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第 06 讲 拓展三：三角形中线，角平分线专题
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题型一：重点考查三角形中线问题......................................1
方法一：三角形中线向量化.........................................1
方法二：角形式（ ）........................................4
题型二：重点考查三角形角平分线问题..................................6
方法一：等面积法.................................................6
方法二：角形式（ ）........................................9
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题型一：重点考查三角形中线问题
方法一：三角形中线向量化
典型例题
例题1．（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第四中学校考阶段练习）已知
的夹角为 ，则三角形 的 边上中线的长为________.
例题2．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）在锐角三角形 中，角 ， ， 所
对的边分别为 ， ， ，已知 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，边 的中点为 ，求中线 长的取值范围．例题3．（2023春·福建·高一校联考期中） 的内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，三角形面积 ，求 边上的中线 的长．
例题4．（2023·广东广州·统考模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的取值范围.
精练核心考点
1．（2023春·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）在斜三角形 中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且满足 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 上的中线 长为 ，求斜三角形 的面积．
2．（2023春·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）在 中，角 的对边分别为 ，且 的面积为
(1)求角 的大小；
(2)若 是 的一条中线，求线段 的长.
3．（2023春·辽宁大连·高一校联考期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
4．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求角A；
(2)若 ， 的面积为 ，求边BC的中线AD的长.方法二：角形式（ ）
典型例题
例题1．（2023春·浙江杭州·高一校考阶段练习）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 边上的中线 ，且 ，求 的周长．
例题2．（2023·全国·高三专题练习） 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 边上的中线 ，求 的面积.
例题3．（2023·辽宁丹东·高三统考期中） 中，已知 ．
(1)求 ；
(2)设 为BC边上一点，且满足______，若 ，求 面积 ．
从下面①②两个条件中任选一个补充在上面问题中的横线处并作答．
① 为 边中线，且 ；
②AD为 的平分线，且 ．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
精练核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在 中，已知 ， ， ，BC边上的中线为AM．
(1)求 的值；
(2)求 ．
2．（2023·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）在 中，
边上的中线长为 .
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
3．（2023·福建泉州·高一统考期末）在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
三个内角 的对应边分别为 ，且满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若D为边AC的中点，且 ，求中线BD长．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．题型二：重点考查三角形角平分线问题
方法一：等面积法
典型例题
例题1．（2023·高一单元测试）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 ， 时， 的面积为
C．若 是 的角平分线，且 ，则
D．当 时， 为直角三角形
例题2．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）在① ，②
，③ 中选一个，补充在下面的横线中，并解答.
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足________.
(1)求 ；
(2)若内角 的角平分线交 于 点，且 ，求 的面积的最小值.（注：如果选择多个条件
分别解答，那么按第一个解答计分）例题3．（2023·河北邯郸·统考三模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为
， ．
(1)若 ，求 ；
(2) 为 上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段 的最大值．
条件①： 为 的角平分线； 条件②： 为边 上的中线．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
例题4．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， 且满足
.
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，点 在边 上， 是 的角平分线，且 ，求 的周长.
精练核心考点
1．（2023春·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）已知 的内角 所对的边分别为
从下列三个条件中选择一个并解答问题：
① ；② ；③ .
(1)求角 的大小；
(2)（i）若 的面积为 ， ，角 的内角平分线交 于 ，求 ．
（ii）若 ，动点 分别在边 ， 上，如果 把 成面积相等的两部分，求 长度的
最短值．
2．（2023春·北京·高一北京师大附中校考期中）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
△.
(1)求角C的大小；
(2)CD为 ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
△
（i）求证: ；
（ii）若 ， ，求CD的长.
3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， ， ， ， 外接圆面积为 .
(1)求 ；
(2)若 为角 的角平分线，交 于 点，求 的长.
4．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）在凸四边形 中，
， ， ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 的角平分线交对角线 于点 ，求 的最大值．方法二：角形式（ ）
典型例题
例题1．在 中，点 在边 上， ， ．
(1)若 是 的角平分线，求 ；
(2)若 是边 上的中线，且 ，求 ．
例题2．如图，在 中， ， 的角平分线交 于点 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的长．
精练核心考点
1．在△ 中， 是 的角平分线， 且交 于 . 已知 ， 则
__________， __________.
2．已知在平面四边形 中， ， ， 为 的角平分线
(1)若 ，求 的面积;
(2)若 ，求 长.3．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ， ， ，点 是 上的点．
（1）若 是 的角平分线，求 的值；
（2）若 是 边上的中线，求 的长．
