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用函数观点看一元二次函数
二次函数与一元二次方程的联系与转化
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1、理解二次函数与一元二次方程的关系；
2、掌握抛物线与
轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题；
3、掌握并运用二次函数
解题.
1．二次函数与一元二次方程的关系
如果抛物线与x 轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此______就是
方程
的一个根。
2. 二次函数图象与一元二次方程根的关系
二次函数的图象与
轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对
应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个_______实数根，有两个_______实数根。
3．实际应用
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二
次函数的最_________或最_______。
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1、二次函数与一元二次方程的关系
【例1】如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成
角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛
物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度
（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有关系
．
考虑以下问题
（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
练1. （2014 春•天津市校级月考）已知二次函数
，且
，则一定
有（ ）
A.
B.
C.
D.
练2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
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D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2.
2．二次函数图象与一元二次方程根的关系
【例2】二次函数(1)y＝x2+x−2；(2) y＝x2−6x+9；(3) y＝x2−x+1 的图象如下图所示．
（1）以上二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
练3. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．
练4. （2014 春•江宁区校级月考）一次函数y＝2x＋1 与二次函数y＝x2－4x＋3 的图象交点
( )
A．只有一个
B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个
D．无交点.
3．实际应用
【例3】利用函数图像求方程
的实数根（精确到0.1）.
练5. （2015•烟台市一模）已知二次函数
，其中为常数，且满足
。试判断此抛物线的开口方向，与x 轴有无交点，与y 轴的交点在x 轴上方，还是在x 轴
下方？
练6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c 对于x 的任何值都恒为负值的条件是( )
A．a＞0，△＞0
B．a＞0，△＜0
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C．a＜0，△＞0
D．a＜0，△＜0.
【例4】已知抛物线与x 轴交于A（
，0），B（
，0）（
）。
（1）求
的取值范围，并证明A、B 两点都在原点O 的左侧；
（2）若抛物线与y 轴交于点C，且
，求
的值.
练7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x 轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0 的两个根，且
抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．
练8．（2015•泰安市一模）当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m 的最小值为
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9
⋅¿ ¿
【例5】已知：抛物线
。
（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；
（2）如图，若抛物线与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点
C。
试问：是否存在实数
，使
与
相似？若存在，求出相应的
的值；若不存在，
请说明理由。
练9．已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0，a)，与x 轴交点坐标为(b，0)和(－b，0)，若a
＞0，则函数解析式为( )
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A．
y= a
b2 x+a
B．
y=−a
b2 x2+a
C．
y=−a
b2 x2−a
D．
y= a
b2 x2−a
练10．m 为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1 与x 轴没有交点?
【例6】．某商店如果将进价为每件8 元的某种商品按每件10 元出售，每天可销售100 件。为了增
加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1 元，销售量要减少10 件。问当售价定为多
少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润.
练11．当m 为何值时，抛物线
与x 轴有两个交点，有一个交点，无交
点？
练12．（2015 秋•秦皇岛市期末）已知二次函数
（
）的图象经过O（0，
0），A（1，
），B（
，14）和C（2，m）四点，求这个函数的解析式及m 的值.
练13．（2014 秋•燕山区期末）已知二次函数
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x 轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x 轴有两个公共点A、B，且A 点坐标为（1，0）.求B 点坐标.
1．若抛物线y＝ax2＋bx＋c 的系数a，b，c 满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．
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2．关于x 的方程x2－x－n＝0 没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n 的顶点在第______象限．
3．函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax2＋bx＋c－3＝0 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
4．对称轴平行于y 轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x 轴上截得的线段长为3，求此函数
的解析式．
5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：
x
－1
−1
2
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
y
－2
−1
4
1
7
4
2
7
4
1
−1
4
－2
(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c 是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列
选项中的哪一个______．
①
−1
2 <x1<0, 3
2 <x2<2
②
−1<x1<−1
2 ,2<x2< 5
2
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③
−1
2 <x1<0,2<x2< 5
2
④
−1<x1<−1
2 , 3
2 <x2<2
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1. 已知直线y＝5x＋k 与抛物线y＝x2＋3x＋5 交点的横坐标为1，则k＝______，交点坐标为
______．
2. y＝x2＋kx＋1 与y＝x2－x－k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 值为( )
A．0
B．－1
C．2
D．
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3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax2＋bx＋c＋2＝0 的根的
情况是( )
A．无实根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
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4．若m，n(m＜n)是关于x 的方程1－(x－a)(x－b)＝0 的两个根，且a＜b，则a，b，m，n 的大
小关系是( )
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
5. 当m 取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x＋m
(1)有公共点；(2)没有公共点.
6．已知抛物线
。
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴。
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A、B，求线段AB 的长.
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