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专题03 双曲线及其应用
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】双曲线的定义
【知能解读02】双曲线的标准方程与几何性质
【知能解读03】直线与双曲线的位置关系
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】双曲线中的定点问题
【重难点突破02】双曲线中的定值问题
【重难点突破03】双曲线中的最值或范围问题
【重难点突破04】双曲线中的证明问题
【重难点突破05】双曲线中的探究性问题
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】定义应用时忽略“绝对值”致错
【易混易错02】忽略双曲线方程“标准”的前提致错
【易混易错03】与直线联立求解时漏判特殊情况致错
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】对双曲线定义的理解及应用
【方法技巧02】双曲线的焦点三角形问题
【方法技巧03】双曲线中线段和差的最值问题
【方法技巧04】双曲线标准方程的求解
【方法技巧05】双曲线方程的参数问题
【方法技巧06】与双曲线有关的轨迹问题
【方法技巧07】求双曲线离心率的值或范围
【方法技巧08】直线与双曲线的位置关系
【方法技巧09】直线与双曲线相交弦长问题
【方法技巧10】双曲线的中点弦问题
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01 双曲线的定义
1、定义：在平面内与两个定点
、
的距离之差的绝对值等于非零常数（小于
）的点的轨迹叫做
双曲线．两个定点
、
称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为
．
2、双曲线的集合表示：
．
3、对双曲线定义的理解
（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数
满足约束条件：
（
），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点
的一支；
若
（
），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点
的一支；
（2）若常数
满足约束条件：
，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数
满足约束条件：
，则动点轨迹不存在；
（4）若常数
，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
【真题实战】（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，P 为C 上一动
点，则P 到y 轴的距离与P 到
，
距离之和的比值（ ）
2
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A．恒为定值
B．恒为定值
C．不为定值但有最小值
D．不为定值但有最大值
02 双曲线的标准方程与几何性质
1、双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在
轴
焦点在
轴
图形
标准方程
焦点坐标
、
、
的关系
2、双曲线的简单几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≤－a 或 x≥a，y∈
y≤－a 或 y≥a，x∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；
半实轴长：，半虚轴长：
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的
倍，则C 的离心率为
（ ）
3
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A．
B．2
C．
D．
03 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系
将双曲线方程
与直线方程
联立消去
得到关于
的一元二次方程
，
（1）当
，即
，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
（2）当
，即
，设该一元二次方程的判别式为
，
若
，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若
，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若
，直线与双曲线相离，没有公共点；
【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直
线与双曲线相交，只有一个交点．
2、弦长公式：若直线
与双曲线
（
，
）交于
，
两点，
则
或
（
）．
3、中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可
以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【真题实战】（2025·浙江金华·三模）双曲线
的离心率为
，过左焦点
的直
线与双曲线的左支、右支分别交于点
，当直线与
轴垂直时，
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)点
满足
，其中
是坐标原点，求四边形
的面积.
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01 双曲线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的
常量当成变量，将变量x，y 当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式(k 是原方程中的
常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中
方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：
的离心率为2，其右焦点F 到一
条渐近线的距离为
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线：
与双曲线C 交于不同的两点A，B，且以线段
为直径的圆经过点
，证明：直线过定点.
【典例2】（2025·湖北黄冈·三模）已知双曲线
左顶点
到其渐近线的距离
为
.过右焦点F 的直线分别交双曲线的左，右两支及直线
于
三点，过N 作平行于
轴
的直线交直线
于点G，点G 满足
.
(1)求
的方程；
(2)证明：直线MH 过定点.
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02 双曲线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（2025·云南楚雄·模拟预测）已知双曲线
的左､右焦点分别是
，
，
双曲线
上一点
满足
，且点
到
的一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若
，
是
上关于原点对称的两点，且点
不与
，
重合，设直线
，
的斜率存在且分别
为
，
，求
的值.
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知动点
与定点
的距离与它到定直线
的距
离的比是常数
，
(1)求动点
的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点
作轨迹的切线与两直线
分别交于
、
两点，证明：三角形
的面积是定
值．
03 双曲线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
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（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【典例1】（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线
的渐近线方程为
，且其
焦距为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线
与双曲线
交于不同的两点
，且在由点
与
构成的三角形中，
，求实数的取值范围.
【典例2】（2025·山东·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，离心率为
.点
在
的右支上，当
轴时，
.
(1)求
的方程;
(2)若直线
与
的右支的另一个交点为
，求
面积的最小值.
04 双曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如
存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直
接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线
的中心为坐标原点，过点
，其中一条渐近线的
方程为
.
(1)求双曲线
的方程；
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(2)设双曲线
的左、右顶点分别为
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点.直线
与直线
交于点
，证明：
三点共线.
【典例2】（25-26 高三上·广东·月考）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的两条
渐近线将圆
分为四段弧长分别为
的圆弧.
(1)求
与
的方程；
(2)过
上一动点
作
的切线交
于不同的
两点，证明：
.
05 双曲线中的探索性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程
有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2025·江苏·一模）已知点
，曲线
上的点
与
两点的连线的斜率分别为
和
，且
．
(1)求曲线
的方程；
(2)是否存在一条直线与曲线
交于
两点，以
为直径的圆经过坐标原点
．若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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【典例2】（2025·陕西宝鸡·三模）已知双曲线
过点
且一条渐近线方程为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若过点
的直线与双曲线
相交于
两点，试问在
轴上是否存在定点
，使直线
与直线
关于
轴对称，若存在，求出定点
的坐标；若不存在，请说明理由.
01 定义应用时忽略“绝对值”致错
辨析：双曲线的定义是“平面内与两焦点距离之差的绝对值等于
”，若漏掉“绝对
值”，轨迹会变成双曲线的一支，而非完整双曲线．
【典例1】（24-25 高二上·安徽蚌埠·期末）已知
，
，动点P 满足
，则点P 的
轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．双曲线
D．射线
【典例2】（25-26 高三上·四川成都·期中）已知
、
是平面内两个不同的定点，则“
为定
值”是“动点
的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
02 忽略双曲线方程“标准”的前提致错
辨析：遇到非标准形式时，直接套用顶点在原点的性质，忘记焦点、顶点等坐标需要结合“中心平移”来
计算，导致位置偏差．
【典例1】（2025·河南·三模）双曲线
的焦点到其渐近线的距离为 ．
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【典例2】（25-26 高三上·河南南阳·开学考试）已知A，B 为实数，则“
”是“
为双
曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
03 与直线联立求解时漏判特殊情况致错
辨析：联立双曲线与直线方程时，只关注一元二次方程的判别式，忽略直线与渐近线平行的情况——此时
方程退化为一元一次方程，仅有一个交点（并非相切，而是“相交于一点”），容易误判为相切或无交点．
【典例1】（2025·福建·模拟预测）若直线
与双曲线
恰好有一个交点，则直线
的斜率为 .
【典例2】（25-26 高三上·四川·月考）“
”是“直线
与双曲线
只有一个公共
点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
01 对双曲线定义的理解及应用
紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和
与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判
条件→用性质”三步．
第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线；
第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况；
第三步：结合定义解决典型问题．
【典例1】（25-26 高三上·贵州·月考）设
是双曲线
上一点，
，
分别是双曲线的左、右焦
点，若
，则
．
【典例2】（2025·甘肃·一模）已知双曲线C 的焦点为
，过点
的直线与双曲线C 交于
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A，B 两点．若
，
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
02 双曲线的焦点三角形问题
求双曲线中的焦点三角形
面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出
；
②利用余弦定理表示出
、
、
之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出
的值；
④利用公式
求得面积．
（2）利用公式
求得面积．
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角
，则面积
，结论适用于选择或填空题．
【典例1】（25-26 高三上·贵州·月考）已知
是双曲线
的两个焦点，
是
上一点，且
，则点
到
轴的距离为 ．
【典例2】（2025·上海崇明·二模）已知双曲线
的左、右焦点为
，以O 为顶点，
为
焦点作抛物线交双曲线于P，且
，则
．
03 双曲线中线段和差的最值
双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、
三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应
关系．
【典例1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知
是双曲线
的右焦点，
是
右支上一点，若点
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，则
的最小值为 .
【典例2】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知
是双曲线
的右焦点，
是
左支上一点，
是圆
上一点，则
的最小值为 .
04 双曲线标准方程的求解
待定系数法求双曲线标准方程
【典例1】（24-25 高三下·江苏盐城·月考）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为
，则双曲
线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·湖北十堰·三模）设双曲线
的离心率为
，实轴长为
，若曲
线
上的点到双曲线
的两个焦点的距离之和为
，则曲线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
05 双曲线方程的参数问题
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由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程
，当
时表示双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线．
（2）对于方程
，当
时表示双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线．
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，
再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．
【典例1】（2025·安徽黄山·一模）“
”是“
为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】（25-26 高三上·江西·月考）“
”是方程“
”表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
06 与双曲线有关的轨迹问题
与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲
线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，
或直接匹配双曲线的定义．
【典例1】（24-25 高三上·云南·月考）设
两点的坐标分别为
，
，直线
与
相交于点
，且它们的斜率之积为
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【典例2】（25-26 高三上·河南南阳·月考）已知定点
，
是圆
上任意一点，
点
关于点
的对称点为
，线段
的垂直平分线与直线
相交于点
，则点
的轨迹方程是
（ ）
A．7
B．
C．
.
D．
07 求双曲线离心率的值或范围
求双曲线离心率的常用方法
（1）利用
求：若可求得
，则直接利用
得解；
（2）利用
求：若已知
，则直接利用
得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于
的齐次式方程，即
（
为常数，且
），则转化为关于
的方程
求解．
【典例1】（25-26 高三上·河北邯郸·期中）已知
是双曲线
的左、右焦点，
点
在
上，
，则
的离心率为 .
【典例2】（25-26 高三上·上海·月考）已知
分别是双曲线
的左、右焦点，关
于原点对称的两点
均在
上，
，且
是锐角三角形，则
的离心率的取值范围为
．
08 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要
通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、
相切、相离”的代数与几何标志．
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【典例1】（24-25 高三下·北京朝阳·月考）若直线
与双曲线
的右支只有一个公共点，则
双曲线离心率的一个取值为 .
【典例2】（2025·江苏南通·二模）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
，过左焦点
且斜
率为
的直线与双曲线
交于
两点，设线段
的中点为
，若
，则实数
的值为
．
09 直线与双曲线相交弦长问题
“先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两
点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况．
弦长公式：
或
（
）．
【典例1】（24-25 高三下·湖北·月考）过双曲线
的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于
A，B 两点，则弦长
．
【典例2】（25-26 高三上·江苏·月考）已知双曲线
的离心率为
，且过点
.
(1)求
的方程；
(2)直线过
且交
于
两点，若弦
的长度为
的实轴长的两倍，求的方程.
10 双曲线的中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可
以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【典例1】（24-25 高三下·河北秦皇岛·五调）已知直线交双曲线
于点
，点
，若
的重心恰好落在双曲线
的左焦点
上，则直线的斜率为 ．
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【典例2】（24-25 高三上·天津·月考）若双曲线的中心为原点，
是双曲线的焦点，过
的直线
与双曲线相交于M，N 两点，且
的中点为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
16
