文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之概率（二）
一．填空题（共14 小题）
1．（2026•广西）四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全
相同．将风景面朝下洗匀，随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是 ．
2．（2026•河南）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴
键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从F，G，A，B 四个白色琴键中随机选
两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为 ．
3 ．（2026• 上海）在1 ，﹣2 ，﹣3 ，4 ，5 这5 个数中选一个数，选出一个正数的概率是
．
4．（2026•天津）不透明袋子中装有15 个球，其中有2 个红球、6 个黄球、7 个白球，这些球除颜色外无
其他差别．从袋子中随机取出1 个球，则它是红球的概率为 ．
5．（2026•山西）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它
们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟
从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形
九巧板”图案的概率是 ．
6．（2026•攀枝花）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合
其中两个开关，则灯泡发光的概率为 ．
7．（2026•扬州）工厂对某批零件进行质检，结果如下：
抽取的零
件数
100
200
300
500
1000
2000
3000
优等品的
频数
91
189
277
466
929
1862
2789
优等品的
0.9100
0.9450
0.9233
0.9320
0.9290
0.9310
0.9297
2
频率
从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为 （结果精确到0.01）．
8．（2026•苏州）一只不透明的袋子中装有4 个白球、3 个黄球和n 个红球，这些球除颜色外都相同，搅
匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n 的值可以是 ．（填写一个符合要求
的正整数即可）
9．（2026•云南）某市举办主题为“繁花伴书香•阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种
类型的赠书，分别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽
到．若参与者甲在主办方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳
技类赠书的概率为 ．
10．（2026•南充）现有3 张无差别的卡片，上面分别写有化学式CO2，H2O，Fe．随机抽取2 张，那么
这2 张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为 ．
11．（2026•安徽）中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学
兴趣小组从《九章算术》中挑选出4 个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问
题各2 个．在某次活动中，从这4 个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题
的概率为 ．
12．（2026•达州）6 把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是
．
13．（2026•泸州）4 张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2 张，抽
取的两张卡片上的数字之和是3 的整数倍的概率是 ．
14．（2026•重庆）某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E 中随机抽取一个参加展演，则
抽到节目A 的概率为 ．
二．解答题（共6 小题）
15．（2026•南京）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，
若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P1，若一个袋子中装有红球10 个，白球20 个，
摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记
为P2．
（1）求P1的值；
（2）比较P1与P2的大小．
16．（2026•广元）某校“人工智能”社团开展“AI 模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、
B、C、D、E 五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下：
成绩频数分布表
等级
成绩x（分）
频数
A
90≤x≤100
n
B
80≤x＜90
18
C
70≤x＜80
m
3
D
60≤x＜70
4
E
x＜60
2
统计B 等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，
88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）参赛学生总人数为 人，成绩频数分布表中m＝ ，n＝ ；
（2）参赛学生此次成绩的中位数是 ；
（3）若从A 等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计
算同时抽到小佳和小亮的概率．
17．（2026•陕西）某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼
祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D
（字母A，B，C，D 分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除
所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出
的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书．
（1）将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“ A”的概率为
；
（2）将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒
中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少
有一位同学分享《红星照耀中国》的概率．
18．（2026•绥化）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，
某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创
新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据
图表中信息回答下列问题：
类别
参与创新实践活动的时间x（单位：小时）
A
0≤x＜0.5
B
0.5≤x＜1
C
1≤x＜1.5
D
1.5≤x＜2
E
x≥2
4
（1）本次随机调查的学生共有 人，补全条形统计图．
（2）若该校八年级学生共有320 人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5 小时
及以上的学生人数．
（3）已知E 类学生中恰好有2 名女生和1 名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，
请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
19．（2026•吉林）第33 届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分
配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配
到同一项目组的概率．
20．（2026•巴中）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A 非常喜
欢，B 喜欢，C 一般，D 不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完
整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中，学校一共抽取了 名学生，并补全条形统计图．
（2）该年级共有学生400 人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数．
（3）学校决定对学生进一步访谈，先从C 类学生中抽取1 名学生，再从D 类学生中抽取1 名学生，请
用列表格或画树状图的方法，求抽取的2 名学生恰好是1 名男生和1 名女生的概率．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之概率（二）
参考答案与试题解析
一．填空题（共14 小题）
1．（2026•广西）四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全
相同．将风景面朝下洗匀，随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是 1
4 ．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据观念．
【答案】1
4 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全
相同，
∴随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是1
4 ，
故答案为：1
4 ．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
2．（2026•河南）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴
键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从F，G，A，B 四个白色琴键中随机选
两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为 1
2 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识；生活情境．
【答案】1
2．
【分析】先画出树状图，然后根据概率公式求出概率．
【解答】解：画树状图如下：
6
等可能出现的情况共12 种，符合题意的情况有6 种，
∴发出的声音构成二度音程的概率为6
12 = 1
2，
故答案为：1
2．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，正确地画出树状图是解题的关键．
3．（2026•上海）在1，﹣2，﹣3，4，5 这5 个数中选一个数，选出一个正数的概率是 3
5 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；运算能力；科学文化情境．
【答案】3
5．
【分析】先根据正数的定义判断出正数的个数，再根据概率公式进行求解即可．
【解答】解：在1，﹣2，﹣3，4，5 这5 个数中选一个数，正数有1，4，5 三个，
∴五个数中选一个数，选出的这个数是正数的概率为3
5，
故答案为：3
5．
【点评】本题考查了有理数的定义，概率公式，准确理解题意是解题的关键．
4．（2026•天津）不透明袋子中装有15 个球，其中有2 个红球、6 个黄球、7 个白球，这些球除颜色外无
其他差别．从袋子中随机取出1 个球，则它是红球的概率为 2
15 ．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】2
15．
【分析】由题意知，共有15 种等可能的结果，其中它是红球的结果有2 种，利用概率公式可得答案．
【解答】解：由题意知，共有15 种等可能的结果，其中它是红球的结果有2 种，
∴它是红球的概率为2
15．
故答案为：2
15．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
7
5．（2026•山西）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它
们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟
从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形
九巧板”图案的概率是 1
3 ．
【考点】列表法与树状图法；七巧板．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】1
3．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九
巧板”图案的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将三张书签分别记为A，B，C，
列表如下：
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
共有6 种等可能的结果，其中他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的结
果有：（B，C），（C，B），共2 种，
∴他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率为2
6 = 1
3．
故答案为：1
3．
【点评】本题考查列表法与树状图法、七巧板，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
6．（2026•攀枝花）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合
其中两个开关，则灯泡发光的概率为 2
3 ．
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8
【专题】概率及其应用；应用意识；生活情境．
【答案】2
3．
【分析】画树状图，共有12 种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12 种等可能的结果，其中任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的结果有8 种，
∴小灯泡发光的概率为8
12 = 2
3，
故答案为：2
3．
【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
7．（2026•扬州）工厂对某批零件进行质检，结果如下：
抽取的零
件数
100
200
300
500
1000
2000
3000
优等品的
频数
91
189
277
466
929
1862
2789
优等品的
频率
0.9100
0.9450
0.9233
0.9320
0.9290
0.9310
0.9297
从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为
0.93
（结果精确到0.01）．
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用．
【答案】0.93．
【分析】根据表格的数据即可求解．
【解答】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在0.93 附近，因此
任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为0.93，
故答案为：0.93．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，掌握其相关知识点是解题的关键．
8．（2026•苏州）一只不透明的袋子中装有4 个白球、3 个黄球和n 个红球，这些球除颜色外都相同，搅
匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n 的值可以是
1
．（填写一个符合要求的
正整数即可）
【考点】可能性的大小．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
9
【答案】1．
【分析】使得不透明的袋子中红球的个数少于白球和黄球的个数，并且使红球是最小的正整数，即可
求解．
【解答】解：∵要使摸出红球的可能性最小，
∴红球的个数小于3，
又∵红球的个数是正整数，
∴红球是1 个．
故答案为：1．
【点评】本题考查了可能性的大小，解题的关键是通过比较白球、黄球和红球的个数求解．
9．（2026•云南）某市举办主题为“繁花伴书香•阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种
类型的赠书，分别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽
到．若参与者甲在主办方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳
技类赠书的概率为 1
4 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据观念．
【答案】1
4 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出参与者甲抽到劳技类赠书的概率．
【解答】解：由题意可得，
随机抽一种类型的赠书，参与者甲抽到劳技类赠书的概率为1
4 ，
故答案为：1
4 ．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
10．（2026•南充）现有3 张无差别的卡片，上面分别写有化学式CO2，H2O，Fe．随机抽取2 张，那么
这2 张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为 1
3 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据观念．
【答案】1
3．
【分析】画树状图，共有6 种等可能的结果，其中这2 张卡片上化学式对应的物质都是化合物的结果
有2 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把写有化学式CO2，H2O，Fe 的3 张的卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
10
共有6 种等可能的结果，其中这2 张卡片上化学式对应的物质都是化合物的结果有2 种，即AB、BA，
∴这2 张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为2
6 = 1
3，
故答案为：1
3．
【点评】此题考查的是用列表法与树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知
识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（2026•安徽）中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学
兴趣小组从《九章算术》中挑选出4 个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问
题各2 个．在某次活动中，从这4 个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题
的概率为 1
2 ．
【考点】概率公式；平方根；立方根．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用．
【答案】1
2．
【分析】只需确定所有等可能结果的个数与符合题意的结果个数，再利用概率公式计算即可．
【解答】解：所有可能出现的结果共4 种，且每种结果发生的可能性相等，
其中抽取到“开平方”问题的结果有2 种．
根据概率公式，抽到的是“开平方”问题的概率为2
4 = 1
2，
故答案为：1
2．
【点评】本题考查简单随机事件的概率计算，掌握其相关知识点是解题的关键．
12．（2026•达州）6 把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是 1
6
．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】1
6．
【分析】直接利用概率公式求解．
11
【解答】解：从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率= 1
6．
故答案为：1
6．
【点评】本题考查了概率公式，某事件的概率＝该事件所占的结果数与总的结果数之比．
13．（2026•泸州）4 张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2 张，抽
取的两张卡片上的数字之和是3 的整数倍的概率是 1
3 ．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】1
3．
【分析】画树状图展示所有12 种等可能的结果，再找出抽取的两张卡片上的数字之和是3 的整数倍的
结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12 种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之和是3 的整数倍的结果数为4，
所以抽取的两张卡片上的数字之和是3 的整数倍的概率= 4
12 = 1
3．
故答案为：1
3．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A 或B 的概率．
14．（2026•重庆）某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E 中随机抽取一个参加展演，则
抽到节目A 的概率为 1
5 ．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】1
5．
【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵总共五个备选节目A，B，C，D，E，
∴随机抽取一个参加展演，抽到节目A 的概率为1
5．
12
故答案为：1
5．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二．解答题（共6 小题）
15．（2026•南京）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，
若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P1，若一个袋子中装有红球10 个，白球20 个，
摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记
为P2．
（1）求P1的值；
（2）比较P1与P2的大小．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）1
2；
（2）P1＞P2．
【分析】（1）先画树状图展示所有4 种等可能的结果，再找出两次摸出的球的颜色不同得结果数，然
后根据概率公式得到P1= 1
2；
（2）利用概率公式计算出P2= 10×20+20×10
30×30
= 4
9 ，从而可比较P1与P2的大小．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有4 种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色不同得结果数为2，
所以P1= 2
4 = 1
2；
（2）根据题意得P2= 10×20+20×10
30×30
= 4
9 ，
而1
2 ＞4
9 ，
∴P1＞P2．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了概率公式．
16．（2026•广元）某校“人工智能”社团开展“AI 模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、
B、C、D、E 五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下：
13
成绩频数分布表
等级
成绩x（分）
频数
A
90≤x≤100
n
B
80≤x＜90
18
C
70≤x＜80
m
D
60≤x＜70
4
E
x＜60
2
统计B 等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，
88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）参赛学生总人数为
40
人，成绩频数分布表中m＝
12
，n＝
4
；
（2）参赛学生此次成绩的中位数是
82
；
（3）若从A 等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计
算同时抽到小佳和小亮的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；中位数．菁优网版权所有
【专题】统计与概率；数据观念．
【答案】（1）40，12，4；
（2）82；
（3）1
6．
【分析】（1）利用B 等级的人数以及所占的百分比求出总人数，然后利用C 等级所占的百分比求出C
等级人数m，再用总人数减去其他组人数求出n 即可；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）列树状图得出所有等可能的结果以及同时抽到小佳和小亮的结果数，再利用概率公式解答即可．
【解答】解：（1）参赛学生总人数为：18÷45%＝40（人），
m＝40×30%＝12，
n＝40﹣18﹣12﹣4﹣2＝4．
故答案为：40，12，4；
（2）数据排序后第20、21 个数据为81、83，
∴参赛学生此次成绩的中位数是：81+83
2
=82．
14
故答案为：82；
（3）A 等级中共有4 名学生，分别记为甲、乙、丙（小佳）、丁（小亮），
画树状图如下：
共有12 种等可能的结果，其中小佳和小亮两人同时被选中的结果有2 种，
∴同时抽到小佳和小亮的概率为2
12 = 1
6．
【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图、频数分布表等知识．列表法与树状图法
可以不重不漏的表示出所有可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（2026•陕西）某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼
祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D
（字母A，B，C，D 分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除
所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出
的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书．
（1）将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为 1
4 ；
（2）将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒
中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少
有一位同学分享《红星照耀中国》的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据观念．
【答案】（1）1
4 ；
（2）7
16．
【分析】（1）根据题意可知，盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有
“A”的概率为1
4 ；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享
《红星照耀中国》的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为1
4 ，
15
故答案为：1
4 ；
（2）树状图如下所示，
，
由上可得，一共有16 种等可能性，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》
的可能性有7 种，
∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为7
16．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
18．（2026•绥化）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，
某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创
新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据
图表中信息回答下列问题：
类别
参与创新实践活动的时间x（单位：小时）
A
0≤x＜0.5
B
0.5≤x＜1
C
1≤x＜1.5
D
1.5≤x＜2
E
x≥2
（1）本次随机调查的学生共有
40
人，补全条形统计图．
（2）若该校八年级学生共有320 人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5 小时
及以上的学生人数．
（3）已知E 类学生中恰好有2 名女生和1 名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，
请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；条形统计图；加权平均数．菁优网版权所有
16
【专题】统计与概率；数据观念．
【答案】（1）40，
补全统计图如下：
；
（2）120 人；
（3）2
3．
【分析】（1）将B 类的人数除以其百分比，即可求出本次调查的学生人数，将本次调查的学生人数减
去已知的A，B，D，E 类的人数，求出C 类的人数，即可补全条形统计图；（2）将该校八年级学生
320 人乘以本次调查中平均每周参与创新实践活动的时间在1.5 小时及以上的学生比例即可解答；
（3）通过画树状图或者列表，找出所有等可能的情况数，和满足要求的情况数，再利用概率公式计算
即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有10÷25%＝40（人），C 类的学生有40﹣5﹣10﹣12﹣3＝10
（人），
补全统计图如下：
．
故答案为：40；（2）320× 12+3
40
=120（人），答：估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时
间在1.5 小时及以上的学生有120 人；（3）画树状图得：
∵共有6 种等可能的结果，选取的两名同学恰好是一男一女的有4 种情况．
∴选取的两名同学恰好是一男一女的概率为4
6 = 2
3．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是从图中获取有用的信息和列树状图求求概
17
率．
19．（2026•吉林）第33 届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分
配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配
到同一项目组的概率．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】1
3．
【分析】用A、B、C 分别表示短道速滑、冰壶、冰球三个项目，画树状图展示所有9 种等可能的结果，
再找出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：用A、B、C 分别表示短道速滑、冰壶、冰球三个项目
画树状图为：
共有9 种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数为3，
所以小冰和小雪被分配到同一项目组的概率= 3
9 = 1
3．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A 或B 的概率．
20．（2026•巴中）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A 非常喜
欢，B 喜欢，C 一般，D 不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完
整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中，学校一共抽取了
25
名学生，并补全条形统计图．
（2）该年级共有学生400 人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数．
（3）学校决定对学生进一步访谈，先从C 类学生中抽取1 名学生，再从D 类学生中抽取1 名学生，请
用列表格或画树状图的方法，求抽取的2 名学生恰好是1 名男生和1 名女生的概率．
18
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念；运算能力．
【答案】（1）25，补全条形统计图如下：
（2）估计对活动“非常喜欢”的学生人数为112 人；
（3）1
2．
【分析】（1）由D 类的人数乘以所占百分比得出本次抽样调查抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由该年级共有学生人数乘以对活动“非常喜欢”的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12 种等可能的结果，其中抽取的2 名学生恰好是1 名男生和1 名女生的结果有6
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查中，学校一共抽取的学生人数为（2+1）÷12%＝25（名），
∴B 类的学生人数为25×44%＝11（名），
A 类的学生人数为25﹣11﹣（2+2）﹣（2+1）＝7（名），
∴A 类男生应为3 人、女生4 人，B 类男生应为5 人、女生6 人，
故答案为：25，
补全条形统计图如下：
（2）400× 7
25 =112（人），
答：估计对活动“非常喜欢”的学生人数为112 人；
（3）画树状图如下：
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共有12 种等可能的结果，其中抽取的2 名学生恰好是1 名男生和1 名女生的结果有6 种，
∴抽取的2 名学生恰好是1 名男生和1 名女生的概率为6
12 = 1
2．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法以及扇形统计图和条形统计图等知识．树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情
况数与总情况数之比．
20
考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a 的正的平方根表示为“√a”，负的平方根表示为“-√a”．
正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作√a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a 有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根
是0．
2．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，
那么x 叫做a 的立方根．记作：3√a．
（2）正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a 的立方根的运算叫开立方，其中a 叫做被开方数．
注意：符号
3√a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一
个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a 有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根
是0．
3．七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一
块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具
体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右
下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条
线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰
到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．
21
4．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时
我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
5．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点
的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超
过100 时，按数据的多少，常分成5～12 组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
6．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形
统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的
扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形
圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数
用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
7．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序
把这些直条排列起来．
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（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
8．加权平均数
（1）加权平均数：若n 个数x1，x2，x3，…，xn 的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…
+xnwnw1+w2+…+wn 叫做这n 个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识
占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差
异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
9．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就
是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据
中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
10．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型
进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的
概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率
的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
11．概率公式
（1）随机事件A 的概率P（A）= 事件A 可能出现的结果数
所有可能出现的结果数
．
（2）P（必然事件）＝1．
23
（3）P（不可能事件）＝0．
12．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的
枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
13．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个
频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般
通过统计频率来估计概率．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 10:57:00；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.com；学号：41418967
