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第 08 讲 函数与方程(精讲）
目录
第08讲 函数与方程(精讲）...........................................1
第一部分：知识点必背................................................2
1、函数的零点....................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：函数零点所在区间的判断...............................3
高频考点二：函数零点个数的判断...................................5
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数.....................6
高频考点四：比较零点大小关系.....................................7
高频考点五：求零点和.............................................8
高频考点六：根据零点所在区间求参数...............................9
高频考点七：二分法求零点........................................10
第四部分：新文化（定义）题.........................................11
第五部分：数学思想方法.............................................12
①函数与方程的思想..............................................12
②数形结合的思想................................................13
③分类讨论的思想................................................14
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、函数的零点
对于一般函数 ，我们把使 成立的实数 叫做函数 的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 轴的交点的横坐标
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程
的近似解就是求函数 零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交
点；
④函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交点
，其中 为常数.
第二部分：高考真题回归
1．（2021·天津·统考高考真题）设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
2．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
3．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若 至
少有3个零点，则实数 的取值范围为______.
4．（2022·北京·统考高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ________；
________．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程 的近似解，以下区间可以作为初始区
间的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数 零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知 均为 上连续不断的曲线，根据下表能
判断方程 有实数解的区间是（ ）
0 1 2 3A． B． C． D．
例题4．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）函数 的零点所
在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（2023春·安徽阜阳·高一统考开学考试）已知函数 在下列区间中，包含 零点的区
间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 的解在 内，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数 的图象是一条不间断的曲线，它的部分
函数值如下表，则（ ）
1 2 3 4 5 6
A． 在区间 上不一定单调
B． 在区间 内可能存在零点
C． 在区间 内一定不存在零点
D． 至少有 个零点高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数 的零点个数
是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数 ，则方程 的实
根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例题3．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知 为定义在 上的奇函数，当 时， 单
调递增，且 ， ， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例题4．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知函数 的零点个数为
___________.
练透核心考点
1．（2023·江西赣州·统考一模）若函数 ，则方程 的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数 的零点个数是（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 则 解的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数 ，则函数 的零点个数为
___________.高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若方程 ，且 有两个不同实数根，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 有
两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数 ，函
数 恰有三个不同的零点，则 的取值范围是 _______．
例题4．（2023秋·四川成都·高一中和中学校考期末）已知函数 （ 且 ）是奇
函数，且 .
(1)求 ， 的值及 的定义域；
(2)设函数 有零点，求常数 的取值范围；
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 恰有两个零点，
则 的可能取值为（ ）．
A． B． C．4 D．62．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数 若 恰有2个零点，则实数a
的取值范围是___________.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 恰有一个零点，则实数a的取值范围为
______．
4．（2023·高三课时练习）若函数 存在零点，则实数 的取值范围是________
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知 ，且 是方程 的两实
数根，则 ， ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023秋·广东江门·高一统考期末）已知 ， ，
的零点分别是 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零
点分别为 ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别为
、 、 ，则 、 、 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·上海·高一专题练习）已知函数 ，且m，n是方程 的两个根
（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 是自然对数的底数，函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的所有零点之和为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义域为 的偶函数，且满足 ，当
时， ， （ ），则函数 所有零点的和为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例题3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在 上的奇函数 满足 ，且当
时， ，则函数 的所有零点之和为______.例题4．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）已知函数 ，若关于 的方程
恰有3个不相等的实数根，则实数 的取值范围是__________；若三个不相等的实数根分别为
，则 的取值范围是__________.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
2．（多选）（2023秋·广东·高一统考期末）已知函数 ，函数 有四个不
同的零点 ，且 ，则（ ）
A．a的取值范围是 B．
C． D．
3．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）定义在 上的奇函数 ，当 时，
，则函数 的所有零点之和为___________．
4．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）定义域为 的函数 ，若关于
的方程 恰有5个不同的实数解 ， ， ， ， ，则 ______．
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校考期末）设函数 ，若函数在 上存在零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）设函数 ，
，若函数 在区间 上有且仅有一个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设 为实数，函数 在 上有零点，则实数 的取
值范围为________．
例题4．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数 的零点为 ，且
，则 __________.
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）若关于 的方程 在 上有解，则实数 的取
值范围是______．
3．（2023·高三课时练习）已知函数 的零点 ， ，则 ______．
4．（2023春·河南新乡·高一校考开学考试）已知函数 与 的图象上存在关
于y轴对称的点，则a的取值范围是______．高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程 的近似解，以下区间可以作为初始区
间的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）在用二分法求函数 零点
的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为 ，则下一步应当确定零点位于区间（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（多选）（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）某同学求函数 的零点时，用
计算器算得部分函数值如表所示：
则方程 的近似解（精确度 ）可取为（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程 在
（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解 所在的区间为___________.第四部分：新文化（定义）题
1．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之
一，享有“数学王子”的称号，设 ，用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函
数”，例如 ， ， ，设 为函数 的零点，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”
中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日
自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一
天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研
究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高
斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整
数，如 ， ， 表示实数 的非负纯小数，即 ，如 ， ．
若函数 （ ，且 ）有且仅有 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“ ”： 设函数
．若函数 恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
5．（2022秋·山东·高一统考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
美誉，函数 称为高斯函数，其中 ， 表示不超过x的最大整数，例如： ，
．
①若函数 ，则 的值域为______；
②若函数 ，则方程 所有的解为______．第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）已知函数 与 的零点分别
为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若直线 与 有三个不同的交
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020秋·安徽合肥·高三长丰县第一中学校考阶段练习）已知函数 ，则方程
的根的个数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023·高一课时练习）若正实数 是方程 的根，则 ___________．
②数形结合的思想
1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知 为定义在 上的奇函数，当 时， 单调递
增，且 ， ， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程有8个不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数 是定义域为R的偶函数，当 时，
，若关于x的方程 有且仅有5个不同实数根，则
______．
4．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）关于 的方程 有四个实数解，则 的取值范围是
______________
③分类讨论的思想
1．（2023秋·浙江·高一期末）设函数 ．
(1)当 时，根据定义证明函数 在区间 上单调递减；
(2)设 ，若 在 上存在两个零点，求实数a的取值范围．
2．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若对任意 ，存在 ，求实数 的取值范围；
(3)若函数 ，求函数 零点的个数.3．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）已知函数 ．
(1)求 的单调递减区间及最小正周期；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，讨论函数 在 上的
零点个数．
