第 44 讲 数列求和 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
三、典题精练......................................................................................................................................2
考点一：公式法......................................................................................................................2
考点二：分组求和法..............................................................................................................3
考点三：并项求和法..............................................................................................................4
考点四：倒序相加法..............................................................................................................5
考点五：错位相减法..............................................................................................................5
考点六：裂项相消法..............................................................................................................6
考点七：放缩与裂项求和......................................................................................................8
考点八：分段数列求和..........................................................................................................8
四、高考真题......................................................................................................................................9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年 题号与题
分值 考察类型 考察内容
份 型
202
— — — —
4
202 第13题
5分 直接 考察等比数列的前n项和公式及基本量计算
5 填空题
202 第16题 在导数与多项式背景下，间接考察等比数列求和
15分 间接
5 解答题 公式的应用
202 第7题 结合实际情境，考察等差数列求和公式及分组求
5分 直接
6 单选题 和思想
202 第14题 结合新定义与不等式，考察数列的局部求和（并
5分 直接
6 填空题 项求和）及等比数列性质
近三年全国一卷中，数列求和知识点的考查频率较高.既有直接利用公式求基本量的
基础题，也有结合实际情境、导数、不等式等知识的综合题，对考生的代数变形能力和数
列求和思想的应用提出了较高要求.
2. 命题角度与特色
（1） 基础与综合并重：既有对等差、等比数列求和公式的直接考查，也有将其作为
工具融入导数、多项式等综合问题中，体现了知识的交汇性.（2） 突出思想方法：常结合分组求和、并项求和等思想，要求考生具备灵活处理数
列片段和的能力，如通过局部求和探究数列的整体性质.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式，能够灵活运用公式解决基本量计算
问题.
（2） 掌握常见的数列求和方法，如分组求和、并项求和、错位相减、裂项相消等，
提升代数变形与化简能力.
（3） 注重知识的交叉与融合，学会在导数、不等式、实际应用题等不同背景下识别
并应用数列求和模型.
二、知识清单
1. 等差数列{a }的前n项和公式与性质
n
n(a +a ) n(n-1)
（1） 公式：S = 1 n =na + d，推导方法：倒序相加法.
n 2 1 2
d d
（2） 函数特征：当d≠0时，S = n2+(a - )n，是关于n的二次函数，且常数项为
n 2 1 2
0.
（3） 片段和性质：S ，S -S ，S -S ……构成等差数列，公差为n2d.
n 2n n 3n 2n
S S d
（4） { n }的性质：数列{ n }也是等差数列，首项为a ，公差为 .
n n 1 2
2. 等比数列{a }的前n项和公式与性质
n
{ na , q=1
1
（1） 公式：S = a (1-qn ) ，推导方法：乘公比，错位相减法.
n 1 , q≠1
1-q
a a
（2） 函数特征：当q≠1时，S = 1 - 1 qn.若某数列的前n项和满足S =A⋅qn+B
n 1-q 1-q n
的形式，则当且仅当A+B=0时，该数列为等比数列.
（3） 片段和性质：当q≠-1或n为偶数时（即S ≠0），S ，S -S ，S -S ……构
n n 2n n 3n 2n
成等比数列，公比为qn.
3. 数列的通项与前n项和的关系
已知数列{a }的前n项和为S ，则通项公式a 与S 的关系为：
n n n n
{ S , n=1
a = 1
n S -S , n≥2
n n-1
4. 一些常见的数列的前n项和n n
1
（1） ∑k=1+2+3+…+n= n(n+1)；∑2k=2+4+6+…+2n=n(n+1).
2
k=1 k=1
n
（2） ∑(2k-1)=1+3+5+…+(2n-1)=n2.
k=1
n
1
（3） ∑k2=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1).
6
k=1
n [n(n+1)] 2
（4） ∑k3=13+23+33+…+n3= .
2
k=1
三、典题精练
考点一：公式法
考法1：应用等差或等比数列求和公式
例1.（2026·河南豫东名校·二模）已知数列{a }中，a =3n+3(n∈N*)，则S =＿＿＿＿＿
n n 10
＿.
考法2：结合二项式展开式求和
例2.（2024·广东新南方·联考）设数列{a }的通项公式为a =1+2C1+22C2+23C3+…+2nCn(
n n n n n n
n∈N*)，其前n项和为S ，则使S >2024的最小n是（ ）
n n
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
考法3：结合极限或不等式放缩求和
1 1
例3.（2026·浙江七校联盟·二模）（多选）已知数列{a }的通项公式为a = + ,n∈N* ，
n n 2n+1 3n
S 是其前n项的和.∀n,m∈N*，下列结论正确的是（ ）
n
A. S <1
n
B. (m-n)(S -S ) ≤0
m n
C. 1-S
m+n
> (1-S
m
)❑ 2
D. 1-S > (1-S )(1-S )
m+n m n
考法4：提取公共项或构造新数列求和
例4.（2026·湖南岳阳·一模）已知抛物线C:y2=16x，按如下方法依次构造点列A (
n
n=1,2,3,…)：设点A (1,-4)，过抛物线上点A 作斜率为4的直线l 与抛物线C交于另一点
1 n n
n
1
B ，A 为B 关于x轴的对称点.记A 的坐标为(x ,y )，数列{y }的前n项和为S ，则∑ =
n n+1 n n n n n n S
k=1 k
＿＿＿＿＿＿.
【考点一 方法总结】1. 公式法求和：对于等差或等比数列，直接代入前n项和公式求解.注意等比数列求
和时需判断公比是否为1.
2. 结合二项式展开式求和：观察通项公式的结构特征，若呈现二项展开式的形式，
可逆用二项式定理将其化简，再进行求和.
3. 结合极限或不等式放缩求和：先求出前n项和的表达式，再结合极限的定义或利用
作差法比较大小进行求解.
4. 提取公共项或构造新数列求和：利用题目给定的几何条件（如抛物线、直线斜率
等）或代数条件，推导出数列的递推关系，证明其为等差或等比数列，再进行求和.
考点二：分组求和法
考法5：等差与等比数列混合分组求和
例5.（2026·安徽淮南·二模）已知数列{a }中，a =0，2a -a =2n+3.
n 1 n+1 n
（1）令b =a -2n+1，求证：数列{b }是等比数列；
n n n
（2）求数列{a }的前n项和S .
n n
考法6：奇偶项或分段数列分组求和
例6.（2026·安徽江淮十校·模拟）设S 为数列{a }的前n项和，已知a =1，S 与(S -1)的等
n n 1 1 4
S
比中项为3，且{ n }为等差数列.
n
（1）求数列{a }的通项公式a ；
n n
{ (n+3)
lg , n为奇数
（2）若数列{b }满足b = n+1 ，求{b }的前2n项和T .
n n n 2n
2a n, n为偶数
考法7：插入项构成新数列分组求和
例7.（2026·福建福州·二模）已知正项数列{a }的前n项和为S ,a =1，且a =❑√S +❑√S (
n n 1 n n n-1
n∈N*,n≥2).若在a 和a (k∈N*)中插入k个相同的数(-1)❑ k+1 ⋅k，构成一个新数列{b }，
k k+1 n
即a ,1,a ,-2,-2,a ,3,3,3,a ,…，记数列{b }的前n项和为T ，则T =＿＿＿＿＿＿.
1 2 3 4 n n 2026
【考点二 方法总结】
1. 分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组
成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
2. 常见的分组转化类型：
（1） a =b ±c ，其中{b }、{c }为等差或等比数列.
n n n n n
{b , n为奇数
（2） a = n ，其中{b }、{c }为等差或等比数列.
n c , n为偶数 n n
n3. 奇偶项或分段数列求和：将奇数项和偶数项分别提取出来，利用对数运算性质、
等差或等比数列求和公式分别求和.
4. 插入项构成新数列求和：先求出原数列的通项公式，再根据插入项的规律确定项
数位置，利用分组求和法求解.
考点三：并项求和法
考法8：应用奇偶项或正负相间数列并项求和
例8.（2025·广东大湾区·一模）已知等差数列{a }满足a ，a 是关于x的方程
n n n+1
x2-4nx+b =0的两个根.
n
（1）求a ；
1
4n
（2）求数列{(-1) n ⋅ }的前n项和S .
b n
n
考法9：应用三角函数型变号数列并项求和
例9.已知数列{a },a =1,na -(n+1)a =1.
n 1 n+1 n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
π
（2）若数列{b }满足b =sin ( (2n+1)) +cos(πa )，求数列{b }的前2n项和T .
n n 2 n n 2n
【考点三 方法总结】
1. 并项求和法：对于正负相间或含有三角函数（如sin、cos）周期性变号的数列，常
采用并项求和法.将相邻的两项（或几项）结合在一起求和，进而求出总和.
2. 结合韦达定理并项求和：利用一元二次方程的韦达定理求出基本量，将通项化简
为正负相间的形式进行抵消求和.
3. 三角函数型变号数列求和：利用诱导公式化简通项，发现相邻两项之间存在互为
相反数的关系，从而采用并项求和法将相邻两项合并计算.
考点四：倒序相加法
考法10：结合函数对称性应用倒序相加法求和
x2
例10.（2026·河北·检测）若f(x)= ,a =f(en-2026 )，则a +a +…+a =（ ）
x2+1 n 1 2 4051
4051
A. B. 2026 C. 4050 D. 4051
2
考法11：结合组合数性质应用倒序相加法求和
例11.已知数列{a }的项数为n(n∈N*)，且a +a =Ci(i=1,2,…n)，则{a }的前n项和S 为
i i n-i+1 n i n
＿＿＿＿＿＿.
【考点四 方法总结】1. 倒序相加法：如果一个数列{a }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同
n
一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1
2. 结合函数对称性求和：探究函数的性质，若发现函数满足f(x)+f( )=c或
x
f(x)+f(1-x)=c等对称性质，进而得到数列首尾等距两项之和为定值，即可利用倒序相加
法求和.
3. 结合组合数性质求和：利用倒序相加法将首尾等距两项配对，再结合二项式系数
和公式求解.
考点五：错位相减法
考法12：应用错位相减法标准流程求和
例12.（2026·安徽师大附中·检测）已知数列{a }满足：(2n-1)a +(2n-3)
n 1
a +…+3a +a =n
2 n-1 n
（1）求a ，a ；
1 2
（2）猜想数列{a }的通项公式并给出证明；
n
（3）设b =n⋅a ⋅2n，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
考法13：先求通项再利用错位相减法求和
例13.（2026·江苏南京·二模）已知数列{a }的各项均为正数，S 为{a }的前n项和，且
n n n
a2,S ,a 成等差数列.
n n n
（1）求{a }的通项公式；
n
1
（2）设b
n
=a
n
⋅ (
2
)❑ n，求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
考法14：利用错位相减法求和证明不等式
例14.（2025·河北沧衡八县·一模）若数列{a }的前n项和为S ，且a >0,a2-2S +a =0.
n n n n n n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
a 3
（2）若b = n，数列{b }的前n项和为T ，证明：T < .
n 3n n n n 4
【考点五 方法总结】
1. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之
积构成的，即c =(An+B)⋅qn，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.
n
2. 错位相减法基本步骤：
（1） 写出S 的表达式.
n
（2） 写出qS 的表达式，特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
n
S -qS .
n n（3） 两式相减，注意减式中所剩各项的符号要变号.
（4） 整理化简，求出S .
n
3. 利用错位相减法证明不等式：先用错位相减法求出前n项和的表达式，再根据表达
式的结构特征，结合指数函数的性质进行放缩证明.
考点六：裂项相消法
考法15：应用等差型裂项相消求和
例15.（2026·广东中山·二模）已知抛物线C:y2=16x，按如下方法依次构造点列A (
n
n=1,2,3,…)：设点A (1,-4)，过抛物线上点A 作斜率为4的直线l 与抛物线C交于另一点
1 n n
n
1
B ，A 为B 关于x轴的对称点.记A 的坐标为(x ,y )，数列{y }的前n项和为S ，则∑ =
n n+1 n n n n n n S
k=1 k
＿＿＿＿＿＿.
考法16：应用无理式分母有理化裂项求和
1
例16.（2026·浙江宁波十校·联考）已知幂函数f(x)=(2m2-5m+3)
xm
是非奇非偶函数，令
1
a = (n∈N* )，记数列{a }的前n项和为S ，则S =（ ）
n f(n+1)+f(n) n n 2026
A. ❑√2026+1 B. ❑√2026-1 C. ❑√2027+1 D. ❑√2027-1
考法17：应用指数型或对数型裂项相消求和
例17.（2026·浙江Z20联盟·检测）正项数列{a }的前n项和S ，且S =2(❑√S +❑√S +…+❑√S )
n n n 1 2 n
-n.
（1）证明：数列{❑√S }是等差数列；
n
a
（2）求数列{ n ⋅2n }的前n项和T .
a a n
n+1 n+2
考法18：结合递推关系裂项求和
例18.（2026·山东泰安·二模）已知数列{a }满足a =3,a =2a -1(n≥2)，等差数列{b }满
n 1 n n-1 n
足a =b ,2a +a =b .
2 3 2 3 10
（1）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
sin2
（2）若c = ，求数列{c }的前n项和T .
n cosb cosb n n
n n+1
考法19：利用裂项相消求和证明不等式
1 2a
例19.（2026·江苏南通·一模）设数列{a }的前n项和为S ，已知a = ，a = n ，若
n n 1 2 n+1 a +1
n
S ∈ (k-1,k)，则正整数k的值为＿＿＿＿＿＿.
2025【考点六 方法总结】
1. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，
从而求得前n项和.
2. 常见的裂项技巧：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（1） 等差型： = - ； = ( - )； = ( - )
n(n+1) n n+1 n(n+k) k n n+k 4n2-1 2 2n-1 2n+1
等.
1 1 1
（2） 根式型： =❑√n+1-❑√n； = (❑√n+k-❑√n).
❑√n+1+❑√n ❑√n+k+❑√n k
2n 1 1 n+2 1 1
（3） 指数型： = - ； = - .
(2n+1-1)(2n-1) 2n-1 2n+1-1 n(n+1)⋅2n n⋅2n-1 (n+1)⋅2n
a
（4） 对数型：log n+1=log a -log a .
a a a n+1 a n
n
1 1
（5） 三角型： = (tanα-tanβ).
cosαcosβ sin(α-β)
n 1 1
（6） 阶乘型： = - .
(n+1)! n! (n+1)!
3. 裂项原则与消项规律：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的
规律为止.消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
考点七：放缩与裂项求和
考法20：先放缩后裂项相消求和证明不等式
例20.已知数列{a }是等差数列，其前n项和为A ，a =15，A =63；数列{b }的前n项和为
n n 7 7 n
B ，2B =3b -3(n∈N*).
n n n
（1）求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
1
（2）求数列{ }的前n项和S ；
A n
n
n a
（3）求证：∑ k <2.
B
k=1 k
【考点七 方法总结】
1. 先放缩后裂项求和：放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标.先
利用不等式放缩简化通项，将其转化为可裂项相消或等比数列求和的形式，再进行求和.
2. 常见放缩公式：
1 1 1 1
（1） < = - (n≥2).
n2 n(n-1) n-1 n1 1 1 1
（2） > = - .
n2 n(n+1) n n+1
1 4 4 1 1
（3） = < =2( - ).
n2 4n2 4n2-1 2n-1 2n+1
1 2 2
（4） = < =2(❑√n-❑√n-1)(n≥2).
❑√n ❑√n+❑√n ❑√n-1+❑√n
1 2 2
（5） = > =2(❑√n+1-❑√n).
❑√n ❑√n+❑√n ❑√n+❑√n+1
考点八：分段数列求和
考法21：应用奇偶项或周期性分段求和
例21.（2025·河北衡水中学·检测）设S 是数列{a }的前n项和，已知a =1，
n n 1
{1
a +n, n为奇数,
a = 2 n
n+1
a -2n, n为偶数.
n
（1）证明：{a -2}是等比数列；
2n
（2）求满足S >0的所有正整数n.
2n
考法22：结合绝对值或取整函数分段求和
例22.（2026·江苏苏北四市·一模）（多选）已知数列{a }的通项公式是
n
13-n, n<2m且n为奇数,
{
n
1
a = 32×( )2, n≤2m且n为偶数,(m≥3,m,n∈N* ).
n
2
a , n>2m
n-2m
设S 为数列{a }的前n项和，下列结论正确的是（ ）
n n
A. 当m=5时，a =8
2026
B. 当a =2时，m=6
20
C. 若存在n，使得S <0，则m≥16
n
n
D. 不存在m，使得∑a a ≤0
2i-1 2i
i=1
【考点八 方法总结】
1. 分段数列求和：对于由奇偶项交替或具有周期性规律构成的数列，常采用分段求
和法.
2. 奇偶项或周期性分段求和：分奇偶各自构建新数列求和.要注意处理好奇偶数列对
应的项，可通过构建新数列或“跳项”求和.
3. 结合绝对值或取整函数分段求和：利用零点存在定理或周期性化简项的下标，确
定取整函数的值或绝对值的符号，再分别对奇数项和偶数项求和.四、高考真题
1.（2025·全国一卷·第13题）若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比
数列的公比为＿＿＿＿＿＿.
2.（2026·全国一卷·第7题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑
格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i
行中塔的座数记为a(i=1,2,…,12)，其中a =1，a =a =3，a =a =5，且a ，a ，…，a 是
i 1 2 3 4 5 6 7 12
一个首项为7，公差为2的等差数列.将a ，a ，…，a 分为6组，每组2个数，使得每组
1 2 12
的2个数之和可构成一个项数为6且公差为d(d>0)的等差数列，则d=（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3.（2026·全国一卷·第14题）设实数q满足：存在数列{a }，使得对于任意n∈N*，均有
n
a +a +…+a =n2+n，且{a }中有某连续9项a ，a ，…，a 是公比为q的等比数列.则q
1 2 3n n k k+1 k+8
的最大值为＿＿＿＿＿＿.
a a 1
4.（2025·全国一卷·第16题）设数列{a }满足a =3， n+1= n + .
n 1 n n+1 n(n+1)
（1）证明：{na }为等差数列；
n
（2）设f(x)=a x+a x2+…+a xm，求f' (-2).
1 2 m
