文档文本内容
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（二）
一．解答题（共20 小题）
1．（2026•河南）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小
组开展了综合与实践活动，记录如下．
活动主题
地下车库入口改造
采集信息
图1 是地下车库入口示意
图．
①点C，B，D 在同一水
平线上，点E，A，F 在同
一水平线上，CD∥EF．
②斜坡AB 的长为10m，
∠BAF＝26.4°．
③车库限高2.7m．
设计方案
如图2，保持点A 不动，
将点B 沿射线BD 平移到
点B′ ，使∠B′ AF ＝
18.4°．
完成任务
任务一：求BB′的长．
任务二：调整限高．经计
算，点C 到斜坡AB′的
距离约为3.47m．在保障
行车安全的前提下，车库
限高标志上的数值最大可
为 ．
（结果均保留一位小数）
请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：sin26.4°≈0.44，cos26.4°≈0.90，tan26.4°≈0.50，
sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
2．（2026•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E 在同一平面内，AB⊥BC，BC∥DE，
AB 的延长线与水平线DE 相交于点O．从地面C 处沿步道CD（看作斜坡）前行，至平台DE，CD＝
22m；在平台D 处测得纪念碑顶部A 的仰角（∠ODA）为42°，斜坡CD 的倾斜角（∠ODC）为12°；
在平台E 处测得纪念碑顶部A 的仰角（∠OEA）为35°，DE＝9m．根据该学习小组测得的数据，求引
滦入津工程纪念碑AB 的高度（结果取整数）．
参考数据：tan35°≈0.7，tan42°≈0.9，sin12°≈0.2．
2
3．（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定h
d ＜1
8即为安全．
（1）当d＝100 米时，h 至少小于多少米？
（2）若测AB 长为a，BC 长为b，仰角为θ，求h
d （用含有a、b、θ 的代数式表示）．
4．（2026•山西）项目式学习
项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．如图为山西某古建筑大殿内部的藻井．某校学生
到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告．
项目主题
藻井的调查与测算
驱动任务调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据
活
动
过
程
调
查
工艺
该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上
收缩的三层结构．
造型
该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为
长方形井、菱形井、菱形井．
测
算
对象
中间层菱形井中较长对角线的长
图示
图1 为藻井仰视平面图，其中线段AB 为中间层菱形井较长的对角
线（点A，B 在同一水平直线上）；图2 为测量方案示意图，其中
测量点C，D 在同一水平直线上，且点A，B，C，D 在同一竖直平
面内．
数据
在点D 处测得点A 的仰角为60°，AD＝6 米；在点C 处测得点B
的仰角为45°，CD＝11 米．
3
结果
…
活动反思
…
请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB 的长（结果精确到0.1 米，参考数据：√3≈1.73
）．
5．（2026•遂宁）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为
测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
实物图
测量工具
无人机
测量方法及数据
在桥面A 点用无人机测得主桥塔顶C 点的仰角为
37°，将无人机垂直上升40 米至B 处，测得主桥塔
顶C 点的仰角为22°．
测量示意图
参考数据
sin22°≈0.37 ，cos22°≈0.93 ，tan22°≈0.4 ，
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
请根据如表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD 的长．（精确到1 米）．
6．（2026•甘肃）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门
解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖
直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A 处观测到黄河北岸
的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工
具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A 到塔
CD 的水平距离为AB（点B，C，D 在同一条直线上），CD⊥AB，在点A 分别测得塔顶C 的仰角
∠CAB＝16.73°、塔底D 的仰角∠DAB＝14.01°，查阅资料可知塔的高度CD＝17 米．根据以上信息，
请你求出观测点A 到塔CD 的水平距离AB．（结果精确到1 米）．
参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29，cos16.73°≈0.96，
4
tan16.73°≈0.30．
7．（2026•江西）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测
量，具体研究方法与过程如表：
具体问题
利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度
主要工具
无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺
截面示意图
操作步骤1．在水平地面上选定一个激光发射点A，使A 位于土坑上底面直径DE 所在的直线
上；
2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；
3．调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A 处发出的激光经反射镜C 处反射后恰好
到达坑底最右端F 处；
4．在线段AD 上确定一点B，使得从B 处发出的激光经反射镜C 处反射后恰好到达
坑底最左端G 处．
（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）
测量数据AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°．
参考数据sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，√3≈1.732．
根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m）
任务一：计算点C 离水平地面的高度；
任务二：计算∠GCF＝ °，∠BCG＝ °；
任务三：计算土坑的深度．
8．（2026•眉山）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室
和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB．为确定跨湖桥AB 的
长度，无人机在桥上方点C 处，测得点C 距地面的高度为90 米，同时测得桥头点A 处的俯角为60°；
5
从点C 处沿AB 方向水平飞行300 米到达点D 处，测得桥头点B 处的俯角为42°，求桥AB 的长度（结
果精确到1 米）．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，√3≈1.73）
9．（2026•烟台）【综合与实践】
活动主题
测算矩形广告牌的面积
测量工具
皮尺、无人机、计时器、计算器等
活动过程
测量过程
如图，矩形广告牌ABCD 的边CD 为11 米，BC 与水平地面垂直．支
柱EF 长6.4 米，且垂直于地面．无人机从N 点起飞，以3 米/秒的速
度竖直向上飞行8 秒到达M 点，此时测得C 点的俯角为67.4°，D 点
的俯角为36.9°（图中各点均在同一平面内）．
模型建构
参考数据
sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60，
cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
问题解决
求矩形广告牌ABCD 的面积（结果精确到1 平方米）．
10．（2026•山东）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的
工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD 为正方形，AG 为悬挂重物的铅垂线，AB
为左矩，AD 为右矩，标有均匀刻度的BC 和DC 组成矩尺盘，以点A 为圆心，AB 为半径的标有均匀刻
度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩AB 或右矩AD 与视线PF 重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度
盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．
（1）如图2，左矩AB 与视线PF 重合，角度盘读数为31°（∠DAE＝31°），矩尺盘读数为6（DE＝
6
6），可知仰角∠P＝∠DAE＝31°，tan∠P＝tan∠DAE= DE
AD = 6
10 =0.6．
如图3，右矩AD 与视线PF 重合，角度盘读数为29°（∠DAE＝29°），矩尺盘读数为5.5（DE＝
5.5），则仰角∠P＝ ，tan∠P≈ （结果精确到0.1）．
（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E 到地面的距离（EB 的长度）．
如图5，某同学站在城门楼一侧A 处，用矩盘的左矩与视线ME 重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB
前进，穿过城门BD 到达城门楼另一侧C 处，在C 处将矩盘右矩与视线NE 重合，角度盘读数为45°．
已知AC＝20m，该同学眼睛到地面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E 到地面的距离（结果精确到
0.1m）．
11．（2026•凉山州）计算：（﹣1）2+|1﹣2sin45°|-(√2+1)+(- 1
2 )
-2
．
12．（2026•凉山州）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN 相距300 米的点A 观
测塔顶M 的仰角为30°，斜面AN 的坡度i＝1：5，点A，B，C，M，N 在同一平面内，AB 是桥面，CN
是水平线，AB∥CN，AB⊥MN．（计算结果均保留根号）
（1）求索塔桥面以上部分MB 的高度；
（2）求索塔MN 的高度．
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13．（2026•自贡）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操
场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m）和笔直的竹竿（长度2m）进行测量．
（1）小刚建议这样测量：如图1，线段AC 表示所要测量的大树，在操场上F 点处蹲下，眼睛视线沿
着竹竿DE（长度2m）顶部E 恰好看到树顶端A，此时竖直竹竿DE 与小刚FG 的水平距离DF＝2m．
小刚将观测点F 后移13m 到F′处，采用同样方法，测得D′F′＝3m．小刚眼睛距离地面的高度FG
＝F′G′＝0.8m，点F′，D′，F，D 与树的底部C 在同一水平线上．据此可知点E 到BG′的距离
EH 为 m，图中两组相似三角形是 ，请帮助小刚计算出此树的高
度（结果精确到0.1m）．
（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点F 处安置测角仪（高度1.5m）测得树顶端A 的仰角∠AGB
＝26.7°，前行到点E 处测得树顶端A 的仰角∠ADB＝45°，点E，F 与树的底部C 在同一水平线上，量
得EF ＝16m ．请按此方案求树的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据sin26.7°≈0.45 ，
cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）
（3）两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．
14．（2026•广安）（1）计算：|1-√2|﹣2sin45°+（﹣2）2+(√3- π )
0．
（2）先化简，再求值：(
2
x +1 +1)÷
x
2+3 x
x
2+2 x +1
，其中x＝5．
15．（2026•广安）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下：
活动主题
测量建筑物的高度
8
实物图和测量示意图
测量说明
（1）测角仪在G 处测得建筑物顶D 的仰角
为α；
（2）测角仪在F 处测得建筑物顶D 的仰角
为β；
（3）点G，F，E 位于同一水平线上，测出
AB 的长，测角仪的高AG，BF．
测量数据
AG＝BF＝CE＝1.6m，α＝35°，β＝50°，AB
＝9.8m
参考数据
sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，
sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19
请根据以上数据求此建筑物高DE 的长．（结果保留整数）
16．（2026•安徽）湖中有两个小岛，分别用点A，B 表示，B 在A 的北偏东37°方向上．为了测量A，B
间的距离，综合实践小组在观测点C 处测得A 在C 的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点
D，测得A 在D 的正西方向，B 在D 的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示．已知C，D 间的距离
为660m，求A，B 间的距离（精确到0.1m）．
参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80．
17．（2026•泸州）如图，某海岸线上有一观测点A，在点A 的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C
相距20nmile．某日上午8 点，测得一艘轮船位于点A 的北偏西30°方向上的B 处，且与A 相距
20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12 点测得该轮船位于点C 的北偏东30°方向上的E 处，且C，E
相距60nmile，此时点D 到E 的距离是D 到C 的距离的2 倍．
（1）求该轮船的航行速度；
（2）求点D，E 间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
9
18．（2026•达州）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．
他们由山脚A 处出发，先沿坡角为42°的山坡行走300m 到达B 处，再沿坡角为30°的山坡行走200m 到
达山顶C 处．估计这座小山的高度．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90．结果保留整数）
19．（2026•重庆）重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约
去某景区游玩．如图，大门A，猴山B，古塔C，游乐场D 为景区内在同一平面内的四个景点．D 位于
A 的正东方向3 千米处，B 位于A 的正南方向且位于D 的南偏西30°方向，C 位于B 的南偏东75°方向且
位于D 的南偏东30°方向．
（1）求BC 的长度（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√6≈2.45，结果保留小数点后一位）；
（2）现甲从B 出发沿BD 方向前往D，乙从D 出发沿DC 方向前往C，两人同时出发，乙的速度是甲
的速度的2 倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为4 千米，求此
时甲离D 处多少千米？
20．（2026•成都）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家
庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A 拍摄的最大仰角为30°，最大俯角
为52.43°，某人站在门外距离门底部B 点0.9 米的N 处时，摄像头A 恰好能拍摄到站立点N 及头顶M．
已知AB⊥BN，MN⊥BN，求此人的头顶M 到站立点N 的距离．（结果精确到0.01 米；参考数据：
√3≈1.732，sin52.43°≈0.793，cos52.43°≈0.610，tan52.43°≈1.300）
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之锐角三角函数（二）
参考答案与试题解析
一．解答题（共20 小题）
1．（2026•河南）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小
组开展了综合与实践活动，记录如下．
活动主题
地下车库入口改造
采集信息
图1 是地下车库入口示意
图．
①点C，B，D 在同一水
平线上，点E，A，F 在
同一水平线上，
CD∥EF．
②斜坡AB 的长为10m，
∠BAF＝26.4°．
③车库限高2.7m．
设计方案
如图2，保持点A 不动，
将点B 沿射线BD 平移到
点B′ ，使∠B′ AF ＝
18.4°．
完成任务
任务一：求BB′的长．
任务二：调整限高．经计
算，点C 到斜坡AB′的
距离约为3.47m．在保障
行车安全的前提下，车库
限高标志上的数值最大可
为
3.4
m ．
（结果均保留一位小数）
请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：sin26.4°≈0.44，cos26.4°≈0.90，tan26.4°≈0.50，
sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平移的性质．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】任务一：BB′的长约为4.3m；
任务二：3.4m．
【分析】任务一：过点A 作AH⊥CD，垂足为H，先利用平行线的性质可得∠B′AF＝∠AB′H＝
18.4°，∠BAF＝∠ABH＝26.4°，然后分别在Rt△ABH 中，利用锐角三角函数的定义求出AH 和BH 的
长，再在Rt△AB′H 中，利用锐角三角函数的定义求出B′H 的长，最后进行计算即可解答；
任务二：根据已知，即可解答．
【解答】解：任务一：过点A 作AH⊥CD，垂足为H，
12
∵CD∥EF，
∴∠B′AF＝∠AB′H＝18.4°，∠BAF＝∠ABH＝26.4°，
在Rt△ABH 中，AB＝10m，
∴AH＝AB•sin26.4°≈10×0.44＝4.4（m），
BH＝AB•cos26.4°≈10×0.90＝9.0（m），
在Rt△AB′H 中，B′H=
AH
tan18.4° ≈4.4
0.33 = 40
3 （m），
∴BB′＝B′H﹣BH= 40
3 -9.0≈4.3（m），
∴BB′的长约为4.3m；
任务二：调整限高．经计算，点C 到斜坡AB′的距离约为3.47m．在保障行车安全的前提下，车库限
高标志上的数值最大可为3.4m，
故答案为：3.4m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平移的性质，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2026•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E 在同一平面内，AB⊥BC，BC∥DE，
AB 的延长线与水平线DE 相交于点O．从地面C 处沿步道CD（看作斜坡）前行，至平台DE，CD＝
22m；在平台D 处测得纪念碑顶部A 的仰角（∠ODA）为42°，斜坡CD 的倾斜角（∠ODC）为12°；
在平台E 处测得纪念碑顶部A 的仰角（∠OEA）为35°，DE＝9m．根据该学习小组测得的数据，求引
滦入津工程纪念碑AB 的高度（结果取整数）．
参考数据：tan35°≈0.7，tan42°≈0.9，sin12°≈0.2．
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【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】引滦入津工程纪念碑AB 的高度约为24m．
【分析】过点C 作CF⊥OE，垂足为F，根据题意可得：BO＝CF，然后在Rt△DCF 中，利用锐角三角
函数的定义求出CF 的长，再设OD＝xm，则OE＝（x+9）m，分别在Rt△AOD 和Rt△AOE 中，利用
锐角三角函数的定义求出AO 的长，从而列出关于x 的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点C 作CF⊥OE，垂足为F，
由题意得：BO＝CF，
在Rt△DCF 中，CD＝22m，∠ODC＝12°，
∴CF＝CD•sin12°≈22×0.2＝4.4（m），
设OD＝xm，
∵DE＝9m，
∴OE＝OD+DE＝（x+9）m，
在Rt△AOD 中，∠ODA＝42°，
∴AO＝OD•tan42°≈0.9x（m），
在Rt△AOE 中，∠OEA＝35°，
∴AO＝OE•tan35°≈0.7（x+9）m，
∴0.9x＝0.7（x+9），
解得：x＝31.5，
∴AO＝0.9x＝28.35（m），
∴AB＝AO﹣BO＝28.35﹣4.4≈24（m），
∴引滦入津工程纪念碑AB 的高度约为24m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定h
d ＜1
8即为安全．
（1）当d＝100 米时，h 至少小于多少米？
（2）若测AB 长为a，BC 长为b，仰角为θ，求h
d （用含有a、b、θ 的代数式表示）．
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【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；列代数式．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）h 至少小于12.5 米；
（2）h
d = bsinθ+a
bcosθ ．
【分析】（1）根据题意可得：h
100 ＜1
8，然后进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：DE＝AB＝a，然后在Rt△CBD 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 和BD 的长，
从而求出CE 的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：h
d ＜1
8，
∵d＝100 米，
∴h
100 ＜1
8，
解得：h＜12.5，
∴h 至少小于12.5 米；
（2）如图：
由题意得：DE＝AB＝a，
在Rt△CBD 中，∠CBD＝θ，BC＝b，
∴CD＝BC•sinθ＝bsinθ，BD＝BC•cosθ＝bcosθ，
∴h＝CD+DE＝bsinθ+a，
∴h
d = bsinθ+a
bcosθ ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2026•山西）项目式学习
项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．如图为山西某古建筑大殿内部的藻井．某校学生
15
到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告．
项目主题
藻井的调查与测算
驱动任务调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据
活
动
过
程
调
查
工艺
该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上
收缩的三层结构．
造型
该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为
长方形井、菱形井、菱形井．
测
算
对象
中间层菱形井中较长对角线的长
图示
图1 为藻井仰视平面图，其中线段AB 为中间层菱形井较长的对角
线（点A，B 在同一水平直线上）；图2 为测量方案示意图，其中
测量点C，D 在同一水平直线上，且点A，B，C，D 在同一竖直平
面内．
数据
在点D 处测得点A 的仰角为60°，AD＝6 米；在点C 处测得点B
的仰角为45°，CD＝11 米．
结果
…
活动反思
…
请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB 的长（结果精确到0.1 米，参考数据：√3≈1.73
）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】该藻井中间层菱形井对角线AB 的长约为2.8 米．
【分析】过点A 作AE⊥CD，垂足为E，过点B 作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：AE＝BF，AB
＝EF，然后在Rt△ADE 中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和DE 的长，再在Rt△BCF 中，利用锐
角三角函数的定义求出CF 的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：过点A 作AE⊥CD，垂足为E，过点B 作BF⊥CD，垂足为F，
16
由题意得：AE＝BF，AB＝EF，
在Rt△ADE 中，AD＝6 米，∠D＝60°，
∴BF＝AE＝AD•sin60°＝6× √3
2 =3√3（米），
DE＝AD•cos60°＝6× 1
2 =3（米），
在Rt△BCF 中，∠C＝45°，
∴CF=
BF
tan 45° =3√3（米），
∵CD＝11 米，
∴AB＝EF＝CD﹣DE﹣CF＝11﹣3﹣3√3≈2.8（米），
∴该藻井中间层菱形井对角线AB 的长约为2.8 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2026•遂宁）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为
测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
实物图
测量工具
无人机
测量方法及数据
在桥面A 点用无人机测得主桥塔顶C 点的仰角为
37°，将无人机垂直上升40 米至B 处，测得主桥塔
顶C 点的仰角为22°．
测量示意图
参考数据
sin22°≈0.37 ，cos22°≈0.93 ，tan22°≈0.4 ，
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
请根据如表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD 的长．（精确到1 米）．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD 的长约为86 米．
【分析】过点B 作BE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝DE＝40 米，BE＝AD，然后设BE＝AD＝
x 米，分别在Rt△ACD 和Rt△BCE 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 和CE 的长，从而列出关于x
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的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点B 作BE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AB＝DE＝40 米，BE＝AD，
设BE＝AD＝x 米，
在Rt△ACD 中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD•tan37°≈0.75x（米），
在Rt△BCE 中，∠CBE＝22°，
∴CE＝BE•tan22°≈0.4x（米），
∵CD﹣CE＝DE，
∴0.75x﹣0.4x＝40，
解得：x= 800
7 ，
∴CD＝0.75x≈86（米），
∴涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD 的长约为86 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
6．（2026•甘肃）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门
解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖
直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A 处观测到黄河北岸
的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工
具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A 到塔
CD 的水平距离为AB（点B，C，D 在同一条直线上），CD⊥AB，在点A 分别测得塔顶C 的仰角
∠CAB＝16.73°、塔底D 的仰角∠DAB＝14.01°，查阅资料可知塔的高度CD＝17 米．根据以上信息，
请你求出观测点A 到塔CD 的水平距离AB．（结果精确到1 米）．
参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29，cos16.73°≈0.96，
tan16.73°≈0.30．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理
能力；模型观念；应用意识．
【答案】340 米．
【分析】通过设未知数，利用两个直角三角形的正切关系表示出相关线段长度，再结合塔的高度建立
方程求解．
【解答】解：设观测点A 到塔CD 的水平距离AB＝x 米．
因为CD⊥AB，
所以△CAB 和△DAB 都是直角三角形．
在Rt△CAB 中，根据正切函数的定义，tan∠CAB = CB
AB ，
已知tan16.73°≈0.30，
因此CB＝AB•tan16.73°≈0.30x．
在Rt△DAB 中，同理可得tan∠DAB= DB
AB ，
已知tan14.01°≈0.25，
因此DB＝AB•tan14.01°≈0.25x，
观察图形可知CB﹣DB＝CD，
已知CD＝17 米，
代入上面的表达式可得：0.30x﹣0.25x＝17，
合并同类项得：0.05x＝17，
解得：x = 17
0.05 =340．
答：观测点A 到塔CD 的水平距离AB 约是340 米．
【点评】题目考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），解题的关键在于相关知识的灵活运用．
7．（2026•江西）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测
量，具体研究方法与过程如表：
具体问题
利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度
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主要工具
无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺
截面示意图
操作步骤1．在水平地面上选定一个激光发射点A，使A 位于土坑上底面直径DE 所在的直线
上；
2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；
3．调整反射镜与水平线的夹角θ，使得从A 处发出的激光经反射镜C 处反射后恰好
到达坑底最右端F 处；
4．在线段AD 上确定一点B，使得从B 处发出的激光经反射镜C 处反射后恰好到达
坑底最左端G 处．
（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）
测量数据AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°．
参考数据sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，√3≈1.732．
根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m）
任务一：计算点C 离水平地面的高度；
任务二：计算∠GCF＝
30
°，∠BCG＝
15
°；
任务三：计算土坑的深度．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；垂径定理的应用；圆周角定理；相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】任务一：点C 离水平地面的高度约为15.59m；
任务二：30；15；
任务三：土坑的深度约为6.80m．
【分析】任务一：连接DE，过点C 作CK⊥GF 交GF 于K，交DE 于H，则CH⊥DE，根据三角形的
外角的性质得出∠ACB＝30°，根据等角对等边可得BC＝AB＝18，解Rt△CBH，即可求得CH 的长；
任务二：根据光的反射原理得出∠NCF＝∠MCA，得出∠ACF＝180°﹣2（θ+30°）＝75°，∠BCG＝
180°﹣2（θ+60°）＝15°，进而根据∠GCF＝∠ACF﹣∠ACB﹣∠BCG，即可求解；
任务三：证明△CGK≌△CFK（ASA），得出GK＝FK＝6，解Rt△CGK，求得CK，进而求得HK 的长，
即可求解．
【解答】解：任务一：如图，连接DE，过点C 作CK⊥GF 交GF 于K，交DE 于H，则CH⊥DE．
20
∵∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝18m．
在Rt△CBH 中，CH = BC ⋅sin 60° =18× √3
2 =9√3≈15.588≈15.59m，
即点C 离水平地面的高度约为15.59m；
任务二：如图，
∵AB∥PC，∠CAB＝30°，
∴∠PCA＝∠CAB＝30°，
又∵θ＝22.5°，
∴∠NCF＝∠MCA＝∠MCP+∠PCA＝θ+30°＝22.5°+30°＝52.5°，
∴∠ACF＝180°﹣2（θ+30°）＝120°﹣2θ＝120﹣2×22.5°＝75°，
同理可得∠BCG＝180°﹣2（θ+60°）＝60°﹣2θ＝60°﹣2×22.5°＝15°，
∴∠GCF＝∠ACF﹣∠ACB﹣∠BCG＝75°﹣30°﹣15°＝30°；
任务三：由题意得四边形DEFG 是矩形，则DE＝GF，
在Rt△CBH 中，∵∠CBH＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴∠GCK＝∠BCH﹣∠BCG＝30°﹣15°＝15°，
∴∠CGK＝75°，
∴∠FCK＝∠GCK＝15°，
∵CK＝CK，
21
∴△CGK≌△CFK（ASA），
∴GK = FK = 1
2 GF = 1
2 DE =6m，
在Rt△CGK 中，CK＝GK•tan75°≈6×3.732＝22.392m，
∴HK＝CK﹣CH＝22.392﹣15.588＝6.804≈6.80m，
即土坑的深度约为6.80m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
8．（2026•眉山）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室
和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB．为确定跨湖桥AB 的
长度，无人机在桥上方点C 处，测得点C 距地面的高度为90 米，同时测得桥头点A 处的俯角为60°；
从点C 处沿AB 方向水平飞行300 米到达点D 处，测得桥头点B 处的俯角为42°，求桥AB 的长度（结
果精确到1 米）．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，√3≈1.73）
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】桥AB 的长度约为148 米．
【分析】过点A 作AM⊥CD，垂足为M，过点B 作BN⊥CD，垂足为N，根据题意可得：AB＝MN，
AM＝BN＝90 米，CD＝300 米，然后分别在Rt△ACM 和Rt△DBN 中，利用锐角三角函数的定义求出
CM 和DN 的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：过点A 作AM⊥CD，垂足为M，过点B 作BN⊥CD，垂足为N，
由题意得：AB＝MN，AM＝BN＝90 米，CD＝300 米，
在Rt△ACM 中，∠C＝60°，
∴CM=
AM
tan 60° = 90
√3 =30√3（米），
22
在Rt△DBN 中，∠D＝42°，
∴DN=
BN
tan 42° ≈90
0.9 =100（米），
∴AB＝MN＝CD﹣CM﹣DN＝300﹣30√3-100≈148（米），
∴桥AB 的长度约为148 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
9．（2026•烟台）【综合与实践】
活动主题
测算矩形广告牌的面积
测量工具
皮尺、无人机、计时器、计算器等
活动过程
测量过程
如图，矩形广告牌ABCD 的边CD 为11 米，BC 与水平地面垂直．支
柱EF 长6.4 米，且垂直于地面．无人机从N 点起飞，以3 米/秒的速
度竖直向上飞行8 秒到达M 点，此时测得C 点的俯角为67.4°，D 点
的俯角为36.9°（图中各点均在同一平面内）．
模型建构
参考数据
sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60，
cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
问题解决
求矩形广告牌ABCD 的面积（结果精确到1 平方米）．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】矩形广告牌ABCD 的面积约为62 平方米．
【分析】延长DC 交MN 于点H，则DH⊥MN，根据题意可得：MN＝24 米，GM∥DH，从而可得
∠GMD＝∠MDH＝36.9°，∠GMC＝∠MCH＝67.4°，然后设CH＝x 米，则DH＝（x+11）米，分别在
Rt△DMH 和Rt△MCH 中，利用锐角三角函数的定义求出MH 的长，从而列出关于x 的方程，进行计算
即可解答．
【解答】解：延长DC 交MN 于点H，则DH⊥MN，
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由题意得：MN＝3×8＝24（米），GM∥DH，
∴∠GMD＝∠MDH＝36.9°，∠GMC＝∠MCH＝67.4°，
设CH＝x 米，
∵DC＝11 米，
∴DH＝DC+CH＝（x+11）米，
在Rt△DMH 中，MH＝DH•tan36.9°≈0.75（x+11）米，
在Rt△MCH 中，MH＝CH•tan67.4°≈2.4x（米），
∴2.4x＝0.75（x+11），
解得：x＝5，
∴MH＝2.4x＝12（米），
∵EF＝6.4 米，
∴BC＝MN﹣MH﹣EF＝24﹣12﹣6.4＝5.6（米），
∴矩形广告牌ABCD 的面积＝BC•CD＝5.6×11≈62（平方米），
∴矩形广告牌ABCD 的面积约为62 平方米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
10．（2026•山东）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的
工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD 为正方形，AG 为悬挂重物的铅垂线，AB
为左矩，AD 为右矩，标有均匀刻度的BC 和DC 组成矩尺盘，以点A 为圆心，AB 为半径的标有均匀刻
度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩AB 或右矩AD 与视线PF 重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度
盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．
（1）如图2，左矩AB 与视线PF 重合，角度盘读数为31°（∠DAE＝31°），矩尺盘读数为6（DE＝
6），可知仰角∠P＝∠DAE＝31°，tan∠P＝tan∠DAE= DE
AD = 6
10 =0.6．
24
如图3，右矩AD 与视线PF 重合，角度盘读数为29°（∠DAE＝29°），矩尺盘读数为5.5（DE＝
5.5），则仰角∠P＝
61°
，tan∠P≈
1.8
（结果精确到0.1）．
（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E 到地面的距离（EB 的长度）．
如图5，某同学站在城门楼一侧A 处，用矩盘的左矩与视线ME 重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB
前进，穿过城门BD 到达城门楼另一侧C 处，在C 处将矩盘右矩与视线NE 重合，角度盘读数为45°．
已知AC＝20m，该同学眼睛到地面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E 到地面的距离（结果精确到
0.1m）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）61°；1.8；
（2）8.3m．
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出∠P＝90°﹣∠DAE＝61°，根据tan∠P＝tan∠AED，
结合正切定义，求出结果即可；
（2）设EF＝FN＝xm，则 MF＝（20﹣x）m，则Rt△EMF 中，根据tan∠EMF = EF
MF ，得出
0.5=
x
20- x ，求出x 的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得：AG⊥PQ，∠AQP＝90°，
25
∵∠DAE＝29°，
∴∠P＝90°﹣∠DAE＝61°，
∵在正方形ABCD 中∠ADC＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝61°，
∴∠P＝∠AED，
∴tan∠P= tan∠AED = AD
DE = 10
5.5 ≈1.8，
故答案为：61°；1.8；
（2）根据题意得：BF＝CN＝1.6m，MN＝AC＝20m，∠EFM＝∠EFN＝90°，∠NGH＝45°，
GH⊥MN，KL＝5，JK＝10，
∴∠ENF＝90°﹣45°＝45°，
∴Rt△EFN 中，tan∠ENF = EF
FN ，
即tan 45° =1= EF
FN ，
∴EF＝FN，
设EF＝FN＝xm，则 MF＝（20﹣x）m，
∵∠MJL+∠EMF＝∠MJL+∠KJL＝90°，
∴∠EMF＝∠KJL，
∴tan∠EMF＝tan∠KJL= 5
10 =0.5，
∴Rt△EMF 中，tan∠EMF = EF
MF ，
即0.5=
x
20- x ，
解得：x≈6.67，
∴EB＝EF+FB＝6.67+1.6＝8.27≈8.3（m），
26
答：城门楼的顶端E 到地面的距离约为8.3m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
11．（2026•凉山州）计算：（﹣1）2+|1﹣2sin45°|-(√2+1)+(- 1
2 )
-2
．
【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据实数的平方、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂计算．
【解答】解：原式＝1+|1﹣2× √2
2 |-√2-1+4
＝1+√2-1-√2-1+4
＝3．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌熟记特殊角的三角函数值、掌握绝对值的性质、负整数指数幂
是解题的关键》
12．（2026•凉山州）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN 相距300 米的点A 观
测塔顶M 的仰角为30°，斜面AN 的坡度i＝1：5，点A，B，C，M，N 在同一平面内，AB 是桥面，CN
是水平线，AB∥CN，AB⊥MN．（计算结果均保留根号）
（1）求索塔桥面以上部分MB 的高度；
（2）求索塔MN 的高度．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】（1）100√3米；
（2）(100√3+60)米．
【分析】（1 ）由题意得，AB ＝300 米，∠ABM ＝∠ABN ＝90° ，∠BAM ＝30° ，然后根据
an∠BAM = MB
AB 求解即可；
（2）作AQ⊥CN 于点Q，则四边形ABNQ 是矩形，根据斜面AN 的坡度i＝1：5，求出AQ＝60 米即可
27
求解．
【解答】解：（1）由题意得，AB＝300 米，∠ABM＝∠ABN＝90°，∠BAM＝30°，
∵tan∠BAM = MB
AB ，
∴MB = tan30°×300=100√3（米）；
（2）如图，作AQ⊥CN 于点Q，则四边形ABNQ 是矩形，
∴AQ＝BN，NQ＝AB＝300 米，
∵斜面AN 的坡度i＝1：5，
∴AQ
NQ = AQ
300 = 1
5，
∴AQ＝60（米），
∴BN＝60 米，
∴MN = BM + BN =(100√3+60)米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
掌握其相关知识点是解题的关键．
13．（2026•自贡）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操
场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m）和笔直的竹竿（长度2m）进行测量．
（1）小刚建议这样测量：如图1，线段AC 表示所要测量的大树，在操场上F 点处蹲下，眼睛视线沿
着竹竿DE（长度2m）顶部E 恰好看到树顶端A，此时竖直竹竿DE 与小刚FG 的水平距离DF＝2m．
小刚将观测点F 后移13m 到F′处，采用同样方法，测得D′F′＝3m．小刚眼睛距离地面的高度FG
＝F′G′＝0.8m，点F′，D′，F，D 与树的底部C 在同一水平线上．据此可知点E 到BG′的距离
EH 为
1.2
m，图中两组相似三角形是 △
GHE
∽△
GBA
和
Δ G ' H ′
E ' ∽△
G ' BA
，请帮助小刚计算
出此树的高度（结果精确到0.1m）．
（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点F 处安置测角仪（高度1.5m）测得树顶端A 的仰角∠AGB
＝26.7°，前行到点E 处测得树顶端A 的仰角∠ADB＝45°，点E，F 与树的底部C 在同一水平线上，量
得EF ＝16m ．请按此方案求树的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据sin26.7°≈0.45 ，
cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）
（3）两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．
28
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】（1）1.2，△GHE∽△GBA 和ΔG'H′E'∽△G'BA；
（2）17.5m；
（3）不一致．原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际
操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致．
【分析】（1）由题意，EH＝1.2m，△GHE∽△GBA 和ΔG'H′E'∽△G'BA，利用两次相似对应边成比
例，列方程2
GB =
3
GB+13，解得GB＝26，代入求AB＝15.6，进而求树高；
（2 ）在△ABD 中，∠ADB ＝45° ，得等腰直角三角形，故AB ＝BD ，在△ABG 中，利用
tan26.7° = AB
BG =
AB
16+ AB ，代入tan26.7≈0.50，解得AB≈16，进而求出树高；
（3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可．
【解答】解：（1）由题意可得，EH＝ED﹣HD＝ED﹣FG＝2﹣0.8＝1.2m，
∵EH∥AB，E'H′∥AB，
∴图中两组相似三角形是△GHE∽△GBA 和ΔG'H′E'∽△G'BA，
由题意可得，EH＝E'H′＝1.2m，GH＝FD＝2m，G'H'＝F'D'＝3m，G'G＝F′F＝13m，则G'B＝
GB+13，
第一次测量：△GHE∽△GBA，
∴EH
AB = GH
GH ，即1.2
AB = 2
GB ，
第二次测量：ΔG'H′E'∽△G'BA，
∴E' H '
AB
= G' H '
G' B ，即1.2
AB =
3
GB+13，
∴2
GB =
3
GB+13，解得GB＝26，
∴1.2
AB = 2
26，解得 AB＝15.6，
∴此树的高度为 AB+BC＝AB+FG＝15.6+0.8＝16.4m，
故答案为：1.2，△GHE∽△GBA 和ΔG'H′E'∽△G'BA；
29
（2）由题意可得，FG＝1.5m，∠AGB＝26.7°，∠ADB＝45°，GD＝EF＝16m，
在Rt△ABD 中，∠ADB＝45°，
∴△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD＝90°，
∴AB＝BD，
在Rt△ABG 中，tan∠AGB = AB
BG ，即tan26.7° =
AB
GD+ BD ，
∵tan26.7°≈0.50，
∴
AB
16+ AB ≈0.50，解得AB＝16，
∴此树的高度为AB+BC＝AB+FG＝16+1.5＝17.5m；
（3）不一致，原因：
小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉
偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，掌握其相关知识
点是解题的关键．
14．（2026•广安）（1）计算：|1-√2|﹣2sin45°+（﹣2）2+(√3- π )
0．
（2）先化简，再求值：(
2
x +1 +1)÷
x
2+3 x
x
2+2 x +1
，其中x＝5．
【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；分式的化简求值；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）6
5．
【分析】（1）由绝对值的性质，零指数幂公式，45 度角的正弦值，平方的概念，即可计算．
（2）将分式化为最简形式，再代入特定值计算即可．
【解答】解：（1）原式=√2-1-2× √2
2 + 4 +1
=√2-1-√2+4+1
＝4；
（2）原式= x +3
x +1 × ( x +1)
2
x( x +3)
= x +1
x
当x＝5 时，
原式= 5+1
5
= 6
5 ．
30
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，分式的化简求值，零指数幂，关键是熟记特殊
角的三角函数值，掌握绝对值的性质，零指数幂公式，分式的化简方法．
15．（2026•广安）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下：
活动主题
测量建筑物的高度
实物图和测量示意图
测量说明
（1）测角仪在G 处测得建筑物顶D 的仰角
为α；
（2）测角仪在F 处测得建筑物顶D 的仰角
为β；
（3）点G，F，E 位于同一水平线上，测出
AB 的长，测角仪的高AG，BF．
测量数据
AG＝BF＝CE＝1.6m，α＝35°，β＝50°，AB
＝9.8m
参考数据
sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，
sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19
请根据以上数据求此建筑物高DE 的长．（结果保留整数）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】此建筑的高约为18m．
【分析】分别在Rt△ACD 和Rt△BCD 中，利用锐角三角函数的定义求出AC 和BC 的长，从而列出关
于CD 的方程，最后进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ACD 中，tanα = DC
AC ，
∴AC = DC
tanα ≈DC
0.70 = 10
7 DC，
在Rt△BCD 中，tanβ = DC
BC
∴BC = DC
tanβ ≈DC
1.19 = 100
119 DC，
∵AC＝AB+BC，
∴10
7 DC =9.8+ 100
119 DC，
∴DC＝16.66，
∴DE＝DC+CE＝16.66+1.6＝18.26≈18（m），
因此，此建筑的高约为18m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析
31
是解题的关键．
16．（2026•安徽）湖中有两个小岛，分别用点A，B 表示，B 在A 的北偏东37°方向上．为了测量A，B
间的距离，综合实践小组在观测点C 处测得A 在C 的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点
D，测得A 在D 的正西方向，B 在D 的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示．已知C，D 间的距离
为660m，求A，B 间的距离（精确到0.1m）．
参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】A，B 间的距离约为328.7m．
【分析】由题意可得∠CAD＝90°，结合三角形的内角和定理可得∠ABD＝90°，解Rt△CAD 可得AD
的长，解Rt△ABD 可得AB 的长．
【解答】解：由题意可得∠CAD＝90°，∠BAD＝90°﹣37°＝53°，∠BDA＝90°﹣53°＝37°，CD＝
660m，
∴∠ABD＝180°﹣37°﹣53°＝90°，
在Rt△CAD 中，∠ACD＝56°，sin56°≈0.83，
∴sin∠ACD = AD
CD = AD
660 ≈0.83，
∴AD≈0.83×660＝547.8（m），
在Rt△ABD 中，∠BDA＝37°，sin37°≈0.60，
∴sin∠BDA = AB
AD ≈0.60，
∴AB≈0.60×AD＝0.60×547.8＝328.68（m）≈328.7（m），
∴A，B 间的距离约为328.7m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握其相关知识点是解题的关键．
17．（2026•泸州）如图，某海岸线上有一观测点A，在点A 的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C
相距20nmile．某日上午8 点，测得一艘轮船位于点A 的北偏西30°方向上的B 处，且与A 相距
20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12 点测得该轮船位于点C 的北偏东30°方向上的E 处，且C，E
相距60nmile，此时点D 到E 的距离是D 到C 的距离的2 倍．
（1）求该轮船的航行速度；
32
（2）求点D，E 间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；
几何直观；运算能力；推理能力；模型观念；应用意识．
【答案】（1）10√3nmile /h；
（2）(20√13-20)mile．
【分析】（1）易得△ABC 为顶角为120 度的等腰三角形，△BCE 为直角三角形，作AF⊥BC，三线合
一结合勾股定理求出BC 的长，勾股定理求出BE 的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可；
（2）作DH⊥CE 于点H，设CD＝2xn mile，则DE＝4x nmile，分别解Rt△CHD 和Rt△EHD 即可．
【解答】解：（1）由题意，得AB＝AC＝20 nmile，
CE＝60 nmile，
∠BAC＝90°+30°＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵上午12 点测得该轮船位于点C 的北偏东30°方向上的E 处，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACB+30°＝90°，
作AF⊥BC 于点F，
则BC＝2BF，在Rt△ABF 中，BF = AB⋅cos30° =10√3 nmile，BC =20√3 nmile，
在Rt△ECB 中，由勾股定理，得BE =√BC
2+C E
2= 40√3 nmile，
故该轮船的航行速度为40√3÷(12-8)=10√3(nmile /h)，
答：该轮船的航行速度为10√3nmile /h；
（2）作DH⊥CE 于点H，
33
∵点D 到E 的距离是D 到C 的距离的2 倍，
∴设CD＝2x nmile，则DE＝4x nmile，
在Rt△CDH 中，∠DCH＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴CH＝CD•cos60°＝x nmile，DH =CD⋅sin 60° =√3 x nmile，
∴EH＝CE﹣CH＝（60﹣x） nmile，
在Rt△EHD 中，由勾股定理，得DE2＝EH2+DH2，
∴(4 x)
2=(√3 x)
2+(60- x)
2，
解得x =5√13-5 或x =-5√13-5（舍去）；
DE = 4(5√13-5)=(20√13-20）nmile；
故点D，E 间的距离为(20√13-20)nmile．
【点评】题目考查了解直角三角形的应用（方向角问题），勾股定理的应用，解题的关键在于相关知
识的灵活运用．
18．（2026•达州）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．
他们由山脚A 处出发，先沿坡角为42°的山坡行走300m 到达B 处，再沿坡角为30°的山坡行走200m 到
达山顶C 处．估计这座小山的高度．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90．结果保留整数）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识；生活情境．
【答案】这座小山的高度为301m．
【分析】过B 作BM⊥AD 于M，过C 作CN⊥AD 于N，过B 作BH⊥CN 于H，则HN＝BM，解直角三
角形即可得到结论．
【解答】解：过B 作BM⊥AD 于M，过C 作CN⊥AD 于N，过B 作BH⊥CN 于H，
34
则HN＝BM，
在Rt△ABM 中，∵∠A＝42°，AB＝300m，
∴BM＝AB•sinA＝300×0.67＝201（m），
在Rt△BCH 中，∵∠CBH＝30°，BC＝200m，
∴CH＝BC•sin30°＝200× 1
2 =100（m），
∴CN＝CH+HN＝CH+BM＝100+201＝301（m），
答：这座小山的高度为301m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2026•重庆）重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约
去某景区游玩．如图，大门A，猴山B，古塔C，游乐场D 为景区内在同一平面内的四个景点．D 位于
A 的正东方向3 千米处，B 位于A 的正南方向且位于D 的南偏西30°方向，C 位于B 的南偏东75°方向且
位于D 的南偏东30°方向．
（1）求BC 的长度（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√6≈2.45，结果保留小数点后一位）；
（2）现甲从B 出发沿BD 方向前往D，乙从D 出发沿DC 方向前往C，两人同时出发，乙的速度是甲
的速度的2 倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为4 千米，求此
时甲离D 处多少千米？
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理
能力；模型观念；应用意识．
【答案】（1）7.4 千米；
（2）32
7 千米或4 千米．
【分析】（1）过点B 作BE⊥CD 于点E，由含30 度直角三角形的性质求得BD，DE，由勾股定理求得
BE，再由勾股定理即可求得BC；
35
（2）假设甲走到F 处，乙走到G 处时，两人的直线距离为4 千米，过点F 作FH⊥BG 于点H，由速度
关系得路程关系，设BF＝2a 千米，则BG＝4a 千米，利用含30 度直角三角形的性质及勾股定理求得
DH、FH，再由勾股定理建立方程即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点B 作BE⊥CD 于点E，
由题意得∠DBA＝30°，
∴BD＝2AD＝6 千米，
∠BDC＝30°+30°＝60°，
BE⊥CD，
∴∠DBE＝30°，
∴DE = 1
2 BD =3千米，
由勾股定理得BE =√B D
2- D E
2=3√3千米，
∵∠EBC＝180°﹣∠ABD﹣∠DBE﹣75°＝45°，
∴∠C＝∠EBC＝45°，
∴CE = BE =3√3千米，
由勾股定理得BC =√2BE =3√6≈7.4（千米）
答：BC 的长度为7.4 千米．
（2）假设甲走到F 处，乙走到G 处时，
两人的直线距离为4 千米，
即FG＝4 千米，
如图，过点F 作 FH⊥BG 于点H，
∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的2 倍，
36
∴乙的路程是甲的路程的2 倍，
即DG＝2BF，
设BF＝2a 千米，
则BG＝4a 千米，
DF＝BD﹣BF＝（6﹣2a）千米，
∵FH⊥BG，∠BDC＝60°，
∴DH = 1
2 DF =(3-a)千米，
由勾股定理得FH =√D F
2- D H
2=√3(3-a)千米，
GH＝DG﹣DH＝（5a﹣3）千米，
在Rt△FHG 中，由勾股定理得[√3(3-a)]
2+(5a-3)
2= 4
2，
整理得7a2﹣12a+5＝0，
解得a1= 5
7 ，a2=1，
则FD =6-2× 5
7 = 32
7 （千米），
或FD＝6﹣2×1＝4（千米）．
答：甲离D 处32
7 千米或4 千米．
【点评】题目考查了解直角三角形的应用（方向角问题），勾股定理的应用，解题的关键在于相关知
识的灵活运用．
20．（2026•成都）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家
庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A 拍摄的最大仰角为30°，最大俯角
为52.43°，某人站在门外距离门底部B 点0.9 米的N 处时，摄像头A 恰好能拍摄到站立点N 及头顶M．
已知AB⊥BN，MN⊥BN，求此人的头顶M 到站立点N 的距离．（结果精确到0.01 米；参考数据：
√3≈1.732，sin52.43°≈0.793，cos52.43°≈0.610，tan52.43°≈1.300）
37
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】此人的头顶M 到站立点N 的距离约为1.69 米．
【分析】过点A 作AC⊥MN，垂足为C，根据题意可得：AC＝BN＝0.9 米，然后分别在Rt△ACM 和
Rt△ACN 中，利用锐角三角函数的定义求出CM 和CN 的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：过点A 作AC⊥MN，垂足为C，
由题意得：AC＝BN＝0.9 米，
在Rt△ACM 中，∠MAC＝30°，
∴CM＝AC•tan30°≈0.9× √3
3 =0.3√3（米），
在Rt△ACN 中，∠CAN＝52.43°，
∴CN＝AC•tan52.43°≈0.9×1.3＝1.17（米），
∴MN＝CM+CN＝0.3√3+1.17≈1.69（米），
∴此人的头顶M 到站立点N 的距离约为1.69 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
38
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词
义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．
要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量
关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这
部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略
乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，
书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代
数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或
者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．分式的化简求值
分式的化简求值是通过约分、通分、因式分解等方法将分式化为最简形式，再代入特定值计算的过程．
39
常用方法包括整体代入法、比例系数法等．
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结
果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
4．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
5．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p= 1
a
p（a≠0，p 为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）
的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
6．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边
形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角
三角形的斜边．
7．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
40
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积= 1
2ab．（a、b 是两条对角线的长度）
8．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对
称轴．
9．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌
握．
10．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
11．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
41
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应
点的线段平行且相等．
12．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的
性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：
在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造
直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高
度．
13．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°= 1
2； cos30°= √3
2 ；tan30°= √3
3 ；
sin45°= √2
2 ；cos45°= √2
2 ；tan45°＝1；
sin60°= √3
2
；cos60°= 1
2； tan60°=√3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
14．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，
一般用i 表示，常写成i＝1：m 的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α 叫做坡角，坡度i 与坡角α 之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角
的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
15．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三
角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意
把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
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16．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定
在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
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