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专题03 数列大题（通项公式及数列求和）
（4 维精讲+3 维精练）
考前百日冲刺目录
引领风向--最新模考新颖题（5 题）............................................1
最新热点热搜题（5 题）......................................................3
最新高频经典题（5 题）......................................................4
最新高考真题回顾（5 题）....................................................5
最新模考基础练（5 题）......................................................6
最新模考能力练（5 题）......................................................7
最新模考压轴练（5 题）......................................................8
引领风向
-- 最新模考新颖题（
5 题）
【典例】1．（2026·河北沧州·一模）记
分别为数列
的前
项和，其中
满足
，且
．
(1)求
及
；
(2)当
为正奇数时，比较
与
的大小．
【典例】2．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)若
为等差数列，且
，
，求数列
的通项公式；
1
(2)若对任意
，都有
．
①求证：
是等差数列；
②设
，
，
，求
的公差
的值．
【典例】3．（2025·浙江绍兴·二模）已知数列
满足
，且
.
为等差数列，其前
项的和为
，有
．
(1)设
．
（i）求，并证明
为等差数列．
（ii）在
的前5 项中随机取3 项，设其小于的项数为X．求X 的分布列与数学期望．
(2)证明：
【典例】4．（2025·河南信阳·模拟预测）若数列
满足：当
为奇数时，
；当
为偶数
时，
.则称数列
为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6 为和积交替数列，分别求实数a，b 的值；
(2)若数列
为和积交替数列，且
，
.
（i）若3 是数列
中的项，求实数的值；
（ii）若
，证明：
.
【典例】5．（2025·云南·模拟预测）在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练．每次传球按以下
规则转移：当球在甲脚下时，他有
的概率继续控球（不传给别人），
的概率传给乙；当球在乙脚下时，
2
他有
的概率回传给甲，
的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有
的概率传给甲，
的概率传给乙．初
始时球在甲处，每次传球是相互独立的．
(1)求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率；
(2)记
次传球后，球在甲处的概率为
，在乙处的概率为
．
（i）证明：数列
是等比数列；
（ii）求
和
的通项公式．
最新热点热搜题（
5 题）
【典例】6．（2025·河北·二模）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【典例】7．（2025·湖南·模拟预测）设正项数列
的前n 项和
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【典例】8．（2025·湖北武汉·一模）已知数列
的首项为
，前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求满足
的
的最小值；
3
(3)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
【典例】9．（2025·江苏·一模）在①
；②
；③
这三个条
件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题．
已知数列
的各项均为正数，其前
项和为
，且对任意正整数
，有______．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【典例】10．（2025·浙江宁波·一模）记
为正项数列
的前
项和，已知
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，
，求证：
.
最新高频经典题（
5 题）
【典例】11．（2025·河南·二模）已知数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
的前
项和为
，求证：
.
【典例】12．（2025·贵州毕节·二模）已知数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
4
【典例】13．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列
满足
，
，记
，
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前
项和
.
【典例】14．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列
满足，
，
，若
．
(1)求证：
是等差数列；
(2)求
的前
项和
的最小值；
(3)求
的前
项和
．
【典例】15．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列
满足
，
（
），记
．
(1)求证：
是等比数列；
(2)设
，数列
的前n 项和为
．若不等式
对一切
恒成立，求实数
的取值范围．
最新高考真题回顾（
5 题）
【典例】16．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
5
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
【典例】17．（2024·全国甲卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【典例】18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数
列，若从中删去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，
则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证明：
．
【典例】19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为等差数列，
，记
，
分
别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
6
【典例】20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别为数列
的前
项和．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
最新模考基础练（
5 题）
21．（2026·吉林白山·一模）已知等差数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
22．（2025·安徽合肥·二模）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
23．（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列
中，
，
，且数列
为等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)记
为数列
的前n 项和，证明：
．
7
24．（2025·浙江嘉兴·一模）已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，求使得
的
的最小值.
25．（2025·江西·模拟预测）已知数列
的首项
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数的取值范围.
最新模考能力练（
5 题）
26．（2026·辽宁沈阳·一模）已知数列
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64，数列
是公比
大于0 的等比数列
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
.
27．（2026·陕西西安·一模）已知
是等差数列，
是公比为正整数的等比数列，且
，
，
.
(1)求
，
的通项公式；
(2)记
（
），求
.
8
28．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和.
29．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列
的前n 项和为
，
，且4，
，
成等
比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
30．（2026·河北邯郸·模拟预测）设函数
的图象在
处的切线平行于直线
，
记
的导函数为
，数列
满足：
.
(1)试判断数列
的单调性，并给出证明；
(2)当
时，求证：
.
最新模考压轴练（
5 题）
31．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列
满足
，
，
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式；
(3)记
，数列
的前
项和为
，证明：
.
9
32．（2025·四川德阳·一模）数列
的通项公式
，
的通项公式
，且
.
(1)求
，
的值；
(2)求
的前
项和
.
33．（2025·江苏·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，其中
，
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若数列
的通项
，其前n 项和为
，求
（用n 表示）．
34．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正项数列
的前
项和为
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)从数列
前5 项中任取2 项相加，所得和组成集合
，从
中任取3 个元素，记取到的能被4 整除
的元素个数为
，求
的分布列与期望；
(3)证明：当
时，
.
35．（2026·山东青岛·模拟预测）已知数列
满足如下条件：
①
；
②
；
③存在正整数
，使得
；
10
④对任意正整数i，j，k 满足
，都有
．
(1)若
，求
的最大值；
(2)设n 的最大值为m，求m 的值；
(3)当n 取最大值m 时，求
的最小值．
11
