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第 03 讲 平面向量的数量积 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知向量 且 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-1
【答案】A
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可
【详解】由 ，得 ，解得 ，
故选：A
2．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知点 ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【分析】先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：D.
3．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量 满足 ，且
，则 与 的夹角 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量夹角余弦公式求出 ，得到答案.
【详解】∵ ，且 ，
，
∵ ，
∴ .故选：B.
4．（2024·河北·模拟预测）平面向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】依题意， 在 方向上的投影向量为 .
故选：D
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知 ， ，若 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】 ，由 得 ，
解得 .
故选：A.
6．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）已知向量 ，若 与 垂
直，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 与 垂直，由 求解.
【详解】解： ，
与 垂直，
，
.
故选：A.
7．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量 的夹角为 ，且 ，则（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】由平面向量减法的几何意义，结合平面几何的知识可解.
【详解】在边长为6的等边三角形 中，设 ，
则 ，故 .
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）单位向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：将 平方得 ，求出 ，再利用夹角公式求解；
法二：设 向量坐标化，确定 ，再利用向量夹角的坐标公式求解.
【详解】法一：因为 ，所以 ，所以 .
由 是单位向量，得 ，故 .
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .
法二： 因为 ，所以 .因为 是单位向量，
所以设 ， ， ，则 ， ，，
解得 .
取 ，则 .
因为 ， ，
所以 .
故选：B.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ．若
，则（ ）
A． B．
C． 在 方向上的投影向量为 D．与 反向的单位向量是
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标运算及投影向量、单位向量的定义一一判定选项即可.
【详解】 ．
．
，即 ．
，即 ，解得 ，则 ．
对于A， ，故A正确；
对于B，因为 ，故B正确；
对于C， 在 方向上的投影向量为 ，故 正确；对于D，与 反向的单位向量是 ，故D错误．
故选:ABC．
10．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量 则下列说
法正确的是（ ）
A． 的相反向量是 B．若 ，则
C． 在 上的投影数量为 D．若 ，则
【答案】AC
【分析】由相反向量的定义判断A；由向量垂直数量积为0判断B；由投影数量的概念判断
C；由共线量的坐标运算判断D.
【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到 的相反向量是 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
又 ，且 ，所以 ，解得 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ， ，
所以 在 上的投影数量为 ，故C正确；
对于D，因为 ，又 ，且 ，
所以 ，解得 ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
11．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知 ，若向量 满足 ，则
在 方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【分析】根据数量积的运算律求得 ，根据投影向量的概念，即可求得答案.
【详解】由题意知 ，故 ，
所以 ，而 ，则 ，
故 ，则 在 方向上的投影向量为 ，
即 在 方向上的投影向量的坐标为 ，
故答案为：
12．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形 中，已知 ，点 满足
，且 ，则 ．
【答案】 /
【分析】根据平面向量的线性运算可得 ， ，结合数量积
的运算律和定义即可求解.
【详解】由题意得， ， ，
，
故 ， ．
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知 ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 与 的夹角为 ，求 ；
(3)若 与 垂直，求 与 的夹角．
【答案】(1) ；
(2) ；(3) .
【分析】（1）由 可得出 的夹角为0或 ，再根据 ,即可求出 ；
（2）先求出 ,再利用模长公式求解 ；
（3）根据 与 垂直，即可得出 ，从而可求出 ，进而得出 与
的夹角．
【详解】（1）∵ ，∴ 与 的夹角为 或 ， ∴ = ;
（2） ；
（3） ，∴
∴ ，
，∴
14．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在四边形 中，已知 ， ，
.
(1)若四边形 是矩形，求 的值；
(2)若四边形 是平行四边形，且 ，求 与 夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以 、 作为一组基底表示出 、 ，再根据数量积的运算律计算可
得；
（2）设 与 夹角为 ，结合（1）及数量积的定义计算可得.
【详解】（1） 四边形 是矩形，
，即 ，
又 ， ， ，
， ，
， ，；
（2）设 与 夹角为 ，由（1）得，
，
，即 与 夹角的余弦值 ．
15．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，
， 分别是AD，DC的中点， 为线段
上一点（除端点外），且 ，设 ．
(1)若 ，以 为基底表示向量 与 ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量 与 .
（2）先表示向量 ，再运用向量数量积的定义和运算律可求得 ，从而可求得取
值范围.
【详解】（1）依题意， ，所以
；
由 ，得
所以 .
（2）由（1）知， ，
依题意， ，
由 ， ，得 ，
因此
，
显然 ，则 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
B能力提升
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量 ，则“ ”是“ 与
的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标表示以及夹角范围计算，考虑向量反向的情况可得结论.
【详解】若“ ”可得 ，可得 ；
当 时， 与 的方向相反，其夹角为 ，
即 与 的夹角为钝角或平角，充分性不成立；
若“ 与 的夹角为钝角”，即可知 ，解得 ，必要性成立；
因此“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知 ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设向量 ， 的夹角为 ，求得 的表达式，利用平方的方法，结合余
弦函数的值域等知识求得正确答案.
【详解】设向量 ， 的夹角为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
故选：C
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设A，B，C，D为平面内四点，已知 ，
， 与 的夹角为 ，M为AB的中点， ，则 的最大值为
，此时 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，确定点 的轨迹方程，设 的坐标，分别求出向量 ，
的坐标，结合三角函数性质即可求解．
【详解】以 为原点， 所在直线为 轴，过 作 的垂线为 轴建立平面直角坐标
系，如图所示，
因为 ， ， 与 的夹角为 ，
,
由于 ,故 ，
所以 ，
因为 为 的中点， ，所以 在以 为圆心，半径为1的圆上，
设 , ，
则 ， ，
，所以当 ，即 时， 最大，最大值为 ，
此时 , ，则 ．
故答案为： ； ．
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边
形ABCDEF内或其边界上的一点，则 的最小值为 ；若点N为线段AE（含端
点）上的动点，且满足 ，则 的最大值为 .
【答案】 /-0.5 4
【分析】从向量的数量积的定义入手理解，将数量积最小问题转化为 在 上的投影数
量最小问题，结合图象易于找到，计算即得；根据题意，建立如图坐标系，设动点
， ,表示出相关向量坐标代入题设条件，列出方程组，求出 ，计算
的取值范围即得.
【详解】
如图，由向量数量积的几何意义可知 可理解为 在 上的投影数量与 的乘
积，
要使 最小，需使 在 上的投影数量最小，由图知，当且仅当点 与 重合
时，投影的数量最小，即 ，
故 ；如上图，分别以 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则
,不妨设 ，则 ，
则 ，由 代入坐标，即得，
，
解得： 于是 ，因 ，故当
且仅当 时， 的最大值为4.
故答案为：
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念
推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对 （其中 ）视为一个向
量，记作 ，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量
，我们有如下运算法则：
①
② ；
③
④
(1)设 ， 为虚数单位，求 ， ， ；
(2)设 是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量 ，（其中 ），成立，证明：对于复向量 ， 也成立；
②当 时，称复向量 与 平行.若复向量 与 平行（其
中 为虚数单位， ），求复数 .
【答案】(1) ， ，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据① ③ ④ 即可解题；
（2）①设 ，由 ，得出 ，
结合复数的三角不等式得即可证明；
②由①中复数的三角不等式等号成立的条件知，当复向量各分量均不为零时，其等号成立
的条件是存在非负实数 ，使得 ，即 再由复向量 与
平行时， ，然后根据 中等号
成立的条件，求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
（2）①设 ，则 ，
由复数的三角不等式得 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以
，
综上所知，对于复向量 ， 成立.
②由①中复数的三角不等式等号成立的条件知，
当复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数 ，使得
，即
故复向量 与 平行，有，
根据 中等号成立的条件，
应有 ，即 ，
所以 ，
结合 ，得 ，解得 ；
所以 ，所以 .
