文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（一）
一．选择题（共3 小题）
1．（2026•绥化）如图，有一小型科学探测器在空中A 处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B
的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝60√3m，则探测器到目标B 的距离AB 约为（其中√3≈1.732，
计算结果精确到0.1）（ ）
A．207.8m
B．207.9m
C．208.8m
D．208.9m
2．（2026•福建）古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”
所描绘的示意图．已知秋千的绳索长OA＝6 尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在
点A 处，OA 与地面BD 垂直，踏板离地面的高度AB＝1 尺．当踏板从A 处绕点O 运动到C 处时，踏板
离地面的高度CD＝4 尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC 的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
3．（2026•湖南）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC 与AB 垂直，门CD 可绕C 旋转，F 是门CD
与门吸EF 的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB 于点E．已知AC＝a，EF＝b，
∠ACD＝α，且a＞b，则门吸EF 离墙AC 的距离AE 为（ ）
A．a•tanα
B．（a﹣b）sinα
C．（a﹣b）cosα
D．（a﹣b）tanα
二．填空题（共4 小题）
4．（2026•深圳）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为53°．身高为1.6m 的小明站在水平地面上，此
时他的影长为 ．（参考数据：tan53°≈4
3 ，cos53°≈3
5，sin53°≈4
5 ）
5．（2026•广东）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明
2
亮的光斑．如图，∠1＝∠2，若tan∠AOD= 3
4 ，OB＝8，则BC＝ ．
6．（2026•上海）在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则tanB＝ ．
7．（2026•乐山）sin30°＝ ．
三．解答题（共10 小题）
8．（2026•南京）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3 尺，第二次露出水平面4 尺，已知两次
与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离．（sin53°≈4
5 ，sin62°
≈8
9
）
9．（2026•甘孜州）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成
的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度
在山脚A 处测得山腰B 处的仰角为53°，A，B 间的距离为400 米，在山腰B 处测得山顶C 处的仰角为
45°，B，C 间的距离为600 米．求山高CD．（参考数据：sin53°≈4
5 ，cos53°≈3
5，√2≈1.414．计算结
果取整数．）
3
10．（2026•湖北）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某
台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡．如图，坡角为∠A 的斜坡AB 长10m，铅直高度BC 长
4.7m，∠C＝90°．该机器人一定能爬上斜坡AB 吗？请判断并说明理由．（参考数据：sin28°≈0.47，
sin35°≈0.57）
11．（2026•广元）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤
舟赛，某训练队进行了如下测量：
测量任务
任务一：测量“初始速度”
任务二：测量“冲刺速度”
示意图
已知条件
凤舟AB 长度约为14 米，训练过程中凤舟AB 始终与河岸MN 平行．
实施过程
凤舟出发前，河岸观测点P 与舟头B
的连线PB⊥MN，同时测得P 与舟尾A
的连线PA 与河岸MN 的夹角∠APM＝
65°，当凤舟出发20 秒时，舟头到达点
C 并测得PC 与河岸MN 的夹角∠CPN
＝29°．
当舟头B 行进到与观测点G
的连线BG⊥MN 时开始计时，
舟头B 到达终点D 时，用时10
秒，同时测得GD 与MN 夹角
∠DGN＝40°，在距离G 点20
米的H 点处测得DH 与MN 的
夹角∠DHN＝63°．
问题解决
（1）求凤舟与河岸的距离BP；（结
果保留整数）
（2）求凤舟前20 秒的平均速度．
（结果保留两位小数）
求凤舟最后10 秒的平均速
度．
参考数据
tan29°≈0.55，tan65°≈2.14
tan40°≈0.84，tan63°≈1.96
请从以上两个任务中任选一个，解决对应的问题．
12．（2026•巴中）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026 年国际划联皮划艇马拉松世界杯于
5 月23 日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N 点处竖直升空，当升至距地面15m 的空中P 点
时，测得C 点正前方的河面上两艘皮划艇A 和B 的俯角分别为42.3°和52.4°（点M、C、B、A 在一条
直线上）．已知河堤斜坡NC 的长为12m，坡比为1：√3．（计算结果保留整数）
（参考数据：sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61tan，
52.4°≈1.30）
（1）求无人机距河面的高度PM．
（2）求两艘皮划艇之间的距离AB．
4
13．（2026•河北）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组
尚未完成的活动报告．
主题
求生活中的圆弧长
研究内容
本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1
所示），已知扇形OPQ 所在圆的半径OM⊥PQ 于点N，OP≈10.00m，用
不同的方案分别求^
PQ的长l．
工具
软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等
研究方案与实践成果
方案一
方案二
方案三
用软尺直接测量^
PQ
的长．
测量数据：
第一次6.36m
第二次6.32m
用测角仪测角，利用
弧长公式计算^
PQ的
长．
测量数据：
∠POQ≈36°
查阅文献，发现北宋沈括的
《梦溪笔谈》中收录了近似计
算圆弧长度的“会圆术”．图
1 中，弧长l= PQ+ M N
2
OP ．
测量数据：
PQ≈6.20m ，MN≈0.50m
取两次测量结果的平
均数，则l＝6.34m．
利用弧长公式…
根据“会圆术”，…
反思应用
①方案一可通过 的方法减少
误差；
②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题．
如图2 所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB 为6m，拱
高CD 为1m，虽然弧长l^
AB和圆心角∠AEB 不方便测量，但可以通过计算
近似得出．
计算过程如下：…
请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：
（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法．（写出一种方法即可）
5
（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算^
PQ的长l．
（3）求图2 中弧长l^
AB和圆心角∠AEB．（π 取3.1）
14．（2026•内江）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量
活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的C 处，测得雕像顶端A 的仰角为45°，
沿水平方向向雕像行走12 米到达观测点D 处，测得雕像顶端A 的仰角为60°．雕像底端B 与观测点
D、C 在同一条水平直线上，且AB⊥BC．求孔子雕像的高度AB．（结果保留根号）
15．（2026•新疆）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A 和港口B 同时出发向港口C 直线航行运送货物．
已知港口A 位于港口B 北偏西18.4°的方向上，港口C 位于港口A 北偏东53°的方向上，AB＝100√10海
里，AC＝500 海里，甲船航行速度为10 海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可
以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，
sin18.4°≈√10
10 ，cos18.4°≈3√10
10
，tan18.4°≈1
3）
16．（2026•宜宾）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁
宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25 根柱子，每两根柱
子之间的距离为4 米（如图2），组长站在最中间柱子EC 正下方，背对车站向正前方走了20 米到达F
点，转身测得D、E 两点的仰角分别是50.3°和58°（不计测角仪的高度）（如图3）．
（1）求DE 的长；
（2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．
（结果保留整数．参考数据：sin58°≈0.85 ，cos58°≈0.53 ，tan58°≈1.60 ，sin50.3°≈0.77 ，
6
cos50.3°≈0.64，tan50.3°≈1.20．）
17．（2026•吉林）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A 点，到河岸的距离AB 为10m，刚好正对
河岸的一棵大树P，此时点A，B，P 在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了93m，到达
C 点，此时测得∠ACP＝35°．求这条河的宽度PB（结果保留整数）．（参考数据：sin35°≈0.57，
cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
7
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3 小题）
题号
1
2
3
答案
A
C
D
一．选择题（共3 小题）
1．（2026•绥化）如图，有一小型科学探测器在空中A 处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B
的俯角α＝30°，探测器飞行的高度AC＝60√3m，则探测器到目标B 的距离AB 约为（其中√3≈1.732，
计算结果精确到0.1）（ ）
A．207.8m
B．207.9m
C．208.8m
D．208.9m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】在Rt△ABC 中，利用含30 度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠ABC＝α＝30°，AC＝60√3m，
∴AB＝2AC＝120√3≈207.8（m），
∴探测器到目标B 的距离AB 约为207.8m，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析
是解题的关键．
2．（2026•福建）古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”
所描绘的示意图．已知秋千的绳索长OA＝6 尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在
点A 处，OA 与地面BD 垂直，踏板离地面的高度AB＝1 尺．当踏板从A 处绕点O 运动到C 处时，踏板
离地面的高度CD＝4 尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC 的大小为（ ）
8
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先作CE⊥OA，然后计算出OA 的长，再根据锐角三角函数即可计算出∠AOC 的值．
【解答】解：作CE⊥OA 于点E，如图所示，
∵OA＝6 尺，AB＝1 尺，
∴OB＝7 尺，
∵CD＝4 尺，BE＝CD，
∴BE＝4 尺，
∴OE＝OB﹣BE＝7﹣4＝3（尺），
∵OC＝OA＝6 尺，CE⊥OA，
∴∠OEC＝90°，
∴cos∠AOC= OE
OC = 3
6 = 1
2，
∴∠AOC＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
3．（2026•湖南）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC 与AB 垂直，门CD 可绕C 旋转，F 是门CD
与门吸EF 的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB 于点E．已知AC＝a，EF＝b，
∠ACD＝α，且a＞b，则门吸EF 离墙AC 的距离AE 为（ ）
A．a•tanα
B．（a﹣b）sinα
C．（a﹣b）cosα
D．（a﹣b）tanα
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】过点F 作FG⊥AC 于点G，证明四边形AEFG 是矩形，得到AE＝FG，AG＝EF＝b，则CG＝a
9
﹣b，根据tanα = GF
CG ，得到FG＝CGtanα＝（a﹣b）tanα，即可求出AE．
【解答】解：过点F 作 FG⊥AC 于点G，
∵AC⊥AB，EF⊥AB，FG⊥AC，
∴四边形AEFG 是矩形，
∴AE＝FG，AG＝EF＝b，
∵AC＝a，
∴CG＝AC﹣AG＝a﹣b，
在Rt△CGF 中，∠GCF＝∠ACF＝a，
∴tanα = GF
CG ，
∴FG＝CGtanα＝（a﹣b）tanα，
∴AE＝FG＝（a﹣b）tanα，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
二．填空题（共4 小题）
4．（2026•深圳）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为53°．身高为1.6m 的小明站在水平地面上，此
时他的影长为
1.2
m ．（参考数据：tan53°≈4
3 ，cos53°≈3
5，sin53°≈4
5 ）
【考点】解直角三角形的应用；平行投影．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；投影与视图；应用意识．
【答案】1.2m．
【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影
长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长．
【解答】解：设此时小明的影长为xm，
由题意可得，在直角三角形，太阳光与水平地面的夹角为53°，该角的对边为小明身高1.6m，邻边为影
长xm，
∴tan53° = 1.6
x ，
将tan53°≈4
3 代入得：4
3 = 1.6
x ，
解得：x＝1.2，
故答案为：1.2m．
10
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行投影，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数
的定义．
5．（2026•广东）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明
亮的光斑．如图，∠1＝∠2，若tan∠AOD= 3
4 ，OB＝8，则BC＝
6
．
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】6．
【分析】根据余角的性质及已知条件∠1＝∠2 推导出∠AOD＝∠BOC，再根据锐角三角函数的定义在
Rt△OBC 中计算BC 的长即可．
【解答】解：由题意可知，法线垂直于平面镜AB，
∴∠1+∠AOD＝90°，∠2+∠BOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵tan∠AOD = 3
4 ，
∴tan∠BOC = 3
4 ，
在Rt△OBC 中，∠OBC＝90°，OB＝8，
∴BC
OB = 3
4 ，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
6．（2026•上海）在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则tanB＝ 3
4 ．
【考点】解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】3
4 ．
【分析】先根据勾股定理求出BC 的长，再根据正切的定义计算即可．
【解答】解：在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
11
由勾股定理得BC=√A B
2- A C
2=√10
2-6
2=8，
∴tanB= AC
BC = 6
8 = 3
4 ，
故答案为：3
4 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的概念是解题的关键．
7．（2026•乐山）sin30°＝ 1
2 ．
【考点】特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；抽象能力．
【答案】1
2．
【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．
【解答】解：sin30°= 1
2．
故答案为：1
2．
【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟练掌握特殊角三角函数值进行求解是解决本题的关键．
三．解答题（共10 小题）
8．（2026•南京）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3 尺，第二次露出水平面4 尺，已知两次
与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离．（sin53°≈4
5 ，sin62°
≈8
9
）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识；生活情境．
【答案】竹竿的长度为13 尺，水底固定处到水平面的距离为8 尺．
【分析】如图，过B 作过D 作BP∥AE，过D 作DH⊥BP 于H 交AE 于M，过E 作EG⊥BP 于G，交
12
AE 于N，得到四边形MHGN 是矩形，根据矩形的性质得到MH＝NG，∠EBG＝∠CEN＝53°，∠DAM
＝∠DBH＝62°，设BD＝BC＝x 尺，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，过B 作过D 作BP∥AE，过D 作DH⊥BP 于H 交AE 于M，过E 作EG⊥BP 于G，
交AE 于N，
则四边形MHGN 是矩形，
∴MH＝NG，∠EBG＝∠CEN＝53°，∠DAM＝∠DBH＝62°，
设BD＝BC＝x 尺，
在Rt△DAM 中，DM＝AD•sin∠DAM＝4×sin62°≈4× 8
9 = 32
9 （尺），
在Rt△DBH 中，DH＝BD•sin∠DBH＝x×sin62°≈8
9x（尺），
在Rt△CEN 中，CN＝CE•sin∠CEN＝3×sin53°≈3× 4
5 = 12
5 （尺），
在Rt△DBH 中，CG＝BC•sin∠CBG＝x×sin53°≈4
5 x（尺），
∴8
9x- 32
9 = 4
5 x- 12
5 ，
∴x＝13，
∴8
9x- 32
9 =8，
答：竹竿的长度为13 尺，水底固定处到水平面的距离为8 尺．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2026•甘孜州）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成
的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度
在山脚A 处测得山腰B 处的仰角为53°，A，B 间的距离为400 米，在山腰B 处测得山顶C 处的仰角为
45°，B，C 间的距离为600 米．求山高CD．（参考数据：sin53°≈4
5 ，cos53°≈3
5，√2≈1.414．计算结
果取整数．）
13
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】山高CD 约为744 米．
【分析】根据题意可得：BF＝DE，然后分别在Rt△ABF 和在Rt△BCE 中，利用锐角三角函数的定义
求出DE 和CE 的长，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：BF＝DE，
在Rt△ABF 中，AB＝400 米，∠BAF＝53°，
∴DE＝BF＝AB•sin53°≈400× 4
5 =320（米），
在Rt△BCE 中，BC＝600 米，∠CBE＝45°，
∴CE＝CB•sin45°＝600× √2
2 =300√2（米），
∴CD＝CE+DE＝320+300√2≈744（米），
∴山高CD 约为744 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析
是解题的关键．
10．（2026•湖北）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某
台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡．如图，坡角为∠A 的斜坡AB 长10m，铅直高度BC 长
4.7m，∠C＝90°．该机器人一定能爬上斜坡AB 吗？请判断并说明理由．（参考数据：sin28°≈0.47，
sin35°≈0.57）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】该机器人一定能爬上斜坡AB，
理由：
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
sinA = BC
AB = 4.7
10 =0.47．
14
∵sin28°≈0.47，
∴∠A≈28°．
∵28°＜35°，
∴该机器人一定能爬上斜坡AB．
【分析】sinA = BC
AB = 4.7
10 =0.47，因为sin28°≈0.47，则∠A≈28°，又因为28°＜35°，则该机器人一
定能爬上斜坡AB．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
sinA = BC
AB = 4.7
10 =0.47．
∵sin28°≈0.47，
∴∠A≈28°．
∵28°＜35°，
∴斜坡AB 长10m，铅直高度BC 长4.7m，则该机器人一定能爬上斜坡AB．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11．（2026•广元）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤
舟赛，某训练队进行了如下测量：
测量任务
任务一：测量“初始速度”
任务二：测量“冲刺速度”
示意图
已知条件
凤舟AB 长度约为14 米，训练过程中凤舟AB 始终与河岸MN 平行．
实施过程
凤舟出发前，河岸观测点P 与舟头B
的连线PB⊥MN，同时测得P 与舟尾A
的连线PA 与河岸MN 的夹角∠APM＝
65°，当凤舟出发20 秒时，舟头到达点
C 并测得PC 与河岸MN 的夹角∠CPN
＝29°．
当舟头B 行进到与观测点G
的连线BG⊥MN 时开始计时，
舟头B 到达终点D 时，用时10
秒，同时测得GD 与MN 夹角
∠DGN＝40°，在距离G 点20
米的H 点处测得DH 与MN 的
夹角∠DHN＝63°．
问题解决
（1）求凤舟与河岸的距离BP；（结
果保留整数）
（2）求凤舟前20 秒的平均速度．
（结果保留两位小数）
求凤舟最后10 秒的平均速
度．
参考数据
tan29°≈0.55，tan65°≈2.14
tan40°≈0.84，tan63°≈1.96
请从以上两个任务中任选一个，解决对应的问题．
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）30 米；
15
（2）2.72 米/秒；
（3）3.5 米/秒．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠PAB＝∠APM＝65°，PB⊥AB，进而可知∠ABP＝90°，根据三
角函数计算即可；
（2）同（1）计算即可；
（3）设凤舟10 秒内航行的路程BD＝x 米，过D 作DE⊥MN 交MN 于点E，根据三角函数求出DE 的
表达式，列方程求出x 的值，进而可知凤舟最后10 秒的平均速度．
【解答】解：（1）由题意知：AB∥MN，PB⊥MN，
∴∠PAB＝∠APM＝65°，PB⊥AB，
因此△ABP 是直角三角形，∠ABP＝90°，
∴tan∠PAB = PB
AB ，
即PB＝AB•tan65°≈14×2.14＝29.96≈30 米；
（2）凤舟20 秒内航行的路程等于BC 的长度，
由题意知：AB∥MN，PB⊥MN，
∴∠C＝∠CPN＝29°，PB⊥BC，
∴△PBC 是直角三角形，∠PBC＝90°，
因此：tanC = PB
BC ，
∴BC =
PB
tan29° ≈29.96
0.55 ≈54.47米，
∴v = BC
20 ≈54.47
20
≈2.72米/秒；
（3）设凤舟10 秒内航行的路程BD＝x 米，
过D 作DE⊥MN 交MN 于点E，
可得四边形BDEG 是矩形，
∴GE＝BD＝x 米，
根据三角函数可知DE＝BD•tan40°＝xtan40°米，
同时DE＝（x﹣GH）•tan63°＝（x﹣20）tan63°米，
∵tan40°≈0.84，tan63°≈1.96，
∴0.84x＝1.96（x﹣20），
解得x＝35，
16
因此平均速度v = 35
10 =3.5米/秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
12．（2026•巴中）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026 年国际划联皮划艇马拉松世界杯于
5 月23 日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N 点处竖直升空，当升至距地面15m 的空中P 点
时，测得C 点正前方的河面上两艘皮划艇A 和B 的俯角分别为42.3°和52.4°（点M、C、B、A 在一条
直线上）．已知河堤斜坡NC 的长为12m，坡比为1：√3．（计算结果保留整数）
（参考数据：sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61tan，
52.4°≈1.30）
（1）求无人机距河面的高度PM．
（2）求两艘皮划艇之间的距离AB．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）无人机距河面的高度PM 为21 米；
（2）两艘皮划艇之间的距离AB 为7 米．
【分析】（1）利用坡比为1：√3求出∠NCM＝30°，利用NC＝12m 解答即可；
（2）在Rt△PBM 和Rt△PAM 中，利用正切列式求出BM 和AM 即可解答．
【解答】解：（1）∵坡比为1：√3，
∴tan∠NCM= MN
MC = 1
√3 = √3
3 ，
∴∠NCM＝30°，
∴在Rt△MCN 中，MN= 1
2NC＝6（m），
∵PN＝15m，
∴PM＝PN+MN＝15+6＝21（m），
答：无人机距河面的高度PM 为21 米；
（2）∵C 点正前方的河面上两艘皮划艇A 和B 的俯角分别为42.3°和52.4°，
∴∠PBM＝52.4°，∠PAM＝42.3°，
在Rt△PBM 中，tan∠PBM= PM
BM ，
17
∴BM=
PM
tan∠PBM ≈21
1.30 ≈16（m），
在Rt△PAM 中，tan∠PAM= PM
AM ，
AM=
PM
tan∠PAM ≈21
0.91 ≈23（m），
∴AB＝AM﹣BM＝23﹣16＝7（m），
答：两艘皮划艇之间的距离AB 为7 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
13．（2026•河北）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组
尚未完成的活动报告．
主题
求生活中的圆弧长
研究内容
本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1
所示），已知扇形OPQ 所在圆的半径OM⊥PQ 于点N，OP≈10.00m，用
不同的方案分别求^
PQ的长l．
工具
软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等
研究方案与实践成果
方案一
方案二
方案三
用软尺直接测量^
PQ
的长．
测量数据：
第一次6.36m
第二次6.32m
用测角仪测角，利用
弧长公式计算^
PQ的
长．
测量数据：
∠POQ≈36°
查阅文献，发现北宋沈括的
《梦溪笔谈》中收录了近似计
算圆弧长度的“会圆术”．图
1 中，弧长l= PQ+ M N
2
OP ．
测量数据：
PQ≈6.20m ，MN≈0.50m
取两次测量结果的平
均数，则l＝6.34m．
利用弧长公式…
根据“会圆术”，…
反思应用
①方案一可通过 多次测量取平均值 的方
法减少误差；
②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题．
如图2 所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB 为6m，拱
高CD 为1m，虽然弧长l^
AB和圆心角∠AEB 不方便测量，但可以通过计算
18
近似得出．
计算过程如下：…
请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：
（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法．（写出一种方法即可）
（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算^
PQ的长l．
（3）求图2 中弧长l^
AB和圆心角∠AEB．（π 取3.1）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；二次函数的应用；垂径定理的应用；圆周角定理；弧
长的计算．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）多次测量取平均值；
（2）方案二弧长为2π m；方案三弧长为6.225m；
（3）l^
AB=6.2m，∠AEB＝72°．
【分析】（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差；
（2）方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可；
（3）先由垂径定理以及勾股定理求解AE，再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角
的度数即可．
【解答】解：（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差，
故答案为：多次测量取平均值；
（2）方案二：^
PQ的长l = 36×π ×10
180
=2π(m)；
方案三：∵l = PQ+ M N
2
OP ，PQ≈6.20m，MN≈0.50m，OP≈10.00m，
∴l =6.20+ 0.50
2
10.00 =6.225(m)；
（3）∵CD⊥AB，AB＝6m，
∴AD = BD = 1
2 AB =3(m)，
在Rt△ADE 中，由勾股定理得，AE2＝AD2+DE2，CD＝1m，
∴AE2＝32+（AE﹣1）2，
解得AE＝5（m），
由“会圆术”可得，l^
AB= AB+ C D
2
AE =6+ 1
5 =6.2(m)，
设∠AEB 的度数为n，则由l^
AB= nπ × AE
180
得，6.2= n×3.1×5
180
，
解得n＝72°．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
19
14．（2026•内江）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量
活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的C 处，测得雕像顶端A 的仰角为45°，
沿水平方向向雕像行走12 米到达观测点D 处，测得雕像顶端A 的仰角为60°．雕像底端B 与观测点
D、C 在同一条水平直线上，且AB⊥BC．求孔子雕像的高度AB．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】孔子雕像的高度AB 为（18+6√3）m．
【分析】设BD＝xm，则BC＝（x+12）m，然后分别在Rt△ABD 和Rt△ABC 中，分别利用锐角三角函
数的定义求出AB 的长，从而列出关于x 的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设BD＝xm，
∵CD＝12m，
∴BC＝BD+CD＝（x+12）m，
在Rt△ABD 中，∠ADB＝60°，
∴AB＝BD•tan60°=√3x（m），
在Rt△ABC 中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC•tan45°＝（x+12）m，
∴√3x＝x+12，
解得：x＝6√3+6，
∴AB=√3x＝（18+6√3）m，
∴孔子雕像的高度AB 为（18+6√3）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析
是解题的关键．
15．（2026•新疆）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A 和港口B 同时出发向港口C 直线航行运送货物．
已知港口A 位于港口B 北偏西18.4°的方向上，港口C 位于港口A 北偏东53°的方向上，AB＝100√10海
里，AC＝500 海里，甲船航行速度为10 海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可
以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，
sin18.4°≈√10
10 ，cos18.4°≈3√10
10
，tan18.4°≈1
3）
20
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】6√5海里/时．
【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出BD，ED，EF，CF 的
长度，最后根据勾股定理即可求出BC 长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度．
【解答】解：过点B 的正北方向作BF⊥CF 于点F，交AC 于点E，过点A 作AD⊥BF 于点D，设A 的
正北方向上一点G，如图所示，
∴DF∥AG，∠ADB＝∠ADE＝∠CFE＝90°，
∴∠GAE＝∠AED＝∠CEF＝53°．
∵cos18.4°≈3√10
10
，AB =100√10海里，AC＝500 海里，sin18.4°≈√10
10 ，
∴在Rt△ADB 中，sin18.4°≈√10
10 = AD
AB =
AD
100√10
，cos18.4°≈3√10
10
= BD
AB =
BD
100√10
，
∴BD＝300 海里，AD＝100 海里，
∵sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，
∴在Rt△ADE 中，sin53°≈0.80= AD
AE = 100
AE ，则AE＝125 海里，
cos53°≈0.60= ED
AE = ED
125，则ED＝75 海里．
21
∵AC＝500 海里，
∴EC＝AC﹣AE＝500﹣125＝375 海里，
∴在Rt△CFE 中，sin53°≈0.80= CF
CE = CF
375，则CF＝300 海里，
cos53°≈0.60= EF
CE = EF
375，则EF＝225 海里．
∴FB＝BD+DE+EF＝300+75+225＝600 海里，
∴在Rt△CFB 中，BC =√C F
2+ F B
2=√300
2+600
2=300√5海里．
∵AC＝500 海里，甲船航行速度为10 海里/时，甲和乙的行驶时间相同，
∴t乙=t甲= 500
10 =50小时，
∵BC =300√5海里，
∴V 乙= 300√5
50
=6√5海里/时．
∴乙船的航行速度大约是6√5海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C．
【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在
于利用方向构建直角三角形．
16．（2026•宜宾）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁
宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25 根柱子，每两根柱
子之间的距离为4 米（如图2），组长站在最中间柱子EC 正下方，背对车站向正前方走了20 米到达F
点，转身测得D、E 两点的仰角分别是50.3°和58°（不计测角仪的高度）（如图3）．
（1）求DE 的长；
（2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．
（结果保留整数．参考数据：sin58°≈0.85 ，cos58°≈0.53 ，tan58°≈1.60 ，sin50.3°≈0.77 ，
cos50.3°≈0.64，tan50.3°≈1.20．）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）DE 的长为8 米；
（2）正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148 米．
【分析】（1）分别解Rt△DFC，Rt△EFC，求出DC，EC，进而根据DE＝EC﹣DC 解答即可求解；
22
（2）设正大门穹顶圆弧所在圆的圆心为O，连接NO，CO，根据题意可得DN＝48，设⊙O 的半径为r
米，则OD＝OE﹣DE＝（r﹣8）米，在Rt△ODN 中根据勾股定理建立方程即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△DFC 中，tan∠DFC＝tan50.3°= DC
FC ≈1.20，
∴DC≈20×1.20＝24（米），
在Rt△EFC 中，tan∠EFC＝tan58°= EC
FC ≈1.60，
∴EC≈20×1.60＝32（米），
∴DE＝EC﹣DC＝32﹣24＝8（米），
答：DE 的长为8 米；
（2）如图，设^
MEN的圆心为O，连接NO，CO，
∵圆弧下面有25 根柱子，每两根柱子之间的距离为4 米，
∴MN＝（25﹣1）×4＝96 米，
∵点D 是MN 的中点，
∴DN = 1
2 MN = 48米，OD⊥MN，
设⊙O 的半径为r 米，则 OD＝OE﹣DE＝（r﹣8）米，
在Rt△ODN 中，OD2+DN2＝ON2，
∴（r﹣8）2+482＝r2，
解得r＝148，
答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条
件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（2026•吉林）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A 点，到河岸的距离AB 为10m，刚好正对
河岸的一棵大树P，此时点A，B，P 在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了93m，到达
C 点，此时测得∠ACP＝35°．求这条河的宽度PB（结果保留整数）．（参考数据：sin35°≈0.57，
cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
23
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】55m．
【分析】在Rt△PAC 中先利用直角三角形的边角间关系求出PA，再利用线段的和差关系得结论．
【解答】解：在Rt△PAC 中，
∵tan∠ACP= PA
AC ，
∴PA＝tan∠ACP•AC
＝tan35°×93
≈0.7×93
＝65.1（m）．
∴PB＝PA﹣BA＝65.1﹣10＝55.1≈55（m）．
答：这条河的宽度PB 约为55m．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、线段的和差关系等知识点是解决
本题的关键．
24
考点卡片
1．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函
数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值
的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实
到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问
题．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
3．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边
形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角
三角形的斜边．
4．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
25
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
5．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌
握．
6．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
7．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l= nπR
180 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180 都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
8．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°= 1
2； cos30°= √3
2 ；tan30°= √3
3 ；
sin45°= √2
2 ；cos45°= √2
2 ；tan45°＝1；
26
sin60°= √3
2 ；cos60°= 1
2； tan60°=√3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
9．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA= ∠A 的对边
斜边
= a
c ，cosA= ∠A 的邻边
斜边
= b
c ，tanA= ∠A 的对边
∠A 的邻边= a
b ．
（a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边）
10．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量
边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化
得到实际问题的答案．
11．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，
一般用i 表示，常写成i＝1：m 的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α 叫做坡角，坡度i 与坡角α 之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角
的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
12．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三
角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意
把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
27
13．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定
在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
14．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物
体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平
面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投
影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 10:44:01；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.com；学号：41418967
