文档文本内容
专题03 等式与不等式的性质
目录
01 题型归纳目录..................................................................................................................................2
02 思维导图..........................................................................................................................................3
03 考点统计..........................................................................................................................................4
04 知识点梳理......................................................................................................................................5
知识点1、比较大小基本方法......................................................5
知识点2、不等式的性质..........................................................5
方法技巧与总结..................................................................5
05 题型归纳，举一反三......................................................................................................................7
题型一：不等式性质的应用........................................................7
题型二：比较数（式）的大小......................................................8
题型三：求目标式的取值范围......................................................9
题型四：不等式的综合问题.......................................................12
题型五：糖水不等式.............................................................13
06 模拟题精练....................................................................................................................................16
1
2
3
考点要求
考题统计
复习目标
（1）掌握等式性质．
（2）会比较两个数的大
小．
（3）理解不等式的性
质，并能简单应用．
2025 年北京卷第6 题，5 分
2022 年II 卷第12 题，5 分
1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大
小．
2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质
的简单应用．
4
知识点1、比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0 比较
做商法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
知识点2、不等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性
a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a
传递性
a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c
可加性
a>b⇔a+c>b>c
可乘性
a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac
同向
可加性
a>c ，c>d⇒a+c>b+d
同向同正
可乘性
a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性
a>b>0 ，n∈N
¿⇒an>bn
方法技巧与总结
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在
解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单
调性．
5
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0 的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1 的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0 或1 比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
6
题型一：不等式性质的应用
【例1】（2026·上海·高考真题）已知
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A,取
，则
故
，所以A 错误，
对于B，取
则
，此时
，故B 错误，
对于C，由于
，故
，因此
，C 正确，
对于D,取
，则
，此时
，故D 错误，
故选：C
【变式1-1】（2025·北京·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A,当
时，
，故A 错误；
对于BD，取
，此时
，
，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得
，故C 正确.
故选：C.
【变式1-2】（2024·上海·高考真题）已知a、b、
，
，下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对A，当
时，
，则
，故A 错误；
对B，
则
则
，故B 正确；
7
对C，当
时
，故C 错误；
对D，当
时
，故D 错误.
故选：B
【变式1-3】若
，则下列不等式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
，由于
，故
，所以
，即
，
A 正确，
对于B，由于
，故
，B 正确，
对于C，由于
，故
，故C 正确，
对于D，因为
在
上单调递减，又
，所以
，故D 错误，
故选：D.
题型二：比较数（式）的大小
【例2】已知：
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
又
，
，
.
故选：D．
【变式2-1】已知实数
，则以下不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于实数
，则
，
8
，所以
，
，所以
，
所以
.
故选：C
【变式2-2】已知
，则
与
的大小是 ．
【答案】
【解析】
，
，
，
，
故答案为：
【变式2-3】当
，
且
时，
与
的大小为：
.
【答案】
【解析】
，
①当
时，即
，
时，
，所以
；
②当
时，即
，
时，
，所以
；
综上所述，当
，
且
时，
.
故答案为：
【变式2-4】设
，
，且
，则
和
的大小关系是 ．
【答案】
【解析】因为
，
，且
，所以
，
当
时，由
，
，可得
，所以
．
当
时，由
，
，可得
，所以
．
9
综上可得，
．
故答案为：
．
题型三：求目标式的取值范围
【例3】设
，则
的取值范围是 ；
的取值范围是 ；
的取值
范围是 ；
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】①由
，得
.
又
，所以
.
所以
的取值范围是
.
②由
，
，知
.
所以
的取值范围是
.
③由
，得
；
由
，得
.
所以
.
所以
的取值范围是
.
④由
，得
.
又
，所以
.
所以
的取值范围是
.
故答案为：
；
；
；
.
【变式3-1】若变量
，
满足约束条件
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】设
，
故
.
故
.
由于
，
，
所以
所以
，即
，故
最小值为－6．
10
故答案为：－6
【变式3-2】设
，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由条件：
⇒
，
，
又
，
所以
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
【变式3-3】（1）已知
，
，则
的取值范围是 ．
（2）已知
，
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】（1）因为
，所以
，因为
，
所以
，所以
的取值范围是
.
（2）因为
，所以
.
因为
，所以
，即
，解得
.
将
代入
中得
，即
，
得
，所以
，所以
的取值范围是
.
故答案为：（1）
；（2）
.
【变式3-4】已知
，
，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设
，即
，解得
.
11
所以
.
因为
，
.
所以
，
.
所以
.
故答案为：
.
题型四：不等式的综合问题
【例4】（2025·高三·上海金山·月考）已知直角坐标平面上的三点
，
，
，记
，
，
.请你写一个关于三者之
间正确的不等式 .
【答案】
【解析】
，
当且仅当
取等号，
同理可得：
，
当且仅当
取等号，
所以
，
当且仅当
且
取等号，
即
.
故答案为：
【变式4-1】已知过长方体同一顶点的三条面对角线的长分别为5，4，
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图，设
，则有
，
12
从而得
，
因为
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
【变式4-2】记实数
中的最大数为
，最小为
，若
，
，均为正
数，则
.
【答案】9
【解析】设
，因为
，
，均为正数，所以
，
依题意
，整理得
，
所以
，得
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为9.
故答案为：9.
【变式4-3】若
，
，则
与
的大小关系为 .（用“
”连接）
【答案】
【解析】
，
因为
，
，则
，
，
所以
.
故答案为：
.
题型五：糖水不等式
【例5】（2025·高三·海南海口·月考）已知
克糖水中含有
克糖（
），再添加
克糖（
，
假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
13
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】这一事实表示为一个不等式为
．
证明：
，
又
，
，
，
即
，
即
.
故选：
【变式5-1】
克糖水中含有
克糖，糖的质量与糖水的质量比为
，这个质量比决定了糖水的甜度，如果
再添加
克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为
，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，
，A 错误；
对于B，
，
，则
，B 错误.
对于C，由
，得
，C 正确；
对于D，
，D 错误；
14
故选：C
【变式5-2】（2025·高三·河南·月考）已知
克糖水中含有
克糖
，再添加
克糖（假设
全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】原糖水的浓度为
，加入糖后糖水的浓度为
，加入糖后糖水浓度变大了，
所以
.
故选：D
【变式5-3】十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“
”作为等号使用，后来英国
数学家哈利奥特首次使用“
”和“
”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响
深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果
克糖水中含有
克糖（
），
再添加
克糖（
）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，加入
克糖（
）后糖水变甜了，
即糖水的浓度增加了，
加糖之前，糖水的浓度为：
；加糖之后，糖水的浓度为：
；
所以
.
故选：A.
15
1．若
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，若
，则
，故AC 正确；
对于B， 当
，则
；故B 错误；
对于D，因为
，所以
，故D 正确.
故选：B.
2．若
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对A，由
，所以
，错误；
对B，由
，
，所以
，正确；
对C，由
，所以
，错误；
对D，由
，所以
，错误.
故选：B.
3．（2025·高三·北京·月考）设
，
，且
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，此时
，选项A 不成立；
当
时，
，此时
，选项B 不成立；
当
时，
，此时
，选项C 不成立；
令
，由
则
，
16
构造函数
，则
，当且仅当
时，等号成立，
所以函数
在
时单调递增，因为
，因此当
时，
，即
，
即
，故
，选项D 正确.
故选D
4．（2025·上海金山·一模）已知
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，因
，由
，可得
，故A 错误；
对于B，因
，则
，利用不等式的性质，可得
，即
，故B 错误；
对于C，因
，由
，可得
，故C 错误；
对于D，因
，利用不等式的性质，可得
，即
，故D 正确.
故选：D.
5．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d 满足：
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，令
，满足
，
此时
，
，故A 错误；
对于B，由
，两式相加得
，故B 正确；
对于C，令
，满足
，
此时
，
，故C 错误；
对于D，令
，满足
，
此时
，
，故D 错误.
故选：B
6．若实数
，
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
，
所以
，A 选项错误.
17
当
时，
，B 选项错误.
根据不等式的性质可知
，C 选项正确.
根据不等式的性质可知
，D 选项错误.
故选：C
7．（2025·高三·广东汕头·期中）若
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】B
【解析】对于A，若
，
，则
，故A 错误；
对于B，因为
，
若
，则
，
，
，
所以
，即
，故B 正确；
对于C，因为
，
若
，则
，
，
所以
，即
，故C 错误；
对于D，令
，
，则
，
，故D 错误．
故选：B．
8．（2025·高三·河北邯郸·期中）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
又
，
．
故选：D．
9．（2025·高三·上海·期中）设
，
，则下列不等式一定成立的是（ ）
18
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，可得
，所以
，故C 一定成立，
若
，
，满足
，但是
，
，故A、B、D 不一定成立.
故选：C
10．（2025·高三·云南·月考）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，又因为
，所以
，
又由
，所以
，
，
若
，此时
，与
矛盾，所以
，
即
，所以
，
即
，所以
，
即
，所以
，
故选：D．
11．已知
，下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于B，由
，知
，所以
.故B 正确.
对于C，若
，则
，则
；
若
，则
，则
；
若
，则
，则
.故C 错误.
对于D，
，所以
.故D 错误.
故选：B.
12．（多选题）（2025·四川德阳·一模）下列选项正确的是（ ）
19
A．
；
B．若
，则
；
C．若
，则
；
D．若
，则
.
【答案】AC
【解析】因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
，所以
，故A 正确；
当
，满足
，但
，故B 错误；
若
，则
，则
即
，故C 正确；
当
时，
，故D 错误.
故选：AC
13．（多选题）（2025·高三·江苏·月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】对于选项A，当
时,
，故A 错误.
对于选项B，因为
,所以
,所以
,故B 正确.
对于选项C，
,而
,所以
，故C 正确.
对于选项D，令
,所以
且
,
又因为
显然成立，
所以
成立，即
，故D 正确.
故选：BCD.
20
14．（多选题）（2025·高三·重庆·月考）如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单
位时间进出路口
，
，
，
的机动车辆数如图所示，例如:路口
中的数字 “55”表示单位
时间驶入路口
的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口
的机动车辆数. 图中
分别表示该时段单位时间通过路段
的机动车辆数 (假设单位时间内，在
上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】依题意，有
，所以
，
同理，
，所以
，
同理，
，所以
，
同理，
，所以
，
所以
．
故选：AC．
15．（多选题）（2025·广东·模拟预测）已知
，则下列命题一定为真命题的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】对于A，因为函数
单调递增，又
，所以
，故A 正确；
对于B，当
时，
，故B 错误；
对于C，由不等式的传递性可知
，故C 正确；
对于D，由
得
，又
，所以
，即
.
21
又
，即
，则
，即
，又
，故
，故D 正确.
故选：ACD.
16．已知
且
，则
与
的大小关系为 ．
【答案】
【解析】
，
因为
且
，
所以
，所以
，即
．
故答案为：
17．（2025·高三·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价
格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱
数一定 （填第一种或者第二种）方式比较经济.
【答案】第二种
【解析】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为
，购
，
第二次购物时的价格为
元
，仍购
，
两次购物的平均价格为
；
若按第二种策略购物，第一次花
元钱，能购
物品，
第二次仍花
元钱，能购
物品，
两次购物的平均价格为
，
比较两次购的平均价格：
，
第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，
因而用第二种策略比较经济.
故答案为：第二种.
18．（2025·高三·河南·月考）已知
，
，则
的取值范围为 ．
【答案】
22
【解析】因为
，又
，
，
则
，所以
，
故答案为：
．
19．（2025·高三·江西·月考）若
，
，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】
，
，又
，
，即
的最小值为
.
故答案为：
.
20．已知
，
，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设
，
则
，
令
，解得
，
故
，
因为
，
，
所以
，
所以
，即
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
21．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于
）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运
动轨迹，他每跑
，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了
，恰好回到起点，
前
的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为 .
23
【答案】8
【解析】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为
，（
），
则由题意
，所以
，即
，
因为
，所以
，
又
，所以
，即刘老师总共跑的圈数为8.
故答案为：8
22．（2025·高三·河北衡水·开学考试）记
为
中最小的数.设
，
，.则
的最大值为
【答案】
【解析】设
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，∴
，
∴
，当且仅当
时取等号.
所以
的最大值为
.
故答案为：
24
25
