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专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，Q 为AP 中点．Q 点轨迹是？
如图，连接AO，取AO 中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折
中）
如图，若P 为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P 三点共圆，
则动点P 是以A 圆心，AB 半径的圆或圆弧。
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模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB=90°，则动点P 是以AB 为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧。
P
P
A
B
O
P
P
P
A
B
P
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半
径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，
的一条直角边
在x 轴
上，点A 的坐标为
；
中，
，连接
，点M 是
中
点，连接
．将
以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段
的最小值是
（ ）
A．3
B．
C．
D．2
例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段
为
的直径，点
在
的延长线上，
，
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，点
是
上一动点，连接
，以
为斜边在
的上方作Rt
，且使
，连接
，则
长的最大值为 ．
例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，
是正方形
边
的中点，
是正方形内一点，连接
，线段
以
为中心逆时针旋转
得到线段
，连接
．若
，
，则
的最小值
为 ．
例4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形
中，
，动点
在矩形的边上沿
运动．当点
不与点
重合时，将
沿
对折，得到
，连接
，则在点
的运动过程中，线段
的最小值为 ．
例5．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形
中，
，点E 在线段
上运动，点F 在线段
上，
，则线段
的最小值为 ．
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例6．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，点A，C，N 的坐标分别为
，以点C 为圆
心、2 为半径画
，点P 在
上运动，连接
，交
于点Q，点M 为线段
的中点，连接
，
则线段
的最小值为 ．
例7．（2023 上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形
为矩形
内一
点，且
，若点
绕点
逆时针旋转
到点
，则
的最小值为 ．
例8．（2023 下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出：
（1）如图①，在
中，
，
，
，则
的长为__________；
问题探究：（2）如图②，已知矩形
，
，
，点P 是矩形
内一点，且满足
，连接
，求线段
的最小值；
问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地
，其中
，
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，
，点E 为
边上一点，且
，
，为了美化环境，要求四边
形
的面积尽可能大，求绿化区域
面积的最大值．
课后专项训练
1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在
中，
，
，以
为边作等腰直角
，
连
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在
中，
，
，
面积的最
大值是（ ）．
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A．
B．
C．
D．
3．（2022 秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A 是
上任意一点，点C 在
外，已知
是等边三角形，则
的面积的最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
4．（2023·山东济南·一模）正方形ABCD 中，AB=4，点E、F 分别是CD、BC 边上的动点，且始终满足
DE=CF，DF、AE 相交于点G.以AG 为斜边在AG 下方作等腰直角△AHG 使得∠AHG=90°，连接BH．则
BH 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形
中，已知
，
，点
是
边
上一动点点
不与点
，
重合，连接
，作点
关于直线
的对称点
，连接
，则
的最小
值为 ．
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6．（2023 春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G 是
内的一点，且
，
是等
边三角形，若
，则
的最大值为 ．
7．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形
中，
，
，P 为
的中点，连
接
．在矩形
外部找一点E，使得
，则线段
的最大值为 ．
8．（2023·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD 中，
，
，点E 在BC 上，且
，点M
为矩形内一动点，使得
，连接AM，则线段AM 的最小值为______．
9．（2023 江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC 和等边△CDE 中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD 为邻边作
平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE 绕点C 旋转一周，则线段AF 的最小值是______．
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10．（2023 秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，
为等腰直角三角形，
，
，点
为
所在平面内一点，
，以
、
为边作平行四边形
，
则
的最小值为 ．
11．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点
是正方形
的内部一个动点（含边界），且
，点
在
上，
，则以下结论：①
的最小值为；②
的最小值为
；③
；④
的最小值为
；正确的是 ．
12．（2021·广东·中考真题）在
中，
．点D 为平面上一个动点，
，则线段
长度的最小值为_____．
13．（2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 为边BC 上一动点，F 为AE 中
点，G 为DE 上一点，BF＝FG，则CG 的最小值为______．
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14．（2023 秋·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形
中，
，点
是以
为直径的
圆上的点，连接
，将线段
绕点
逆时针旋转
，得到线段
，连接
，则线段
的最大值与
最小值的和 ．
15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形
中，
，Q 是矩形
左侧一点，
连接
、
，且
，连接
，E 为
的中点，连接
，则
的最大值为 ．
16．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角
中，
，
，点
是平面内一点，
，连接
，将
绕
点逆时针旋转
得到
，连接
，当
填度数度时，
可以取最大值，最大值等于 ．
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17．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图，
是腰长为4 的等腰直角三角形，
，以A 为
圆心，2 为半径作半圆A，交
所在直线于点M，N．点E 是半圆A 上仟意一点．连接
，把
绕点B
顺时针旋转90°到
的位置，连接
，
．
(1)求证：
；(2)当
与半圆A 相切时，求弧
的长；(3)直接写出
面积的最大值．
18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系
中，已知点
对于点
给出如下定义：将点
向右
或向左
平移
个单位长度，再向上
或向下
平移
个单位长度，得到点
，
点
关于点
的对称点为
，称点
为点
的“对应点”．(1)如图，点
点
在线段
的延长线
上，若点
点
为点
的“对应点”．①在图中画出点
；②连接
交线段
于点
求证：
(2)
的半径为1，
是
上一点，点
在线段
上，且
，若
为
外
一点，点
为点
的“对应点”，连接
当点
在
上运动时直接写出
长的最大值与最小值的差
（用含的式子表示）
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19．（2023 下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，
为等边三角形，点P 是线段
上一动点（点
P 不与A，C 重合），连接
，过点A 作直线
的垂线段，垂足为点D，将线段
绕点A 逆时针旋转
得到线段
，连接
，
．(1)求证：
；(2)连接
，延长
交
于点F，若
的
边长为2；
①求
的最小值；②求
的最大值．
20．（2023·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图像与x 轴交
于点A 和点
，与y 轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 是抛物线上一点，满足
，求点P 的坐标；(3)若点Q 在第四象限内，且
，点M 在y 轴正半轴，
，线段
是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
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