重难点03 函数性质的灵活运用9 大题型
【全国通用】
1、函数性质的灵活运用
函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与
周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合
进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查
基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求
参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，需要灵活求解，二轮复习
时需要加强这方面的训练.
知识点
1 函数的单调性与最值问题的解题策略
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
(3)函数单调性的几条常用结论：
①若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
②若
和
均为增（或减）函数，则在
和
的公共定义域上
为增（或减）函数；
③若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
④若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
3．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
知识点
2 函数的奇偶性及其应用
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函
数，如
．
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶．
(4)复合函数
的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
(5)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数
或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
知识点
3 函数的周期性与对称性的常用结论
1．函数的周期性常用结论(a 是不为0 的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2 a ；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2 a ；
(4)若f(x+a)=
，则T=2a；
(5)若f(x+a)=
，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线
对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点
对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点
对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
(2)若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
(3)若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
知识点
4 抽象函数及其解题策略
1．抽象函数及其求解方法
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象
函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一
身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.
【题型1 函数的单调性及其应用】
【例1】（2025·广东清远·一模）设函数f (x)= x−2
x
，则函数f (x)为（ ）
A．奇函数，且在(0,+ ∞)单调递增
B．奇函数，且在(0,+ ∞)单调递减
C．偶函数，且在(0,+ ∞)单调递增
D．偶函数，且在(0,+ ∞)单调递减
【变式1-1】（2025·安徽合肥·一模）若f (x)=¿是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．(1,+∞)
B．[1,+∞)
C．(2,+∞)
D．[2,+ ∞)
【变式1-2】（25-26 高一上·四川眉山·月考）已知函数f (x)的定义域为R，且它的图象关于x =−2对称，当
x1< x2<−2时，f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0恒成立，设a= f (−3)，b= f (0)，c = f (2)，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<b<a
【变式1-3】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数f ( x)的定义域为R ,f (1+ x)= f (3−x)，且f ( x)在
[2,+ ∞)上单调递减，则不等式f (2 x−3)>f (3)的解集是（ ）
A．(−∞,3)
B．(−∞,2)
C．(3,+∞)
D．(2,3)
【题型2 函数的最值问题】
【例2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数f (x +1)=2
x−2
−x，则f (x)在[−1,1)上的最大值为（ ）
A．3
2
B．15
4
C．0
D．1
【变式2-1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数f (x)，则“∀x∈(0,+∞)，f (x)≥2”是“f (x)在(0,+∞)
上的最小值为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式2-2】（2025·广东·模拟预测）已知f (x)是R上的奇函数，f (x−1)−f (3−x)=0，若f (x)在[0,1)上
单调递增，且f (1)=2，则f (x)在R上的最小值是（ ）
A．−4
B．−3
C．−2
D．−1
【变式2-3】（2025·新疆·三模）已知函数f (x)= ln|
x−1
x +1)−x
4 ，若f (x)在区间(m,m
2)上有最大值，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．(❑√2,❑√3)
B．(❑√2,2)
C．(2,3)
D．(❑√3,3)
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】
【例3】（2025·陕西汉中·一模）若函数f (x)=a+
4
3
x−1
为奇函数，则实数a=（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．4
【变式3-1】（2025·安徽·二模）已知函数f (x)=ln(x
2−2 x +2)，下列函数中为偶函数的是（ ）
A．f (x)+1
B．f (x)−1
C．f (x +1)
D．f (x−1)
【变式3-2】（2025·广西南宁·模拟预测）已知f (x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时f (x)= x
2+ x，则
f (2)的值为（ ）
A．2
B．−2
C．6
D．−6
【变式3-3】（2025·福建漳州·模拟预测）定义在R上的奇函数f (x)满足：∀x1, x2∈(0,+∞)，且x1≠x2
，f (x1)−f (x2)
x1−x2
>1，若f (2)=2，则不等式f (x)> x的解集为（ ）
A．(0,2)
B．(2,+∞)
C．(−∞,−2)∪(0,2) D．(−2,0)∪(2,+ ∞)
【题型4 函数的图象问题】
【例4】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．f (x)=ln(❑√x
2+1+ x)
B．f (x)=ln(❑√x
2+1−x)
C．f (x)=ln
❑√x
2+1+ x
D．f (x)=ln
❑√x
2+1−x
【变式4-1】（2025·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f ( x)在[0,+ ∞)上的图象如图所示，则不等
式( x−❑√3)f ( x)>0的解集为（ ）
A．(−3,0)∪(❑√3,3)
B．(−3,0)∪(0,3)
C．(−∞,−3)∪(0,3)
D．(−∞,−3)∪(❑√3,3)
【变式4-2】（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−8,8)上的大致图象，
则该函数可能是（ ）
A．f (x)= x
4sin x
e
x+e
−x
B．f (x)= x
4(sin x−x)
e
x+e
−x
C．f (x)= x
4cos x
e
x+e
−x
D．f (x)= x
4(cos x−x)
e
x+e
−x
【变式4-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为
（ ）
A．f (x)=
x
|x)−1
B．f (x)= |x)
1−x
2
C．f (x)=−
x
2
|x)+1
D．f (x)=
x
2
1−|x)
【题型5 对称性与周期性的综合应用】
【例5】（2025·湖南·一模）已知f (x), g(x)均为定义在R上的函数，
f (x−1)+ g(x)= x ,f (x)+1= g(1−x)+ x，若f (2 x +1)的图象关于直线x =−1对称，且g(0)=1，则
∑
i=1
30
❑g(i)的值是（ ）
A．463
B．464
C．465
D．466
【变式5-1】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R 的奇函数f ( x)满足f ( x)+ f (2−x)=2，则（ ）
A．f (2)=0
B．f (10)=10
C．f ( x)的最小正周期为2
D．x =1是曲线y = f ( x)的一条对称轴
【变式5-2】（2025·湖南郴州·一模）函数f (x)对∀x∈R ,f (x +2)= f (4−x)，且f (x +6)为奇函数，则下
列说法正确的是（ ）
A．若x∈(0,3)时f (x)=2
x，则f (8)= 4
B．f (x)的周期为6
C．f (x)的图象关于(−6,0)中心对称
D．f (2025)+ f (3)≠0
【变式5-3】（2025·河北邢台·三模）已知定义在R上的函数f ( x)满足f ( x +2)为偶函数，
f (4+ x)=−f (4−x)，则下列说法错误的是（ ）
A．f ( x)的图象关于(4,0)中心对称
B．f ( x)的周期为8
C．f (2025)= f (1)
D．当x∈[0,2]时，f ( x)= x
2−2 x，则f (7)的值为−1
【题型6 类周期函数】
【例6】（2024·云南昆明·二模）定义“函数y = f (x)是D上的a级类周期函数” 如下: 函数
y = f (x), x∈D，对于给定的非零常数 a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有
af (x)= f (x +T )恒成立，此时T为f (x)的周期. 若y = f (x)是[1,+ ∞)上的a级类周期函数，且T =1，当
x∈[1,2)时，f (x)=2 x +1,且y = f (x)是[1,+∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．[
5
6 ,+ ∞)
B．[2,+∞)
C．[
5
3 ,+∞)
D．[10,+ ∞)
【变式6-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数f (x)满足f (x +1)= 1
2 f (x)，且当x∈[0,1)时，
f (x)=1−|2 x−1).当x∈[m,+∞)时，f (x)≤3
32
，则m的最小值为（ ）
A．27
8
B．29
8
C．13
4
D．15
4
【变式6-2】（24-25 高一上·江西吉安·期末）设函数f (x)的定义域为R，且f (x + 4)=2f (x)，当x∈(0,4)
时，f (x)=2 x
2−8 x，若对于∀x∈(−∞,t )，都有f (x)≥−3
2
恒成立，则t 的取值范围是（ ）
A．(−∞,−7)
B．(−∞,−5)
C．(−∞,−3)
D．(−∞,−1)
【变式6-3】（2025·江西新余·一模）若函数y = f ( x)，x∈M对于给定的非零实数a，总存在非零常数T
，使得定义域M内的任意实数x，都有af ( x)= f ( x +T )恒成立，此时T为f ( x)的假周期，函数y = f ( x)是
M上的a级假周期函数，若函数y = f ( x)是定义在区间[0，+ ∞)内的3 级假周期函数且T =2，当
x∈[0,2)，f ( x)={
1
2 −2 x
2,0≤x ≤1
f (2−x),1< x<2)
，函数g( x)=−2ln x + 1
2 x
2+ x +m，若∃x1∈[6,8)，
∃x2∈(0，+∞)使g( x2)−f ( x1)≤0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 13
2 ]
B．(−∞,12)
C．(−∞,39)
D．[12,+∞)
【题型7 抽象函数的性质及其应用】
【例7】（2025·辽宁抚顺·一模）已知定义域为{x|x ≠0))的函数f (x)满足f (x + y)[f (x)+ f ( y))= f (x)f ( y)
，f (1)=2，且当x∈(0,+ ∞)时，f (x)>0恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．f(
2
3)=6
B．f (2 x)=2f (x)
C．f (x)为奇函数
D．f (x)在区间(0,+∞)是单调递增函数
【变式7-1】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数f (x)满足：f
2(x)+ f
2(x +2)= 4，且f (x)f(x + 1
2)>0，若
f (2)<0，则f (2025)=（ ）
A．1
B．❑√2
C．−❑√2
D．−1
【变式7-2】（2025·云南昆明·三模）函数y = f (x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有且仅有
一个交点，对任意x，y ∈R，f (x)+ f ( y)= f (❑√x
2+ y
2)，f (1)=1，则下列说法正确的是（ ）
A．f (2)=2
B．f (x)为奇函数
C．f (x)在(0,+ ∞)单调递减
D．若f (x)≤4，则x∈[−2,2)
【变式7-3】（2025·全国·模拟预测）若定义在R上的函数f (x)满足f (|x))= f (x)，且
f (2+ x)+ f (2−x)=6,f (3)=6，则下列结论错误的是（ ）
A．f (8+ x)= f (x)
B．f (x)的图象关于直线x = 4对称
C．f (201)=3
D．y = f (x +2)−3是奇函数
【题型8 函数性质的综合应用】
【例8】（2025·陕西·模拟预测）已知函数f (x)的定义域是R，f (x−1)的图象关于点(1,0)中心对称，若
f (3)=0，且对任意x1, x2∈(−∞,0)，x1≠x2
，都有f (x2)−f (x1)
x2−x1
<0，则不等式f (3 x−1)
x
≥0的解集为
（ ）
A．[−2
3 ,0)∪(
1
3 , 4
3)
B．[−2
3 ,0)∪[
1
3 , 4
3)
C．[−2
3 ,0)∪[
1
3 , 4
3)
D．(−2
3 ,0)∪(
1
3 , 4
3)
【变式8-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R 的函数f ( x)，其图象关于直线x =1对称，已知
f ( x +2)−1为奇函数，且f (1)=0，则∑
k =1
2025
f (k )=（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【变式8-2】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，且满足f (x)=−f (2−x),f (x +2)为
偶函数，当x∈[1,2)时，f (x)=a x
2+b，若f (0)+ f (3)=6，则f(
25
3 )=（ ）
A．32
9
B．11
3
C．−4
3
D．−17
9
【变式8-3】（2025·江西九江·一模）定义在R上的函数f (x)满足：①对任意x∈R，都有
f (2+ x)= f (1)−f (−x)；②f (2 x)的图象关于直线x =1对称：③f (2)=1,f(
3
2)=
❑√2
2 ．则下列说法正确的
是（ ）
A．f (x +2)是奇函数
B．f (x +1)是偶函数
C．f(−1
2)=−
❑√2
2
D．∑
k =1
2025
f(
k
2)=0
【题型9 函数新定义问题】
【例9】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数f ( x)的定义域为D，若∀x∈D，都有
f ( x +t )>f ( x),t ∈N
∗，则称函数f ( x)为“t距”增函数．若函数f ( x)=2
x
2+a| x|(a∈R)，且f ( x)是
(−1,+ ∞)上的“3 距”增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−1,+ ∞)
B．(−3,+∞)
C．(−∞,−4)
D．(−∞,−2)
【变式9-1】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z上的函数f (x)满足对任意x , y ∈Z均有
f (x + y)= f (x)f (2−y)+ f (2−x)f ( y)，则称f (x)为“S−2函数”.已知f (x)为“S−2函数”，且f (2)=1
，f (−1)<0，则f (0)+ f (47)=（ ）
A．−
❑√2
2
B．0
C．
❑√2
2
D．1
【变式9-2】（2025·上海闵行·一模）如果“若p，则q”和“若q，则p”中有且仅有一个真命题，称p与q
具有“U－关系”．已知函数y = f ( x)的定义域为R，p: y = f ( x)为偶函数，则p与下列选项中的q具有“
U－关系”的为（ ）
A．q：对任意x∈R都有−f ( x)≥f ( x) B．q：对任意x∈R都有f (−x)≥f ( x)
C．q：对任意x∈R都有f (−x)=|f ( x)|
D．q：对任意x∈R都有f (−x)= f (| x|)
【变式9-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数f (x)的定义域为D，若存在实数T (T )>0)，使得对于任
意x∈D，都有f (x)<f (x +T )，则称f (x)为＂T −严格增函数＂，对于＂T −严格增函数＂，有以下四个
结论：
①＂T－严格增函数＂f (x)一定在D上严格增；
②＂T－严格增函数＂f (x)一定是＂nT－严格增函数＂（其中n∈N
∗，且n≥2）
③函数f (x)=[x)是＂T −严格增函数＂（其中[x)表示不大于x的最大整数）
④函数f (x)= x−[x)不是＂T −严格增函数＂（其中[x)表示不大于x的最大整数）
其中，正确的结论个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
一、单选题
1．（2026·湖南株洲·一模）已知f ( x)是奇函数，g( x)是偶函数，其定义域均为R，且
f ( x)+ g( x)= x( x +1)，则f (1)−g(1)=（ ）
A．0
B．2
C．−2
D．1
2．（2026·河北邢台·一模）函数f (x)= x
2
x +1
图象的对称中心的坐标为（ ）
A．(1,−2)
B．(1,2)
C．(−1,2)
D．(−1,−2)
3．（2026·山东·一模）已知奇函数f (x)在[−2,−1)上是增函数，且f (−2)=6，f (−1)=7，则函数f (x)在
[1,2)上的最大值是（ ）
A．6
B．−6
C．7
D．−7
4．（2026·福建漳州·模拟预测）若函数f (x)= ln(x +
❑√a+ x
2)是定义在R上的奇函数，则不等式
f (x
2)+ f (x−2a)<0的解集是（ ）
A．(−2,1)
B．(0,1)
C．(−1,2)
D．(−∞,−1)∪(2,+ ∞)
5．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，f (x +1)是偶函数，当x∈[0,1)时，
f (x)= x
2+ x，则f (2024)+ f (2025)+ f (2026)=（ ）
A．4
B．2
C．0
D．−2
6．（2026·河北沧州·一模）若定义在R上的函数f (x)在[0,+ ∞)上单调递增，f (x−1)的图象关于直线x =1
对称，f (−3)=0，则不等式(x−1)f (x−2)≥0的解集为（ ）
A．[−2, 1)∪[5, + ∞)
B．[−1, 1)∪[5, +∞)
C．[−1, 1)∪[3, 5)
D．[0, 1)∪[2, 5)
7．（2025·山东日照·一模）定义在R上的函数y = f (x)满足以下条件：①f (−x)−f (x)=0；②对任意
x1, x2∈[0,+ ∞)，当x1≠x2
时都有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0，则f (−❑√5),f (π),f (−3)的大小关系是（ ）
A．f (π)>f (−3)>f (−❑√5)
B．f (π)>f (−❑√5)>f (−3)
C．f (π)<f (−3)<f (−❑√5)
D．f (π)<f (−❑√5)<f (−3)
8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)，对任意的x , y ∈R，恒有
f (x + y)+ f (x−y)=2f (x)⋅f ( y)，且f (1)= 1
2
，则下列说法正确的是（ ）
A．f (0)=0
B．f (x)为奇函数
C．f (x)≥−1
D．f (2025)=1
二、多选题
9．（2026·陕西西安·一模）已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，g(x)=(x−2)f (x)，若g(4−x)= g(x)
，f (1)=2，f (2)=0，则（ ）
A．g(3)=2
B．g(5)=−6
C．f (x)是周期为4的周期函数
D．∑
i=1
2025
f (i)=2
10．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数f (x)是定义在R上的奇函数，满足
f (x +1)+ f (x−1)= f (x)，f (x)在区间[0, 3
2)上单调递减，且f(−3
2)=3，则（ ）
A．f (6)=0
B．f (2025)+ f(
3
2)=6
C．f (x)关于直线x =3对称
D．f (x)在[
3
2 ,3)上单调递增
11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数f (x)满足：①定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，②
f (x)+ f ( y)−f (xy)=2，③当x>1时，f (x)>2，则（ ）
A．f (1)+ f (−1)=0
B．f (1)−f (−1)=0
C．f (2025)>f (2024)
D．若f (x +2)<2，则x的取值范围为−3< x<−1
三、填空题
12．（2025·上海崇明·一模）已知y = f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)= x
2−3
x，则f (−1)=
．
13．（2025·河南·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，若f (x +2)=−f (x)，f (3)=−3，则f (2025)=
.
14．（2025·青海·模拟预测）已知f ( x)是定义在(m−5,4 m)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0,4 m)，当
x1≠x2时，(x2
2+1)f (x1)−(x1
2+1)f (x2)
x1−x2
>0恒成立．若f (1)= 4，则关于x的不等式
f ( x−m)>2 x
2−4 x + 4的解集为
．
四、解答题
15．（2025·四川绵阳·一模）设函数f (x)= x|x +m).
(1)若m=2，写出函数f (x)的单调区间；
(2)当x∈[1,2)时，f (x)≤2，求实数m的取值范围.
16．（25-26 高一上·四川成都·期中）已知函数f (x)=mx + 1
x
，(m∈R).
(1)当m=1时，判断函数f (x)的奇偶性；
(2)当m≥2时，判断函数f (x)在(1,+∞)上的单调性，并用定义证明.
17．（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数f ( x)=a−
4
1+2
x （a∈R）.
(1)求a 的值；
(2)若对于任意的x∈[−1
2 , 1
2)，不等式f (m x
2+ x +m−1)+ f (x
2−mx)≥0恒成立，求m 的取值范围.
18．（2025·辽宁沈阳·一模）已知函数f ( x)= b⋅2
x−1+1
a⋅2
x−1+1
是定义域为R的奇函数，a,b∈R.
(1)求a,b的值；
(2)用定义法证明f ( x)的单调性；
(3)当x∈[1,4 ]时，f (kx)+ f (−x
2−4)>0恒成立，求实数k 的取值范围.
19．（2025·上海闵行·一模）若定义域为R的函数f (x)满足：对任意的x和y，都有f (x + y)= f (x)+ f ( y)
1+ f (x)f ( y)
，且|f ( x)|≠1，就称这个函数是“优美函数”.
(1)判断并证明优美函数f (x)的奇偶性；
(2)若优美函数f (x)的值域为(−1,1)，且当x>0时，0<f (x)<1，判断并证明优美函数f (x)的单调性；
(3)若题（2）中优美函数f (x)还满足f (1)= 1
2
，且不等式4+5 f (mx)
5+ 4 f (mx) > 1+2f (m x
2)
2+ f (m x
2)
对任意的x∈R恒成
立，试求实数m的取值范围.
