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25.1 一元二次方程的概念
（导学案）
（1）理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的三大判定特征；熟记一元二次方程的一般形式，能
准确识别方程的各项及系数；掌握方程根的定义，会检验一个数是否为一元二次方程的根.
（2）经历“实际问题列方程—观察对比—归纳概念—辨析应用”的全过程，提升抽象概括、类比迁移、
数学建模的能力.
（3）感受方程与生活的紧密联系，体会数学建模的实用性，培养严谨的数学辨析思维，激发主动探究代
数问题的兴趣.
重点：一元二次方程的定义及三大核心特征；一元二次方程的一般形式及各项、系数的识别；一元二次方
程根的检验方法.
难点：理解一般形式中二次项系数 a≠0 的核心意义；复杂整式方程的化简与一元二次方程的精准辨析；
结合实际问题感知建立一元二次方程模型.
第一环节 自主学习
问创设情景，引入新课
展示课本中实际问题，引导学生设未知数、列方程：
1. 面积问题：一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在四个角截去相同的正方形，折起后无盖长方体底面积
为3600cm ²，设截去的正方形边长为xcm，如何列方程？
2. 比赛场次问题：组织排球邀请赛，每两队之间赛一场，7 天赛程，每天4 场，总28 场比赛，设参赛队
伍为x 支，如何列方程？
【学法指导】自研课本P2-3 页内容，
(一)类比旧知，归纳定义
活动1：对比所学一元一次方程（ax+b=0,a≠0），观察上述两个方程，有哪些相同点和不同点？
追问1：上面的两个方程含有几个未数？
一个
追问2：未知数的最高次数是多少？
2
追问3：等式两边的代数式有什么特点？
等式两边都是整式
总结共性：只含有一个未知数（一元）；未知数的最高次数是2（二次）；等式两边都是整式（整式方
程）.
学生尝试给方程下定义.
规范定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程，叫做一元二次方程.
（二）规范一般形式，辨析各项系数
活动2：任意一元二次方程经过整理可以统一化为什么形式？
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学生交流讨论：任意一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项），都可化为统一形式：
，这就是一元二次方程的一般形式.
规范定义：一元二次方程的一般形式是
，其中
是二次项，a 是二次项系数
；
是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.
强调核心条件：
，若a=0，方程变为bx+c=0，即为一元一次方程，不再是一元二次方
程；b、c 可以为0.
（三） 认识方程的根
活动3：什么一元二次方程解（根）？
复习回顾：什么是一元一次方程的解？
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解
尝试类比一元一次方程的解，给出定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程
的解，一元一次方程的解也叫方程的根.
活动4：如何检验是否是一元二次方程的解（根）
学生讨论依据和方法.
依据是一元二次方程的解（根）的定义，方法代入方程两边根据是否相等判断.
实际检验：以方程
为例，检验x=8、x=7 是否为方程的根，规范检验步骤：代入——计算左
右两边——对比判断.
【自研自探】
自研课本P2-3 页内容
典型例题
例１.已知
是关于x 的一元二次方程，求m 的值．
【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方
程式是一元二次方程”，即可求解．
【详解】解：∵
是关于x 的一元二次方程，
∴
且
，
解得：
．
例2.将一元二次方程
化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常
数项分别是什么？
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为
．一元二次方程化为一
般形式后，找出一次项系数与常数项即可．
【详解】解：方程整理得：
，
则一次项系数、常数项分别为
，3．
例3.已知关于
的方程
的一个根为，求
的值．
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，由于一根为，把
代入方程即可求得
的值．
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【详解】解：
关于
的方程
的一个根为3，
，
解得
，
的值为．
第二环节 合作探究
1.讨论一元二次方程定义
2.讨论一元二次方程的一般形式及各项系数
3.讨论什么是一元二次方程的根,怎样判别.
拓展提升：
1.若
是关于
的方程
的一个根，求
的值.
【详解】解：∵
是关于
的方程
的一个根，
∴
，
∴
，即
，
∴
.
课本课堂练习（P3-4）
1.（2025·贵港统考）关于
的方程
是一元二次方程，则
满足的条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】解：由一元二次方程的定义可得
，解得：
．
故选A．
2．（2025·长沙·九年级统考）已知
是关于x 的一元二次方程
的一个根，则m 的值是（
）
A．
B．0
C．2
D．4
【详解】解：把
代入方程
得：
，
解得：
．
故选：D．
3.（2025·贵港·九年级统考）若关于
的一元二次方程
的一个根为1，求
的值.
【详解】解：由题意，得：
，
∴
．
1. 知识与技能：（1）一元二次方程定义：一元、二次、整式方程三大核心特征；（2）一般形式：
，明确各项及系数的定义，牢记二次项系数不为
0 ；（3）方程的根：能使方程左右
两边相等的未知数的值，掌握规范检验方法.
2. 思想方法：（1）类比思想：类比一元一次方程的定义、解、一般形式，快速掌握一元二次方程相关知
识；（2）建模思想：将生活实际问题转化为一元二次方程数学模型；（3）分类讨论思想：根据二次项系
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数是否为
0 ，区分一元二次方程与一元一次方程.
3. 易错提醒：（1）判定方程类型前，必须先化简为整式方程，分式方程、根式方程一定不是一元二次方
程；（2）一般形式中，二次项系数
a ≠
0 是必备条件，参数题型优先考虑此条件；（3）识别各项、系数时，
必须包含项前面的正负符号，常数项可正、可负、可为
0 ；（4）方程的根可以有多个，检验时需严格代入
计算，不可主观臆断.
