（2023秋·广东云浮·高一统考期末）若函数 且 ，则
_____________．
【答案】1
【详解】解：因为函数 且 ，
当 时， ，解得 （舍）；
当 时， ，解得 ，
综上： 1
故答案为：1
例题3．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）设函数 ，若
，则 __________．
【答案】【详解】由题意可得，当 时， ，此时方程无解；
当 时， ，解得 或 （舍）
故答案为：
例题4．（2023·高三课时练习）已知函数 ，若 ，则实数 ______．
【答案】 或
【详解】当 时，由 ，可得 ，合乎题意；
当 时，由 ，解得 ，合乎题意；
当 时，由 ，解得 ，不合乎题意.
综上所述， 或 .
故答案为： 或 .
角度3：分段函数求值域（最值）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知 设 ，则函
数 的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】当 ，即 时， 在 上单调递增，所以
，当 ，即 时，
在 上单调递增，在 上单调递减，因为 ，
，所以 ；
综上：函数 的最大值为1
故选：B例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的值域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 时， ，则 ；
时， ，则 ；
故函数 的值域为 .
故选：A.
例题3．（2023·高一课时练习）若函数 ,则函数 的值域为______．
【答案】
【详解】当 时， ，
当 时， ，
故函数 的值域为 ，
故答案为：
例题4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为______．
【答案】
【详解】当 时，
当 时，
综上可得， 的值域为
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）给定函数 ， 用 表示
中的较大者，记为 ，例如当 时，
，则 的最小值为（ ）A． B．0 C．1 D．4
【答案】B
【详解】令 ，可得 ，即 ，解得 ；
令 ，可得 ，即 ，解得 或 .
所以 .
作出 的图象如图所示：
由图象可得 的最小值为0.
故选:B.
2．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）已知函数
，则（ ）
A． 的最大值为 ，最小值为
B． 的最大值为 ，无最小值
C． 的最大值为 ，无最小值
D． 的最大值为 ，最小值为
【答案】C
【详解】在同一坐标系中先画出 与 的图象，
然后根据定义画出 的图象（图中实线部分）
由图象可知，当 时， 取得最大值，由 得 或 （舍去），
此时函数 有最大值 ，无最小值．
故选：C．
3．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）已知函数 ，则
__________.
【答案】7
【详解】由已知可得， ，所以 .
故答案为：7.
4．（2023秋·四川绵阳·高一统考期末）设函数 ，则 ______．
【答案】
【详解】函数 ，则 ，
所以 .
故答案为：
5．（2023·高一课时练习）设函数 ，若 则实数 =__________
【答案】 或1．
【详解】 时， ， ，
时， ， （负数舍去），
综上 或1．
故答案为： 或1．
6．（2023·高一课时练习）已知函数 且 ，则实数a的值为________．
【答案】 ## 或 ## 或
【详解】当 时， ，解得： ，成立，
当 时， ，解得： ，
所以 .
故答案为：7．（2023·高一课时练习）已知函数 ，若 ，则 _______.
【答案】
【详解】解：因为 ，且 ，
所以 或 ，
解得 或 无解；
故答案为：
高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）设 的定义域是 ，则函数 的
值域中含有整数的个数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【详解】
所以 的对称轴为： ，
所以 在 单调递增，
，
，
的值域为 ，
则函数 的值域中含有整数的个数为18.
故选：B.
例题2．（2023·高三课时练习）函数 的值域为______.【答案】
【详解】令 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
例题3．（2023·高一课时练习）函数 的值域为_______．
【答案】
【详解】因为
所以 ，所以值域为
故答案为：
例题4．（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）已知二次函数 满足
，
(1)求 的解析式；
(2)当 ，求 的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设二次函数
由 ，可得
则 ，解之得
则二次函数的解析式为
（2）由（1）得， ，
则 在 单调递减，在 单调递增
又 ， ，
则当 时 的值域为角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）关于“函数 ， 的最大、最小值与
函数 ， 的最大、最小值”，下列说法中正确的是（ ）．
A． 有最大、最小值， 有最大、最小值
B． 有最大、最小值， 无最大、最小值
C． 无最大、最小值， 有最大、最小值
D． 无最大、最小值， 无最大、最小值
【答案】C
【详解】 ， ，
画出函数图象如下：
函数 ， 无最大值，也无最小值；
当 时，此时函数的图象为 上一些点，
当 且 时， ，当 且 时， ，
且函数在 且 上单调递减，在当 且 上时单调递减，
故 时， 取得最小值，当 时， 取得最大值.故选：C
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，则有 ，
当 时，代入原式，解得 ．
当 时， ，
由 ，解得 ，于是 的最大值为 ，最小值为 ，
所以函数 的最大值与最小值的和为 ．
故选：B.
例题3．（2023·高一课时练习）函数 的值域
【答案】
【详解】原函数可化为
① 时，方程不成立；
② 时，由 得 ，解得 .
综上：
故函数值域为： .
例题4．（2023·高一课时练习）求函数 的值域.
【答案】
【详解】因为 ，
所以当 时， ；
当 时，原函数化为 ，
所以 ，整理得 ，
解得即 或 ，∴综上，函数 的值域为 .
例题5．（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域.
【答案】 .
【详解】 ，
因 ，即 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，于是得 ，
所以原函数的值域为 .
角度3：根式型函数求值域
典型例题
例题1．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末） 的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【详解】设 ，
则 ，
因为 ，所以 时， 的最大值是 ，
故选：A.
例题2．（2023·河北·高三学业考试）已知 ，则 的最大值是（ ）
A．8 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【详解】 ，当 时有最大值为
故选：例题3．（2023·高一课时练习）求函数 的值域______．
【答案】 ##
【详解】令 ，则 ，所以 ．又 ，所以 ，即函数
的值域是 ．
故答案为： .
例题4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为___________．
【答案】
【详解】解：因为 ，令 ，则 ，则 ，所以
， ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 的值域为 ；
故答案为：
例题5．（2023·高一课时练习）函数 的值域为__________．
【答案】
【详解】 ，由 ，得 ，因为 在 上单调递增，所以
，即 的值域为 .
故答案为：
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时， ，即值域为 ，满足题意；
若 ，设 ，则需 的值域包含 ，
，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 .故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时 时 ，
函数 的部分图象及在 上的的图象如图所示.
所以为使函数 在 上的值域为 ，实数m的取值范围是 ，
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
当 时， ；当 或 时， .
因此当 时，函数 在区间 上的最小值为 ，
最大值为 ，所以，实数 的取值范围是 .
故选：C.例题4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数
的取值可能是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】CD
【详解】当 时， ，故不符合题意；
当 时， 函数 的值域为 ，
，解得 .
故选：CD
例题5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域和值域均为 ，则
的值为__________.
【答案】
【详解】解：因为 ，对称轴为 ，开口向上，
所以函数在 上单调递增，
又因为定义域和值域均为 ，
所以 ，即 ，解得 （舍去）或 ，
所以 .
故答案为：
例题6．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取值
范围为__________．
【答案】
【详解】解：因为函数 的值域为 ，
所以 能够取到大于等于 的所有数，
当 时 ，不合题意；
当 时，则 ，解得 ；
综上可得 .故答案为： ．
角度5：根据函数值域求定义域
典型例题
例题1．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）设函数 的定义域为 ，值域为 ，下列结
论正确的是（ ）
A．当 时， 的值不唯一 B．当 时， 的值不唯一
C． 的最大值为3 D． 的最小值为3
【答案】D
【详解】对于A项，当 时，显然 ，则 .函数在 上的值域为 ，在
上的值域为 ，又函数在 上的值域为 ，所以 ， ，故A项错误；
对于B项，当 时，函数 ，则此时函数的值域为 ，由已知可得 ，所以
，故B错误；
对于C、D项，
①当 时，函数 ，此时函数的值域为 ，由已知可得 ，解得 ，所
以 ；
②当 时，函数 ，则此时函数的值域为 ，由已知可得 ，解得 ，
所以 ；
③当 时， .此时函数在 上的值域为 ，在 上的值域为
.由已知可得， 或 .
当 时，即 ，此时有 ；
当 时，即 ，则 ，此时有 .
综上所述， .
故C项错误，D项正确.
故选：D.例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，此时 ，
当 时，由 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为 在 上单调递增，
若 的值域为 ，则有 ，即 ，则 ，
综上， ，
所以实数 的取值范围为
故选：A
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 为开口方向向上，对称轴为 的二次函数
令 ，解得： ，
即实数 的取值范围为
故选：
例题4．（2023·高一课时练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数
，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．
【答案】9【详解】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数，函数解析式为 ，值域为{1，2，4}，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
则定义域可以为：
，因此“同族函数"共有9个.
故答案为：9.
练透核心考点
1．（2023秋·河南洛阳·高一统考期末）若函数 的定义域为集合 ，值域为集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 解得 ，所以 ，
任取 ，则 ， ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是增函数，且 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
2．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末） 的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【详解】设 ，
则 ，
因为 ，所以 时， 的最大值是 ，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】当 时， ，即值域为 ，满足题意；
若 ，设 ，则需 的值域包含 ，
，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 .
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域和值域均为 ，则 的值为
__________.
【答案】
【详解】解：因为 ，对称轴为 ，开口向上，
所以函数在 上单调递增，
又因为定义域和值域均为 ，
所以 ，即 ，解得 （舍去）或 ，
所以 .
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为
__________．
【答案】
【详解】解：因为函数 的值域为 ，
所以 能够取到大于等于 的所有数，
当 时 ，不合题意；
当 时，则 ，解得 ；
综上可得 .
故答案为： ．
6．（2023·高一课时练习）求函数 的值域______．
【答案】 ##【详解】令 ，则 ，所以 ．又 ，所以 ，即函数
的值域是 ．
故答案为： .
7．（2023·高一课时练习）函数 在 上的值域为________．
【答案】
【详解】 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
则函数 在 上的值域为 ，
故答案为： .
8．（2023·高一课时练习）已知函数 .
(1)若函数 定义域为R，求a的取值范围；
(2)若函数 值域为 ，求a的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）因为函数 定义域为R，
所以 在R上恒成立，
当 时， ，不符合题意；
当 时，要想 在R上恒成立，即 在R上恒成立，
只需 ，
所以a的取值范围为 ；
（2）当 时， ， 符合题意；
当 时，要想函数 值域为 ，只需 ，
综上所述：a的取值范围为 .
9．（2023·高三课时练习）已知函数 ，当 时，值域为______；当 时，值域为
______.
【答案】
【详解】由题知，函数 ， ，
当 时， ，
此时 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
当 时， ，此时 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时，值域为 ；
当 时，
因为 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以当 时， .
故答案为： ； .第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2022秋·山东聊城·高一校考阶段练习）写出一个与 的定义域和值域均相同，但是解析式不同
的函数 ：____________．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】 的定义域为R，值域为 ，
故可令 ，定义域为R，值域为 ，满足要求.
故答案为： .
2．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）若函数 和 的值域相同，但定义域不同，则称 和
是“同象函数”.已知函数 ，写出一个与 是“同象函数”的函数 的解析式：
_________.
【答案】 ，（或 或 等，答案不唯一）
【详解】 的定义域为R，因为 ，所以 ，所以 的值域为 ，
，则 的定义域为 ，因为 ，所以 ，所以 的值域为 ，
所以 与 的值域相同，定义域不同，所以 与 是“同象函数”.
故答案为： （答案不唯一）.
3．（2022秋·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）除函数y＝x， 外，再写出一个定义域和值域
均为 的函数______.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】令 ，满足定义域和值域均为 ，
故答案为： （答案不唯一）②探究性试题
1．（2020秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若 ，则函数 （ ）
A．有最大值10 B．有最小值10
C．有最大值6 D．有最小值6
【答案】B
【详解】因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
即函数 有最小值 ，
再由结合对勾函数的性质可知， 在 上无最大值.
故选：B.
2．（2022秋·安徽六安·高一校考期中）若用 表示 三个数中的最小值,如 .
则函数 的最大值是________．
【答案】6
【详解】解:由题知 为 三个数中的最小值,
则 即是 这三个函数中取同一 值时,函数值最
小的,
反映到图像上,即是三个函数图像中下方的图像,
在同一坐标系下画出三个函数图像如图所示:由上图像可画出 如下所示,
联立 可得 ,
由图可知 的最大值为6.
故答案为:6
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知可得 ，解得 ，其中 ，因此， .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数 ，均有 ，求 ___________
【答案】 ##
【详解】∵ （1）
∴ （2）
由 得 ，
∴ .故答案为： .
3．（2023·高一单元测试）已知函数 ，存在实数 ，使得 ，则实数 的
取值范围是______．
【答案】
【详解】由 得 ，即
，
设 ，则原命题等价于存在t，使得 ， .
∵ 均单调递增，∴ 在 上单调递增，
即当 时， 取得最小值 ，即 ，解得 .
故答案为：
②数形结合思想
1．（2023·高一单元测试）若函数 的定义域是 ，则其值域为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 图像可由 图像向右平移一个单位得到，
如图所示:，
结合图像可知，函数的值域为 .
故选：D
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知 =min{ ， }，下列说法
正确的是（ ）
A． 在区间 单调递增
B． 在区间 单调递减
C． 有最小值1
D． 有最大值1
【答案】BD
【详解】画出 的大致图象，如图所示：
由图象可知， 在区间 上不单调，在区间 单调递减，故 错误， 正确，
当 或 时， 取得最大值1，无最小值，故 错误， 正确，
故选： .
3．（2023·高一课时练习）画出函数 的图象，并根据图象回答下列问题.
(1)比较 ， ， 的大小；
(2)若 ，比较 与 的大小；
(3)求函数 的值域.
【答案】(1)(2)
(3)
【详解】（1）函数 的定义域为R，
列表：
x -2 -1 0 1 2 3 4
y -5 0 3 4 3 0 -5
描点，连线，得函数图象如图所示：
根据图象，容易发现 ， ，
所以 .
（2）根据图象，得到当 时，有 .
（3）根据图象，可以看出函数的图象是以 为顶点，开口向下的抛物线，
因此，函数的值域为 .
