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专题03 求圆锥曲线的离心率或离心率的取值范围
1、椭圆中的最值问题：
2、.在求椭圆
离心率范围时常用的不等关系：
，
，
（P 为椭圆上一点）
3、焦点三角形：
4、点差法：
5、通径以及通径的推广：
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(一) 借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用
进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率
的范围.
【例1】、（1）已知两定点
和
,动点
在直线
上移动,椭圆
以
为
焦点且经过点
,则椭圆
的离心率的最大值为（ ）
A．
B．
C.
D．
（2）．（2021·江苏省如皋中学）焦点在x 轴上的椭圆方程为
＋
＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两
个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为
，则椭圆的离心率为___________.
（3）．（2023 上·江苏常州·高二校联考期中）(多选题)已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆上，
的面积为，则（ ）
A．点
的横坐标为
B．
的周长为16
C．
的内切圆的半径为
D．
的外接圆的半径为
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【小试牛刀】（1）．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆
与圆
，
若在椭圆
上存在点
，使得过点
所作的圆
的两条切线互相垂直，则椭圆
的离心率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·湖南永州·高三）已知椭圆的方程为
，
､
为椭圆的左右焦点，
为
椭圆上在第一象限的一点，
为
的内心，直线
与
轴交于点
，若
，则该椭圆的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1(－c，0)，
F2(c，0)，斜率为
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．若△ABF1的重心为G
，则椭圆C 的离心率为
．
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(二) 借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,
的范围等,进一步得到
离心率的不等关系式,从而求解.
【例2】、（1）已知椭圆
上一点
关于原点
的对称点为
为其右焦点,若
设
且
则椭圆离心率的取值范围是 .
（2）已知平行四边形
内接于椭圆
，且
，
斜率之积的范围为
，则椭圆
离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
（3）．（2023 上·吉林四平·高二统考期中）（多选题）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，点
是椭圆C 上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
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A．
的周长为
B．
的面积的最大值为2
C．若
，则
的最小值为
D．
的最小值为
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【小试牛刀】．（1）设
为椭圆
上一点，点
关于原点的对称点为
，
为椭圆的
右焦点，且
，若
，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·全国高二单元测试）已知椭圆
，
，
分别为椭圆
的左右顶点
､
，
若在椭圆
上存在一点
，使得
，则椭圆
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）．（2023·江西鹰潭·统考一模）
，
是椭圆E：
的左，右焦点，点M 为椭圆E
上一点，点N 在x 轴上，满足
，
，则椭圆E 的离心率为 .
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(三) 借助函数的值域求解范围
根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函
数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
【例3】、（1）（2021·广东广州市第二中学高二月考）已知椭圆
的左右焦点分别
是F1，F2，过右焦点F2且斜率为
的直线与椭圆相交于A，B 两点，若满足
，则椭圆的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·浙江高一期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上、下顶点分
别是
，
，点C 在椭圆上，且
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）、（2023 上·河北保定·高三校联考开学考试）（多选题）已知椭圆
：
的左、
右焦点分别为
，
，过
的直线与
交于
，
两点，若
，则（ ）
A．
B．
的面积等于
C．直线的斜率为
D．
的离心率等于
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【小试牛刀】．（1）（2021·合肥百花中学（理））已知椭圆
的右焦点为F，过点
F 作圆
的切线，若两条切线互相垂直，则C 的离心率为_________．
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(2)．（2022·浙江高三专题练习）设
,
分别是椭圆
的左右焦点，过点
､
的直线
交椭圆
于
两点，
，若
，则椭圆
的离心率为___________.
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(四) 根据椭圆自身的性质或基本不等式求范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆
中,
,P 是椭圆上任意一点,则
等.
例4．（1）（2022·江苏高三专题练习）已知F 是椭圆
的一个焦点，若直线
与椭
圆相交于A，B 两点，且
，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）、【2020 届河北省正定中学高三上第五次月考】设
为椭圆
的左、右焦
点,且
,若椭圆上存在点
使得
,则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）、（2023·山西吕梁·统考二模）（多选题）已知椭圆
：
（
），
，
分别为其左、
右焦点，椭圆
的离心率为，点
在椭圆上，点
在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
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A．离心率的取值范围为
B．不存在点
，使得
C．当
时，
的最大值为
D．
的最小值为1
【小试牛刀】（1）已知
1
2
,
F F 分别为双曲线
的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任
意一点,若
2
1
2
PF
PF
的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A．
1,3 B．1, 3 C．
3,3
D．
3,
（2）．（2021·浙江温州市·高二期末）如图，点
为椭圆
：
的左焦点，直线
分别与椭圆
交于
、
两点，且满足
，
为坐标原点，
，则椭圆
的离心率
______．
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