重难点22 立体几何中的外接球、内切球问题
【全国通用】
【题型1 定义法求外接球问题】..............................................................................................................................4
【题型2 补形法求外接球问题】..............................................................................................................................5
【题型3 截面法求外接球问题】..............................................................................................................................6
【题型4 棱切球模型问题】......................................................................................................................................7
【题型5 内切球模型问题】......................................................................................................................................7
【题型6 多球相切问题】..........................................................................................................................................8
【题型7 外接球之二面角模型】..............................................................................................................................9
【题型8 与球的切、接有关的最值问题】...........................................................................................................10
【题型9 与球的切、接有关的截面问题】...........................................................................................................10
【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】......................................................................................................11
1、立体几何中的外接球、内切球问题
球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以客观题的形式出
现，考查空间想象能力、计算能力，难度中等.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面
问题或转化为特殊几何体的切、接问题来解决，球的切、接问题求解方法多种多样，解题时要学会灵活求
解.
知识点
1
正方体、长方体与球的切、接问题
1．正方体与球的切、接问题
(1)内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.
(2)棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长
.
(3)外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长
.
2．长方体与球
外接球：外接球直径2R=体对角线长
( a,b,c 分别为长方体的长、宽、高).
知识点
2 正棱锥与球的切、接问题
1．正棱体与球的切、接问题
(1)内切球：
(等体积法)，r 是内切球半径，h 为正棱锥的高.
(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，
(正棱锥
外接球半径为R，高为h).
知识点
3 正四面体的外接球、内切球
1．正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则
，
，
，
.
知识点
4 正三棱柱的外接球
1．正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.
若正三棱柱的高为h 柱，正三棱柱的外接球半径为R，则
.
知识点
5 圆柱、圆锥的外接球
1．圆柱的外接球
(R 是圆柱外接球的半径，h 是圆柱的高，r 是圆柱底面圆的半径).
2．圆锥的外接球
(R 是圆锥外接球的半径，h 是圆锥的高，r 是圆锥底面圆的半径).
知识点
6 空间几何体与球的切、接问题的解题策略
1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
2．空间几何体外接球问题的求解方法：
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：
(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定
球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
(2)补形法：若球面上四点P,A,B,C 构成的三条线段PA,PB,PC 两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有
关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.
(3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作
截面，把空间问题转化为平面问题求解.
3．内切球问题的求解策略：
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
【题型1 定义法求外接球问题】
【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1 的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的
表面积为（ ）
A．4π
B．5π
C．16π
D．20π
【变式1-1】（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC 中，D，E 分别为PC，AB 的中点，且
AC ⊥BC，PC ⊥DE，AB =2，则该四面体的外接球体积为（ ）
A．4π
B．2
3 π
C．4
3 π
D．8
3 π
【变式1-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥S−ABC中，AC = BC =2，∠ACB = 2π
3
，侧棱长都
等于2❑√5，其中S , A ,B ,C在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．12π
B．15π
C．20π
D．25π
【变式1-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦汉时期的
､
､
数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形
的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE，四边形ABCD为正
方形，AD =2❑√3, ED =1，若鳖臑P−ADE的体积为2，则阳马P−ABCD外接球的表面积为（ ）
A．144π
B．36π
C．24π
D．18π
【题型2 补形法求外接球问题】
【例2】（2025·湖南·二模）如图，在四面体P−ABC中，PA ⊥平面
ABC , AC ⊥CB , PA = AC =2BC =2，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．3π
B．9π
C．36π
D．48π
【变式2-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子
又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚
国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为8cm和12cm的等腰三角形的纸片，将它沿
虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋
黄的半径的最大值为（ ）cm.
A．
❑√14
2
B．
❑√14
4
C．
❑√15
2
D．
❑√15
4
【变式2-2】（24-25 高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥P−ABCD中，PA ⊥面ABCD，四边形
ABCD为正方形，PA = 4，PC与平面ABCD所成角的大小为θ，且tanθ = 2❑√2
3
，则四棱锥P−ABCD的
外接球表面积为（ ）
A．26π
B．28π
C．34π
D．14π
【变式2-3】（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥AC , PA ⊥平面ABC，
PA =3, AB =1, AC =2，D，E，F 分别是棱PB，PC，BC 的中点，则三棱锥A −≝¿的外接球的表面积为
（ ）
A．5π
2
B．7π
2
C．9π
2
D．3π
【题型3 截面法求外接球问题】
【例3】（2025·广东佛山·一模）已知圆台的高为1，下底面的面积16π，体积为37
3 π，则该圆台的外接
球表面积为（ ）
A．64π
B．81π
C．100π
D．121π
【变式3-1】（2025·安徽·一模）已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，
PA = PB = PC = AB = BC =2❑√2，AC =2❑√3，则球O的表面积为（ ）
A．40π
3
B．20π
C．27
4 π
D．21
2 π
【变式3-2】（2024·安徽·三模）已知圆台O1O2的上下底面面积分别为
､
4π,36π，其外接球球心O满足⃗
O1O =3⃗OO2
，则圆台O1O2
的外接球体积与圆台O1O2
的体积之比为（ ）
A．20 ❑√5
13
B．10 ❑√10
13
C．10 ❑√5
13
D．10
13
【变式3-3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正四棱台ABCD−EFGH的上底面积为16，下
底面积为64，且其各个顶点均在半径R = ❑√57的球O 的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A．2
B．8
C．2 或12
D．4 或8
【题型4 棱切球模型问题】
【例4】（2025·全国·模拟预测）正四面体ABCD 的棱长为2，其棱切球的体积为（ ）
A．2π
B．❑√6π
C．
❑√2
3 π
D．
❑√6
27 π
【变式4-1】（2025·山西晋中·模拟预测）已知棱长为❑√3的正方体ABCD−A1B1C1 D1的中心为O，若球
O的球面与该正方体的棱有公共点，则球O的表面积的取值范围是（ ）
A．[3π, 6π)
B．[3π, 9π)
C．[6π, 9π)
D．[6π, 12π)
【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）如图，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半
径记为R，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为H，则球冠的曲面面积S =2π RH.球O是
棱长为1 的正方体ABCD−A
′ B
′C
′ D
′的棱切球，则球O在正方体ABCD−A
′ B
′C
′ D
′外面部分曲面的面积
为（ ）
A．2(❑√2−1)π B．4(❑√2−1)π
C．6(❑√2−1)π
D．3(❑√2−1)π
【变式4-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，
八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角
形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C 三点的截面面积为6 ❑√3，则其棱切球（球与各
棱相切）的表面积为 .
【题型5 内切球模型问题】
【例5】（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为1，下底面直径为4，母线长为❑√5，则内切于该圆
台的球体体积为（ ）
A．4π
5
B．4π
3
C．π
4
D．
❑√3 π
4
【变式5-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2 倍，那么该圆锥的表面
积与圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A．3
2
B．9
4
C．3 ❑√6
4
D．27
8
【变式5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）正三棱台ABC −A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三
棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式5-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为
❑√3
2
，则此圆台的
表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ）
A．4
3
B．3
2
C．8
3
D．13
6
【题型6 多球相切问题】
【例6】（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为2❑√3的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球
O2后，还可以放入一个半径为1 的小球O1，则小球O2的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A．4
243
B．1
243
C．4
81
D．1
81
【变式6-1】（2025·重庆·三模）棱长为4 ❑√3的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各
放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（ ）
A．8 ❑√2π
3
B．4 ❑√2π
3
C．2π
D．
❑√2
3 π
【变式6-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2 和4 的两个铁
球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为
.
【变式6-3】（2025·山东泰安·二模）如图，在母线长为4+2❑√3，高为3+2❑√3的倒置圆锥形容器（不计厚
度）内放置一个底面半径为1 的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与
圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入
个.
【题型7 外接球之二面角模型】
【例7】（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥A −BCD的底面边长为6，二面角A −BC −D的余弦值
为
❑√3
4
，则正三棱锥A −BCD外接球的表面积为（ ）
A．256 ❑√13
13
π
B．625 ❑√13
13
π
C．625
13 π
D．256
13 π
【变式7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，△ABC为等腰直角三角形，AB = AC =2，D为斜边BC上
一动点，将△ACD沿AD折起，使C的对应点为C
′，且二面角C
′−AD−B的大小为90
∘，当BC
′的长最小
时，三棱锥C
′−ABD外接球的半径为（ ）
A．
❑√10
2
B．
❑√6
2
C．❑√6
D．2
【变式7-2】（2024·河北·模拟预测）在三棱锥A −BCD中，
AB = AC = ❑√2, BC =CD =2, ∠BCD =120°，若三棱锥A −BCD的外接球表面积为20π，则二面角
A −BC −D的大小为（ ）
A．60°或120°
B．30°或150°
C．60°
D．45°
【变式7-3】（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥A −BCD中，△ABC和△BCD均为边长为❑√3的等边
三角形，若二面角A −BC −D的大小为90
∘，则三棱锥A −BCD外接球的表面积为（ ）
A．5π
B．8π
C．6π
D．9π
【题型8 与球的切、接有关的最值问题】
【例8】（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为500π
3
，若球心到该圆锥底面的距离为4，则该
圆锥体积的最大值为（ ）
A．9π
B．27π
C．18π
D．48π
【变式8-1】（2025·湖南·二模）在正三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = A A1=6，E为线段C C1上的动
点，D为BC边上靠近B 的三等分点，则三棱锥A −BDE的外接球体积的最小值为（ ）
A．32❑√3π
B．4000 ❑√3π
27
C．500 ❑√3
27
D．108 ❑√3π
【变式8-2】（2025·四川广安·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，三条棱PA，PB，PC两两垂直，且
PA =1，PB =2，PC =2.若点Q为三棱锥P−ABC的外接球球面上任意一点，则Q到面ABC距离的最大值
为（ ）
A．3+ ❑√6
B．3−❑√6
C．3
2 +
❑√6
6
D．3
2 −
❑√6
6
【变式8-3】（2025·四川成都·二模）直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10 个半径
为r的小球，全部放进棱长为8+ 4 ❑√6的正四面体盒子中，则r的最大值为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【题型9 与球的切、接有关的截面问题】
【例9】（2025·云南昭通·模拟预测）已知球O的半径为3，正方体ABCD−A1B1C1 D1所有顶点均在球面
上，点M是棱AB的中点，过点M作球O的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A．5 π
B．4 π
C．3 π
D．❑√3 π
【变式9-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，PA ⊥底面ABC，AB⊥AC，AB =3，
AC = 4，点D 满足⃗AD =3⃗DC，三棱锥P−ABC的外接球为球O，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆
的面积的最大值与最小值之差为4π，则球O 的表面积为（ ）
A．16π
B．20π
C．24π
D．28π
【变式9-2】（2025·广东·模拟预测）在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，M , N分别为AB ,C C1
的中点，过直线MN的平面截该正方体的内切球O，所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A．π
2
B．2π
3
C．π
D．3π
2
【变式9-3】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA = 4 ❑√3，
AB =6，过棱AB作球O的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ）
A．[9π,12π)
B．[9π,16π)
C．[12π,16π)
D．[12π,36π)
【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】
【例10】（2025·天津河东·二模）已知正方体的边长为a，其外接球体积与内切球表面积的比值为3
2
，则a
的值为（ ）
A．❑√3
B．2
C．❑√5
D．3
【变式10-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥P−ABC中，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，
记三棱锥P−ABC内切球、外接球的半径分别为r , R，则r
R =（ ）
A．1
6
B．3
8
C．
❑√13−1
4
D．
❑√13−1
8
【变式10-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥P−ABCD的底面是边长为2 的正方形，且
PA = PB = PC = PD = ❑√5，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为O1，O2，则O1O2的长为（ ）
A．0
B．
❑√3
6
C．
❑√3
3
D．
❑√3
2
【变式10-3】（2025·天津和平·一模）已知正四面体ABCD（四个面都是正三角形），其内切球（与四面
体各个面都相切的球）表面积为π
6
，设能装下正四面体ABCD的最小正方体的体积为V 1，正四面体
ABCD的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为V 2，则V 1⋅V 2=（ ）
A．
❑√3
16 π
B．
❑√6
8 π
C．3 ❑√2
8
π
D．3
2 π
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面
积为（ ）
A．48π
B．36π
C．24π
D．12π
2．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台ABCD−A1B1C1 D1的高ℎ= 4 ❑√6，且AB =2 A1B1=8
，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A．80π
B．91π
C．128π
D．182π
3．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台ABCD−A1B1C1 D1的上，下底面边长分别为❑√2和2❑√2．若该
棱台的体积为14 ❑√3
3
，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A．7π
B．32
3 π
C．16π
D．19π
4．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥S−ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD 是正三角形，底面
ABCD 是边长为2❑√6的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．5π
B．10π
C．28π
D．56π
5．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八
面体的内切球表面积为S1
，外接球表面积为S2
，则S2
S1
的值为（ ）
A．4
3
B．3
2
C．3
D．4
6．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4 的正方形ABCD 沿对角线BD 进行翻折，使得二面角A −BD−C的
大小为120°，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ）
A．4
3 π
B．8
3 π
C．2❑√3
3
π
D．8 ❑√3
3
π
7．（2025·辽宁·模拟预测）已知在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面ABCD，AB = BC =2❑√2，
PA = AC = 4，△ACD为等边三角形，则平面PAD与三棱锥P−ABC的外接球球面的交线长为（ ）
A．4π
B．2❑√5π
C．6π
D．4 ❑√2π
8．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形ABCD中，△ABC是边长为❑√3的等边三角形，△ACD是以
点D为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线AC折成四面体B−ACD，在折起的过程中，四
面体的外接球体积最小值为（ ）
A．32π
3
B．4π
C．4π
3
D．
❑√3π
2
二、多选题
9．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气
体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子
位于正八面体的中心，6 个氟原子分别位于正八面体的6 个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则
（ ）
A．该正八面体结构的表面积为2❑√3m
2
B．该正八面体结构的体积为❑√2m
3
C．该正八面体结构的外接球表面积为2πm
2 D．该正八面体结构的内切球表面积为2πm
2
3
10．（2025·江西·模拟预测）已知多面体ABCD−A1B1C1 D1的底面ABCD为正方形，A A1，B B1，
C C1，D D1均垂直于底面ABCD，AB = B B1= D D1=2，且A1，B1，C1，D1四点共面．下列说法正确
的是（ ）
A．A1C1⊥B1 D1
B．若多面体ABCD−A1B1C1 D1存在外接球，则该外接球的表面积为48 π
C．V B−A A1C1C = 8
3
D．若C C1=3，A A1=1，则三棱锥A1−C1 D1 D的内切球半径为
4
4+ ❑√6+ ❑√14
11．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的外接球表面积为12π，点M
为线段BC 的中点，则（ ）
A．正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为6π
B．D1C //平面AM C1
C．在该正方体的8 个顶点中任选4 个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为8
3
D．平面AM C1截正方体ABCD−A1B1C1 D1所得的截面的面积为2❑√6
三、填空题
12．（2025·河北秦皇岛·一模）内切球半径为1 的正四棱锥的外接球半径的最小值为
.
13．（2025·河北秦皇岛·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体
SABC是一个鳖臑，已知△ABC是直角三角形，∠ABC =90°，SA = AB =2，SC =2❑√6，BC = 4，则平
面SAB截该鳖臑的外接球所得截面面积为
．
14．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与
大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为
.
四、解答题
15．（24-25 高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥P−ABC中，
PA ⊥PB , PA ⊥PC , PB⊥PC , PA =3, PB = 4 , PC =5，
(1)求三棱锥P−ABC的表面积；
(2)求三棱锥P−ABC的外接球体积．
16．（24-25 高一下·广东·阶段练习）如图，△BCD是圆锥底面圆的内接三角形，BD = 4，
cos∠BCD =
❑√6
3
，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆.
(1)求圆锥的外接球的表面积；
(2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积.
17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）三棱锥P−ABC中，PB = PC , AC = AB = ❑√2, AC ⊥AB，且平面
PBC ⊥平面ABC
(1)证明：BC ⊥PA
(2)证明锐二面角A −PB−C的平面角大于π
4
.
(3)设三棱锥P−ABC的体积为V ，内切球的半径为r，求2
r −1
V
的最小值.
18．（2025·甘肃白银·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，
PA = PD = AD =2 AB =2，∠BAD =60
∘，O为AD的中点，AB∥平面POC.
(1)证明：PC ⊥BD．
(2)求三棱锥P−ABD的外接球Q的表面积．
(3)若BD = BC，求二面角B−PC −D的正弦值．
19．（2025·四川绵阳·模拟预测）三棱锥P−ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，CA =CB =2❑√2，
PA = ❑√10．点P 在底面ABC上的射影E 是线段AB靠近点A 的四等分点．
(1)求PB与平面PCE所成角的正弦值；
(2)求三棱锥P−ABC外接球体积；
(3)设AB靠近B 的四等分点为F，D 是平面ABC 内的动点，且C，D 在直线AB的两侧，满足
|DE)+|DF)= 4．试探究是否存在点D 使得平面PBD⊥平面PBC?若存在，请求出DE 的长度；若不存
在，请说明理由．
