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第 03 讲 二项式定理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
角度2：系数最大问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：二项式定理
（1）二项式定理
一般地，对于每个 （ ）， 的展开式中 共有 个，将它们合并同类
项，就可以得到二项展开式：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn （
n n n n n
）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn ， 等号右边的
n n n n n
多项式叫做 的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为 ( ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符
号等.
（4）二项展开式的通项
二项展开式中的 ( )叫做二项展开式的通项,用 表示,即通项为展开式的第
项: .通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面
有着广泛的应用.
知识点二：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
②增减性：当 时，二项式系数递增，当 时，二项式系数递减；
③最大值：当 为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当 为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
知识点三：各二项式系数和
（1） 展开式的各二项式系数和：
；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知 的展开式的各项系数之和为81，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例题2．（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测） 的展开式中的常数项为___________.
例题3．（2022·云南师大附中高三阶段练习）在 的展开式中， 的系数为8，则实数 的值为
______．
例题4．（2022·浙江绍兴·一模） 的展开式中常数项为______.（用数字作答）
同类题型归类练
1．（2022·四川广安·高三阶段练习（理））在 展开式中 的系数为24，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．2．（2022·上海市延安中学高三期中） 的二项展开式中， 的系数为_________.
3．（2022·四川雅安·模拟预测（理））在 的展开式中， 的系数为 ，则 ______．
4．（2022·上海奉贤·高三期中）在 的展开式中， 的系数为______．
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
典型例题
例题1．（2022·福建·福州三中高三阶段练习） 的展开式中 的系数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
例题2．（2022·广东惠州·高三阶段练习） 的展开式中， 的系数为_________.（用数字作
答）
例题3．（2022·吉林·长春外国语学校高二期中） 的展开式中，记 项的系数为
，则 ______．
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高二期中） 的展开式中所有项的系数和为________．
2．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习） 的展开式中含 项的系数是
__________（结果用数字表示）.
3．（2022·云南普洱·高二期末） 的展开式的常数项为_______．
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试） 的展开式中 的系数为（ ）
A．42 B．56 C．62 D．66
例题2．（2022·辽宁·模拟预测）记 的展开式中含 项的系数为 （其中 ），则函
数 的最小值为（ ）
A．﹣45 B．﹣15 C．0 D．15
例题3．（2022·全国·高二单元测试） 的展开式中所有不含 的项的系数之和为（ ）
A． B． C．10 D．64
同类题型归类练
1．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）关于 的展开式，下列结论不正确的是
（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0
C．常数项为 D．系数最大的项为第3项
2．（2022·安徽·高二期中） 的展开式中含 项的系数为（ ）
A．－120 B．120 C．－60 D．60
3．（2022·浙江邵外高二阶段练习） 的展开式的各项系数和为 ，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在 的展开式中，所有二项式系数
和为64，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例题2．（2022·浙江邵外高二期中）已知 的展开式中第 项和第 项的二项式系数相等，则 为
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·浙江·绍兴一中高三期中） 的展开式中，所有项的二项式系数之和为________.
例题4．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）若 展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常
数项为______．
例题5．（2022·上海市杨思高级中学高三期中）已知 的二项展开式中，所有二项式系数的和为
256，则展开式中的常数项为___________.同类题型归类练
1．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）求 的展开式的第4项的二项式系数（ ）
A． B． C．15 D．20
2．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）若 的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项
式系数相等，则 （ ）．
A．10 B．9 C．8 D．7
3．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）在 的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为
，则展开式的项数为___________
4．（2022·北京八十中高二期中）二项式 的展开式中各项的二项式系数之和为________.
5．（2022·山东德州·模拟预测）在 的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为 ，则
展开式的常数项为______．
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知 的展开式中，第3项的系数与
倒数第3项的系数之比为 ，则展开式中二项式系数最大的项为第（ ）项.
A．3 B．4 C．5 D．6
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知 为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为 ，
展开式的二项式系数的最大值为 ，且 ，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例题3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知 （ ）展开式中第5项和第6项的二
项式系数最大，则其展开式中常数项是________.
例题4．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）在二项式 的展开式中.
(1)求 的系数；(2)求展开式中二项式系数最大的项.
同类题型归类练
1．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知 的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该
展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南益阳·高二期末）在 的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的
值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2022·北京·牛栏山一中高二期中）在已知 的展开式中各项的二项式系数之和为32．
(1)求 ；
(2)求展开式各项系数之和；
(3)求展开式中二项式系数取得最大值的项．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求展
开式中二项式系数最大的项．
角度2：系数最大问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习） 按 降幕排列的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第 项和第 项 B．第 项
C．第 项和第 项 D．第 项例题2．（2022·河南河南·三模（理））已知 的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系
数之比为 ，则展开式中二项式系数最大的项的系数为______．
例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）在 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等
差数列.
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
例题4．（2022·全国·高二单元测试）在 的展开式中.求：
（1）所有项的系数和；
（2） 的系数；
（3）系数最大的项.
同类题型归类练
1．（多选）（2022·江苏·常州市第一中学高二期中） 的展开式中系数最大的项是（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
2．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知在 的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为
32.
(1)求n的值；
(2)求展开式中系数最大的项.
3．（2022·江苏·苏州外国语学校高二期末）若 展开式中前三项的系数和为163，求：
（1）展开式中所有x的有理项；
（2）展开式中系数最大的项.
