文档文本内容
难点专题01 三角函数与解三角形
（40 题难题）（10 单选10 多选10 填空10 大题）
1. 常见三角不等式
（1）若
(0,
)
2
x
，则sin
tan
x
x
x
. （2）若
(0,
)
2
x
，则1
sin
cos
2
x
x
.
（3）| sin
|
| cos
| 1
x
x
.
（4）在锐角三角形中
2. 半角公式
(1)sin ＝± . (2)cos＝± .
(3)tan＝± ＝＝. 以上称之
半角公式，符号由
为
所在象限决定．
3. 万能公式
4. 常见三角恒等式
在任意
内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
推论：在
内，若tanA+tanB+tanC<0，则
为钝角三角形
5. 常见平面几何结论
平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和
6. 内切圆半径
在Rt△ABC 中，C 为直角，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，则△ABC 的内切圆半径为
7. 海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为
其中
，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
8. 海伦-秦九韶公式推广
已知三角形三边x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如
，
，
)
9. 三倍角公式
，
10. 射影定理
，
，
11. 角平分线定理
（1）在
中，
为
的角平分线，则有
（2）
（3）
（库斯顿定理）
（4）
12. 张角定理
13. 倍角定理
在
中,三个内角
的对边分别为
,
(1)如果
,则有:
(2)如果
,则有:
(3)如果
,则有:
倍角定理的逆运用
在
中,三个内角A、B、C 的对边分别为
,
(1)如果
,则有:
。(2)如果
,则有:
。(3)如果
,则有:
。
14. 中线长定理
为
的中线,则中线定理:
证明:
在
和
中,用余弦定理有:
15. 三角恒等式
在
中，
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
；
⑥
；
⑦
；
⑧
；
⑨
；
一、单选题
1．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）函数
在
上恰有两个零点，实数
的
取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
在
上单调，且
，
，则
的最大值与最小值之和为（ ）
A．
B．
C．2
D．
3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
满足：当
时，
的最小值为
，且
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，又当
时，
恒成立，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·云南·一模）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·山东青岛·三模）若
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
7．（2025·浙江台州·一模）在
中，斜边
，
为
边上的高，
的平分线交
于
点
，当
最大时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·河北沧州·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．7
9．（2025·河南·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，已知
，则当
的面积取最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·四川成都·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2025·浙江·一模）已知函数
，则（ ）
A．方程
的解集是
B．当
时，恒有
C．函数
的值域是
D．函数
的零点个数不可能为3
12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的值域为
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．函数
在区间
上有且仅有5 个零点
13．（2025·甘肃武威·模拟预测）函数
的部分图象如图所示，
，
是
的2 个零点，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的最小值为
C．当
取最小值时，
的最大值为
D．若
在区间
上至少有10 个零点，则
的最小值为
14．（2025·福建厦门·二模）已知函数
的图象如图所示，下列
说法正确的是（ ）
A．函数
的一个对称中心是
B．
C．将函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，再向右平移
个单位长度，可
得到函数
的图象
D．函数
在
上有5 个零点，则
的取值范围为
15．（2025·河南·一模）已知在
中，
，则（ ）
A．
没有最大值
B．
没有最小值
C．
的最大值为
D．
的最小值为
16．（2025·广东深圳·模拟预测）已知
的外接圆半径为
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积为6
D．
17．（2025·安徽·二模）已知锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，满足
，
，且
的面积为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的周长为
18．（2025·河北·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，
,
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
为等腰三角形，则
C．当
时，
D．当
时，
19．（2025·新疆·模拟预测）
的周长为6，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则（ ）
A．若
，则
B．
C．
D．若
的面积为
，则
20．（2025·广东佛山·一模）已知
，
，若对任意的
，不等式
恒成立，
则（ ）
A．当
时，
，命题成立
B．当
时，
，命题成立
C．
D．使得命题成立的有序数对
恰有3 组
三、填空题
21．（2025·湖北黄冈·一模）已知
的内角
的对边分别为
，其内切圆半径
，
则边长的最小值为 ．
22．（2025·浙江嘉兴·一模）记
的内角
的对边分别为
，若
的面积
，
则
的取值范围是 ．
23．（2025·吉林·模拟预测）已知函数
，则
的最小值与最大值之积为
.
24．（2025·广西来宾·模拟预测）若函数
在
上有奇数个不同的零点，
则实数m 的值为 .
25．（2025·湖南·一模）设
，若
，则
．
26．（2025·河南·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，若
，
则该三角形内切圆面积的最大值为 .
27．（2025·安徽·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，该三角形面积大小记为，
则
的最大值为 .
28．（2025·四川成都·一模）在锐角
中，若
，则
的最小值是
29．（2025·广东·模拟预测）函数
的值域为 .
30．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为 ．
四、解答题
31．（24-25 高三上·安徽·月考）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积
，内切圆的半径为
，求；
(3)若
的平分线交
于
，且
，求
的面积的最小值．
32．（2025·四川成都·三模）设
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
．
(1)求角
；
(2)点
为边
的中点，若
，求
的面积；
(3)如图所示，点
是
外一点，若
，且
，记
的周长为
，求
的取值范围．
33．（2025·广东汕头·二模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求方程
的解集；
(2)若
是偶函数，当
取最小值时，求函数
的取值范围；
(3)若
是常数函数，求
的值．
34．（2025·浙江绍兴·三模）在三角形ABC 中，内角A，B，C 对应边分别为a，b，c，
的面积为S
且
．
(1)求角B 的大小；
(2)设点M 是三角形内一点，且
，
，过点M 作直线l 分别交BA，BC（或延长线）于点
P，Q，求
的最大值．
35．（2025·浙江·三模）如图，四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
，
，
，且
和
的外接圆半径相等．
(1)若
，求OA 的长；
(2)若
，求
．
36．（2025·四川成都·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求；
(2)若
，
边上的中线长为2，点
在
上，且
为
的平分线，求
的长．
37．（2025·陕西汉中·一模）已知
的内角
的对边分别为
．
(1)若
，求角B 的大小．
(2)设
为
外接圆上的点，
外接圆的半径为2，且
平分
．
（
）当
ⅰ
时，求
的值；
（
）证明：
ⅱ
．
38．（2025·广东揭阳·三模）已知
内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
.
(1)证明：
；
(2)求
的最值；
(3)若
，
，求
的面积S 的取值范围.
39．（2025·北京门头沟·一模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)再从以下条件
、条件
、条件
这三个条件中选择一个作为已知，使得
①
②
③
存在且唯一确定，求
的面积.
条件
：
①
，
；
条件
：
②
，
；
条件
：
③
边上的高
，
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
40．（2025·北京顺义·一模）已知函数
.
(1)求
的值；
(2)再从条件
、条件
、条件
中选择两个作为已知条件，使函数
①
②
③
存在且唯一确定.当
在区间
上仅有一个零点时，求
的取值范围.
条件
：
①
在
上是单调函数；
条件
：
②
图象的一个对称中心为
；
条件
：对任意的
③
，都有
成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
